Dãy số và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC VIỆT DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC VIỆT DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, Năm 2014 Lời nói đầu Dãy số chuyên đề quan trọng chương trình toán THPT Các toán liên quan đến dãy số thường toán khó, thường gặp kì thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, khu vực quốc tế Các dạng toán dãy số phong phú đa dạng nên khó phân loại hệ thống hóa thành chuyên đề riêng biệt Nội dung mục tiêu luận văn : “ Dãy số toán liên quan “ hệ thống lại số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát dãy số, chứng minh tồn giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số, ứng dụng dãy số việc giải số toán liên quan thông qua ví dụ minh họa tổng quát hóa kết đơn giản Bố cục luận văn gồm chương Chương I.Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát dãy Chương trình bày khái niệm, công thức tính chất cấp số cộng , cấp số nhân ,công thức tổng quát dãy, số dạng toán tìm số hạng tổng quát dãy sử dụng tính chất cấp số cộng, cấp số nhân số toán liên quan đến cấp số cộng cấp số nhân Chương II.Giới hạn dãy Chương trình bày khái niệm, tính chất giới hạn dãy số hệ thống ví dụ minh họa chứng minh tồn giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương III Các toán số học dãy Chương trình bày toán liên quan đến số học dãy số kì thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố Olympic 30/4 thông qua ví dụ minh họa Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Vũ Đỗ Long Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo Khoa Toán-Cơ-Tin học Semina Phương pháp toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội nhận xét góp ý cho luận văn Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm, động viên cổ vũ tọa điều kiện để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng nghiêm túc trình học tập nghiên cứu khoa học, song trình thực không tránh khỏi sơ suất Vì vậy, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 21 tháng 10 năm 2014 Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Chương I Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát dãy 1.1 Khái niệm 1.1.1 Cấp số cộng 1.1.2 Cấp số nhân 1.1.3 Công thức tổng quát dãy 1.1.4 Cách xác định dãy số 1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng 1.1.6 Dãy số bị chặn 1.1.7 Dãy số tuần hoàn 1.1.8 Dãy số dừng 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát số dạng dãy số đặc biệt 1.3 Các toán cấp số cộng, cấp số nhân Error! Bookmark not defined Chương II Giới hạn dãy Error! Bookmark not defined 2.1 Khái niệm Error! Bookmark not defined 2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy Error! Bookmark not defined 2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu dãy, chuyển qua giới hạn Error! Bookmark not defined 2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp Error! Bookmark not defined 2.2.3 Phương pháp sử dụng lượng giác Error! Bookmark not defined 2.3.4 Phương pháp so sánh giới hạn dãy Error! Bookmark not defined 2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy Error! Bookmark not defined Chương III Các dạng toán khác dãy số Error! Bookmark not defined 3.1 Bài toán số học dãy số Error! Bookmark not defined 3.2 Ứng dụng dãy số vào toán tính tổng số hạngError! Bookmark not defined 3.3 Ứng dụng dãy số vào toán phép đếm Error! Bookmark not defined 3.4 Bài toán bất đẳng thức dãy số Error! Bookmark not defined Kết luận Error! Bookmark not defined Tài liệu tham khảo 10 Chương I Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát dãy 1.1 Khái niệm 1.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d , nghĩa  un  cấp số cộng  n  2, un  un1  d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lý : Nếu cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1 công sai d số hạng tổng quát un xác định công thức un  u1   n  1 d , n  Định lý 2: Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa u u uk  k 1 k 1 , k  2 Định lý 3: Cho cấp số cộng  un  , đặt Sn  u1  u2   un Khi đó: Sn   u1  un  n  2u1   n  1 d  n hay Sn   1.1.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1:Dãy số (hữu hạn vô hạn)  un  cấp số nhân  n  2, un  un1.q Số q gọi công bội cấp số nhân Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 công bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un  u1.q n1 , n  Định lý 2: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk2  uk 1.uk 1 , k  (hay uk  uk 1.uk 1 ) Định lý 3: Cho cấp số nhân  un  với công bội q  Đặt Sn  u1  u2   un Khi Sn  u1 1  q n  1 q Chú ý: Nếu q  cấp số nhân u1 , u1 , , u1 , Khi Sn  n.u1 1.1.3 Công thức tổng quát dãy Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u: * n u  n Mỗi giá trị hàm số u gọi số hạng dãy số u1  u 1 gọi số hạng thứ (hay số hạng đầu) … un  u  n  gọi số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát dãy) Dãy số thường viết dạng khai triển * gọi u1 , u2 , , un , Mỗi hàm số u xác định tập M  1, 2, , m với m * gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , , um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.1.4 Cách xác định dãy số Cách 1: Cho dãy số công thức số hạng tổng quát n 1 VD: Cho dãy số  un  với un  3n  Cách 2: Cho dãy số hệ thức truy hồi (hay cho dãy số quy nạp) u1  VD: Cho dãy số  un  :  un  2un1  1, n  1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng Dãy số  un  gọi dãy đơn điệu tăng un1  un , n  Dãy số  un  gọi dãy đơn điệu không giảm un1  un , n  Dãy số  un  gọi dãy đơn điệu giảm un1  un , n  Dãy số  un  gọi dãy đơn điệu không tăng un1  un , n  1.1.6 Dãy số bị chặn Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn M  : un  M , n  Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn m  : un  m, n  Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn M , m  : m  un  M , n  1.1.7 Dãy số tuần hoàn Dãy số  un  gọi dãy số tuần hoàn với chu kì k unk  un , n  1.1.8 Dãy số dừng Dãy số  un  gọi dãy số dừng n0  : un  c, n  n0 ( c số, gọi số dừng ) 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1 u1  2 Xác định công thức tổng quát dãy  un  :  un  3un1  1, n  Giải: Trong toán ta gặp khó khăn dãy  un  cấp số cộng hay cấp số nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức số hạng tổng quát Nếu 1 xuất vế trái dãy  un  cấp số nhân với công bội q  Ta tìm cách làm 1 chuyển dãy  un  cấp số nhân un  k  3 un1  k   un  3un1  k  3k 1   un    un1   2   v1   Đặt:  un    2  vn  3vn1 , n  Dãy   cấp số nhân với công bội q  5   v1.q n1  3n1 5 Vậy un    3n1  , n  2  1  k  3k  k  Bài toán 1.1 u1  x0 Xác định công thức tổng quát dãy  un  :   a, b   un  a.un1  b, n  Giải: Trường hợp 1: a  dãy  un  cấp số cộng có công sai d  b nên un  u1   n  1 d  x0   n  1 b Trường hợp 2: a  Ta đặt un  k  a  un1  k   un  aun1  k  ak b ab b ab b b    1 a a 1  a a 1 a 1 b b  ab b   un   a  un1   Khi đó: un  a.un1   a 1 a 1  a 1 a 1  b  b v1  x0  Đặt:  un   a 1 a 1  vn  a.vn1 Ta phân tích b  k  ak  k  b  n1  Dãy   cấp số nhân có công bội q  a   v1.q n1   x0   a a 1   b b  n1 b a n1   n 1   x0  a   x a  b , n  Vậy un    a 1  a 1  a 1 a 1 u1  x0 Kết 1.1: Dãy  un  :   a, b   un  a.un1  b, n   x0   n  1 b, a 1  có công thức số hạng tổng quát un   a n1  n 1 , a 1  x0 a  b a 1  u1  Ví dụ 1.2: Xác định công thức tổng quát dãy  un  :  un  2un1  3n  1, n  Giải: Để tìm công thức tổng quát dãy số ta tìm cách làm 3n  để chuyển dãy số cấp số nhân Ta đặt un   an  b   un1  a  n  1  b   un  2un1  an  b  a  n  1  b   3n   an  b  a  n  1  b a  b  a  3  Cho n  1, n  ta có hệ  b  b  5  un  3n   un1  3 n  1  5 v1  10 Đặt:  un  3n    vn  2vn1 , n  Dãy   cấp số nhân với công bội q    v1.q n1  10.2n1 , n  Vậy công thức tổng quát un  10.2n1  3n  5, n  u1  Ví dụ 1.3: Tìm công thức tổng quát dãy  un  :  un  un1  2n  1, n  Giải: Xét f  n   2n  đa thức bậc n Đặt un  g  n   un1  g  n  1 suy f  n   g  n   g  n  1 , g  n  đa thức bậc n có hệ số tự Từ có g  n   an  bn  2n    an2  bn   a  n  1  b  n  1   a  b  a    g  n   n  2n Cho n  0, n  ta hệ:  a  b  b  2  un   n2  2n   un1   n  1   n  1   v1  1 Đặt:  un   n  2n    vn  vn1 , n  Dãy   cấp số nhân với công bội q    v1.q n1  v1  1, n  Vậy công thức tổng quát un  n2  2n  1, n  Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, 2008, Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [2] Phan Huy Khải, 2009, Chuyên đề số học dãy số, NXB Giáo dục [3] Tuyển tập đề thi Olympic Toán Trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo dục [4] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương pháp sai phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2012, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm [6] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục 10 [7] Nguyễn Tất Thu, 2008-2009, Chuyên đề hội giảng Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số, lưu hành nội [8] Phạm Thành Luân, 2001, 1001 toán dãy số, NXB Đà Nẵng [9] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2014, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm [10] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2011, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm [11] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2013, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm 11 [...]... Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm [6] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Một số bài toán chọn lọc về dãy số, NXB Giáo dục 10 [7] Nguyễn Tất Thu, 2008-2009, Chuyên đề hội giảng Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số, lưu hành nội bộ [8] Phạm Thành Luân, 2001, 1001 bài toán về dãy số, NXB Đà Nẵng [9] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2014, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng... vn1 , n  2 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  1  vn  v1.q n1  v1  1, n  2 Vậy công thức tổng quát của un  n2  2n  1, n  1 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, 2008, Chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, NXB Giáo dục [2] Phan Huy Khải, 2009, Chuyên đề số học và dãy số, NXB Giáo dục [3] Tuyển tập các đề thi Olympic Toán Trung học