Ba đường cônic và các bài toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ ĐOAN THY BA ĐƢỜNG CƠNIC VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ ĐOAN THY BA ĐƢỜNG CÔNIC VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Chun ngành: Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Ngọc Châu Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có vi phạm quy chế đào tạo, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả LÊ ĐOAN THY MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƢƠNG BA ĐƢỜNG CÔNIC 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG CÔNIC 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Phƣơng trình tổng quát đƣờng cônic 1.1.4 Phƣơng trình tắc đƣờng cơnic 1.1.5 Phƣơng trình tham số elip hypebol 11 1.2 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CÔNIC 12 1.2.1 Định nghĩa 12 1.2.2 Định nghĩa 12 1.2.3 Tiếp tuyến elip 12 1.2.4 Tiếp tuyến hypebol 14 1.2.5 Tiếp tuyến parabol 14 1.2.6 Điều kiện để đƣờng thẳng tiếp xúc với đƣờng cônic 14 1.3 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM, MỘT ĐƢỜNG THẲNG VỚI MỘT CÔNIC 15 1.3.1 Định nghĩa 15 1.3.2 Định nghĩa 15 1.4 CÁC ĐƢỜNG BẬC HAI 16 1.4.1 Phép đổi tọa độ 17 1.4.2 Nhận dạng đƣờng bậc hai 18 CHƢƠNG NHỮNG BÀI TỐN VỀ CÁC ĐƢỜNG CƠNIC 21 2.1 CÁC BÀI TỐN CĨ LỜI GIẢI LÀ MỘT ĐƢỜNG CƠNIC 21 2.1.1 Các tốn có lời giải elip 21 2.1.2 Các tốn có lời giải hypebol 24 2.1.3 Các tốn có lời giải parabol 26 2.2 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH MỘT ĐƢỜNG BẬC HAI LÀ MỘT ĐƢỜNG CÔNIC 27 2.3 CÁC BÀI TỐN LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG CƠNIC 29 2.3.1 Các tốn lập phƣơng trình đƣờng elip 29 2.3.2 Các toán lập phƣơng trình đƣờng hypebol 34 2.3.3 Các tốn lập phƣơng trình parabol 38 2.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA CÔNIC 40 2.4.1 Các tốn lập phƣơng trình tiếp tuyến cơnic 40 2.4.2 Các tốn lập phƣơng trình tiếp tuyến chung cơnic 46 2.5 CÁC BÀI TỐN QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA CƠNIC 49 2.6 CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT CÔNIC 52 2.7 CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƢỜNG THẲNG VỚI MỘT CÔNIC 54 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho hai đƣờng thẳng Quay đƣờng thẳng khơng vng góc cắt điểm quanh đƣờng thẳng gọi mặt nón trịn xoay Đƣờng thẳng góc ta nhận đƣợc mặt gọi trục mặt nón, trục đối xứng mặt nón Mỗi đƣờng thẳng nằm mặt nón gọi đƣờng sinh thẳng, rõ ràng đƣờng sinh mặt nón qua đỉnh mặt nón Một mặt nón gồm hai phần đƣợc phân cách đỉnh Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh nó, ta đƣợc giao tuyến là:  Một đƣờng elip nếu cắt đƣờng sinh mặt nón Đặc biệt vng góc với trục mặt nón giao tuyến đƣờng tròn  Một đƣờng hypebol song song với hai đƣờng sinh phân biệt mặt nón  Một đƣờng parabol song song với đƣờng sinh mặt nón Ba đƣờng elip, hypebol, parabol cịn gọi ba đƣờng cơnic Chữ “cơnic” có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp “konos”, nghĩa hình nón Các từ elip, hypebol, parabol nhà toán học Hy Lạp Apolonius trƣớc công nguyên) đề xuất Các đƣờng cônic nội dung mơn hình học chƣơng trình tốn bậc trung học phổ thơng đƣợc đƣa vào giảng dạy từ lớp 10 Tuy nhiên quỹ thời gian dành cho chƣơng trình không nhiều, sách giáo khoa không rõ việc định hƣớng tìm tịi lời giải nhƣ chƣa trọng đến việc rèn luyện kĩ nên học sinh thƣờng lúng túng giải tốn đƣờng cơnic Nhằm tìm hiểu đƣờng cônic, chọn đề tài luận văn thạc sỹ là: “Ba đƣờng cơnic tốn liên quan” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu ba đƣờng cơnic vấn đề liên quan  Hệ thống phân loại số lớp tốn ba đƣờng cơnic  Đƣa quy trình định hƣớng giải cho lớp tốn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Ba đƣờng cơnic tốn liên quan thuộc chƣơng trình tốn bậc trung học phổ thơng  Quy trình định hƣớng giải cho lớp toán ba đƣờng cônic Phƣơng pháp nghiên cứu  Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài luận văn  Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn  Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến giáo viên hƣớng dẫn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng Chƣơng 1: Ba đƣờng cơnic Chƣơng trình bày ba đƣờng cơnic khái niệm liên quan, nhằm làm sở cho chƣơng sau Chƣơng 2: Những toán đƣờng cơnic Chƣơng nội dung luận văn, trình bày số tốn liên quan đến ba đƣờng cơnic CHƢƠNG BA ĐƢỜNG CƠNIC Chƣơng trình bày ba đƣờng cơnic khái niệm liên quan, nhằm làm sở cho chƣơng sau Các chứng minh chi tiết xem [2], [5], [18]… 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG CƠNIC 1.1.1 Định nghĩa Cơnic tập hợp điểm từ định đến điểm cố định không qua Điểm cố định Đƣờng thẳng mặt phẳng có tỉ số khoảng cách đến đƣờng thẳng cố khoảng cách từ số dƣơng gọi tiêu điểm, số gọi tâm sai cônic gọi đƣờng chuẩn cônic tƣơng ứng với tiêu điểm số dƣơng Cônic C 1.1.2 Định nghĩa ( tƣơng ứng Ta gọi cônic có tâm sai ) parabol ( tƣơng ứng elip, hypebol ) Ví dụ: Viết phƣơng trình đƣờng cơnic có đƣờng chuẩn tiêu điểm tâm sai Giải: Với điểm | đến đƣờng chuẩn hay | √ thuộc cônic cho √ ⇔ √ ta có Khoảng cách từ Vậy , hay =√ | , tức là: | ⇔ Đó phƣơng trình cần tìm cơnic Vì tâm sai nên cơnic hypebol 1.1.3 Phƣơng trình tổng quát đƣờng cônic Giả sử hệ tọa độ Đề Các đƣờng chuẩn , tiêu điểm có tọa độ có phƣơng trình pháp dạng: điểm mặt phẳng Gọi [ M thuộc cônic C ⇔ , ta có: ] [ ⇔ ] ⇔ ⇔ Phƣơng trình có dạng: đƣợc gọi phƣơng trình tổng qt cơnic Xét biểu thức , ta có: Nhƣ vậy:  ⇔ ⇔ cônic parabol  ⇔ ⇔ cônic elip  ⇔ ⇔ cônic hypebol , 1.1.4 Phƣơng trình tắc đƣờng cơnic a Phương trình tắc parabol Để lập phƣơng trình tắc parabol, ta chọn hệ tọa độ đƣờng thẳng qua tiêu điểm F vng góc với đƣờng sau: Trục chuẩn , hƣớng dƣơng từ đến ( ) trung trực PF Đặt Trục nhƣ hệ tọa độ ( ) y , ∆ ta có ( M( x; y ) H ) Nhƣ đƣờng chuẩn P F p/2 x O - p/2 có phƣơng trình điểm mặt phẳng Gọi có tọa độ ⇔ √ hình chiếu H thuộc parabol ⇔ √ ⇔ ⇔ Phƣơng trình gọi phƣơng trình tắc parabol Số đƣợc gọi tham số tiêu parabol Từ chứng minh ta thấy điểm thuộc parabol Độ dài đƣợc gọi bán kính qua tiêu điểm điểm  Hình dáng parabol a) Phƣơng trình tắc parabol chứa số hạng bậc chẵn nhận nên parabol làm trục đối xứng b) Giao parabol với trục đối xứng gốc tọa độ , gọi đỉnh parabol c) Từ phƣơng trình tắc ta thấy nghĩa 46 Lập phƣơng trình cạnh hình vng ngoại tiếp cho elip elip ? Giải: Xét hai cặp cạnh song song hình vng, hai cặp cạnh lần lƣợt có phƣơng trình là: Để cạnh tiếp xúc với elip điều kiện là: { (1) Vì độ dài cạnh hình vng nên khoảng cách hai cặp cạnh đối diện nhau, đó: | | √ | | √ ⇔ Do đó, từ (1) suy ra: Chọn ⇒ Vậy phƣơng trình bốn cạnh hình vng ngoại tiếp elip là: 2.4.2 Các tốn lập phƣơng trình tiếp tuyến chung cơnic Phƣơng pháp: Để lập phƣơng trình tiếp tuyến chung hai đƣờng cônic C C’, ta thực bƣớc nhƣ sau:  Bƣớc 1: Giả sử đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình: , với tiếp tuyến chung hai đƣờng C C’  Bƣớc 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc (d) với C C’  Bƣớc 3: Kết luận tiếp tuyến chung (d) Bài toán 35[8]: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của: 47 Giải: Giả sử đƣờng thẳng tuyến chung hai đƣờng với tiếp Đƣờng thẳng tiếp xúc với ⇔ (1) Đƣờng thẳng tiếp xúc với ⇔ (2) Từ (1) (2) ta có: ⇔  Với ⇔ √ √ , ta có tiếp tuyến là: √  Với √ , ta có tiếp tuyến là: √  Với √ , ta có tiếp tuyến là: √  Với √ , ta có tiếp tuyến √ Vậy có bốn tiếp tuyến chung là: Bài toán 36[6]: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của: Giải: Giả sử đƣờng thẳng tuyến chung hai đƣờng với tiếp Đƣờng thẳng (d) tiếp xúc với ⇔ (1) Đƣờng thẳng (d) tiếp xúc với ⇔ (2) 48 ⇔ [ Từ (1) (2) ta có:  Với ⇒  Với ⇒ loại √ , ta đƣợc hai tiếp tuyến: √ Vậy √ có hai tiếp tuyến chung Bài tốn 37[9]: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung hai parabol: Giải: có đỉnh có đỉnh , Hồnh độ đỉnh đỉnh tiếp tuyến chung Giả sử tiếp tuyến chung Đƣờng thẳng và tiếp tuyến { ( ⇔ khác nên đƣờng thẳng có dạng: hệ sau có nghiệm: ) { ⇒ (2) Đƣờng thẳng tiếp tuyến hệ sau có nghiệm: { ( ⇔ ) { ⇒ (3) 49 Lấy (2) cộng (3), ta có: ⇔* ⇒ ⇒ Do ta đƣợc hai tiếp tuyến chung là: 2.5 CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA CƠNIC Phƣơng pháp: Để giải tốn quỹ tích liên quan đến tiếp tuyến cônic, ta sử dụng điều kiện để đƣờng thẳng tiếp xúc với cơnic Tìm quỹ tích điểm Bài tốn 38[17]: Cho elip cho từ vẽ đƣợc hai tiếp tuyến với elip mà hai tiếp tuyến vng góc với ( Bài tốn Monge) Giải: Cách 1: Phƣơng trình tiếp tuyến có dạng là: với Phƣơng trình tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến có dạng là: với (2) Tọa độ nghiệm hệ: { Thay vào (1) (2), ta có: { Cộng vế theo vế, ta đƣợc: ⇒ { 50 Chia hai vế cho , ta có: Vậy quỹ tích đƣờng trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính √ Cách 2: Giả sử từ điểm kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vuông góc tới (E), hai đƣờng thẳng qua M vng góc với có dạng: ⇔ ⇔ Điều kiện để tiếp xúc với (E) là: { ⇒ ⇔ Vậy tập hợp điểm từ kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vng góc tới (E) đƣờng trịn có phƣơng trình: Bài tốn 39[14]: Cho parabol có phƣơng trình Tìm tập hợp điểm từ kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vng góc với Giải: Cách 1: Giả sử từ điểm kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vng góc với (P) Hai đƣờng thẳng qua M vng góc với có dạng: ⇔ ⇔ Điều kiện để tiếp xúc với (P) là: { 51 ⇒ ⇔ Vậy tập hợp điểm từ kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vng góc tới (P) đƣờng chuẩn parabol (P) Cách 2: Giả sử từ điểm kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vng góc tới (P) Phƣơng trình tiếp tuyến (P) điểm ( ⇔ qua ) (P) là: ⇔ ⇔ Điểm ⇔ ( ⇔ (1) Với điều kiện qua ) , (1) có hai nghiệm phân biệt Do có hai tiếp tuyến  , có hệ số góc  có hệ số góc ⇔ vng góc ⇔ Vậy tập hợp điểm từ kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vng góc tới (P) đƣờng chuẩn parabol Bài tốn 40[1]: Cho hypebol có phƣơng trình Với hai , tiếp tuyến cắt tiếp tuyến đỉnh lần lƣợt M, N Tìm tập hợp giao điểm I hai đƣờng thẳng Giải: Gọi điểm P( thay đổi 52 ⇔ Phƣơng trình tiếp tuyến ( ( ) ) (d) cắt Phƣơng trình đƣờng thẳng ( ) ⇔ ) ( ( ( ) ) ( ) (1) ( ) (2) ) là: ⇔ Toạ độ giao điểm I là: Phƣơng trình đƣờng thẳng ( nên (d) cắt ( ) nghiệm hệ gồm phƣơng trình (1) (2), giải hệ phƣơng trình, ta đƣợc: { ⇒ { ⇒ ⇒ (3) ( ) Vậy tập hợp điểm I hypebol có phƣơng trình (3) 2.6 CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT CƠNIC Phƣơng pháp: Để tính tính khoảng cách từ điểm A đến đƣờng cônic, ta lần lƣợt thực nhƣ sau: Bƣớc 1:Với thuộc cơnic ta tìm đƣợc hệ thức Bƣớc 2: Tính độ dài cơng thức Bƣớc 3: Tính độ dài theo Bài tốn 41[9]: Cho điểm Tính khoảng cách từ (hoặc tìm giá trị nhỏ parabol có phƣơng trình đến parabol 53 Giải: Giả sử điểm ⇒ có hồnh độ Ta có: √ , đạt đƣợc Vậy khoảng cách từ điểm A đến parabol (P) là: { ⇔ ⇒ Bài toán 42[8]: Cho điểm A(4;1) hypebol khoảng cách từ điểm A đến hypebol Tính Giải: Cách 1: Lấy điểm , ta có: ⇔ √ ⇔ (1) Ta có: √ √ (√ ) Vậy khoảng cách từ điểm A đến hypebol khi: { ⇔ √ Cách 2: Hypebol { Với điểm M √ , đạt đƣợc ⇒ có phƣơng trình tham số là: √ ta đƣợc [ ( √ ] { ) } 54 ( Do đó: √ ) √ ( ) √ √ , đạt đƣợc khi: Vậy {√ √ ⇔ { ⇒ 2.7 CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƢỜNG THẲNG VỚI MỘT CÔNIC đƣờng thẳng Bài tốn 43[9]: Cho elip có phƣơng trình: a) Chứng minh (E) khơng có điểm chung b) Giả sử khoảng cách từ cho độ dài , đến Tìm toạ độ nhỏ nhất, lớn Giải: a) Cách 1: Chuyển phƣơng trình [ { Thay (1) vào phƣơng trình dạng tham số: ] (1) , ta có: vơ nghiệm Do (E) khơng có điểm chung Cách 2: Hệ phƣơng trình tạo { ⇒ Phƣơng trình (2) vơ nghiệm nên (E) b) Điểm là: ⇒ (2) khơng có điểm chung 55 Khi đó: = | | √ √ Vậy: √  , đạt đƣợc khi: √ √ √ ⇔ { √  | √ √ Ta có: | √ ⇒ √ √ √ , đạt đƣợc khi: √ √ ⇔ { ⇒ √ √ √ đƣờng thẳng Bài tốn 44[7]: Cho hypebol có phƣơng trình khơng có điểm chung a) Chứng minh b) Giả sử khoảng cách từ cho độ dài đến Tìm toạ độ nhỏ Giải: a) Cách 1: Chuyển phƣơng trình (H) dạng tham số: { √ [ ] Thay (1) vào phƣơng trình √ Do (H) (1) , ta có: ⇔ √ khơng có điểm chung Cách 2: Hệ phƣơng trình tạo là: vơ nghiệm 56 { ⇒ (2) Phƣơng trình (2) vơ nghiệm nên (E) ⇒ b) khơng có điểm chung , nên Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: √ √ | || | | | Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: | | Vậy: |√ √ √ | √ đạt đƣợc khi: √ √ ⇒ ⇔ * ⇒ { Thử lại :  Với ta đƣợc  Với Vậy √ ta đƣợc √ | | √ | √ | thỏa mãn √ đạt đƣợc điểm Bài toán 45[6]: Cho parabol (P) đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình với a) Tìm điều kiện để b) Trong điều kiện cách từ đến và khơng có điểm chung Giả sử Tìm toạ độ M cho độ dài Giải: a) Xét hệ phƣơng trình tạo (P) (d): , nhỏ khoảng 57 { ⇒ (1) ⇔ phƣơng trình (1) vơ nghiệm Điều kiện để ⇔ { b) Lấy điểm , suy ra: | | | ⇒ |( | ) | | | | | | | | đạt đƣợc điểm Chú ý: Bài tốn có ý nghĩa tìm điểm | | Dấu “ =” xảy { Vậy | xa vơ tận parabol ⇔ { ( ) đặt vấn đề 58 KẾT LUẬN Luận văn “ Ba đƣờng cơnic tốn liên quan” đạt đƣợc mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực đƣợc vấn đề sau: Trình bày tổng quan ngắn gọn ba đƣờng cơnic Hệ thống, phân loại số dạng tốn liên quan đến ba đƣờng cơnic Cụ thể có bảy dạng toán: toán thiết lập đƣờng cônic, chứng minh đƣờng bậc hai đƣờng cơnic, lập phƣơng trình đƣờng cơnic, tiếp tuyến cơnic, tốn quỹ tích, khoảng cách từ điểm đến cônic khoảng cách đƣờng thẳng với cơnic Đối với dạng tốn có phần định hƣớng cách giải nhiều ví dụ minh họa rõ ràng Hy vọng thời gian tới, nội dung luận văn tiếp tục đƣợc bổ sung hồn thiện nữa, nhằm làm tài liệu tham khảo tốt cho việc dạy học mơn hình học giải tích TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Ngọc Anh (2013), Bồi dưỡng học sinh giỏi hình học giải tích, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [2] Lê Khắc Bảo (1977), Hình học giải tích, Nhà xuất giáo duc [3] Nguyễn Văn Kỉ Cƣơng (1969), Hình học đệ B kỹ thuật, Nhà xuất Trí Dũng [4] Văn Nhƣ Cƣơng (chủ biên) (2009), Hình học giải tích, Nhà xuất sƣ phạm [5] Văn Nhƣ Cƣơng (chủ biên) – Tạ Mân (2000), Sách giáo khoa hình học 12, Nhà xuất giáo dục [6] Lê Hồng Đức (chủ biên) (2006), Hình học giải tích mặt phẳng, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [7] Lê Hồng Đức, Nhóm Cự Mơn ( 2006), Giải tốn hình học 10, Nhà xuất Hà Nội [8] Lê Hồng Đức (chủ biên) – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc (2004), Phương pháp giải tốn hình học, Nhà xuất sƣ phạm [9] Lê Hồng Đức (chủ biên) – Lê Hữu Trí (2004), Phương pháp giải tốn tiếp tuyến, Nhà xuất Hà Nội [10] Phạm An Hòa – Trần Văn Tồn (2001), Phương pháp giải tốn hình học giải tích, Nhà xuất trẻ TP Hồ Chí Minh [11] Nguyễn Thế Hùng (2003), Hình học giải tích (phần II ), Nhà xuất đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [12] Nguyễn Thế Hùng (1987), Hình học giải tích đường cơnic, Trƣờngcao đẳng sƣ phạm TP Hồ Chí Minh [13] Phan Huy Khải (1999), Tốn nâng cao hình học giải tích, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [14] Võ Đại Mau – Võ Đại Hồi Đức (2005), 12 năm đèn sách hình học giải tích, Nhà xuất đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [15] Nguyễn Hữu Ngọc (2006), Các dạng tốn phương pháp hình học 10, Nhà xuất giáo dục [16] Lê Hồnh Phị (2009), Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [17] Nguyễn Đạo Phƣơng – Phan Huy Khải (1995), Tuyển chọn toán ba đường cơnic, Nhà xuất giáo dục [18] Đồn Quỳnh – Văn Nhƣ Cƣơng – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị (2006), Hình học 10 nâng cao, Nhà xuất giáo dục [19] Đoàn Quỳnh – Văn Nhƣ Cƣơng – Hồng Xn Sinh (1987), Đại số tuyến tính hình học, Nhà xuất giáo dục [20] Quan Tai Thái – Nguyễn Cơng Tâm (2004), Phương pháp giải tốn hình học giải tích, Nhà xuất sƣ phạm [21] Trần Đình Thì (2006), Phân dạng phương pháp giải tốn hình học 10, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [22] Nguyễn Đình Trí (chủ biên) (2008), Tốn học cao cấp (tập 1) Đại số hình học giải tích, Nhà xuất giáo dục [23] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Phan Tăng Đa, Tạ Ngọc Đạt, Tạ Văn Đình, Ngơ Đình Hiền, Nguyễn Đình Hiền, Thái Thanh Sơn (1978), Toán học cao cấp (tập 1), Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp [24] Nguyễn Đình Trí( chủ biên), Tạ Văn Đình, Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Bài tập Toán cao cấp (tập 1) Đại số hình học giải tích, Nhà xuất giáo dục ... 46 2.5 CÁC BÀI TỐN QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA CÔNIC 49 2.6 CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT CÔNIC 52 2.7 CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA... 2.2 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH MỘT ĐƢỜNG BẬC HAI LÀ MỘT ĐƢỜNG CÔNIC 27 2.3 CÁC BÀI TOÁN LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG CƠNIC 29 2.3.1 Các tốn lập phƣơng trình đƣờng elip 29 2.3.2 Các tốn... CHƢƠNG NHỮNG BÀI TỐN VỀ CÁC ĐƢỜNG CƠNIC Chƣơng nội dung luận văn, trình bày số tốn liên quan đến ba đƣờng cơnic 2.1 CÁC BÀI TỐN CĨ LỜI GIẢI LÀ MỘT ĐƢỜNG CƠNIC 2.1.1 Các tốn có lời giải elip Bài tốn