TÍNH nửa LIÊN tục của ÁNH xạ NGHIỆM của bài TOÁN cân BẰNG NGẪU NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Tên đề tài: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN VÀ ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN Mã số: 233/HĐ-NCKHPTCN Tên báo cáo chuyên đề: TÍNH NỬA LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Xuân Hải Người chủ trì thực chuyên đề: TS Nguyễn Xuân Hải, Khoa Khoa học tự nhiên Bình Dương, Tháng Năm 2015 Mục lục Trang Đặt vấn đề Nội dung nghiên cứu kết đạt Kết luận Tài liệu tham khảo Đặt vấn đề Gọi X  n ,  s  Ω tập tất độ đo xác suất Borel  Gi K: X () ă X l mt ỏnh xạ đa trị f :  X  X   {  } cho, với x, y  X , f (., x, y) hàm đo Chúng tơi xét tốn cân ngẫu nhiên phụ thuộc tham số độ đo xác suất đây: (SEP) Tìm x  X cho x  K ( x,  )  f (, x, )  , y  K ( x,  ) , Ε f , x, y    f , x, y   (d) giá trị kì vọng f (., x, y) theo độ đo   Với toán (SEP), định nghĩa S( )={x  X : x  K (x, ),  f , x, y   (d)  0, y  K (x, )} (1)  Khi S xác định ánh xạ đa trị từ  Ω vào X gọi ánh xạ nghiệm toán (SEP) Nội dung chuyên đề nghiên cứu tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm S ( ) theo tham số độ đo xác suất  Nội dung nghiên cứu kết đạt Ta sử dụng kết sau chuyên đề Bổ đề 2.1 Với   y  X , f (,., y) lsc (, y) tập đóng X với  () Từ trở đi, với tốn (SEP) ta ln giả thiết thêm X tập compact n , ánh xạ đa trị K có ảnh đóng, f (,., y) lsc với (, y)  X Bổ đề 2.2 Với không gian ((),  ) , ánh x K : X () ă X l liờn tc theo biến thứ ánh xạ đóng nửa liên tục Bổ đề 2.3 Với không gian (p (), p ) , ánh xạ K : X p () ă X l liờn tc theo biến thứ ánh xạ đóng nửa liên tục Bổ đề 2.4 Với không gian (p (), p ) , ánh xạ K :p () ¨ X xác định (2) đóng, K có ảnh đóng nên K nửa liên tục Đầu tiên ta có kết sau tính chất tơpơ tập nghiệm Cho  () , giả sử tập E : {x  X : x  K ( x, )} đóng Mệnh đề 2.1 K (.,  ) lsc với   , f (,.,.) lsc Khi tập nghiệm S (  ) xác định (1) đóng Chứng minh Giả sử {xn }n1  S (  ) dãy cho xn  x Ta chứng tỏ x  S (  ) Bởi công thức (1), với n, xn  E Vì E đóng, ta có x  E , nghĩa x  K ( x, ) Bây lấy y  K ( x, ) Vì K (.,  ) lsc, tồn dãy { yn }n1 với yn  K ( xn ,  ) cho yn  y Từ tính nửa liên tục f (,.,.) bổ đề Fatou ta có:  f (, x, y)(d)  liminf  f , x , y   (d)  n  n n n  Vậy x  S (  ) Từ trở đi, với toán (SEP) ta giả sử tất điều kiện định nghĩa toán Mục 1, điều kiện nói đến Mục 2; giả thiết thêm X tập compact n , ánh xạ đa trị K có ảnh đóng, f (,., y) lsc với (, y)  X giả thiết Bổ đề 2.2-2.3 thỏa mãn Ta giả thiết thêm rằng, với   , f (,.,.) liên tục Định lí 2.1 Với ánh xạ K : X ((), ) ă X , ánh xạ nghiệm S xác định công thức (1), từ (),   vào X nửa liên tục Chứng minh Giả sử tồn 0 () cho S khơng usc o Khi tồn lân cận mở U S ( 0 ) X tồn dãy n n1 ,xn n1 thỏa: n  0 với   n, xn S ( n ) xn U Ta có h  K  xn , n  , K  xn , 0   supxX h  K  x , n  , K  x , 0     n , 0  0 Suy ra, với n, tồn xn K( xn , 0 ) cho xn  xn  Vì X compact, ta giả sử xn  x0 Khi xn  x0 Do Bổ đề 2.2, ánh xạ K đóng Hơn nữa, với n, xn  K  xn , n  Suy x0  K  x0 , 0  Bây giả sử tồn y0  K  x0 , 0  cho   x0    0 , y0    x X :  f (, x, y0 ) 0 (d  )      Đặt   d  x0 , ( 0 , y0 )  Vì K lsc (Bổ đề 2.2), tồn dãy  yn n1 với yn K  xn , n  cho n, yn  y0 Hơn nữa, ( 0 ,.) liên tục (do f (, x,.) liên tục) Vì ta có : h    n , yn  ,   0 , y0    h    n , yn  ,   0 , yn   h    0 , yn  ,   0 , y0    sup h    n , y  ,   0 , y   h    0 , yn  ,   0 , y0  yX    ( n , 0 )  h    0 , yn  ,   0 , y0   0 Nhưng h    n , yn  ,   0 , y0    ta có xn h    n , yn   B (  0 , y0  ,   với n đủ lớn Điều mâu thuẫn với xn  x0 Vậy x0   0 , y  với yK  x0 , 0  Do x0 S ( 0 )  U Điều mâu thuẫn với xn  x0 giả thuyết xn  U với n Vậy S usc Định lí 2.2 Với ánh xạ K : X (p (), p ) ă X , giả sử với ,  với x, y  X , f (,.,.) nửa liên tục dưới, f (, x, y )  f (, x, y )     max{1,  p 1 , p 1 }  (3)  Khi ánh xạ nghiệm S xác định công thức (1), từ p (), p vào X, nửa liên tục Chứng minh Giả sử S không usc 0 p () Thế tồn lân cận mở U S  0  dãy n n1 ,xn n1 thỏa mãn: n  0 với n, xn S ( n )   xn U Lý luận tương tự phần đầu chứng minh định lí 3.1 ta giả sử xn  x0 K ( x0 , 0) Bây ta chứng minh yK( x0 , 0 ),  f ( , x , y )  0 (d)  (4)  Thật vậy, K lsc (Bổ đề 2.3) với yK ( x0 , 0 ) , tồn dãy  yn  n1 với yn K( xn , n ) với n, yn  y Do (3), với x, y  X , f (., x, y)  M p () Điều với tính nửa liên tục f (,.,.) bổ đề Fatou ta có  f , x , y    d   liminf  f (, x , y )  d   n n  n    liminf   f (, xn , yn )(  n  0 )( d )   f (, xn , yn ) n  d    n       lim inf   f (, xn , yn )( n  0 )( d)   f (, xn , yn ) n  d    n        liminf  sup  g ()( n  0 )( d)   f (, xn , yn ) n  d   n  gM p ( )       liminf  p ( n , 0 )   f (, xn , yn ) n  d    n       liminf   f (, xn , yn ) n  d     n   Vậy (4) Do x0 S ( 0 ) x0 U , mâu thuẫn với xn  x0 xn  U với n Trong trường hp K : X (p (), p ) ă X xác định (2) ta có kết sau Định lí 2.3 Nếu ánh xạ đa trị T : X (p (), p ) ă X c xác định T ( )={x  X : x  K ( ),  f , x, y   (d )  0}    đóng, ánh xạ nghiệm S xác định cơng thức (1), từ p (), p vào X, nửa liên tục Chứng minh Từ điều kiện Định lí 3.3 ta thấy điều kiện Mệnh đề 3.1 thỏa mãn Do đó, theo Mệnh đề 3.1, ánh xạ nghiệm S có ảnh đóng tập compact X Ta có, với  p () , S ( )=K ( )  {x  X :y  K ( ),  f , x, y   (d )  0}=K ( )  T (  ) (5)  Vì K ánh xạ đóng (do Bổ đề 2.4) T đóng nên từ (5) suy S ánh xạ đóng Hơn S có ảnh compact nên suy usc Nhận xét 2.1 Dùng bổ đề Fatou ta dễ dàng chứng minh ánh xạ T Định lí 3.3 đóng K liên tục với  , f (,.,.) nửa liên tục 3 Kết luận Các kết chuyên đề nội dung đề tài Các kết mới, theo hiểu biết chúng tơi chưa có nghiên cứu giới nội dung 4.Tài liệu tham khảo [1] Cho, G.M., 1995 Stability of the Multiple Objective Linear Stochastic Programming Problems Bulletin of the Korean Mathematical Society 32: 287296 [2] Henrion, R and W Romisch, 1999 Metric Regular and Quantitative Stability in Stochastic Programs with Probabilistic Constraints Mathematical Programming 84: 55-88 [3] Nemirovski, A et al., 2009 Robust Stochastic Approximation Approach to Stochastic Programming SIAM Journal on Optimization 19: 1574-1609 [4] Rachev, S T., 1991 Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models Wiley, Chichester, U.K 493pp [5] Rachev, S T and W Romisch, 2002 Quantitative Stability in Stochastic Programming: the Method of Probability Metrics Mathematics of Operation Reseach 27: 792-818 [6] Romisch, W and R J-B Wets, 2007 Stability of ε-Approximate Solutions to Convex Stochastic Programs SIAM Journal on Optimization 18(3): 961–979 [7] Shapiro, A., 2008 Stochastic Programming Approach to Optimization under Uncertainty Mathematical Programming 112(B): 183-220 Người thực chuyên đề TS Nguyễn Xuân Hải ... ) , ánh xạ K : X p () ă X l liờn tc theo biến thứ ánh xạ đóng nửa liên tục Bổ đề 2.4 Với không gian (p (), p ) , ánh xạ K :p () ă X c xỏc nh bi (2) l úng, K có ảnh đóng nên K nửa liên tục. .. thiết thêm rằng, với   , f (,.,.) liên tục Định lí 2.1 Với ánh x K : X ((), ) ă X , ánh xạ nghiệm S xác định công thức (1), từ (),   vào X nửa liên tục Chứng minh Giả sử tồn 0 ()... nên từ (5) suy S ánh xạ đóng Hơn S có ảnh compact nên suy usc Nhận xét 2.1 Dùng bổ đề Fatou ta dễ dàng chứng minh ánh xạ T Định lí 3.3 đóng K liên tục với  , f (,.,.) nửa liên tục 3 Kết luận