Một số Ứng dụng của Đạo hàm và một số Ứng dụng của cực trị

Trong những năm gần đây, theo xu thế mới trong kỳ thi THPT Quốc gia đối với bộ môn Toán, số lượng các câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày càng nhiều.. Bởi lẽ, ngoài việc nắm chắc c

Hà Nội, tháng 12 năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH BS6002

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ

Sinh viên thực hiện: <Hồ Vĩnh Hiếu>(nhóm trưởng) <Vũ Xuân Hữu>

< Đỗ Anh Hoạt>

<Hồ Việt Hoàng>

<Lê Năng Hoan>

<Lê Xuân Hùng>

<Ninh Đức Hoàng>

<Nguyễn Duy Hiếu>

<Phạm Văn Hoàng>

<Trần Thanh Hội>

<Nguyễn Quang Huy>

Tên lớp : <2021DHDKTD03>

Giáo viên hướng dẫn : NGUYỄN VĂN TUẤN

Hà Nội, tháng 12 năm 2021

Tên Thành

Đánh giá

trung bình (nhóm đánh giá)

Hệ số cá nhân

Hoàn thành công việc

Hợp tác, trao đổi nhóm

Tương trợ, giúp đỡ

Hồ Vĩnh Hiếu Làm powerpoint, báo cáo

Vũ Xuân Hữu Làm báo cáo Tốt Tốt Tốt 8.8

Đỗ Anh Hoạt

Lồng tiếng powerpoint

Hồ Việt

Hoàng

Tìm ví dụ thực tế

về phần đạo hàm

7.7

Lê Năng

Hoan

Tìm ví dụ thực tế

về phần đạo hàm Tốt Khá Khá 7.6

Lê Xuân

Hùng

Tìm ví dụ thực tế

về phần đạo hàm

Ninh Đức

Hoàng

Tìm ví dụ thực tế

về phần đạo hàm Tốt Tốt Tốt 8.5

Nguyễn Duy

Hiếu Làm powerpoint Tốt Tốt Tốt 8.6

Phạm Văn

Trần Thanh

Hội Tìm ví dụ thực tế về phần đạo hàm Tốt Tốt Khá 8.0

Quang Huy

Tìm ví dụ thực tế

MỤC LỤC:

Phần mở đầu………5

I, CHỦ ĐỀ 1: Ứng dụng của đạo hàm một biến ……… …7

1, Ứng dụng 1: Ứng dụng trong xây dựng ………7

Bài toán 1: ……… 7

Bài toán 2:……… …… 8

2, Ứng dụng 2 : Ứng dụng trong kinh doanh……… ………10

Bài toán 1 ……… 10

Bài toán 2……… 11

II, CHỦ ĐỀ 2: Ứng dụng cực trị hàm hai biến vào bài toán thực tế…… … 12

1, Ứng dụng 1 : Ứng dụng trong chiến lược tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp……… 12

Bài toán 1……… 12

Bài toán 2……… 13

2, Ứng dụng 2 : Ứng dụng tìm đầu vào để chi phí sản xuất nhỏ nhất… 13

Bài toán 1……… 13

Bài toán 2……… 15

Kết luận ……… 17

Tài liệu tham khảo……… 18

Phần mở đầu.

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống Trong những năm gần đây, theo xu thế mới trong kỳ thi THPT Quốc gia đối với bộ môn Toán, số lượng các câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày càng nhiều Điều này gây ra những khó khăn nhất định cho các em học sinh khi làm bài thi môn Toán, kể cả những học sinh khá giỏi Bởi lẽ, ngoài việc nắm chắc các kiến thức môn Toán cùng với các môn học khác, học sinh cần phải biết cách mô hình hóa toán học đối với các bài toán thực tế để đưa bài toán thực tiễn về bài toán toán học mà trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, số lượng các bài tập mang tính vận dụng thực tiễn đang còn rất hạn chế

Trong khuôn khổ của tài liệu này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các

“Ứng dụng của Đạo hàm” không chỉ đối với Toán học mà còn đối với các ngành khoa học kỹ thuật khác, bởi lẽ Đạo hàm không chỉ dành riêng cho các nhà Toán học

mà Đạo hàm còn được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống và các ngành khoa học khác Ví dụ như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra các quyết định đầu tư đúng đắn hay đưa ra các dự báo; một nhà hoạch định chiến lược muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ phát triển và gia tăng dân số của từng vùng miền; một nhà Hóa học muốn xác định tốc độ của các phản ứng hóa học nào đó hay một nhà Vật lí cần làm gì để tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động? Và hơn thế nữa, trong thực tiễn đời sống luôn có rất nhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất như phải tính toán thế nào

để làm cho chi phí sản xuất thấp nhất mà lợi nhuận đạt được là cao nhất, …

Cực trị hàm số là một mảng kiến thức khá quan trọng của chuyên đề hàm số thuộc chương trình toán lớp 12 và ứng dụng thi đại học Ở cấp độ trung học, học sinh tiếp cận giải tích của hàm một biến một cách tổng quát và chỉ tập trung ở mặt toán học, do đó, ta chưa hiểu được nó thật sự Ở học kì 1, năm nhất của bậc đại học, học sinh tiếp tục học về giải tích hàm một biến một cách chuyên sâu hơn, biết được nhiều ứng dụng của toán học trong vật lý Tuy nhiên, các vấn đề sau này giải quyết không phải lúc nào cũng chỉ có một biến số mà đa số là nhiều yếu tố, nhiều biến số

chi phối Do đó, học sinh cần tìm hiểu về những ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến

Báo cáo gồm 2 phần:

Phần I:

1 Ứng dụng trong xây dựng

2 Ứng dụng trong kinh doanh

Phần II:

1.Ứng dụng trong chiến lược tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp

2 Ứng dụng tìm đầu vào để chi phí sản xuất nhỏ nhất

I, CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM MỘT BIẾN.

1, Ứng dụng 1: Ứng dụng trong xây dựng.

Bài toán 1: Nhà Long muốn xây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ

nhật có nắp đậy có thể tích bằng 576m3 Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá tiền thuê nhân công để xây hồ tính theo 2 m là 500.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước của hồ chứa nước sao cho chi phí thuê nhân công là ít nhất và chi phí đó là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x, y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hồ chứa nước (x>0, y>0, h>0, m)

Ta có: = 2  y = 2x

Thể tích hồ chứa nước V = xyh  h = = =

Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước:

S(x) = 2xy + 2xh + 2yh = 2x(2x) + 2x + 2(2x) = 4x2 +

Để chi phí nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng là nhỏ nhất, mà vẫn đạt thể tích như mong muốn

Bài toán trở thành tìm x để S(x) nhỏ nhất

S(x) – 4x2 +

S'(x) = 0  8x - = 0  x = 6

BBT

X 0 6 +∞ S’(x - 0 +

S(x)

Smin

Vậy kích thước của hồ là: rộng 6m, dài 12m, cao 8m Diện tích cần xây: 432 m2

Chi phí ít nhất là: 432x500.000 = 216.000.000

Bài toán 2: Một công ty chuyên sản xuất container muốn thiết kế các thùng gỗ

đựng hàng ở bên trong có dạng hình hộp chữ nhật và không có nắp, có đáy là hình vuông Thùng gỗ có thể chứ được 62,5m3 Hỏi các cạnh của hình hộp chữ nhật có độ dài là bao nhiêu để tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của thùng là nhỏ nhất?

GIẢI

Gọi x, h lần lượt là độ dài cạnh đáy hình vuông, chiều cao của thùng gỗ, ( x>0, h>0, (m) )

Thể tích thùng gỗ: V = x2h  h = =

Diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của thùng là:

S(x) = x2 + 4xh

= x2 + 4x

= x2 +

Bài toán trở thành tìm x để S(x) nhỏ nhất

S’(x) = 2x -

S’(x) = 0  2x - = 0  x = 5

BBT

X 0 5 +∞ S’(x

)

- 0 +

S(x)

Smin

Vậy để tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là nhỏ nhất thì cạnh đáy là 5m, chiều cao 2,5m

2, Ứng dụng 2 : Ứng dụng trong kinh doanh

Bài toán 1: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho

thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và

cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ

bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?

GIẢI

Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ ( x đồng , x ≥ 2.000.000 )

Ta có thể lập luận như sau:

Tăng giá 100.000 đồng thì có 2 căn hộ bị bỏ trống

Tăng giá x -2.000.000đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống.

Theo quy tắc tam xuất ta có số căn hộ bị bỏ trống là:

2(x−2.000 000)

100.000 = x−2.000 00050.000

Do đó khi cho thuê với giá x đồng thì số căn hộ cho thuê là:

50 - x−2.000 00050.000 = - 50.000x + 90

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F(x) đồng)

Ta có F(x)=( - 50.000x + 90 )x = -50.0001 x2 + 90x ( bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ )

Bài toán trở thành tìm GTLN của F(x) = -50.0001 x2 + 90x , Đk: x≥ 2.000.000

F’(x) = 25000−1 x + 90 =0  x = 2.250.000

x 2.000.000 2.250.000 +∞

F’(x)

+ 0

F(x)

Fmax

Suy ra F(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 2.250.000

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất

Bài toán 2: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi

quả là 50.000 đồng Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng

Giải

Gọi x là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng (x: đồng, 30.000

Ta có thể lập luận như sau:

Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả bưởi

Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả

Giảm giá 50.000 – x thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là:

(50.000-x)5000050 =1001 (50.000−x)

Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán x:

40+ 1001 (50.000−x) = −1 x100 +540

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được ( F(x) : đồng)

Ta có: F(x)= (−1 x100 +540 )(x-30.000) = −1 x100 + 840x-16.200.000

Bài toán trở thành tìm GTLN của

F(x)= −1 x100 + 840x-16.200.000 (đk: 30.000≤ x ≤ 50.000¿

F’(x) =0  −150 x+ 840=0  x=42.000

Vì hàm F(x) liên tục trên 30.000≤ x ≤ 50.000 nên ta có:

F(30.000) = 0

F(42.000) = 1.440.000

F(50.000) = 800.000

Vậy với x= 42.000 thì F(x) đạt GTLN

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực

tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42.000 đồng

II, CHỦ ĐỀ 2: ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ.

1, Ứng dụng 1 : Ứng dụng trong chiến lược tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp.

Bài toán 1: Một hãng sản xuất hai loại sản phẩm với giá của thị trường là P1 =

110, P2 = 200 Chi phí hãng sản xuất bỏ ra là C=2 Q12

+Q1Q2+3Q22

+64 Hãng xác định

cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) để hãng đạt được lợi nhuận lớn nhất

Giải Bài toán dẫn tới tìm cực trị của hàm lợi nhuận:

+Q1Q2+3Q22+64) Xét:

{π '

Q1=0

π '

Q1=0 => {110−4 Q1−Q2=0

200−Q1−6 Q2=0 => {Q1=20

Q2=30 => Điểm dừng M (20,30)

Đặt: ¿π ' Q

1 , B=π ' Q1Q2 , C=π ' Q

2

Tại M (20,30) ta có:

A=−4 , B=−1 ,C=−6

Bài toán 2: Một doanh nghiệp sản xuất hai loại chi tiết máy với giábán lần

lượt là p1 = 1600, p2= 1200 (đơn vị tiền) và hàm chi phí là C = 3 Q12+ 2 Q1Q2+Q22.

Hãy xác định cơ cấu sản xuất ( Q1,Q2¿để lợinhuận doanh nghiệp thuđược làtối đa

Giải:

Bài toán dẫn tới cần tìm cực trị của hàm lợi nhuận:

Ta có: π = p1Q1 + p2Q2 – C(Q1,Q2¿ = -3Q12

- 2Q1Q2 - Q22

+ 1600Q1 + 1200Q2

{π Q1=0

π Q2=0  {π ' Q1=1600−6 Q1−2Q2=0

π ' Q2=1200−2Q1−2Q2=0  {Q1=100

Ta có A = π } rsub {{{Q} rsub {1}} ^ {2}¿ = -6; B =

= -8 < 0, A < 0

Vậy, hàm lợi nhuận đạt cực đại tại

(Q1,Q2) = (100, 500), π max = 380.000

2 Ứng dụng 2: Ứng dụng tìm đầu vào để chi phí sản xuất nhỏ nhất.

Bài toán 1: 1 doanh nghiệp sản xuất 1 sản phẩm cần lượng đầu vào là (x,y) với đơn

giá P1 = 20 , P2 = 40 Giả sử hàm sản xuất Q(x,y ) = 10 √ 2xy

Yêu cầu: Tìm sản lượng đầu vào để doanh nghiệp sản xuất 400 sản phầm với

chi phí nhỏ nhất

Bài giải

Ta có hàm sản xuất:

10 √ 2xy = 400 (x.y > 0) x.y = 800

g(x,y) = x.y-800

Hàm chi phí :

C(x,y) = P1x+P2y = 20x+40y

Bài toán dẫn tới tìm cực trị của hàm C(x,y) = 20x+40y với điều kiện x.y = 800 Lập hàm Lagrange:

L(x,y,λ ) = 20x+40y+λ (x.y-800)

Ta có: Lx’(x,y,λ ) = 20+λ y

Ly’(x,y,λ ) = 40+λ x

x.y-800 = 0

Giải hệ phương trình : Lx’(x,y,λ ) = 0 20+λ y = 0

Ly’(x,y, ) = 0 ⅄) = 0 => 40+λ x = 0

x.y-800 = 0 x.y-800 = 0

λ = 1 λ = -1

=> N1 x = -40 hoặc N2 x = 40

y = -20 y = 20

Ta có : gx’ = y ,gy’ = x ,Lxx’’ = 0 , Lyy’’ = 0, Lxy’’ = λ

Áp dụng công thức tính det(H) ta được:

det(H) = 2gx’gy’ Lxy’’- Lxx’’ (gy’)2 - Lyy’’( gx’)2

= 2xyλ

Tại N1(-40,-20,1), det(H) = 1600> 0 => Hàm số đạt cực đại

Tại N2(40,20,-1), det(H) = -1600< 0 => Hàm số đạt cực tiểu

Vậy (x,y) = (40,20)là điểm cực tiểu thỏa mãn xy = 800, với CCt = Cmin = 1600 Vậy để doanh nghiệp có mức chi phí sản xuất là 1600 mà đạt được 400 sản phẩm thì cần sản lượng đầu vào là (40,20)

Bài toán 2: Một doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm cầ 2 đầu vào (x,y) với

hàm cầu C1 = x2, C2 = y2 Giả sử hàm sản xuất Q(x,y) = x+y

Yêu cầu: Tìm sản lượng đầu vào để doanh nghiệp sản xuất 1000 sảm phẩm với chi phí mới nhất

Bài giải

Ta có hàm tổng chi phí C(x,y) = x2+y2 với g(x,y) = x+y-1000

Lập hàm Lagrange:

L(x,y,λ) = x2+y2 +λ(x+y+-1000)

Ta có hệ phương trình sau: Lx’(x,y,λ ) = 0 2x + λ = 0

Ly’(x,y,λ ) = 0 => 2y + λ = 0

g(x,y) = x+y-1000 x + y = 1000

x = 500

=> y = 500

λ = -1000r

Do det(H) < 0 nên (500, 500) là điểm cực tiểu

Vậy (x,y) = (500, 500) là điểm cực tiểu thỏa mãn x + y = 1000

với Cct = Cmin = 500000

Vậy doanh nghiệp có mức chi phí là 500000 để sản xuất 1000 sản phẩm thì cần sản lượng đầu vào là (500,500)

KẾT LUẬN:

Khi giải quyết các vấn đề trong các lĩnh vực trong cuộc sống như kinh doanh, xây dựng chúng ta thường gặp phải những vấn đề như tối đa lợi nhuận, hay sản xuất, xây dựng sao cho phải bỏ ra chi phí thấp nhất Trong toán học, đó chính là bài toán tìm cực tiểu hoặc cực đại của một hàm f(X) (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong không gian,

từ đó đưa bài toán về bài toán tìm cực trị của một hàm có điều kiện hoặc không điều kiện Tương tự với các vấn đề về tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp, cũng như tìm đầu vào để chi phí sản xuất thấp nhất ta cũng có thể đưa bài toán dẫn đến thiết lập hàm lợi nhuận từ đó xác định cực trị của hàm hai biến số đồng thời đưa ra kết quả tối ưu

Sau một thời gian học tập và nghiên cứu trên lớp cùng với việc tự học tại nhà Và đặc biệt trong quá trình còn có sự tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện của Giảng viên Nguyễn Văn Tuấn, kết hợp với niềm hăng say tìm tòi, học hỏi, sự tích cực tham gia của các thành viên trong nhóm, bản báo cáo của chúng em đã được hoàn thành, hi vọng với bản báo cáo lần này

sẽ hệ thống được nhiều nhất các kiến thức và các phương pháp mà bài học gửi đến

Do nhóm em đang là sinh viên năm nhất nên còn bỡ ngỡ và không thể tránh khỏi còn nhiều thiếu sót vì vậy mong sự hướng dẫn cũng như chỉ bảo của thầy giáo và các bạn để nhóm em hoàn thiện hơn trong các bài báo cáo lần sau

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn của giảng viên Nguyễn Văn Tuấn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Quốc Hưng (2009), Toán cao cấp và một số ứng dụng trong kinh doanh, Nxb Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

[2] Lê Đình Thúy (2010), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nxb Giáo dục [3] Lê Văn Phốt (2002), Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp, Nxb Đại học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh

%E1%BB%A7a_%C4%91%E1%BA%A1o_h%C3%A0m

5_2018/%E1%BB%A8NG%20D%E1%BB%A4NG%20%C4%90%E1%BA%A0O

%20H%C3%80M%20V%C3%80O%20C%C3%81C%20B%C3%80I%20TO

%C3%81N%20TH%E1%BB%B0C%20T%E1%BA%BE%20-%20M%C3%A3i.pdf

%81+%E1%BB%A9ng+d%E1%BB%A5ng+c%E1%BB%B1c+tr%E1%BB%8B+h

%C3%A0m+nhi%E1%BB%81u+bi%E1%BA%BFn+trong+kinh+t%E1%BA%BF.htm