skkn cấp tỉnh sử dụng phương pháp mô hình hóa toán học hướng dẫn học sinh giải quyết một số bài toán thực tế về ba đường conic

Do vậy, tôi chọn đề tài "Sử dụng phương pháp Mô hình hóa toán học hướng dẫn học sinh giải quyết một số bài toán thực tế về ba đường Conic" làm Sáng kiến kinh nghiệm của mình góp phần nân

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Để thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện GD-ĐT, đòi hỏi giáo dục phổthông cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cậnnăng lực người học Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học

ở trường phổ thông là phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo, phát triển nănglực hành động, năng lực hợp tác của người học Đó cũng là những xu hướng tấtyếu trong giai đoạn hiện nay

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018, trong dạy họcToán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh (HS) là năng lực

mô hình hóa (MHH) toán học [10] Thông qua hoạt động MHH toán học để mô

tả các tình huống đưa ra, giải quyết các bài toán thực tiễn, giúp HS không nhữngnắm vững kiến thức, mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn mà còn hình thành

và phát triển năng lực MHH cho các em

Trong đó đối với môn Toán lớp 10 thì nội dung ba đường conic đã đượcchú trọng khi đưa vào hai phần là dạy chính khóa và dạy chuyên đề Ở phần dạychính khóa thì nội dung kiến thức cũng đưa ra ở mức độ đủ để học sinh nhậnbiết và vận dụng để làm các bài tập đơn giản về ba đường Conic Nhưng ở phầnchuyên đề thì đã đề cập khá chi tiết và đầy đủ những kiến thức cần thiết về bađường Conic Đặc biệt theo chương trình GDPT 2018 rất chú trọng đến các bàitoán thực tế, mà khái niệm về ba đường Conic lại có mối liên hệ chặt chẽ với cáchiện tượng thực tiễn và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học; có thể biểu

diễn các đường đó thông qua hình vẽ Do vậy, tôi chọn đề tài "Sử dụng phương pháp Mô hình hóa toán học hướng dẫn học sinh giải quyết một số bài toán thực tế về ba đường Conic" làm Sáng kiến kinh nghiệm của mình góp phần

nâng cao chất lượng giảng dạy, thực hiện hiệu quả chương trình GDPT 2018

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, phát triển năng lực Mô hình hóaToán học sẽ giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của việc học Toán, biết vận dụngtoán học vào thực tiễn Với cách tiếp cận đó trong dạy học những chủ đề với nộidung cụ thể trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông sẽ từng bước gópphần thực hiện đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam

Vì vậy mục đích mà SKKN hướng tới là giới thiệu để bản thân và đồngnghiệp tiếp cận với một phương pháp dạy học tích cực mà ở đó thấy được vai tròcủa Toán học trong việc ứng dụng để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Phương pháp Mô hình hóa Toán học trong dạy học Toán

Một số các bài toán thực tế áp dụng kiến thức ba đường Conic để giảiquyết

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Sưu tầm, tổng hợp tài liệu, nghiên cứu sách giáo khoa Toán 10 và các tàiliệu liên quan

- Thực nghiệm: Tiến hành giảng dạy, kiểm tra mức độ, so sánh sự hứngthú tiếp thu bài của học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Sử dụng phương pháp Mô hình hóa toán học hướng dẫn học sinh

giải quyết một số bài toán thực tế về ba đường Conic 2.1.1 Cơ sở lý luận của phương pháp dạy học Mô hình hóa Toán học

a Dạy học mô hình hóa toán học là gì?

Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, nhưng có thể hiểu, mô hìnhdùng để mô tả một tình huống thực tiễn nhằm hướng tới một mục tiêu nhất định[11]

Mô hình sử dụng trong dạy học Toán có thể là hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điệntử, MHH là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề và

Theo [14], MHH toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sangvấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học Nhưvậy, có thể hiểu, MHH toán học là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phácác tình huống xuất phát từ thực tiễn bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học, từ

đó vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết bài toán đặt ra MHH toánhọc giúp HS phát triển sự thông hiểu giữa các khái niệm và quá trình toán học;phát triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao Do đó, GV cần đưa racác dạng bài tập thực tiễn gắn với hoạt động MHH nhằm phát triển năng lựcMHH cho học sinh

(Hình 1: Dạy học theo MHH Toán học)

b Quy trình mô hình hóa Toán học

Quá trình MHH các tình huống thực tế trong dạy học Toán sử dụng cáccông cụ và ngôn ngữ Toán học phổ biến như công thức, thuật toán, phươngtrình, hệ phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu Quy trình MHHgồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [11]:

* Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống vàphát hiện các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.

* Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bàitoán sử dụng ngôn ngữ Toán học Từ đó thiết lập mô hình Toán học tương ứng

* Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ Toán học phù hợp đểMHH bài toán và phân tích mô hình đó

* Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa

ra kết luận

Sử dụng MHH ở trường phổ thông nhằm giúp HS giải quyết vấn đề bằngcách:

+) Thu thập, hiểu và phân tích các thông tin Toán học;

+) Áp dụng Toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn

Do vậy, quá trình MHH được cụ thể hóa theo sơ đồ dưới đây:

Kết quả và dự

đoán về thực tiễn Lời giải có ý nghĩa trong thực tiễn không Lời giải Toán học

Diễn đạt bằng ngôn ngữ Toán học

Giả thuyết về tình huống

Vấn đề

thực tiễn

Có

Công cụ toán học Không

Hiểu tình huống trong thực tế

Xây dựng mô hình

Toán học Thực tiễn

(Hình 2: Quy trình MHH trong dạy học Toán)

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theomột cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trởnên dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông [13] Theo [14] đề xuất cácbước tổ chức một hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:

(Hình 3: Các bước tổ chức một hoạt động MHH Toán học)

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giảnhóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thựctế.

- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra

- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữToán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó

- Bước 4: Sử dụng các công cụ Toán học thích hợp để giải bài toán

- Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình Toán học trong hoàn cảnh thực tế

- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp

lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng

- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng

mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

c Một số nguyên tắc trong phương pháp dạy học Mô hình hóa toán học

Đảm bảo tính khoa học

Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn

Việc vận dụng toán học vào thực tiễn nghĩa là dùng những công cụ toánhọc thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm tìm những yếu tố chưabiết, biến đổi, sắp xếp các yếu tố đó nhằm đạt được mục tiêu đề ra

Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức

Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thựctiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được) Vìvậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập MHH cần được chọn lọc phù hợp vềmức độ và số lượng Các bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ

elip (hay elip) Hai điểm F , 1 F được gọi là hai tiêu điểm và 2 F F1 2 2c được

gọi là tiêu cự của elip đó.

Phương trình chính tắc và hình dạng của Elip

[1] Cho elip có phương trình chính tắc

 Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và tâm đối xứng là gốc tọa độ

là hình chữ nhật cơ sở của elip

 Với điểm M x y thuộc elip ta có  ,  MF1 a c x MF, 2 a c x

đoạn thẳng MF MF được gọi là bán kính qua tiêu của 1, 2 M

 Khi điểm M x y thay đổi trên elip, ta luôn có ; 

[1] Cho hai điểm cố định và phân biệt F , 1 F Đặt 2 F F1 2 2c0 Cho số thực anhỏ hơn c Tập hợp các điểm M sao cho MF1 MF2 2a.được gọi là đường hypebol (hay hypebol) Hai điểm F , 1 F được gọi là hai tiêu điểm và2

1 2 2

F F  c được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Phương trình chính tắc và hình dạng của Hypebol

[1] Cho hypebol có phương trình chính tắc

 Hypebol có hai trục đối xứng là Ox và Oy , và có tâm đối xứng là gốc

toạ độ O.

 Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) cắt hypebol tại hai điểm A1a;0,A a2 ;0

và được gọi là trục thực

 Hai điểm A1a;0,A a2 ;0 được gọi là hai đỉnh.

 Trục đối xứng Oy không cắt hypebol và được gọi là trục ảo

 2 ,2a b tương ứng được gọi là độ dài trục thực, trục ảo

 Trong hai nhánh của hypebol, một nhánh chứa các điểm đều có hoành độ

x a (nhánh chứa đỉnh), nhánh còn lại chứa các điểm đều có hoành độ

xa (nhánh chứa đỉnh A1a;0)

 Hình chữ nhật với bốn đỉnh có tọa độ là a b; , a b;  , ;a b  , ;a b

được gọi là hình chữ nhật cơ sở

 Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở được gọi

là hai đường tiệm cận, và có phương trình là y b x

Tâm sai ecủa hypebol là một số lớn hơn 1.

Độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M x y thuộc hypebol còn được  ; 

cách từ Fđến  được gọi là tham số tiêu của parabol đó.

Phương trình chính tắc và hình dạng của parabol

[1] Cho parabol có phương trình chính tắc y2 2px p 0

Hình 7Khi đó:

 Parabol có một trục đối xứng là Ox (đi qua tiêu điểm và vuông góc với

 Với điểm M x y thuộc parabol, đoạn thẳng  ;  MF được gọi là bán

kính qua tiêu của M và có độ dài

2

p

MF  x

 Với mọi điểm M x y thuộc parabol, tỉ số  ; 

MF

d M  luôn bằng 1 Ta

nói parabol có tâm sai bằng 1

2.1.3 Cơ sở pháp lý của phương pháp dạy học mô hình hóa toán học

Một dấu mốc quan trọng trong việc giới thiệu MHH toán học vào nhàtrường là nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên cácmôn học khác ở nhà trường Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạycho học sinh cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày Từ đó, dạy và họcMHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 ở Việt Nam,trong dạy học Toán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh (HS)

là năng lực mô hình hóa (MHH) toán học Khi tham gia bồi dưỡng Module 2 tìmhiểu về các phương pháp dạy học tích cực thì Mô hình hóa toán học là mộtphương pháp được giới thiệu trong nhóm các phương pháp dạy học tích cực

2.1.4 Ưu điểm của phương pháp dạy mô hình hóa toán học

Tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn

Hoạt động MHH toán học là một cách tiếp cận giúp HS vận dụng tri thứclinh hoạt, tạo cơ hội cho các em học tập thông qua các vấn đề, tình huống gầngũi với thực tiễn Trong quá trình tìm hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn,MHH toán học cho phép HS phát hiện bản chất của vấn đề và giải quyết nhữngvấn đề đó; tạo một môi trường học tập đa dạng, mà trong đó HS được sử dụngcác phương tiện toán học để giải quyết tình huống nảy sinh ở các lĩnh vực khácnhau

Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Trong quá trình MHH toán học, HS được áp dụng các khái niệm đã họcvào thực tiễn, sử dụng mô hình toán học để thể hiện vấn đề, phát huy năng lựcquan sát, suy luận, phân tích, diễn giải, từ đó tạo cơ hội cho HS phát triển nănglực giải quyết các vấn đề thực tiễn

Phát triển tư duy sáng tạo

Quá trình MHH toán học các tình huống thực tiễn cho thấy mối liên hệgiữa thực tiễn với các kiến thức toán học trong nhà trường Để thực hiện quátrình MHH, HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phântích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,…, qua đó, tạo động cơ và

sự say mê học tập cho các em

Như vậy, có thể thấy rằng MHH toán học cho phép HS nhận thấy lợi íchcủa toán học, gắn toán học với các môn học khác, phát triển khả năng giải quyếtvấn đề thực tiễn

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

a Thực trạng

Một trong những giải pháp quan trọng nhằm nâng cao chất lượng đào tạonguồn nhân lực là đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt áp dụng các PPDHtích cực, phát huy vai trò chủ động sáng tạo của học sinh là rất cần thiết Trong

đó cần sử dụng hiệu quả và sáng tạo PPDH tích cực "lấy học sinh làm trungtâm", gắn nội dung môn học vào thực tiễn, kích thích hứng thú học tập của họcsinh, rèn luyện khả năng tự định hướng, tự học cho học sinh nhằm phát triển tưduy phê phán, kĩ năng giải quyết vấn đề, ra quyết định, thức đẩy làm việc hợptác, phát triển toàn diện kĩ năng sống ở người học Trong quá trình dạy học Toán

ở trường phổ thông rất nhiều bài toán liên quan đến thực tiễn đòi hỏi học sinhphải vận dụng kiến thức toán học để giải quyết Việc vận dụng phương pháp dạyhọc tích cực MHH toán học vào dạy những phần kiến thức liên quan đến thựctiễn này là một nhiệm vụ cần thiết để đạt kết quả cao trong dạy học Mô hìnhhóa toán học giúp học sinh giải quyết được các bài toán trong thực tiễn bằngcông cụ toán học, từ đó học sinh hứng thú trong học tập và yêu toán hơn

b Kết quả của thực trạng

Trước khi tôi vận dụng phương pháp dạy học Mô hình hóa toán học vàodạy các bài toán liên quan đến thực tiễn trong chương trình Toán phổ thông nóichung và trong chủ đề ba đường Conic Toán 10 nói riêng, thì học sinh ít hứngthú học tập Điều này đến từ cả hai phía: Từ phía thầy, ngại dạy các bài toánthực tế vì phải tìm mô hình chuyển đổi và cũng ít có bài tập thực tế trong sách

vở tham khảo Từ phía trò, gây tâm lí ngại tìm hiểu vì bài toán thực tế thườngdài và học sinh không có nhu cầu tìm hiểu

Sau hai năm đưa vào giảng dạy chính thức SGK theo chương trình giáodục phổ thông mới 2018, qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Sầm Sơn, tôithấy rằng chuyên đề ba đường conic là một trong những nội dung mà cả giáoviên và học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc dạy và học

Tuy nhiên nếu áp dụng MHH trong toán học để dạy cho học sinh thì các

em sẽ thấy Toán học không phải là nhàm chán, Toán học là chìa khóa giải quyếtcác vấn đề phức tạp trong thực tiễn một cách đơn giản và hiệu quả Áp dụngMHH trong toán học để dạy học cũng là một trong những mục tiêu hướng tớicủa chương trình GDPT 2018

2.3 CÁC SKKN HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Sử dụng phương pháp Mô hình hóa toán học hướng dẫn học sinh giải

quyết một số bài toán thực tế về ba đường Conic

2.3.1 Sử dụng phương pháp MHH toán học giải các bài toán thực tế

về đường Elip

2.3.1.1 Bài toán 1

[3] Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đườngelip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹđạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km Tìm khoảng cách lớn nhất và bénhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng

Các bước tiến hành:

Bước 1: Vấn đề thực tiễn: Chính là nội dung của bài toán thực tiễn bài toán 1 Bước 2: Lập giả thuyết:

- Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường Elip(E) với tâm Trái Đất là một tiêu điểm

- Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và

767 640 km

Từ giả thuyết, ta quy về toán học, giả sử ta chọn hệ tọa độ (Oxy) như hình

vẽ Bài toán đặt ra là tìm hoành độ c của một tiêu điểm của Elip (E)

Hình 8

Bước 3: Xây dựng bài toán:

Tìm hoành độ c của một tiêu điểm của (E), biết (E) có độ dài trục lớn, trụcnhỏ lần lượt là 768 800 km và 767 640 km?

Bước 4: Giải bài toán:

Giả sử đường elip như hình vẽ và có phương trình chính tắc dạng

Bước 5: Hiểu lời giải

Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình: Với mô hình đặt ra như vậy, bài toán thực tiễn

về quỹ đạo chuyển động của mặt trăng quanh trái đất đã được giải quyết rất đơngiản, học sinh thấy được không cần phải dùng các thiết bị phức tạp để đokhoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng mà chỉ cầndùng kiến thức toán học đơn thuần để tính toán

Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán: Với bài toán đặt ra, bằng cách MHH

toán học ta đã tính được khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đấtđến Mặt Trăng lần lượt là 405 508 km và   363292 km  