skkn cấp tỉnh một số ứng dụng của toán học lớp 10 vào giải quyết các bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC LỚP 10VÀO GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Người thực hiện: Lê Thị Hương...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC LỚP 10VÀO GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Lê Thị Hương

MỤC LỤC

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lý do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………… 3

2.3 Một số ứng dụng của toán học vào giải quyết bài toán thực tế

3 2.3.1 Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết các bài toán thực tế……… 3

2.3.1.1 Kiến thức cơ sở……… 3

2.3.1.2 Các bài tập vận dụng ……… 4

2.3.2 Ứng dụng của hệ thức lượng trong tam giác vào giải quyết các bài toán thực tế……… 10

2.3.2.1 Kiến thức cơ sở ……… 10

2.3.2.2 Các bài tập vận dụng ……… 10

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……… 17

3 Kết luận và kiến nghị……… 18

3.1 Kết luận……… 18

3.2 Kiến nghị……… 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Xã hội ngày càng phát triển, chúng ta đang tiến tới cuộc cách mạng 4.0:

Tự động hóa, Trí tuệ nhân tạo,… Hàng loạt các nghề nghiệp sẽ không còn cầnthiết hoặc nhu cầu giảm đi một cách đáng kể, song Toán học lại cần thiết hơnbao giờ hết, sinh viên ngành Toán lại được coi trọng bởi cơ sở của toàn bộ các lýthuyết Tin học, Trí tuệ nhân tạo… chính là Toán học Vấn đề là cần toán như thếnào, cần toán kiểu gì? Bởi thế chúng ta cần hướng tới dạy và học toán đáp ứngnhu cầu Toán học của thời đại mới

Toán học có quan hệ mật thiết với thực tiễn, có ứng dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học công nghệ cũng như trong đời sống sảnxuất và sinh hoạt Nhiều lĩnh vực Toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn, sau khiđược phát triển hoàn thiện Toán học trở lại giải quyết vấn đề thực tiễn Với vaitrò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu với mọi ngành khoa học, góp phần làmcho đời sống kinh tế xã hội ngày càng phát triển, hiện đại

Những ứng dụng của Toán học phổ thông vào thực tiễn trong chươngtrình sách giáo khoa cũng như trong thực tế dạy học toán chưa được quan tâmmột cách đúng mức và thường xuyên Chương trình học bộ môn Toán chủ yếutập trung vào nội bộ Toán học, các ứng dụng của Toán học vào thực tiễn khôngđược làm rõ, ít được quan tâm Vì vậy mà học sinh học toán cảm thấy toán họcmang tính chất hàn lâm, vô bổ, xa rời thực tế Nhiều học sinh không biết học cáckhái niệm Toán học để làm gì Điều đó làm cho học sinh mất đi động cơ học tậpchủ đạo Do đó dạy học Toán cần làm cho học sinh hiểu được Toán học rất gầngũi, ở ngay xung quanh chúng ta, nó gắn liền với cuộc sống và cần rèn luyệncho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn Chính vì lẽ đótôi chọn đề tài: “Một số ứng dụng của Toán học lớp 10 vào giải quyết cácbài toán thực tế”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài giúp học sinh thấy được ý nghĩa của việc học toán thông qua mốiquan hệ giữa Toán học và Thực tiễn Đồng thời giúp học sinh tiếp cận cách vậndụng kiến thức Toán học vào giải quyết các tình huống thực tiễn, chứng minh sự

cần thiết phải quan tâm đến các bài toán thực tế trong quá trình dạy và quá trìnhhọc góp phần tạo động cơ học tập để nâng cao chất lượng và hiệu quả học tậpmôn Toán học của học sinh.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

 Thiết kế một số bài toán thực tế

 Đề xuất một số phương pháp giải quyết các bài toán thực tế bằng các kiếnthức mà học sinh đã được học

 Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa Toán học và Đời sống

 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp:

 Nghiên cứu lý luận chung

 Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

 Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

 Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

 Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong năm học

 Thời gian nghiên cứu: Năm học 2023– 2024.

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Về mặt lý luận: Đã đưa ra được hệ thống các kiến thức cơ sở và phương phápgiải các bài toán thực tế

Về mặt thực tiễn:

 Đưa ra một số tình huống thực tiễn và cách vận dụng kiến thức Toán học đểgiải quyết các tình huống thực tiễn đó

 Thông qua các tình huống thực tiễn giúp học sinh thấy được Toán học không

xa rời thực tế mà hơn thế Toán học rất gần gũi, ngay xung quanh cuộc sống sinhhoạt hằng ngày của chúng ta

 Trên cơ sở giải quyết các bài toán thực tế mà chúng tôi đưa ra sẽ giúp cho họcsinh phát triển năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các tìnhhuống trong đời sống, góp phần tạo động cơ học tập bộ môn toán, cũng như xâydựng lòng tin và niềm say mê nghiên cứu khoa học

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nhiệm vụ trung tâm trong Trường THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông, đặc biệt là bộ môn Toán học rất cần thiết, không thể thiếu trong đời sốngcủa con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiếnthức rộng, đa phần các em ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đíchgiúp học sinh giải được một số bài toán thực tế

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua quá trình giảng dạy lớp 10 nhiều năm ở Trường THPT Lương ĐắcBằng, tôi thấy học sinh thường lúng túng trước một bài toán thực tế khi họcChương “ Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” và Chương

“ Hệ thức lượng trong tam giác”, học sinh chưa hệ thống được kiến thức, khôngđịnh được hướng giải quyết, vì thế tôi đã hệ thống một số dạng bài tập yêu cầuhọc sinh phải nắm vững và từ đó có thể giải được bài toán đã nêu

Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ

rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng troán, nên giải như thế nào cho hợp

lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận cólogic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên cơ sở đóhình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán thực tế

2.3 Một số ứng dụng của toán học vào giải quyết bài toán thực tế

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến củađồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinhvới những giải pháp cụ thể giúp học sinh khắc phục những sai lầm trên và qua

đó rèn luyện kĩ năng giải các bài toán thực tế

2.3.1 Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết các bài toán thực tế

2.3.1.1 Kiến thức cơ sở

a Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

· Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương

Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

· Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phươngtrình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại

· Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

c Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

· Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F x y( ; )=ax+by, với (x y; ) làtọa độ các điểm thuộc miền đa giác A A A , tức là các điểm nằm bên trong hay1 2 nnằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó

2.3.1.2 Các bài tập vận dụng

Ví dụ 1 Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A và B Để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại A cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại

B cần 4 kg nguyên liệu và 15giờ Xưởng hiện có 200 kg nguyên liệu và có thể

hoạt động liên tục trong 50 ngày Biết rằng lợi nhuận thu được của mỗi kg sản

phẩm loại A là 400.000 đ, lợi nhuận của mỗi kg sản phẩm loại B là 300.000 đ.

Hỏi lợi nhuận cao nhất mà xưởng sản xuất có thể đạt được là bao nhiêu?

Như thế ta có hệ bất phương trình

00

2 100

x y

và tiền thuê một xe Ford là 3 triệu đồng Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại đểchi phí thấp nhất?

Lời giải

- Gọi ,x y lần lượt là số xe thuê của hãng Mitsubishi và Ford.

- Số người mà x xe hãng Mitsubishi và y xe hãng Ford có thể chở là 20 x10y(người)

- Khối lượng hàng hóa mà x xe hãng Mitsubishi và y xe hãng Ford có thể chở

x y

Lời giải

Gọi , x y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra Điều kiện:

x  , y .

Ta có hệ bất phương trình:

00

2 100

x y

Ví dụ 4 Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg

chất A và 9 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II

giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B Hỏi phảidùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất,biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấnnguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II?

Lời giải

Gọi số tấn nguyên liệu loại I, loại II được sử dụng lần lượt là ;x y (tấn).

Điều kiện: 0 x 10, 0  Khi đó chiết xuất được y 9 20x10y kg chất A

và 0,6x1,5y kg chất B Tổng số tiền mua nguyên liệu là T x y ;  4x3y

sao cho T x y ;  4x3y có giá trị nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn bởi hình vẽ

Suy ra miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác lồi ABCD, kể cả

biên Ta có 5;4 , 10;2 , 10;9 , 5;9

2

  Thử lần lượt tọa độ các điểm trên vào biểu thức T x y ;  4x3y ta được

5;4 32

T  là nhỏ nhất

Vậyx 5; y  , nghĩa là sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu4loại II thì chi phí thấp nhất

Ví dụ 5. Gia đình anh Quang trồng cà phê và hồ tiêu trên diện tích 10ha Nếu

trồng cà phê thì cần 20 công và thu về 10.000.000 đồng trên diện tích mỗi ha,nếu trồng hồ tiêu thì cần 30 công và thu 12.000.000 đồng trên diện tích mỗi ha.Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiềnnhất Biết rằng cà phê do các thành viên trong gia đình tự chăm sóc và số côngkhông vượt quá 80 , còn hồ tiêu gia đình thuê người làm với giá 100.000 đồngcho mỗi công?

Lời giải

Gọi x và y là số diện tích cà phê và hồ tiêu mà gia đình anh Quang trồng

x y , 0 Ta có: x y 10(ha)

Số công chăm sóc cà phê là: 20x80 x 4

Số tiền để thuê người trồng hồ tiêu là 30 100000 3000000y  y (đồng)

Lợi nhuận thu được là:

Biểu diễn tập nghiệm của hệ ta được

Biểu diễn tập nghiệm của hệ ta được miền OABC , với O0;0, A4;0,

4;6

B , C0;10 Xét f x y ;  tại các đỉnh của OABC  x4,y  thì6

 ; 

f x y lớn nhất và bằng 94.000.000 đồng Vậy trồng 4 ha cà phê, 6 ha hồ tiêu.

Ví dụ 6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị prôtein và 200 đơn vị lipit Mỗi kilôgam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị prôtein và 400 đơn vị lipit Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 225 nghìn đồng, 1kg thịt lợn là 115 nghìn đồng Gia đình

đó phải mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để chi phí ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng prôtein và lipit trong thức ăn?

Lời giải

Giả sử, gia đình đó mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn

Theo giả thuyết, x và y thỏa mãn điều kiện: 0 x 1,6 và 0 y 1,1

Khi đó chi phí mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn là: T x y ;  225x115y

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền bên trong của tứ giác lồi ABCD

và cả biên (như hình vẽ)

 ; 

T x y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

Ta có A1,6;1,1, B1,6;0, 2, C0,6;0,7 và D0,3;1,1.

Kiểm tra được x 0,3 và y  thì 1,1 T x y  ;  194 (nghìn đồng) là nhỏ nhất.

Vậy gia đình đó mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn thì chi phí là ít nhất

b Định lý sin Trong tam giác ABC: 2

sinA sinB sin

R C

Vậy hai máy bay cách nhau khoảng 3650 km 

Ví dụ 8 (Tìm chiều cao của một ngọn núi) Để đo được chiều cao của một ngọnnúi, một nhân viên trắc địa nhìn đỉnh núi tại hai vị trí cách nhau 900 mét nằmtrên một đường thẳng đến ngọn núi (quan sát hình minh họa) Lần quan sát đầutiên người này nhìn đỉnh núi với một góc nâng là 47 và lần thứ hai nhìn đỉnh

núi với một góc nâng là 35 Giả sử máy đo đạc cao 2 mét, tìm chiều cao h của

ngọn núi

Lời giải

Ta mô hình hóa bài toán trên bằng hình vẽ như sau:

với h là chiều cao của ngọn núi Ta có: C  180  47 133

Vậy chiều cao của ngọn núi là: h 1815,8600 2 1817,860  (mét).

Ví dụ 9 (Xác định độ dài của cáp treo trượt tuyết và độ cao của núi)

Tham khảo hình vẽ

Để xác định chiều dài của cáp treo trượt tuyết cần lắp đặt từ điểm P đến điểm

đoạn 1000 feet tới điểm R và đo được PRQ bằng 15

a) Tính khoảng cách từ điểm P đến điểm Q ?

b) Tính chiều cao QD của núi ?

Vậy khoảng cách giữa hai điểm P và Q là 1490, 479feet .

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông PQD ta có :

.sin 1490, 479.sin 25 629,904

Ví dụ 10 (Xác định độ cao của một chiếc máy bay) Một chiếc máy bay đượcquan sát bởi hai người cách nhau 1000 feet trên mặt đất Máy bay bay trênđường nối liền giữa hai người và mỗi người quan sát nó theo một góc nâng đượcchỉ ra trong hình vẽ Hỏi độ cao của chiếc máy bay so với mặt đất là bao nhiêu ?

Bài giải

Mô hình bài toán như hình vẽ:

Trong PRI có:

cotRPI PI PI RI.cot 40

  

1000

381,694cot 40 cot 35

   feet .Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là 381,694 feet .

Ví dụ 11 (Tìm độ nghiêng của tháp nghiêng Pisa) Tháp nghiêng Pisa nổi tiếng

có chiều cao là 184,5 feet Góc nâng nhìn từ điểm Q cách chân tháp P một

khoảng 123 feet lên đỉnh R của tháp có số đo là 60 Tìm số đo góc RPQ (như hình vẽ) và tìm khoảng cách từ đỉnh R của tháp đến đường thẳng PQ.

a) Con tàu cách ngọn hải đăng P và Q bao xa?

b) Con tàu cách bờ bao xa?

Bài giải

Ta kí hiệu các điểm ,A H như hình vẽ

Khi đó HPA 75 ; HQA 55 , PAQ50 

Xem hình vẽ Tính độ dài L của mái hiên.

Bài giải

Ta có BAC 25 ;  ACB105 

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta có:

Vậy chiều dài L của mái hiên xấp xỉ 12,001 inch.

Ví dụ 14 (Tránh bão nhiệt đới) Một tàu du lịch chạy với tốc độ trung bình 15hải lý/giờ khi đi từ San Juan, Puerto Rico, đến Barbados, Tây Ấn Độ, vớikhoảng cách 600 hải lý Để tránh một cơn bão nhiệt đới, thuyền trưởng chothuyền rời San Juan theo hướng lệch một góc 20 so với hướng đi thẳng đếnBarbados Thuyền trưởng duy trì tốc độ 15 hải lý/giờ trong 10 giờ, sau đóthuyền trưởng cho tàu đi thẳng đến Barbados mà không gặp bão

a) Tính góc mà thuyền trưởng quay đầu để đi thẳng đến Barbados?

b) Tính từ sau khi rẽ, nếu tốc độ được duy trì ở mức 15 hải lý/giờ thì sau bao lâucon tàu đến Barbados?

Bài giải

Gọi :A vị trí San Juan ; : B vị trí Barbados ; : C vị trí tàu sau 10 giờ.

D C

a) Ta có AB 600 hải lý; BAC    20

Quãng đường tàu đi được trong 10 giờ đầu là AC 15.10 150 hải lý

Áp dụng định lý cosin cho ABC :