skkn một số ứng dụng của đồ thị lưỡng phân và đồ thị phẳng

NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Trong chuyên đề này, chúng tôi đã cố gắng đưa ra được một hệ thống lý thuyết và bài tập tương đối đa dạng, đầy đủ giúp học sinh tiếp cận các bài toán tổ hợp t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

******

CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN VÀ ĐỒ THỊ PHẲNG

Dương Thị Việt Hà – Nguyễn Thị Thanh Loan

Tổ: Toán - Tin

Bắc Giang, tháng 02 năm 2024

MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Lý thuyết đồ thị là một phần quan trọng trong Toán học và đặc biệt là trong chương trình dành riêng cho các lớp Chuyên Toán Mặc dù Lý thuyết đồ thị đã được khoa học phát triển từ rất lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại đặc biệt trong các bài toán Toán-Tin và sự phát triển của công nghệ Machine Learning Hiện nay, các bài toán chủ đề Lý thuyết đồ thị xuất hiện ngày càng thường xuyên trong các đề thi toán trong khu vực, quốc gia và quốc tế Vấn đề tổ hợp nói chung

và vấn đề đồ thị nói riêng cần được quan tâm phát triển mạnh hơn nữa, tạo tiền đề tốt cho học sinh khi tham gia các kì thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia và quốc tế

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, chủ đề Lý thuyết đồ thị lần đầu tiên được đưa vào chương trình Chuyên đề Toán lớp 11 đã thể hiện tinh thần thiết thực, hiện đại của chương trình giáo dục Việt Nam Chuyên đề này được viết nhằm phục vụ trực tiếp cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và hy vọng

nó cũng là tài liệu có ích cho các em học sinh tham khảo và học tập

Trong chuyên đề này chúng tôi, tập trung khai thác hệ thống lý thuyết và bài tập về đồ thị lưỡng phân và đồ thị phẳng Chuyên đề gồm có ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: trình bày các khái niệm cơ bản và chứng

minh các định lý cần thiết trong lý thuyết đồ thị nói chung

Chương 2 Đồ thị lưỡng phân: trình bày khái niệm, mệnh đề, định lý và bài

tập về chủ đề đồ thị lưỡng phân

Chương 3 Đồ thị phẳng: trình bày hệ thống lý thuyết, ví dụ và bài tập về

chủ đề đồ thị phẳng

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giúp cho học sinh có thêm một tài liệu và một số dạng bài tập cơ bản, nâng cao

về đồ thị lưỡng phân và đồ thị phẳng

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Đưa ra hướng tiếp cận cho một số dạng bài toán tổ hợp được xử lý bằng cách xây dựng đồ thị phẳng và đồ thị lưỡng phân, với hệ thống lí thuyết và ví dụ minh họa đặc trưng

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các bài toán cơ bản về đồ thị phẳng và đồ thị lưỡng phân trong các cuộc thi học sinh giỏi khu vực, trong nước và quốc tế

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Thông qua thực tiễn dạy một số chuyên đề tổ hợp, lí thuyết đồ thị cho lớp chuyên toán trường THPT Chuyên Bắc Giang để tổng hợp, phân tích, đánh giá

VI NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Trong chuyên đề này, chúng tôi đã cố gắng đưa ra được một hệ thống lý thuyết

và bài tập tương đối đa dạng, đầy đủ giúp học sinh tiếp cận các bài toán tổ hợp theo hướng sử dụng lý thuyết đồ thị đặc biệt là đồ thị lưỡng phân và đồ thị phẳng

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

I Đỉnh, cạnh, bậc của đỉnh

Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị là một tập hợp hữu hạn các điểm (gọi là các đỉnh của

đồ thị) cùng với tập hợp các đoạn đường cong hay thẳng (gọi là cạnh của đồ thị) có đầu mút tại các đỉnh của đồ thị Kí hiệu G=(V E, ) với V là tập đỉnh và E  V V

là tập cạnh

Định nghĩa 1.1.2 Hai đỉnh được gọi là kề nhau nếu có 1 cạnh nối 2 đỉnh này

Kí hiệu cạnh nối 2 đỉnh u và v là e=( )u v, , nói chung ( v u, ) khác ( u v, ), nếu ta coi

2 cạnh này là 1 thì ta có đồ thị vô hướng, nếu coi chúng khác nhau thì ta có đồ thị

có hướng

Có thể tồn tại cạnh nối 1 điểm với chính nó, cạnh này gọi là khuyên

Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh được nối bằng

nhiều nhất một cạnh (không có hai cạnh nào cùng nổi một cặp đỉnh) gọi là một đơn

đồ thị Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh có thể nối bằng nhiều cạnh, gọi là một đa đồ thị

Định nghĩa 1.1.4 Một đồ thị đầy đủ với n đỉnh, kí hiệu là K n, là đơn đồ thị vô hướng mà giữa hai đỉnh bất kì của nó luôn có cạnh nối, khi đó có tất cả 2

n

C cạnh

Ví dụ:

Định nghĩa 1.1.5 Với U là tập con của tập các đỉnh, kí hiệu G U là đồ thị con ( )

của G, thu được khi ta xóa tất cả các đỉnh nằm ngoài U, chỉ giữ lại các cạnh mà cả

2 đầu mút thuộc U

Định nghĩa 1.1.6 Trong đồ thị vô hướng G V E( , ), kí hiệu d v hoặc ( ) deg v cho ( )

bậc của đỉnh v, là số cạnh mà v là đầu mút Một khuyên được tính 2 lần cho đỉnh

Một điểm gọi là chẵn nếu nó có bậc chẵn và được gọi là lẻ nếu nó có bậc lẻ Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập Đỉnh bậc 1 được gọi là đỉnh treo

Ví dụ: Đồ thị dưới đây có d v( )1 =4,d v( )2 =6,d v( )3 =1,d v( )4 =3,d v( )5 = 4

Mệnh đề 1.1.7 Trong một đồ thị có nhiều hơn 1 đỉnh luôn có 2 đỉnh có cùng bậc

Chứng minh

Xét G V E có n đỉnh, khi đó bậc của mỗi đỉnh sẽ là số tự nhiên nhỏ hơn n, hơn ( , )

nữa không tồn tại 2 đỉnh mà bậc của chúng tương ứng là 0 và n − (Có đỉnh bậc 11

n − có nghĩa nó nối với tất cả các đỉnh khác nên không còn đỉnh bậc 0)

Nếu không tồn tại 2 đỉnh cùng bậc thì bậc của các đỉnh này nhận tất cả các giá trị 0,1, 2, ,n − , mâu thuẫn với nhận xét trên Ta có điều chứng minh 1

Định lý 1.1.8 (Bổ đề bắt tay) Trong một đồ thị vô hướng G V E( , ) tùy ý tổng bậc của tất cả các đỉnh gấp đôi số cạnh của đồ thị:

Hệ quả 1.1.9 Trong một đồ thị vô hướng G V E( , ) tùy ý số đỉnh bậc lẻ luôn là một

Định nghĩa 1.1.11 Nếu e=( )u v, là cung của đồ thị có hướng G thì ta nói hai đỉnh

u và v là kề nhau, và nói cung ( )u v, nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói cung này đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v Đỉnh u (v) sẽ được gọi là đỉnh đầu (cuối) của cung ( )u v, Ta gọi bậc ra (bậc vào) của đỉnh v trong đồ thị có hướng là số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu là deg v+ và deg v−

II Đường đi, chu trình, cây

Định nghĩa 1.2.1 Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v trên đồ thị vô hướng

( , )

mút) x x0, , ,1 x n−1,x n, trong đó n là số nguyên dươngx0 =u x, n =v, (x x i; i+1)E

 = − Đường đi như trên còn có thể biểu diễn thành dãy các cạnh (x x0 ; 1),

(x x1 ; 2) (, , x n−1 ;x n) Đỉnh u là đỉnh đầu, đỉnh v là đỉnh cuối của đường đi Đường

đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (u=v) được gọi là chu trình

Đường đi hay chu trình được gọi là sơ cấp nếu như không đi qua đỉnh nào hai lần trở lên

Đường đi hay chu trình được gọi là đơn giản nếu như không đi qua cạnh nào hai lần trở lên

Khái niệm đường đi và chu trình trên đồ thị có hướng được định nghĩa hoàn toàn tương tự, chỉ có điều khác biệt duy nhất là ta phải chú ý tới các cung của đồ thị

Ví dụ Với đồ thị bên, ta có đường đi v1,v2,v6,v5,v3, đường đi này có độ dài là 4 và

có thể kí hiệu là e1,e6,e5,e4

Định nghĩa 1.2.2 Khoảng cách giữa 2 đỉnh a và b là độ dài của đường đi ngắn

nhất nối 2 đỉnh này, kí hiệu d a b Quy ước ( ), d a a = Nếu không có đường đi ( ), 0

nối a, b thì quy ước d a b =  ( ),

Ví dụ Ở đồ thị trên ta có d v v( 1, 3)=4,d v v( 3, 4)= 1

Định nghĩa 1.2.3 Đường kính của đồ thị G là khoảng cách lớn nhất giữa 2 đỉnh

của đồ thị, kí hiệu d G Nếu đồ thị có 2 điểm a, b mà ( ) d a b =  thì quy ước ( ),

( )

d G = 

Ví dụ Đồ thị bên trên có đường kính là 4

Định nghĩa 1.2.4 Trên đồ thị vô hướng G V E( , ) , hai đỉnh u và vđược gọi là liên thông nếu có một đường đi nối u và v Đồ thị vô hướng G V E( , ) được gọi là liên

thông nếu với mọi cặp đỉnh của G là liên thông

Định lý 1.2.5 Với G V E là liên thông thì ( , ) E V − 1

Ta chứng minh quy nạp theo số đỉnh n của đồ thị

Với n =1, 2 ta thấy điều cần chứng minh

Giả sử bài toán đúng với đồ thị N đỉnh, nghĩa là có ít nhất N − cạnh 1

Xét G V E có ( , ) N + đỉnh và liên thông, suy ra bậc của mỗi đỉnh đều lớn hơn 0 1

=  , suy ra E  , có điều chứng minh N

Trường hợp 2 : Giả sử có đỉnh A của đồ thị có bậc 1, xét đồ thị con G'= −G  A

(bỏ A và cạnh mà A là đầu mút) Dễ thấy G là liên thông và có N đỉnh và ' E − 1cạnh Theo giả thiết quy nạp với G ta có ' E −  − 1 N 1 E (N + − , có điều 1) 1chứng minh

Mệnh đề 1.2.6 Cho đồ thị G V E( , ) Các đỉnh của đồ thị có thể phân hoạch thành các tập V V1, 2, ,V r mà các đồ thị con G V là liên thông và không có cạnh nào nối ( )i

cặp điểm ở 2 tập khác nhau Chúng được gọi là các thành phần liên thông của G

Đồ thị G V E( , ) là liên thông khi và chỉ khi G có duy nhất một thành phần liên thông

Định nghĩa 1.2.7 Cho đồ thị G V E( , ) và vV V' là tập hợp các đỉnh của V liên thông với v, E' là tập hợp các cạnh nối 2 đỉnh của V' Khi đó đồ thị G V E'( ', ') gọi

là thành phần liên thông của G chứa v Đương nhiên nếu v và u liên thông trong

G thì thành phần liên thông của G chứa v cũng là thành phần liên thông chứa u

Định nghĩa 1.2.8 Đồ thị có hướng G V E( , ) được gọi là liên thông mạnh nếu có đường đi từ a đến b và từ b đến a với  a b V,  Đồ thị có hướng G V E( , ) được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng của nó là liên thông

Định nghĩa 1.2.9 Một rừng là một đồ thị không nhất thiết liên thông và không có

chu trình

Định nghĩa 1.2.10 Một cây là một đồ thị liên thông và không có chu trình

Định lý 1.2.11 Một cây bất kì luôn chứa đỉnh có bậc 1, đỉnh này được gọi là lá

Chứng minh

Giả sử tất cả các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 Xét đường đi bất kì

(v v1, , ,2 v n)(n 2) Nếu v nối với 1 trong các đỉnh n v1, ,v n−2 thì ta có 1 chu trình, mâu thuẫn

Nếu không thì v phải nối với 1 đỉnh khác n v n+1 Tiếp tục quá trình thì đồ thị sẽ có

vô hạn đỉnh, mâu thuẫn

Hệ quả 1.2.12 Từ kết quả trên suy ra nếu đồ thị có bậc mỗi đỉnh đều lớn hơn hoặc

A A A A Nhận thấy nếu loại bỏ cạnh A A đồ thị mới vẫn liên thông, tuy nhiên 1 2

lúc này nó chỉ có n − cạnh, mâu thuẫn với 2 E  V − , do G liên thông 1

Ngược lại, do mọi cây đều có đỉnh bậc 1, bỏ đỉnh này khỏi đồ thị, khi đó ta có 1 cây mới mà số đỉnh và số cạnh cùng giảm đi 1 Bằng quy nạp theo số đỉnh ta có điều chứng minh

Định lý 1.2.15 Nếu bỏ đi một cạnh bất kì của cây thì nó không liên thông

Chứng minh

Giả sử cây có n đỉnh, theo kết quả trên thì nó có n − cạnh Nếu bỏ đi 1 cạnh thì 1

nó còn n − cạnh Cũng theo kết quả trên thì nó không còn là cây Việc bỏ đi một 2cạnh sẽ không làm xuất hiện chu trình nào, suy ra nó không liên thông

Định lý 1.2.16 Nếu đồ thị G không có chu trình, có n đỉnh và n − cạnh thì nó là 1một cây

Chứng minh

Ta cần cần chứng minh G liên thông

Phân hoạch G thành các thành phần liên thông, giả sử có k thành phần liên thông

Ta tạo ra k − cạnh mới bằng cách nối thành phần liên thông thứ 1 với thứ 2 (lấy 1 1

đỉnh ở 1 nối với 1 đỉnh ở 2), làm đến thành phần liên thông thứ k Khi đó ta sẽ

được đồ thị mới liên thông và không có chu trình (mỗi thành phần liên thông

không có chu trình và cách nối không tạo ra chu trình), suy ra đồ thị mới này là 1 cây Theo kết quả trên, số cạnh của cây này là n − , suy ra 1 k = , nghĩa là đồ thị 1ban đầu liên thông, ta có điều chứng minh

Định lý 1.2.17 Giữa 2 đỉnh A, B bất kì trong một cây có đúng một đường đi

Chứng minh

Do cây là một đồ thị liên thông nên giữa A, B có ít nhất 1 đường đi

Giả sử còn 1 đường đi nữa nối A, B Ta thấy chỉ xảy ra 1 trong 3 trường hợp như

hình dưới đây, khi đó cây này có chu trình, mâu thuẫn

Vậy giả sử sai, có điều chứng minh

Nhận xét:

1 Nếu ta nối 2 đỉnh không kề nhau trong cây thì sẽ thu được 1 chu trình Khi đó

nếu đồ thị G có n đỉnh và ít nhất n cạnh thì nó có chu trình

2 Kết quả mạnh hơn được đưa ra bởi Erdos: Một đồ thị có n đỉnh và số cạnh ít

Thật vậy, trước hết khẳng định đồ thị có 1 chu trình, ta xóa 1 cạnh của chu trình

này thì đồ thị còn lại có n cạnh, khi đó có 1 chu trình khác Vậy nó có ít nhất 2 chu

trình

4 Nếu tất cả các đỉnh có bậc ít nhất là d thì có 1 đường đi có độ dài ít nhất là d + 1

III Đường đi Euler và Hamilton

Định nghĩa 1.3.1 Cho một đa đồ thị G Đường đi qua tất cả các cạnh của đồ thị

mỗi cạnh đúng một lần được gọi là đường đi Euler Chu trình bắt đầu tại một đỉnh

v nào đó qua tất cả các cạnh của đồ thị mỗi cạnh đúng một lần sau đó quay trở lại

v được gọi là chu trình Euler

Định lý 1.3.2 Một đa đồ thị G có một chu trình Euler khi và chỉ khi G liên thông

và mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn

Chứng minh

Dễ thấy, một đồ thị có chu trình Euler phải liên thông và mỗi đỉnh có bậc chẵn Thật vậy, khi chu trình Euler tới một đỉnh thì nó cũng phải rời khỏi đó Vậy mỗi lần chu trình Euler tới một đỉnh, nó nhất định sẽ đi qua hai cạnh nhận đỉnh đó làm đầu mút Khi quay trở lại điểm xuất phát, chu trình Euler đã đi qua một số cạnh chẵn ở mỗi đỉnh

Ngược lại, khi G liên thông và mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn Ta sẽ xây dựng

một chu trình Euler cho một đồ thị có V = n đỉnh

Với n= 2, dễ thấy G gồm hai đỉnh u và v được nối với nhau bằng một số chẵn cạnh, ta dễ dàng chỉ ra một chu trình Euler đi từ u tới vrồi quay lại trở về u

Với n 2, chọn một đỉnh u làm đỉnh xuất phát và chọn một đường đi tùy ý để quay lại đỉnh u Do bậc của tất cả các đỉnh đều chẵn nên quá trình trên luôn diễn ra

và ta không bị mắc kẹt tại bất cứ đỉnh nào, do nếu ra có thể đi vào một đỉnh từ một cạnh nào đó, ta luôn có thể đi ra bằng một cạnh khác

Gọi E u là tập tất cả các cạnh sau vòng lặp đầu tiên, xét đồ thị con G’ của G gồm

tập cạnh là E \ E u mà không có đỉnh nào bị cô lập, mỗi đỉnh trong đồ thị này đều có bậc chẵn và tổng số đỉnh của đồ thị không vượt quá n Bằng quy nạp, ta có thể xây

dựng được chu trình Euler cho mỗi thành phần liên thông của đồ thị con G’ Mặt khác, do G liên thông nên ta có thể kết nối các chu trình Euler vừa xây dựng trên

đồ thị con và trên chu trình E u , tạo ra một chu trình Euler trên G

Ta có thể minh họa quá trình trên bởi một ví dụ sau:

- Xét đồ thị G liên thông gồm tất cả các đỉnh có bậc chẵn như hình vẽ, dễ thấy ta có

thể tạo ra một chu trình E b xuất phát từ b và quay trở lại b: b,c,f

- Khi đó, xét đồ thị con của đồ thị đã cho sau khi đã bỏ đi tất cả các cạnh của chu trình đầu tiên:

- Ta có thể tạo ra các chu trình Euler trên mỗi thành phần liên thông của đồ thị con: cdabe và fgh

- Kết nối với chu trình E b ban đầu ta thu được một chu trình Euler trên đồ thị G:

Hệ quả 1.3.3 Một đa đồ thị G có một đường đi Euler từ đỉnh u tới đỉnh vkhi và

chỉ khi G liên thông và mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn, trừ u và vcó bậc lẻ

Định nghĩa 1.3.4 Cho một đa đồ thị G Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị

mỗi đỉnh đúng một lần được gọi là đường đi Hamilton Chu trình bắt đầu tại một đỉnh v nào đó qua tất cả các đỉnh còn lại mỗi đỉnh đúng một lần sau đó quay trở lại

v được gọi là chu trình Hamilton Đồ thị được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó chứa chu trình Hamilton Đồ thị chứa đường đi Hamilton được gọi là đồ thị nửa

Chọn bất kỳ hai đỉnh bất kỳ của G chưa được nối bởi một cạnh và thêm một cạnh

mới vào giữa chúng Tiếp tục làm như vậy cho đến khi chúng ta đạt được đồ thị

Gl có chu trình Hamilton (Quá trình này phải dừng lại vì cuối cùng chúng ta sẽ đạt được đồ thị đầy đủ n đỉnh, rõ ràng là có chu trình Hamilton.)

Đặt G̃ là đồ thị thu được ngay trước Gl và giả sử (x, y) là cạnh được thêm vào G̃

để thu được Gl

Gọi z1, z2, z3, … , zn, z1 là đường đi Hamilton khép kín trong 𝐺𝑙 Đường này phải sử dụng cạnh (x, y) tại một nút (nếu không 𝐺̃ sẽ có chu trình Hamilton) Không mất tổng quát, giả sử (z1, zn) = (𝑥, 𝑦) thì z1, z2, z3, … , zn là đường đi Hamilton không đóng trong 𝐺̃

Hơn nữa, ta có 𝑛 ≥ 3 vì nếu 𝑛 = 2 thì bước đầu tiên là (𝑥, 𝑦) và bước thứ hai là (𝑦, 𝑥), nghĩa là ta đã đi qua một cạnh hai lần

Hệ quả 1.3.5 (Định lý Dirac) Nếu G là đơn đồ thị có n đỉnh (n 3) và mỗi đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn

2

n thì G có một chu trình Hamilton

Hệ quả 1.3.6 Nếu G là đơn đồ thị có n đỉnh (n 3) và mỗi đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn

2

1

−

n

thì G có một đường đi Hamilton

IV Tô màu đồ thị

Định nghĩa 1.4.1 Số màu (sắc số) của graph là số nhỏ nhất của số màu cần thiết

để tô các đỉnh sao cho không có 2 đỉnh kề nhau được tô cùng màu

Số màu của graph luôn nhỏ hơn hoặc bằng đỉnh lớn nhất cộng thêm 1

CHƯƠNG 2 ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN

I Đồ thị lưỡng phân

Định nghĩa 2.1.1: Một đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸) được gọi là đồ thị lưỡng phân nếu tập hợp

các đỉnh 𝑉 có thể phân thành hai tập con khác rỗng 𝑉1 và 𝑉2, 𝑉1∩ 𝑉2 = ∅ sao cho

không có cạnh nào nối hai đỉnh trong cùng một tập

Ví dụ:

Định nghĩa 2.1.2: Một đồ thị 𝐺 = (𝑉1 ∪ 𝑉2, 𝐸) được gọi là đồ thị lưỡng phân đầy

đủ 𝐾𝑚,𝑛 nếu |𝑉1| = 𝑚, |𝑉2| = 𝑛 và mọi đỉnh của 𝑉1 được nối với mọi đỉnh của 𝑉2

Ví dụ:

Tính chất 2.1.3:

+) Một đồ thị là lưỡng phân khi và chỉ khi có thể tô bằng nó bằng hai màu

+) Mỗi đồ thị con của một đồ thị lưỡng phân là một đồ thị lưỡng phân

+) Mỗi cây là một đồ thị lưỡng phân

Định lý 2.1.4 (Định lý Koenig): Một đồ thị là đồ thị lưỡng phân khi và chỉ khi mọi

chu trình của nó có độ dài chẵn

Chứng minh

+) Giả sử 𝐺 = (𝑉, 𝐸) là đồ thị lưỡng phân Khi đó, tập 𝑉 có thể phân thành hai tập con khác rỗng 𝑉1 và 𝑉2, 𝑉1∩ 𝑉2 = ∅ sao cho không có cạnh nào nối hai đỉnh trong cùng một tập

Xét một chu trình 𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛𝐴1 bất kì của 𝐺 Không mất tính tổng quát, ta giả sử

𝐴1 ∈ 𝑉1 Điều này dẫn đến 𝐴2 ∈ 𝑉2, 𝐴3 ∈ 𝑉1, … Do đó, 𝐴𝑘 ∈ 𝑉1 nếu 𝑘 lẻ, 𝐴𝑘 ∈ 𝑉2nếu 𝑘 chẵn Lại có 𝐴𝑛 ∈ 𝑉2 suy ra 𝑛 là số chẵn Do đó chu trình có độ dài chẵn +) Giả sử mọi chu trình của 𝐺 đều có độ dài chẵn Ta sẽ chứng minh mọi thành phần liên thông của 𝐺 là đồ thị lưỡng phân và do đó 𝐺 cũng là đồ thị lưỡng phân

Không mất tính tổng quát, xét thành phần liên thông 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1) bất kì của 𝐺,

Ta có 𝑋 ∩ 𝑌 = ∅ Thật vậy, nếu tồn tại đỉnh 𝐵 ∈ 𝑋 ∩ 𝑌 thì tồn tại một chu trình đi

từ 𝐴 đến 𝐵 sau đó quay lại 𝐴 có độ dài lẻ (mâu thuẫn)

Hơn nữa, 𝐺1 liên thông nên luôn tồn tại một đường đi từ 𝐴 đến mọi đỉnh 𝐴′ ∈ 𝑉1 Điều này dẫn tới 𝑋 ∪ 𝑌 = 𝑉1 và do đó, 𝐺1 là đồ thị lưỡng phân

II Định lý Hall

Định lý 2.2.1 Hall: Cho đồ thị lưỡng phân 𝐺 = (𝑉1∪ 𝑉2, 𝐸) Với mỗi tập con 𝑆 của

𝑉1, gọi 𝑁𝐺(𝑆) là tập các đỉnh thuộc 𝑉2 kề với một đỉnh nào đó thuộc 𝑆 Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại một đơn ánh 𝑓: 𝑉1 → 𝑉2 sao cho 𝑣 kề với 𝑓(𝑣) là

|𝑁𝐺(𝑆)| ≥ |𝑆| ∀ 𝑆 ⊂ 𝑋

Chứng minh

+) Giả sử tồn tại một đơn ánh 𝑓: 𝑉1 → 𝑉2 sao cho 𝑣 kề với 𝑓(𝑣)

Dễ thấy, với mọi tập con 𝑆 ⊂ 𝑉1 ta có |𝑁𝐺(𝑆)| ≥ |𝑓(𝑆)| = |𝑆|

+) Giả sử với mọi tập con 𝑆 ⊂ 𝑉1 ta có |𝑁𝐺(𝑆)| ≥ |𝑆|

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo |𝑉1|

Với |𝑉1| = 1, ta thấy |𝑁𝐺(𝑉1)| ≥ |𝑉1| = 1 nên với 𝑥 ∈ 𝑉1 tồn tại đỉnh 𝑦 ∈ 𝑉2 sao cho 𝑥 kề với 𝑦 Do đó 𝑓: 𝑉1 → 𝑉2 sao cho 𝑓(𝑥) = 𝑦 là đơn ánh thỏa mãn

Giả sử mệnh đề đúng với |𝑉1| < 𝑚 Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với |𝑉1| = 𝑚

Ta xét hai trường hợp sau:

Ta xóa các đỉnh thuộc 𝑋, 𝑁𝐺(𝑋) và các cạnh liên quan khỏi đồ thị 𝐺 ta thu được đồ thị con lưỡng phân 𝐺′ = (𝑉1′ ∪ 𝑉2′, 𝐸′) với 𝑉1′ = 𝑉1\𝑋, 𝑉2′ = 𝑉2\𝑁𝐺(𝑋)

Với mọi tập con 𝑆 ⊂ 𝑉1′, ta có |𝑁𝐺′(𝑆)| ≥ |𝑆| Thật vậy, nếu |𝑁𝐺′(𝑆)| < |𝑆| thì

|𝑁𝐺(𝑋 ∪ 𝑆)| = |𝑁𝐺(𝑋)| + |𝑁𝐺′(𝑆)| < |𝑋| + |𝑆| = |𝑋 ∪ 𝑆| (mâu thuẫn)

Hơn nữa, do |𝑉1′| < 𝑚 nên tồn tại một đơn ánh đi từ 𝑓2: 𝑉1′ → 𝑉2′ sao cho sao cho 𝑣

kề với 𝑓2(𝑣)

Khi đó, ta có đơn ánh 𝑓: 𝑉1 → 𝑉2 xác định bởi 𝑓(𝑥) = {𝑓1(𝑥) nếu 𝑥 ∈ 𝑋

𝑓2(𝑥)nếu 𝑥 ∉ 𝑋

Hệ quả 2.2.2: Cho đồ thị lưỡng phân 𝐺 = (𝑉1∪ 𝑉2, 𝐸) Nếu tồn tại số nguyên dương

𝑘 sao cho 𝑑(𝑥) ≥ 𝑘 ≥ 𝑑(𝑦) ∀𝑥 ∈ 𝑉1, 𝑦 ∈ 𝑉2 thì tồn tại một đơn ánh 𝑓: 𝑉1 → 𝑉2 sao cho 𝑥 kề với 𝑓(𝑥)

Chứng minh

Với mọi tập 𝑆 ⊂ 𝑉1, ta thấy có ít nhất 𝑘|𝑆| cạnh nối từ các đỉnh trong 𝑆 với các đỉnh trong 𝑉2 Mà với mỗi đỉnh 𝑦 ∈ 𝑉2 nối được nhiều nhất 𝑘 cạnh, do đó |𝑁𝐺(𝑆)| ≥ |𝑆| Khi đó, theo định lý Hall ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 2.2.3: Cho đồ thị lưỡng phân 𝐺 = (𝑉1∪ 𝑉2, 𝐸) và số nguyên 𝑑 không âm Giả sử với mọi tập con khác rỗng 𝑆 của 𝑉1, ta có |𝑁𝐺(𝑆)| ≥ |𝑆| − 𝑑 Khi đó, tồn tại một đơn ánh 𝑓: 𝑋 → 𝑉2 với 𝑋 ⊂ 𝑉1, |𝑋| ≥ |𝑉1| − 𝑑 thỏa mãn 𝑓(𝑥) kề với 𝑥

Chứng minh

Với 𝑑 = 0, mệnh đề đã cho chính là định lý Hall

Với 𝑑 > 0, ta thêm 𝑑 đỉnh vào tập 𝑉2 ta được tập 𝑉′2, từ mỗi đỉnh trong 𝑑 đỉnh này

ta nối với tất cả các đỉnh trong 𝑉1 Khi đó, ta thu được đồ thị mới 𝐺′ = (𝑉1∪ 𝑉2′, 𝐸′)

III Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.3.1 (Bulgarian autumn competition 2023) Cho một đồ thị lưỡng phân

đầy đủ 𝐺 = (𝐴 ∪ 𝐵, 𝐸), trong đó |𝐴| = 𝑘𝑚, |𝐵| = 𝑘𝑛 với 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ Người ta tô các cạnh trong 𝐸 bởi 𝑘 màu Chứng minh rằng tồn tại một màu 𝑐 và một tập 𝑆 có ít nhất 𝑚 + 𝑛 đỉnh sao cho giữa hai đỉnh trong 𝑆 luôn có một đường đi mà tất cả các cạnh trong đó đều có màu 𝑐

Lời giải

Gọi 𝑐 là màu được tô nhiều nhất Do đồ thị 𝐺 có 𝑘2𝑚𝑛 cạnh nên số cạnh được tô màu 𝑐 lớn hơn hoặc bằng 𝑘𝑚𝑛 Thực hiện xóa đi tất cả các cạnh có màu khác, ta thu được đồ thị mới 𝐺′ Khi đó, ta sẽ chỉ ra 𝐺′ = (𝐴 ∪ 𝐵, 𝐸′) có một thành phần liên thông có ít nhất 𝑚 + 𝑛 đỉnh Để chứng minh điều này, ta sẽ chỉ ra tồn tại hai đỉnh 𝑎 ∈ 𝐴 và 𝑏 ∈ 𝐵 sao cho 𝑎𝑏 ∈ 𝐸′ và 𝑑(𝑎) + 𝑑(𝑏) ≥ 𝑚 + 𝑛

Giả sử với mọi cạnh 𝑎𝑏 ∈ 𝐸′ ta có 𝑑(𝑎) + 𝑑(𝑏) < 𝑚 + 𝑛 Khi đó

Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.3.2 Cho đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸) với |𝑉| hữu hạn Đỉnh 𝑣 được gọi là “vua” nếu 𝑑(𝑣) > 𝑑(𝑤) với mọi đỉnh 𝑤 kề với 𝑣 Gọi 𝐾(𝐺) là tập các đỉnh “vua” trong 𝐺 Chứng minh rằng |𝐾(𝐺)| < |𝑉|

2 Hãy chỉ ra một ví dụ thỏa mãn lim

|𝑉|→∞

|𝐾(𝐺)|

|𝑉| = 1

2

Lời giải

Trước hết, ta sẽ chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Cho đồ thị lưỡng phân 𝐺 = (𝑉1 ∪ 𝑉2, 𝐸) không có đỉnh cô lập với |𝑉2| >

|𝑉1| Khi đó, tồn tại hai đỉnh 𝑎 ∈ 𝑉1 và 𝑏 ∈ 𝑉2 kề nhau sao cho 𝑑(𝑎) > 𝑑(𝑏)

Ta thấy hai đỉnh “vua” không thể kề nhau, nên không có cạnh nào giữa hai đỉnh bất

kì trong 𝑉2 Ta thực hiện xóa đi các cạnh giữa các cặp đỉnh trong 𝑉1, khi đó ta thu được đồ thị lưỡng phân 𝐺′(𝑉1∪ 𝑉2, 𝐸′) Áp dụng bổ đề trên, ta thấy tồn tại 𝑎 ∈ 𝑉1,

𝑏 ∈ 𝑉2 sao cho 𝑑𝐺′(𝑎) > 𝑑𝐺′(𝑏) Điều này dẫn đến 𝑑𝐺(𝑎) > 𝑑𝐺(𝑏), mâu thuẫn do đỉnh 𝑏 là “vua”

Do đó, ta có |𝑉2| ≤ |𝑉1|, suy ra |𝐾(𝐺)| ≤ |𝑉| − |𝐾(𝐺)| Vậy |𝐾(𝐺)| <|𝑉|

2 Xét đồ thị lưỡng phân đầy đủ 𝐺 = (𝑉1∪ 𝑉2, 𝐸) sao cho |𝑉1| = 𝑛 − 1, |𝑉2| = 𝑛

1

2

Ví dụ 2.3.3 (Bulgarian tournament 2022) Cho đồ thị 𝐺 có 𝑛 đỉnh Người ta chọn

𝑥 cạnh trên đồ thị 𝐺 sơn màu đỏ sao cho mỗi tam giác đều có nhiều nhất một cạnh màu đỏ Biết rằng giá trị lớn nhất của 𝑛 sao cho 𝐺 có một đồ thị con lưỡng phân có

𝑦 đỉnh Chứng minh rằng 𝑛 ≥ 4𝑥/𝑦

Lời giải

Gọi 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 là các đỉnh của đồ thị 𝐺 và 𝑥𝑖 là số cạnh được sơn màu đỏ có một đầu mút là 𝑣𝑖 Khi đó ta có 𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛 = 2𝑥

Kí hiệu 𝑁𝑟(𝑣𝑖) là tập các đỉnh được nối với đỉnh 𝑣𝑖 bằng một cạnh màu đỏ Khi đó

|𝑁𝑟(𝑣𝑖)| = 𝑥𝑖 Hơn nữa, hai đỉnh bất kì trong 𝑁𝑟(𝑣𝑖) không kề nhau, do nếu tồn tại hai đỉnh 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑁𝑟(𝑣𝑖) kề nhau thì tam giác tạo bởi ba đỉnh 𝑢, 𝑣, 𝑣𝑖 có 2 cạnh màu

đỏ (mâu thuẫn)

Rõ ràng nếu hai đỉnh 𝑣𝑝 và 𝑣𝑞 kề nhau thì 𝑁𝑟(𝑣𝑝) ∩ 𝑁𝑟(𝑣𝑞) = ∅ Thật vậy, nếu tồn tại đỉnh 𝑣 ∈ 𝑁𝑟(𝑣𝑝) ∩ 𝑁𝑟(𝑣𝑞) thì tam giác tạo bởi 3 đỉnh 𝑣𝑝, 𝑣𝑞, 𝑣 có hai cạnh màu đỏ là 𝑣𝑝𝑣 và 𝑣𝑞𝑣 (mâu thuẫn)

Gọi 𝐸𝑟 là tập các cạnh được sơn màu đỏ Ta sẽ chứng minh tồn tại hai tập phân biệt

= ∑ 𝑥𝑖2

𝑛 𝑖=1

≥(𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛)2

|𝐸𝑟| = 1

2(𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛) nên tồn tại 𝑣𝑖0 𝑣𝑗0 ∈ 𝐸𝑟 sao cho |𝑁𝑟(𝑣𝑖0) ∪ 𝑁𝑟(𝑣𝑗0)| ≥ 2(𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛)/𝑛 Khi đó, đồ thị con của 𝐺 với tập đỉnh 𝑁𝑟(𝑣𝑖0) ∪ 𝑁𝑟(𝑣𝑗0) là đồ thị lưỡng phân Do

đó 𝑦 ≥ |𝑁𝑟(𝑣𝑖) ∪ 𝑁𝑟(𝑣𝑗)| ≥ 4𝑛/𝑥 Vậy 𝑛 ≥ 4𝑥/𝑦

Ví dụ 2.3.4 (Bulgarian TST 2020) Ivan chơi một trò chơi trên bàn cờ vua kích

thước 𝑛 × 𝑛 Anh ta đặt liên tiếp các con cờ lên bàn cờ sao cho ở mỗi lượt ô vuông (𝑖, 𝑗) được chọn để đặt phải trống và có đúng chẵn con cờ nằm trên hàng 𝑖 và cột 𝑗 Trò chơi sẽ dừng lại khi Ivan không thể đặt tiếp các con cờ Tìm số con cờ nhỏ nhất nằm trên bàn sau khi trò chơi kết thúc

Lời giải

Xét đồ thị lưỡng phân 𝐺 = (𝑅 ∪ 𝐶, 𝐸) với 𝑅 là tập hợp các đỉnh đại diện cho các hàng và 𝐶 là tập hợp các đỉnh đại diện cho các cột Các cạnh trong 𝐸 có dạng 𝑟𝑐 với 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑐 ∈ 𝐶 Ta có thể coi cạnh 𝑟𝑐 là ô (𝑟, 𝑐)

Khi đó, trò chơi của Ivan như sau:

+) Ban đầu, đồ thị 𝐺 không có cạnh nào

+) Ở mỗi lượt chơi, 𝐺 sẽ có thêm một cạnh nối đỉnh 𝑟 ∈ 𝑅 với đỉnh 𝑐 ∈ 𝐶 sao cho trước đó 𝑟 chưa được nối với 𝑐 và 𝑑(𝑟) + 𝑑(𝑐) là số chẵn

Ta cần tìm số cạnh nhỏ nhất khi trò chơi kết thúc

Ta thấy, sau mỗi lượt chơi, số đỉnh có bậc chẵn (lẻ) trong 𝑅 và 𝐶 bằng nhau Thật vậy, do ban đầu số đỉnh có bậc chẵn (lẻ) trong 𝑅, 𝐶 bằng nhau và khi mỗi cạnh mới được nối, sẽ làm tăng hoặc giảm 1 đỉnh có bậc chẵn trong 𝑅 và 𝐶

Sau khi trò chơi kết thúc, gọi 𝑅1, 𝑅2 là tập các đỉnh có bậc chẵn, bậc lẻ trong 𝑅 và

𝐶1, 𝐶2 là tập các đỉnh có bậc chẵn, bậc lẻ trong 𝐶 Đặt |𝑅1| = |𝐶1| = 𝑝, |𝑅2| =

|𝐶2| = 𝑞

Do không thể nối thêm một cạnh nào nữa, nên mọi cặp (𝑟, 𝑐) với 𝑟 ∈ 𝑅𝑖, 𝑐 ∈ 𝐶𝑖,

𝑖 = 1,2̅̅̅̅ đều được nối với nhau Điều này dẫn đến |𝐸𝐺| ≥ 𝑝2+ 𝑞2 (1)

Lại có 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 Ta xét hai trường hợp sau:

+) Nếu 𝑛 = 2𝑘 + 1 thì từ (1) suy ra |𝐸𝐺| ≥ 𝑘2+ (𝑘 + 1)2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝑝 = 𝑘, 𝑞 = 𝑘 + 1 hoặc 𝑝 = 𝑘 + 1, 𝑞 = 𝑘

Ta sẽ chỉ ra một chiến lược chơi thỏa mãn Ban đầu, chia các tập 𝑅 thành các tập

𝑅1, 𝑅2 và 𝐶 thành các tập 𝐶1, 𝐶2 sao cho |𝑅1| = |𝐶1| = 𝑘, |𝑅2| = |𝐶2| = 𝑘 + 1 Do