Dãy số và các bài toán liên quan

3 Mục lục Lời nói đầu 0 Lời cảm ơn 2 Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy. 4 1.1 Khái niệm cơ bản 4 1.1.1 Cấp số cộng 4 1.1.2 Cấp số nhân 4 1.1.3 Công thức tổng quát của dãy 5 1.1.4 Cách xác định dãy số 5 1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng 5 1.1.6 Dãy số bị chặn 6 1.1.7 Dãy số tuần hoàn 6 1.1.8 Dãy số dừng 6 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt. 6 1.3 Các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân. 29 Chương II. Giới hạn dãy 44 2.1 Khái niệm cơ bản 44 2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy 45 2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyển qua giới hạn 45 2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp 56 2.2.3 Phương pháp sử dụng thế lượng giác 62 2.3.4 Phương pháp so sánh giới hạn dãy 68 2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy 74 Chương III. Các dạng bài toán khác về dãy số 77 3.1 Bài toán về số học của dãy số 77 3.2 Ứng dụng dãy số vào bài toán tính tổng các số hạng 85 3.3 Ứng dụng dãy số vào bài toán phép đếm 87 3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy số 88 Kết luận 94 Tài liệu tham khảo 95 4 Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy. 1.1 Khái niệm cơ bản 1.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d , nghĩa là   n u là cấp số cộng 1 2, n n n u u d       . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Định lý 1 : Nếu cấp số cộng   n u có số hạng đầu 1 u và công sai d thì số hạng tổng quát n u được xác định bởi công thức   1 1 , 2 n u u n d n      Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 1 1 , 2 2 k k k u u u k       Định lý 3: Cho cấp số cộng   n u , đặt 1 2 n n S u u u    . Khi đó:   1 2 n n u u n S   hay   1 2 1 2 n u n d n S        1.1.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1:Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)   n u là cấp số nhân 1 2, . n n n u u q      . Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu 1 u và công bội q thì số hạng tổng quát n u được xác định bởi công thức 1 1 . , 2 n n u u q n     . Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2 1 1 . , 2 k k k u u u k      (hay 1 1 . k k k u u u    ). 5 Định lý 3: Cho cấp số nhân   n u với công bội 1q  . Đặt 1 2 n n S u u u    . Khi đó   1 1 1 n n u q S q    Chú ý: Nếu 1q  thì cấp số nhân là 1 1 1 , , , , u u u Khi đó 1 . n S nu 1.1.3 Công thức tổng quát của dãy Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: : *u     n u n  Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là số hạng của dãy số   1 1u u được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu) …   n u u n được gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy). Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển 1 2 , , , , n u u u Mỗi hàm số u xác định trên tập   1, 2, ,m M  với mỗi *m được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là 1 2 , , , m u u u trong đó 1 u là số hạng đầu, m u là số hạng cuối. 1.1.4 Cách xác định dãy số Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát. VD: Cho dãy số   n u với 1 3 1 n n u n    Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp). VD: Cho dãy số   1 1 1 : 2 1, 2 n n n u u u u n          1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng Dãy số   n u được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu 1 , 1 n n u u n     . Dãy số   n u được gọi là dãy đơn điệu không giảm nếu 1 , 1 n n u u n     . 6 Dãy số   n u được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu 1 , 1 n n u u n     . Dãy số   n u được gọi là dãy đơn điệu không tăng nếu 1 , 1 n n u u n     . 1.1.6 Dãy số bị chặn Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu : , 1 n M u M n      . Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu : , 1 n m u m n      . Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn nếu , : m , 1 n M m u M n       1.1.7 Dãy số tuần hoàn Dãy số   n u được gọi là dãy số tuần hoàn với chu kì k nếu , 1 n k n u u n     1.1.8 Dãy số dừng Dãy số   n u được gọi là dãy số dừng nếu 0 0 : , n n u c n n      ( c là hằng số, gọi là hằng số dừng ). 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt. Ví dụ 1.1 Xác định công thức tổng quát của dãy   1 1 2 : 3 1, 2 n n n u u u u n           Giải: Trong bài toán trên ta gặp khó khăn vì dãy   n u không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức của số hạng tổng quát. Nếu không có 1 xuất hiện ở vế trái thì dãy   n u sẽ là một cấp số nhân với công bội 3q  . Ta sẽ tìm cách làm mất 1 và chuyển dãy   n u về cấp số nhân.   1 1 3 3 3 n n n n u k u k u u k k          1 1 3 2 k k k       1 1 1 3 2 2 n n u u            Đặt: 1 1 5 1 2 2 3 , 2 n n n n v v u v v n               7 Dãy   n v là một cấp số nhân với công bội 3q  1 1 1 5 . .3 2 n n n v v q       Vậy 1 1 5 1 .3 , 1 2 2 2 n n n u v n         Bài toán 1.1 Xác định công thức tổng quát của dãy     1 0 1 : , 0 . , 2 n n n u x u a b u au b n           Giải: Trường hợp 1: 1a  thì dãy   n u là cấp số cộng có công sai d b nên     1 0 1 1 n u u n d x n b       Trường hợp 2: 1a  Ta đặt   1 1n n n n u k a u k u au k ak          Ta phân tích 1 b b k ak k a      1 1 1 1 ab b ab b b a a a a          Khi đó: 1 . 1 1 n n ab b u a u a a       1 1 1 n n b b u a u a a              Đặt: 1 0 1 1 1 . n n n n b v x b v u a a v a v               Dãy   n v là cấp số nhân có công bội q a 1 1 1 0 . . 1 n n n b v v q x a a              Vậy 1 1 1 0 0 1 . . , 1 1 1 1 1 n n n n n b b b a u v x a x a b n a a a a                        Kết quả 1.1: Dãy     1 0 1 : , 0 . , 2 n n n u x u a b u au b n           thì có công thức số hạng tổng quát là   0 1 1 0 1 , 1 1 . , 1 1 n n n x n b a u a x a b a a                Ví dụ 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy   1 1 2 : 2 3 1, 2 n n n u u u u n n           Giải: Để tìm công thức tổng quát của dãy số trên ta tìm cách làm mất 3 1n để chuyển về dãy số là một cấp số nhân. 8 Ta đặt     1 2 1 n n u an b u a n b             1 2 2 1 n n u u an b a n b              3 1 2 1 n an b a n b           Cho 1, 2n n  ta có hệ 2 3 5 5 a b a b b                  1 3 5 2 3 1 5 n n u n u n             Đặt: 1 1 10 3 5 2 , 2 n n n n v v u n v v n             Dãy   n v là cấp số nhân với công bội 2q  1 1 1 . 10.2 , 2 n n n v v q n        Vậy công thức tổng quát của 1 10.2 3 5, 1 n n u n n       . Ví dụ 1.3: Tìm công thức tổng quát của dãy   1 1 2 : 2 1, 2 n n n u u u u n n           Giải: Xét   2 1f n n  là đa thức bậc 1 đối với n Đặt     1 1 n n u g n u g n      suy ra       1 f n g n g n    , trong đó   g n là đa thức bậc 2 đối với n có hệ số tự do bằng 0. Từ đó có   2 g n an bn        2 2 2 1 1 1 n an bn a n b n             Cho 0, 1n n  ta được hệ:   2 1 1 2 3 2 a b a g n n n a b b                        2 2 1 2 1 2 1 n n u n n u n n              Đặt:   1 2 1 1 2 , 2 n n n n v v u n n v v n              Dãy   n v là cấp số nhân với công bội 1q  1 1 1 . 1, 2 n n v v q v n         Vậy công thức tổng quát của 2 2 n 1, 1 n u n n     . 9 Bài toán 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy     1 0 1 : . , 2 n n n u x u u a u f n n            ,trong đó   f n là một đa thức bậc k theo n . Giải: Đặt     1 1 n n u g n a u g n          Ta viết       1 f n g n ag n    (*) với   g n cũng là một đa thức theo n . Khi đó         1 1 . 1 1 n n n n u au g n ag n u g n a u g n                Đặt:       1 1 0 1 1 1 . , 2 n n n n v u g x g v u g n v a v n                 Dãy   n v là cấp số nhân với công bội q a   1 1 1 0 . 1 .a , 1 n n n v v q x g n             Vậy công thức tổng quát của     1 0 1 .a g , 1 n n u x g n n           . Như vậy trong lời giải trên ta chỉ cần xác định được đa thức   g n là bài toán được giải quyết trọn vẹn. Đa thức   g n được xác định như sau: Nếu 1a  thì     1 g n ag n   là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của   g n một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của   g n , mà   f n là đa thức bậc k nên để có (*) ta chọn   g n là đa thức bậc 1k  , có hệ số tự do bằng 0. Khi đó ta được hệ gồm 1k  phương trình, giải hệ này ta tìm được   g n . Nếu 1a  thì     1 g n ag n   là đa thức cùng bậc với   g n nên ta chọn   g n là đa thức bậc k , trong đẳng thức (*), ta cho 1k  giá trị n bất kì, ta được hệ gồm 1k  phương trình, giải hệ này ta tìm được   g n . Như vậy ta đi đến kết quả sau đây Kết quả 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy     1 0 1 : . , 2 n n n u x u u a u f n n            ,trong đó   f n là một đa thức bậc k theo n . Giải: Đặt     1 1 n n u g n a u g n          10 Ta viết       1 f n g n ag n    với   g n cũng là một đa thức theo n . Nếu 1a  thì   g n là đa thức bậc 1k  , có hệ số tự do bằng 0. Nếu 1a  thì   g n là đa thức bậc k . Khi đó         1 1 . 1 1 n n n n u au g n ag n u g n a u g n                Đặt:       1 1 0 1 1 1 . , 2 n n n n v u g x g v u g n v a v n                 Dãy   n v là cấp số nhân với công bội q a   1 1 1 0 . 1 .a , 1 n n n v v q x g n             Vậy công thức tổng quát của     1 0 1 .a g , 1 n n u x g n n           . Ví dụ 1.4: Tìm công thức tổng quát của dãy   1 1 1 : 3 2 , 2 n n n n u u u u n            Giải: Ta đưa dãy   n u về cấp số nhân công bội 3q  bằng cách viết   1 1 1 1 .2 3 .2 3 .2 3 .2 n n n n n n n n u k u k u u k k            1 2 .2 3 .2 n n n k k     Cho 1n  thì 2 2 3 2k k k     . Khi đó   1 1 2.2 3 2.2 n n n n u u      Đặt 1 1 5 2.2 3. , 2 n n n n n v v u v v n            Dãy   n v là cấp số nhân với công bội 3q  1 1 1 . 5.3 , 2 n n n v v q n        Vậy công thức tổng quát của 1 5.3 2.2 , 1 n n n u n      . Bài toán 1.3: Xác định công thức tổng quát của dãy   1 0 1 : . . , 2 n n n n u x u u a u b n             Giải: Ta thấy cách giải của bài toán then chốt ở chỗ ta phân tích được biểu thức . n b  , sau đó chuyển dãy   n u về cấp số nhân là bài toán giải xong. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: a   thì 1 . . n n n u u b      11 Ta phân tích:   1 . 1 . n n n n n         Khi đó     1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n u u bn b n u bn u b n                         Đặt: 1 0 1 , 2 n n n n n v x b v u bn v v n                Dãy   n v là cấp số nhân với công bội q     1 1 1 0 . . , 2 n n n v v q x b n           Vậy công thức tổng quát của     1 1 0 0 . b 1 , 1 n n n n n u x b bn x n n                . Trường hợp 2: a   Ta phân tích   1n n n k ak k ak k a k a                      Khi đó   1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u au b au bk abk u bk a u bk                    Đặt: 1 0 1 , 2 n n n n n v x bk v u bk v av n               Dãy   n v là cấp số nhân với công bội q a   1 1 1 0 . , 2 n n n v v q x bk a n          Vậy công thức tổng quát của dãy   n u là:   1 1 0 0 .a , 1 n n n n n b b u x bk bn x a n a a                          . Kết quả 1.3: Xác định công thức tổng quát của dãy   1 0 1 : . , 2 n n n n u x u u a u b n             Ta làm như sau: Nếu a   thì ta phân tích   1 . 1 . n n n n n         , khi đó   1 0 b 1 , 1 n n n u x n n         Nếu a   thì ta phân tích 1n n n k ak       , khi đó 1 0 , 1 n n n b b u x a n a a                    12 Ví dụ 1.5: Tìm công thức tổng quát của dãy   1 1 2 : 5 2.3 6.7 12, 2 n n n n n u u u u n               Giải: Đặt     1 1 1 .3 .7 5 .3 .7 n n n n n n u k l a u k l a                   1 1 1 5 .3 .7 5 .3 .7 n n n n n n u u k l a k l a                  1 1 1 5 .3 5 .3 .7 5 .7 5 n n n n n n u u k k l l a a            Suy ra 12 5 3a a a          12 5 3 3 3 5.3          2. 1 3 .3 5 .3 n n n k k    . Cho 1 3n k    1 6.7 5 .7 .7 n n n l l     . Cho 1 21n l      1 1 1 3.3 21.7 3 5 3.3 21.7 3 n n n n n n u u            Đặt 1 1 157 3.3 21.7 3 5 , 2 n n n n n n v v u v v n              Dãy   n v là cấp số nhân với công bội 5q  1 1 1 . 157.5 , 2 n n n v v q n        Vậy công thức tổng quát của   1 157.5 3.3 21.7 3 , 1 n n n n u n        Ví dụ 1.6: Tìm công thức tổng quát của dãy   1 1 1 : 2 3 n, 2 n n n n u u u u n             Giải: Đặt       1 1 k.3 2 k.3 1 n n n n u g n u g n                       1 1 2 .3 2 .3 2 1 n n n n u u k k g n g n              Suy ra     1 2 1 3 .3 2 .3 n n n n g n g n k k            Với     2 1 n g n g n     , trong đó     2 1 g n an b n an b a n b            Cho 1, 2n n  ta được     2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a b b a b a g n n b a a b b b                                Với 1 3 .3 2 .3 n n n k k    . Cho 1 3n k   1 3 2.3.3 3.3 n n n      [...]... cấp số nhân có 7 số hạng với số hạng đầu và công bội là các số âm Biết rằng tích của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 5184, tích của số hạng thứ năm và và số hạng cuối bằng 746496 Hãy tìm cấp số nhân đó Giải Với mỗi n  1, 2,3, 4, 5, 6, 7 , kí hiệu u n là số hạng thứ n của cấp số nhân cần tìm Theo giả thiết của bài ra, ta có u3.u5  5184 và u5 u7  746496 Vì cấp số nhân đã cho có số hạng đầu và. .. Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng năm bằng 28, tổng của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140 Hãy tìm cấp số cộng đó b) Cho một cấp số cộng có 7 số hạng với công sai dương và số hạng thứ tư bằng 11 Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6 Giải Với mỗi n  1, 2,3, 4, 5, 6, 7 , kí hiệu u n là số hạng... (1)  u1  13,6 và q  2 Ví dụ 1.31 Hãy tính các tổng sau a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 , số hạng thứ hai bằng  2 và số hạng cuối bằng 64 2 b) Tổng của tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu 4 81 bằng và số hạng cuối bằng 3 256 Giải a) Kí hiệu q là công bội và k là số số hạng của cấp số nhân đã cho Ta có q   2  2 2  k 1 Suy... ra số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là : u n  89   n  1 3 hay un  3n  92 Ví dụ 1.25Hãy tính tổng sau đây: a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999 1 b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng , số 3 1 hạng thứ hai bằng  và số hạng cuối bằng 2007 3 Giải: Kí hiệu d là công sai và. .. 1.26 a) Cho cấp số cộng  un  có u5  u19  90 Hãy tính tổng của 23 số hạng đầu tiên của  un  b) Cho cấp số cộng  un  có u2  u5  42 và u4  u9  66 Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó 3 c) Cho cấp số cộng tăng  un  có u13  u15  302094 và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585 Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó Giải: Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng a) Ta... là một cấp số cộng nên 4 y  x  3 z   Từ (1) và (2) ta được 4 xq  x 1  3q 2  3q 2  4q  1  0  x  0   q  35 (2) 1  q  1 3 Ví dụ 1.35 Ba số x , y , z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân, đồng thời chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng Hãy tìm ba số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13 Giải Vì dãy số x , y , z là một cấp số nhân nên... Ví dụ 1.34 Ba số x , y , z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q  1 , đồng thời các số x , 2 y ,3 z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 Hãy tìm q Giải Nhận thấy x  0 , vì nếu ngược lại thì y  z  0 và do đó cấp số cộng x, 2 y ,3 z có công sai bằng 0, trái với giả thiết của đề bài (1) Vì thế x , y , z là cấp số nhân với công bội q nên y  xq và z  xq 2 Vì... thức số hạng tổng quát của  un  :  un  4un1  un2 , n  3 x  2  3 Xét phương trình đặc trưng: x 2  4 x  1  0   x  2  3   Số hạng tổng quát un   2  3  n   2 3  n Từ điều kiện ban đầu, ta giải hệ phương trình và dễ dàng tính được  ,  , thay vào công thức tổng quát ta có un  3 1 2 3 2 3  28  n 1  3 1 2 3 2 3   n 1 , n  1 1. 3Các bài toán về cấp số cộng, cấp số. .. 1.33 Cho cấp số nhân  un  có 3 3u2  u5  0 và u32  u6  63 Hãy tính tổng S  u1  u 2   u15 Giải Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho Dễ thấy u1 , q  0 Do đó, ta có q   3 u1q 3 3  q 3  0 3 3u 2  u5  0       2 1 2 2 4 6 u3  u6  63 u1 q 1  q   63  u1     2   (1) Vì dãy số  un  là một cấp số nhân với công bội q nên dãy số  un  là một cấp số nhân với... dãy số x , y , z là một cấp số nhân nên y 2  xz Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng nhận các số x , y , z lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín, ta có y  x  2 d ; z  y   z  x    y  x   8d  2 d  6 d Từ đó, suy ra z  y  3  y  x  hay z  3 x  4 y Như vậy từ các giả thiết của đề bài ta được  2 5 y  13 39  7 y  y  2 2  y 2  xz  y 2  xz   5 y  13 . dãy 68 2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy 74 Chương III. Các dạng bài toán khác về dãy số 77 3.1 Bài toán về số học của dãy số 77 3.2 Ứng dụng dãy số vào bài. bài toán tính tổng các số hạng 85 3.3 Ứng dụng dãy số vào bài toán phép đếm 87 3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy số 88 Kết luận 94 Tài liệu tham khảo 95 4 Chương I. Cấp số cộng, cấp số. 1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng 5 1.1.6 Dãy số bị chặn 6 1.1.7 Dãy số tuần hoàn 6 1.1.8 Dãy số dừng 6 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số