CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Trong chương trình toán THPT học sinh đã được tiếp cận với giới hạn của dãy số và hàm

số, đã biết cách tìm giới hạn hàm số hữu hạn và vô hạn Tuy nhiên trong thực tế các bài toán về cách tìm giới hạn rất phong phú và đa dạng, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về giới hạn hàm

số mà rất ít các em nhận biết phương pháp giải và đa số trình bày chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có

Với lại trong chương trình SGK Đại số lớp 11 hiện hành bài toán tìm giới hạn hàm số còn rất ít và hạn hẹp, chưa phân loại các dạng vô định khi tìm giới hạn và cả cách giải đối với từng dạng vô định, điều này gây khó khăn cho nhiều em học sinh nhất là khi tiếp cận với một lí thuyết

toán học mới, đó là giới hạn, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế và chưa phân loại.

Qua nội dung của chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp và một số kỹ năng cơ bản, đồng thời giúp học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi tính giới hạn Hy vọng chuyên đề nhỏ này sẽ giúp các

em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về cách tìm giới hạn dãy số và hàm số, qua đó các em học sinh sẽ có thêm tài liệu ôn tập chuẩn bị cho kì thi học kì II sắp tới

CHUYÊN ĐỀ : CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A.Một số giới hạn thường gặp:

B.Định lí:

 Nếu thì

VD6: Tìm các giới hạn sau:

Giải:

Vì

BÀI TẬP Dạng 1:

BT1: Tìm các giới hạn sau:

Dạng 2:

BT2: Tìm các giới hạn sau:

BT3: Tìm các giới hạn sau:

Dạng 3:

BT4: Tìm các giới hạn sau:

Dạng 4:

BT5: Tìm các giới hạn sau:

BÀI TẬP TỔNG HỢP

BT6: Tìm các giới hạn sau:

*BT7: Tìm các giới hạn sau:

VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 2.1: Tính giới hạn hàm bằng định nghĩa

Phương pháp:

Giả sử là dãy số bất kì thỏa

Tìm

BÀI TẬP

BT8: Áp dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

VẤN ĐỀ 1.2: Một số dạng thường gặp

Dạng 1: Tính giới hạn hàm bằng phép thế

BT9: Tìm các giới hạn sau:

Dạng 2: Dạng vô định

Phương pháp: Khử dạng vô định

 Chia tử và mẫu cho :

Nếu có dạng thì lại chia tử và mẫu cho và khử tiếp

 Nếu hay có chứa biểu thức dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, trước khi chia tử và mẫu cho

Chú ý:

 Dùng lược đồ Hoocner để phân tích đa thức thành nhân tử đối với những đa thức bậc cao Giới thiệu về lược đồ Hoocner:

Công dụng:

Lợi dụng khả năng chia đa thức nhanh chóng, lược đồ Hoocner thường được dùng nhiều nhất

trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là đa thức bậc 3 để giải phương trình bậc 3, khi ta đã biết được một nghiệm của phương trình (đề cho hay tự nhẩm)

Cách chia:

Nếu không dùng lược đồ Hoocner, chúng ta vẫn có thể dùng phép chia đa thức bình thường đã học ở lớp 8 để thực hiện việc chia đa thức Ngoài ra, nếu để ý kỹ, chúng ta sẽ khám phá ra một điều thú vị rằng lược đồ Hoc-ne được hình thành từ cách chia đa thức kinh điển mà các em đã

học

như sau:

Khi đó, ta được:

Khi có nghiệm thì ta sẽ luôn thu được Thật đơn giản phải không nào

ví dụ : Giải pt:

Bấm máy, ta thấy pt (1) có 2 nghiệm lẻ và một nghiệm nguyên (Vậy, để nhẩm nghiệm

nguyên cho một pt không có tham số, cách nhanh nhất là bấm máy) Khi đó, để giải được pt (1), chúng ta cần phân tích vế trái thành nhân tử Sử dụng lược đồ Hoocner:

Pt (*) trở thành:

Giải phương trình (2):

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:

VD7: Tìm các giới hạn sau:

BÀI TẬP

BT10: Tìm các giới hạn sau:

BT11: Tìm các giới hạn sau:

Khử dạng vô định

 Chia tử và mẫu cho (với n là số mũ bậc cao nhất của biến x)

 Nếu hay có chứa biến x trong dấu căn thì đưa ra ngoài dấu căn (với k là số

mũ cao nhất của x trong dấu căn)

Chú ý:

VD8: Tính các giới hạn sau:

Giải:

Vì

BÀI TẬP

BT12: Tìm các giới hạn sau:

BT13: Tìm các giới hạn sau:

DẠNG 4:

Nhân và chia biểu thức liên hợp nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức

VD9: Tìm các giới hạn sau:

Giải:

BÀI TẬP

BT14: Tính các giới hạn sau:

VẤN ĐỀ 2.3: Giới hạn vô cực

VD10: Tìm các giới hạn:

Vì

Vì

Vì

BÀI TẬP

BT15: Tìm các giới hạn sau:

VẤN ĐỀ 2.4: Giới hạn một bên

BÀI TẬP

BT16: Tìm các giới hạn :

BT17: Cho hàm số

BT18: Cho hàm số

BT19: Cho hàm số

Với giá trị nào của m thì hàm số có giới hạn khi Tính giới hạn này

BT20: Cho hàm số

Với giá trị nào của m thì hàm số có giới hạn khi Tính giới hạn này

BÀI TẬP TỔNG HỢP

BT21: Tìm các giới hạn sau:

*BT22: Tìm các giới hạn sau:

VẤN ĐỀ 6: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Cho hàm số xác định trên khoảng K và

Hàm số liên tục tại nếu thỏa:

 Xét tính liên tục của hàm số dạng :

Tìm Hàm số liên tục tại x0

 Xét tính liên tục của hàm số dạng :

Hàm số liên tục tại x=x0

VD11: Xét tính liên tục của hàm số:

Giải : Hàm số xác định với mọi x thuộc R

Ta có: f(1) = a

Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x0 =1

Nếu a ≠ 2 thì hàm số không liên tục tại x0 =1

Giải :

x > 1 ta có f(x) = ax + 2 hàm số liên tục trên R

x <1 ta có f(x) = x2 + x -1 hàm số liên tục trên R

Khi x = 1:

Ta có : f(1) = a+2

Hàm số liên tục tại x0 =1 nếu a= -1

Hàm số gián đoạn tại x0=1 nếu a≠1

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1 Hàm số liên tục trên (-∞;1)∪(1;+ ∞) nếu a=1

BÀI TẬP

BT23: Xét tính liên tục của hàm số

Tại

BT24: Xét tính liên tục của hàm số

Tại

BT26 Xét tính liên tục của hàm số

Trên TXĐ

BT27 Xét tính liên tục của hàm số

Trên TXĐ

BT28 Tìm a để hàm số

Liên tục tại BT29 Tìm m để hàm số

Liên tục tại BT30 Tìm m để hàm số

Liên tục trên

VẤN ĐỀ 7: Chứng minh pt f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a;b)

Phương pháp:

 Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

 Chứng tỏ f(a).f(b) <0

Khi đó f(x) bằng 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tìm các giá trị f(x) để tìm a và b Muốn chứng minh f(x)=0 có

BT31 Chứng minh rằng phương trình:

b) có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng

BT32 CMR các phương sau luôn có nghiệm:

Giới hạn là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, và đây cũng là phần

được nhiều thầy, cô giáo quan tâm

Trên đây là những dạng toán và phương pháp tôi đã tìm hiểu và rút kinh nghiệm được trong suốt quá trình giảng dạy Hi vọng nó sẽ góp phần nhỏ giúp các em học sinh có thêm tài liệu học tập cũng như ôn tập chuẩn bị cho những kí thi sắp tới .Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong nhận được góp ý của các đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn