Phân tích ổn định nghiệm cho bài toán cân bằng ngẫu nhiên và áp dụng vào bài toán tối ưu ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Tên đề tài: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN VÀ ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN Mã số: 233/HĐ-NCKHPTCN Tên báo cáo chuyên đề: ĐỘ ĐO METRIC TRONG KHÔNG GIAN ĐỘ ĐO VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Xuân Hải Người chủ trì thực chuyên đề: TS Nguyễn Xuân Hải, Khoa Khoa học tự nhiên Bình Dương, Tháng Năm 2015 Mục lục Trang Đặt vấn đề Nội dung nghiên cứu kết đạt Kết luận Tài liệu tham khảo Đặt vấn đề Trong đề tài nghiên cứu nội dung sau Gọi X  n ,  s  Ω tập tất độ đo xác suất Borel  Gi K: X () ă X l mt ỏnh xạ đa trị f :  X  X   {  } cho, với x, y  X , f (., x, y) hàm đo Chúng tơi xét tốn cân ngẫu nhiên phụ thuộc tham số độ đo xác suất đây: (SEP) Tìm x  X cho x  K ( x,  )  f (, x, )  , y  K ( x,  ) , Ε f , x, y    f , x, y   (d) giá trị kì vọng f (., x, y) theo độ đo   Với toán (SEP), định nghĩa S( )={x  X : x  K (x, ),  f , x, y   (d)  0, y  K (x, )} (1)  Khi S xác định ánh xạ đa trị từ  Ω vào X gọi ánh xạ nghiệm toán (SEP) Nội dung đề tài nghiên cứu tính ổn định ánh xạ nghiệm S ( ) , cụ thể nghiên cứu S nửa liên tục theo tham số độ đo xác suất  , hay nói cách khác  thay đổi S có thay đổi cách liên tục theo  không Để đo thay đổi tham số độ đo xác suất ta cần xác định khoảng cách hai độ đo xác suất, nghiên cứu loại metric khơng gian độ đo xác suất Nội dung nghiên cứu kết đạt Nhiều mêtric xác suất đưa nhiều tác giả nhằm nghiên cứu toán ngẫu nhiên khác (xem Rachev, S T., 1991) Trong mục giới thiệu vài mêtric xây dựng không gian tham số độ đo xác suất để nghiên cứu toán (SEP) Với p  1, đặt p () : { ():    (d )  } Nhắc lại rằng, p () , p  mêtric Fortet-Mourier (xem Rachev, S T., 1991) xác định bởi: với , p () ,  p (  , )  sup  g ()(    )(d) , gM p (  )  M p ()  {g:  : g ( )  g ()     max{1,  p 1 , p 1 }, , } Với kiện toán (SEP), ta đặt ( , y)  {x  X:  f (, x, y)  (d)  0} ,  định nghĩa khoảng cách   p tương ứng () p () sau:  , () ,  (, )  supxX h(K ( x,  ), K ( x, ))  sup yX h((, y), ( , y)) ;  , p () ,  p (  , )  sup xX h( K ( x,  ), K ( x, ))  sup gM p ()  g()(  )(d) ,  h khoảng cách Hausdorff xác định lớp tất tập X Bổ đề 2.1 Với   y  X , f (,., y) lsc (, y) tập đóng X với  () Chứng minh Lấy dãy {xn}n 1 (, y) cho xn  x  X , theo bổ đề Fatou,  f (, x, y)  (d)  lim inf  f (, x , y)  (d)   n n   Do x( , y) Vậy (, y) tập đóng Từ trở đi, với tốn (SEP) ta giả thiết thêm X tập compact n , ánh xạ đa trị K có ảnh đóng, f (,., y) lsc với (, y)  X Với giả thiết này, khoảng cách   p tương ứng trở thành mêtric () p () , không gian tham số độ đo xác suất ((),  ) (p (), p ) không gian mêtric Sau này, xét cho ((),  ) (tương ứng, (p (), p ) ) ta giả thiết ánh xạ K từ X () (tương ứng, X p () ) vào X Trong trường hp K : X p () ă X c xỏc định   K (x,  ):=K ( )={x'  X :  mi , x'  (d)  0, i  1,2, , l},  (2) mi :  X  thỏa mãn: với x  X , mi (., x)  M p () , với  , mi (,.) lsc Thế K khơng phụ thuộc vào x, ta xem K ánh xạ từ p () vào X Trong trường hợp này, dùng bổ đề Fatou ta dễ dàng thấy K ln có ảnh đóng Bổ đề 2.2 Với không gian ((),  ) , nu ỏnh x K : X () ă X l liên tục theo biến thứ ánh xạ đóng nửa liên tục Chứng minh Gọi {((xn ,n ),yn )}n1  GraphK dãy cho ((xn ,n ),yn )  (( x,  ), y ) Ta có: h( K ( xn , n ), K ( x,  ))  h( K ( xn , n ), K ( xn ,  ))  h( K ( xn ,  ), K ( x,  ))  supx'X h( K ( x' , n ), K ( x' , ))  h( K ( xn , ), K ( x, ))   ( n ,  )  h( K ( xn ,  ), K ( x,  )) Khi n   ((),  ) xn  x X ta có:  ( n ,  )  h( K ( xn ,  ), K ( x,  ))  Do h( K ( xn , n ), K ( x,  ))  Bây d ( y, K ( x, ))  inf zK ( x, ) y  z  yn  y  h( K ( xn ,  ), K ( x,  ))  Suy d ( y, K ( x,  ))  Vì K ( x,  ) tập đóng X, y  K ( x, ) Vậy K ánh xạ đóng Ta chứng minh K nửa liên tục Lấy dãy {(xn ,n )}n1  X  ((),  ) hội tụ đến  x,   , lấy y  K ( x, ) Với n, K ( xn , n ) tập đóng nên tồn yn  K ( xn , n ) cho yn  y  d ( y, K ( xn , n )) Khi ta có yn  y  d ( y, K ( xn , n ))  sup y'K ( x, )d ( y ' , K ( xn , n ))  h( K ( xn , n ), K ( x,  ))   ( n ,  )  , nghĩa yn  y Vậy K nửa liên tục Chứng minh tương tự Bổ đề 2.2 ta có bổ đề sau Bổ đề 2.3 Với không gian (p (), p ) , ánh x K : X p () ă X l liờn tục theo biến thứ ánh xạ đóng nửa liên tục Bổ đề 2.4 Với không gian (p (), p ) , ánh xạ K :p () ă X c xỏc nh bi (2) l đóng, K có ảnh đóng nên K nửa liên tục   Chứng minh Lấy dãy {n }n1 hội tụ đến  (p (), p ) , gọi {yn }n1 dãy X cho với n, yn  K ( n ) , yn  y Do bổ đề Fatou, với i  1,2, , l , ta có  m , y   (d)  liminf  m , y   (d) i  n i n     liminf   mi , yn  ( n   )(d)   mi , yn  n (d)  n        liminf  sup  g   ( n   )(d)   mi , yn  n (d)  n   gM p ( )      liminf  p ( n ,  )   mi , yn  n (d )   liminf  mi , yn  n ( d )  n n     Vậy y  K (  ) , tức K đóng Kết luận Trong chuyên đề đưa số loại metric không gian độ đo xác suất Một số kết liên quan đến loại metric đưa nhằm làm công cụ cho chứng minh phần đề tài 4.Tài liệu tham khảo [1] Cho, G.M., 1995 Stability of the Multiple Objective Linear Stochastic Programming Problems Bulletin of the Korean Mathematical Society 32: 287296 [2] Henrion, R and W Romisch, 1999 Metric Regular and Quantitative Stability in Stochastic Programs with Probabilistic Constraints Mathematical Programming 84: 55-88 [3] Nemirovski, A et al., 2009 Robust Stochastic Approximation Approach to Stochastic Programming SIAM Journal on Optimization 19: 1574-1609 [4] Rachev, S T., 1991 Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models Wiley, Chichester, U.K 493pp [5] Rachev, S T and W Romisch, 2002 Quantitative Stability in Stochastic Programming: the Method of Probability Metrics Mathematics of Operation Reseach 27: 792-818 [6] Romisch, W and R J-B Wets, 2007 Stability of ε-Approximate Solutions to Convex Stochastic Programs SIAM Journal on Optimization 18(3): 961–979 [7] Shapiro, A., 2008 Stochastic Programming Approach to Optimization under Uncertainty Mathematical Programming 112(B): 183-220 Người thực chuyên đề TS Nguyễn Xuân Hải ... độ đo   Với toán (SEP), định nghĩa S( )={x  X : x  K (x, ),  f , x, y   (d)  0, y  K (x, )} (1)  Khi S xác định ánh xạ đa trị từ  Ω vào X gọi ánh xạ nghiệm toán (SEP) Nội... xạ đa trị f :  X  X   {  } cho, với x, y  X , f (., x, y) hàm đo Chúng tơi xét tốn cân ngẫu nhiên phụ thuộc tham số độ đo xác suất đây: (SEP) Tìm x  X cho x  K ( x,  )  f (, x, )... cần xác định khoảng cách hai độ đo xác suất, nghiên cứu loại metric không gian độ đo xác suất Nội dung nghiên cứu kết đạt Nhiều mêtric xác suất đưa nhiều tác giả nhằm nghiên cứu toán ngẫu nhiên