Toan lvt khai thác m¸t s¨ bài toán liên quan t˛i tứ giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG SÁNG KIẾN KIẾN SÁNG KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY VÀ HỌC TRONG TRƯỜNG THCS-THPT π π π π π π π π π π π π π π π π π NINH BÌNH 2021 - 2022 π π CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập- Tự do- Hạnh phúc ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY VÀ HỌC TRONG TRƯỜNG THCS-THPT Đồng tác giả: Nguyễn Trường Sơn- Ngô Thị Hoa- Bùi Thị Mỹ Nương Chức vụ: Giáo viên tổ Toán -Tin π π π π π Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy π π π π π π π π π π π π NINH BÌNH 2021 - 2022 π π π MỤC LỤC A Kiến thức cần nhớ B Một số ví dụ áp dụng Û Chủ đề Các toán chứng minh hai đường thẳng vng góc, song song 11 Û Chủ đề Các toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy 19 | Dạng Sử dụng định lý Menelaus 19 | Dạng Sử dụng phương pháp góc bù 29 | Dạng Sử dụng kĩ thuật hình 33 | Dạng Sử dụng phương pháp điểm trùng 37 | Dạng Chứng minh đường thẳng đồng quy 43 Û Chủ đề Các toán chứng minh đường thẳng tiếp xúc đường tròn, hai đường tròn tiếp xúc 58 Û Chủ đề Khai thác phát triển từ toán nhỏ 76 Û Chủ đề Định lý bướm số thí dụ áp dụng 94 Û Chủ đề Các hệ thức, độ dài cạnh 109 | Dạng Chứng minh hệ thức lượng, tính độ dài cạnh 109 | Dạng Bài toán đảo trực tâm tam giác 113 C Một số toán dạng khác 116 D Bài tập tự luyện 125 Bảng đáp án 131 i/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy ii MỤC LỤC ii/132 Kết nối tri thức với sống p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến tỉnh Ninh Bình Chúng tơi gồm: TT Họ tên Nguyễn Trường Sơn Ngô Thị Hoa Bùi Thị Mỹ Nương Năm sinh Chức vụ Trình độ chun mơn 1983 1979 1978 Giáo viên Giáo viên Giáo viên Cử nhân Thạc sĩ Thạc sĩ Tỉ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến 60% 20% 20% Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Là nhóm tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY VÀ HỌC TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ, TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy hình học trường THCS, THPT THPT Chuyên Thời gian áp dụng: Năm học 2021 − 2022 năm học 2022 − 2023 Nội dung sáng kiến Trong chương trình mơn Tốn THPT, hình học sơ cấp phân môn quan trọng việc rèn kĩ năng, luyện tư cho học sinh Vẻ đẹp ẩn chứa điểm, đường thẳng, đường trịn, góc mà muốn cảm nhận ta cần phải có nhìn tinh tế, trí tưởng tượng phong phú Hình học giúp người ta có nhìn tổng quát, sâu rộng hơn, suy luận chặt chẽ tư sáng tạo Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đặt người giáo viên đứng trước nhiều lựa chọn, việc tìm, ứng dụng kiến thức vơ quan trọng Chúng ta làm quen nhiều dạng tốn hình học, biết nhiều phương pháp giải, có có cách giải Mỗi gặp tốn lại phải suy nghĩ tìm cách giải Sự phong phú đa dạng tốn hình học ln hấp dẫn giáo viên, học sinh giỏi yêu toán Từ thực tế ơn luyện đội tuyển tham gia kì thi chọn học sinh giỏi THCS, THPT cấp tỉnh, cấp quốc gia, cấp khu vực quốc tế, thấy tốn hình học thường xuất đề thi với ý nghĩa “thử tài” “chọn lọc” học sinh, toán liên quan tới tứ giác nội tiếp, phương tích, trục đẳng phương, Các kiến thức liên quan tới tứ giác nội tiếp, trước nay, sách giáo khoa tài liệu khác đề cập nhiều Tuy nhiên, giáo viên khơng có hệ thống tập mơ hình cụ thể Học sinh tiếp thu thơng qua tốn cụ thể giáo viên cho, khơng biết nằm đâu, kiến thức liên quan tới tập Đặc biệt, từ kiến thức nhỏ, sách không phát triển, mở rộng cho tốn mới, có mơ hình đơn giản lời giản vơ đẹp Chính điều làm cho việc dạy việc học gặp nhiều khó khăn Từ thực tế trên, chúng tơi nhận thấy tính cấp thiết phải xây dựng hệ thống tập mơ hình liên quan tới tứ giác nội tiếp Sáng kiến trình bày định nghĩa, tính chất tứ giac nội tiếp 1/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống đường trịn, từ đưa số mơ hình, xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó, làm tư liệu cho giáo viên học sinh trình dạy học Sáng kiến đưa vào áp dụng, nhận hưởng ứng giáo viên học sinh, bước đầu thu kết tích cực a) Giải pháp cũ thường làm: Kiến thức tứ giác nội tiếp đường tròn quen thuộc với học sinh học chuyên hay không chuyên Song tập liên quan tới tứ giác nội tiếp thường có rời rạc, khơng hệ thống Các tốn thường cho, sau giải tốn mà khơng có thêm phần phát triển, làm tập tương tự, mở rộng tốn ? Nhược điểm: ○ Tứ giác nội tiếp nội dung quan trọng chương trình hình học Các tốn liên quan tới tứ giác nội tiếp xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp khu vực, cấp Quốc gia Để đạt điểm giỏi, học sinh cần nhớ đầy đủ tính chất mơ hình quen thuộc Muốn em học sinh cần rèn luyện làm tập đầy đủ sâu hơn, đặc biệt khai thác sâu từ toán quen thuộc Nhưng sách tập giáo khoa hành, sách tài liệu chuyên chưa đáp ứng yêu cầu ○ Khi soạn giảng, giáo viên bắt buộc phải tham khảo nhiều tài liệu từ nhiều phương tiện, soạn cho đối tượng học sinh luyện thi đại học thi học sinh giỏi cấp, nhiều thời gian công sức, tốn nhiều tiền bạc ○ Học sinh học tập thụ động, kiến thức đặt sẵn nên tạo thói quen nghe, ghi chép, học thuộc, chưa phát huy lực tư sáng tạo, khả tự học, tự tìm tịi, tự xử lý thông tin học sinh ○ Người học ngày hứng thú học tập, hạn chế, chí triệt tiêu sáng tạo, ln thụ động ghi nhớ kiến thức cách máy móc ○ Do tập thiếu tính hệ thống, học sinh lại chưa đủ kĩ kinh nghiệm để hệ thống phân loại kiến thức nên em khó hiểu cách bao quát, đầy đủ dạng tập liên quan tới tứ giác nội tiếp đường tròn Để khắc phục hạn chế trên, việc biên soạn hệ thống tập liên quan tới tứ giác nội tiếp đường tròn cần thiết, vừa có ích cho thầy cho trị, vừa góp phần nâng cao chất lượng dạy giáo viên phát huy tính tích cực, lực tự học học sinh b) Giải pháp cải tiến: ? Mô tả chất giải pháp mới: ○ Trên sở tư logic, nghiên cứu thể kiến thức bao trùm từ tới phức tạp, từ dễ đến khó phù hợp với nhận thức học sinh ○ Chúng giới thiệu chi tiết toán liên quan tới tứ giác nội tiệp hệ thống lý thuyết tập có gắn kết chặt chẽ với Khi đưa thực nghiệm thầy cô giáo em học sinh say mê hình học đón nhận nồng nhiệt ○ Hệ thống tập lựa chọn đưa vào sáng kiến tập tính tốn phân loại theo mức độ nhận thức Các dạng tập xếp theo chủ đề với mức độ kiến thức tăng dần Vì vậy, hệ thống tập sáng kiến xếp từ dễ đến khó dành cho đối tượng học sinh, vừa cách hệ thống kiến thức vừa cách định hướng, dẫn dắt đưa học sinh tới chân trời tốn học, kích thích tính ham tìm tịi, ham hiểu biết rèn luyện tư sáng tạo vốn có sẵn học sinh ○ Đặc biệt học sinh từ mơ hình quen thuộc chuyển sang mơ hình phức tạp hơn, để từ em rèn luyện số kĩ đưa toán có mơ hình phức tạp mơ hình quen thuộc, em sáng tạo hình thú vị 2/132 p Sáng kiến – Ơ Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống ○ Từ tốn đơn giản, chúng tơi giới thiệu toán phát triển, toán mở rộng Giúp học sinh rèn khả tự học, tự phát triển ? Tính mới, tính sáng tạo giải pháp: ○ Tính Trong q trình giảng dạy, chúng tơi hệ thống, đúc rút thành tính chất liên quan Các toán xây dựng từ đơn giản tới phức tạp, từ lạ thành quen Từ có ví dụ minh họa cho việc áp dụng tính chất Giúp người học, người đọc hiểu nhớ tính chất Đặc biệt, chúng tơi xây dựng số mơ hình thường gặp, từ đưa số giải pháp, giúp học sinh nhìn vào tốn đó, có đặc điểm giống mơ hình cung cấp, giải nhanh tốn ○ Tính sáng tạo + Từ tập bản, xây dựng hệ thống tập liên quan Các tập có ứng dụng giúp học sinh biến lạ thành quen, biến tập với mơ hình khó mơ hình gặp, giải tốn khó + Chúng tơi đúc rút số mơ hình quen thuộc, để từ mơ hình đó, giáo viên học sinh dễ dàng chuyển đổi để biến thành tốn có cấu hình phức tạp Học sinh từ mơ hình,các giải pháp đưa sáng tạo toán + Phát triển thành hệ thống tập liên quan tới tứ giác nội tiếp đường tròn cách khoa học Các tập nhóm tác giả trình bày tự luận từ dễ tới khó để tăng khả trình bày cho học sinh HSG Quốc gia Sáng kiến nêu bật lên số cách sáng tạo tốn hình học với mơ hình lạ từ mơ hình quen thuộc Chính sáng kiến thúc đẩy tinh thần say mê tốn học, điều sách tài liệu tham khảo đề cập tới Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt a) Hiệu kinh tế: Thực tế giảng dạy ôn luyện học sinh giỏi cấp, nhận thấy học sinh đam mê mơn tốn nói chung, hình học nói riêng thường tự tìm đến nguồn tài liệu khác Đây tín hiệu tốt thể tính tự học người học sinh Tuy nhiên, tài liệu học vơ vàn quỹ thời gian người học sinh không nhiều Với sáng kiến này, định hướng cho em tài liệu thiết yếu phục vụ cho việc ôn luyện Việc em có hệ thống tập, mơ hình quen thuộc hốn đổi sang mơ hình khác sáng kiến giúp ích nhiều cho em học sinh Vì việc áp dụng sáng kiến mang lại hiệu sau: ○ Tiết kiệm nhiều thời gian cơng sức tìm tịi tài liệu giáo viên học sinh giảng dạy học tập mơn Tốn ○ Tiết kiệm phần chi phí mua tài liệu, sưu tầm tài liệu ○ Định hướng vấn đề, nội dung kiến thức cần bồi dưỡng mời thầy tập huấn cho đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia ○ Phù hợp mục tiêu việc học tập mà UNESCO đề xướng “Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để tự khằng định mình”, việc tự học học sinh thời gian thực giãn cách xã hội để phòng chống dịch bệnh Covid-19 b) Hiệu xã hội: 3/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống ○ Trong trình nghiên cứu, mạnh dạn đem sáng kiến áp dụng dạy cho lớp chuyên Toán trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy, em đón nhận nhiệt tình Các em hăng say phát triển thêm toán mới, với thầy giáo tìm tịi cách giải tốn nêu Điều khiến chúng tơi vui mừng từ mơ hình sáng kiến, nhiều học sinh tạo tốn với cấu hình phức tạp Sáng kiến góp phần rèn luyện, phát triển lực, kỹ làm việc nhóm học sinh, lực cần thiết cho hội nhập quốc tế ○ Chúng đem sáng kiến dạy cho em học sinh cấp THCS ( em học sinh giỏi lớp huyện Hoa Lư) em đón nhận nhiệt tình, say mê thích thú Kết thi học sinh giỏi Huyện Hoa Lư đạt giải cao: nhì, ba, khuyến khích Em Nguyễn Chí Hiếu trường THCS Đinh Tiên Hoàng- Hoa Lư đạt giải cao (năm 2022, khơng có giải nhất, có giải nhì) ○ Sáng kiến áp dụng làm tăng tính chuyên cần, nâng cao tính tự lực thái độ học tập học sinh Các em học sinh từ mơ hình, giải pháp đưa sáng tạo tốn ○ Sáng kiến áp dụng góp phần giúp học sinh có niềm đam mê hứng thú học tập, hình thành phát triển giới quan, nhân sinh quan Có ý thức tương trợ 4/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống giải vấn đề thực tiễn góp phần xây dựng quê hương giàu mạnh có chất lượng sống tốt ○ Góp phần nâng cao tính chuyên nghiệp, hợp tác với đồng nghiệp trình dạy học, tạo hội xây dựng quan hệ với học sinh Đưa mơ hình triển khai, cho phép hỗ trợ đối tượng học sinh đa dạng việc tạo nhiều hội học tập dạy học Nâng cao hiệu đào tạo, chất lượng dạy Củng cố niềm tin, sức mạnh, gắn bó với nghiệp trồng người Điều kiện khả áp dụng ? Điều kiện áp dụng: Sáng kiến nguồn tư liệu hữu ích, dễ dàng sử dụng; khơng địi hỏi u cầu kĩ thuật hỗ trợ Những phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực ứng dụng giảng cụ thể số học nên thuận lợi cho giáo viên học sinh tham khảo, tra cứu; góp phần thiết thực đổi dạy học, kiểm tra, đánh giá, nâng cao chất lượng giáo dục Đặc biệt thiết thực với học sinh say mê với mơn hình học ? Khả áp dụng: Đối với trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy, sau hai năm áp dụng sáng kiến đạt nhiều kết khả quan Sáng kiến bước đầu tiếp cận với học sinh cấp hai THCS cho tín hiệu đáng mừng ○ Những nội dung kiến thức truyền tải tới học sinh nhiều phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực khác nhau, phù hợp với đối tượng học sinh Vì đối tượng học sinh, khơng phân biệt trình độ nhận thức, khơng phân biệt loại hình trường lớp dễ dàng tiếp nhận kiến thức ○ Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho đối tượng học sinh giáo viên học tập, nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn ○ Hiện nay, sáng kiến tư liệu tham khảo cần thiết thiếu học sinh giáo viên Chuyên Toán trường THPT chuyên Lương Văn Tụy ○ Sáng kiến tiếp tục mở rộng phát triển tiếp năm học sau ○ Đây hoạt động dạy học tích cực thơng qua học chương trình Tốn học THPT để phát triển lực học sinh Do áp dụng thường xuyên tất học sinh THPT tất giáo viên mơn Tốn học-THPT sử dụng giải pháp điều kiện sở vật chất có tất nhà trường Danh sách người tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu TT Họ tên Năm sinh Nơi công tác Chức vụ Nguyễn Thị Bích Ngọc 1976 THPT Chuyên Lương Văn Tụy Giáo viên Trình độ chun mơn Thạc sĩ Phạm Đức Tùng 1983 THPT Chuyên Lương Văn Tụy Giáo viên Thạc sĩ Vũ Nguyễn Hoàng Anh 1994 THPT Chuyên Lương Văn Tụy Giáo viên Cử nhân khoa học 5/132 Nội dung công việc hỗ trợ Dạy định nghĩa tứ giác nội tiếp Dạy toán liên quan tới tứ giác nội tiếp Dạy toán liên quan tới tứ giác nội tiếp p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Chúng xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Ninh Bình, ngày 15 tháng năm 2022 Người nộp đơn Nguyễn Trường Sơn Ngô Thị Hoa Bùi Thị Mỹ Nương 6/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 118 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Câu 112 (T4/487 Toán học & tuổi trẻ số 487, tháng năm 2018) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) D, E, F cho EC = 2EB Kẻ đường kính EI đường trịn (O) Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng cắt đoạn thẳng EF K Chứng minh A, I, K thẳng hàng Ê Lời giải Câu 113 (T12/488 Toán học & tuổi trẻ số 488, tháng năm 2018) Cho tam giác ABC không cân A Đường tròn (O) thay đổi, qua B, C theo thứ tự cắt đoạn ˜ không chứa AB, AC M , N P giao điểm BN CM Q điểm cung BC M , N (O) K tâm đường tròn nội tiếp tam giác P BC Chứng minh KQ qua điểm cố định Ê Lời giải 118/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 119 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Câu 114 (T4/500 Toán học & tuổi trẻ số 500, tháng năm 2019) Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD = AB Qua D kẻ đường 119/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 120 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống ’ I Từ I kẻ IH vng góc thẳng song song với AC, đường thẳng cắt tia phân giác ABC với BC H Từ H kẻ HE vng góc với AB E kẻ HF vng góc với AD F Chứng minh ‘ = AF ‘I AEI Ê Lời giải Câu 115 (T8/499 Toán học & tuổi trẻ số 499, tháng năm 2019) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có tâm đường trịn nội tiếp I M trung điểm AI K thuộc BC cho IK ⊥ IO Q thuộc (O) cho AQ ∥ IK QM cắt BC H G thuộc AK ’ = IAL ‘ cho HG ∥ QI QK cắt (O) L khác Q Chứng minh GIK Ê Lời giải 120/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 121 MỤC LỤC 121/132 Kết nối tri thức với sống p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 122 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Câu 116 (T4/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019) ’ ACB ’ góc nhọn Gọi M trung điểm cạnh AB Trên tia đối Cho tam giác ABC có ABC ’ = BCM ÷ Qua B ẻ đường thẳng vng góc với CD, đường thẳng tia BC lấy điểm D cho DAB cắt đường trung trực đoạn thẳng AB E Chứng minh đường thẳng DE đường thẳng AC vng góc với Ê Lời giải Câu 117 (T12/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019) Cho tứ giác điều hòa ABCD (tứ giác nội tiếp có tích cặp cạnh đối nhau), (O) đường tròn ngoại tiếp M trung điểm AC X, Y , Z, T theo thứ tự hình chiếu M AB, BC, CD, DA; E = AB ∩ CD, F = AD ∩ CB, P = AC ∩ BD, Q = XZ ∩ Y T Chứng minh P Q qua trung điểm EF Ê Lời giải 122/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 123 MỤC LỤC 123/132 Kết nối tri thức với sống p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 124 MỤC LỤC 124/132 Kết nối tri thức với sống p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 125 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống D – BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), M điểm cung BC khơng chứa A Đường trịn (J) bàng tiếp góc A tam giác tiếp xúc với BC D Đường thẳng qua J vng góc với OJ cắt AO, M D P, Q Chứng minh OP = OQ Bài Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Đường trịn K đường kính AM cắt lại AB, AC D, E Chứng minh tiếp tuyến D, E đường tròn (K) cắt đường trung trực BC Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, đường cao AK Giả sử đường thẳng qua K vng góc với OK cắt AB, AC M, N Giă sử M H, N H cắt AC, AB P, Q tương ứng Chứng minh tứ giác AP HQ nội tiếp ’ = BCD ’ = 90◦ , E = AC ∩ BD Chứng minh trung điểm Bài Cho tứ giác ABCD có BAD đoạn nối tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABE, CDE thuộc đường thẳng BD Bài Cho tam giác nhọn ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp, H trực tâm, M trung điểm đoạn AH Đường thẳng qua M vuông góc với OM cắt AB, AC P, Q Chứng minh M P = M Q Bài Cho tam giác ABC khơng vng, có đường cao BB , CC cắt H K trung điểm AH I = AH ∩ B C Chứng minh I trực tâm tam giác KBC Bài Chọ hai tam giác nhọn A1 BC A2 BC nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H1 , H2 ◦ ÿ tương ứng Gọi M, N giao điểm H1 H2 với A2 B, A2 C Biết A H2 H1 = 90 Chứng minh A1 M = A1 N Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi E, F, G, H tiếp điểm đường tròn (I) với AB, BC, CD, DA P = EG ∩ F H Đường thẳng qua P vng góc với IP cắt AD, BC K, L Chứng minh EG ⊥ F H KA · KD = LB · LC Bài (Taiwwan TST 2014) Cho tam giác ABC, I tâm đường tròn nội tiếp, O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi ∆ đường thẳng song song với BC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác Giả sử X = ∆ ∩ IO Y ∈ ∆ cho Y I ⊥ IO Chứng minh A, X, O, Y đồng viên Bài 10 (ARMO 2015) Cho tam giác nhọn, không cân ABC, trung tuyến AM , đường cao AH Q P thuộc AB, AC cho QM ⊥ AC, P M ⊥ AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác P M Q cắt đường thẳng BC điểm thứ hai X Chứng minh BH = CX Bài 11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường phân giác BD, CE cắt I K trung điểm đoạn AI Chứng minh đường trung trực IK, đường thẳng vng góc với OI I đường thẳng DE đồng quy Bài 12 (HSG Bắc Giang 2020) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) H trực tâm tam _ giác ABC Gọi M điểm cung BHC đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC BM giao ’ Gọi T tâm đường tròn ngoại AC E, CM giao AB F Kẻ phân giác AD góc BAC tiếp tam giác AEF a) Chứng minh T D ⊥ BC b) Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF OD Bài 13 (HSG Bắc Ninh 2020) Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H, O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D, E chân đường cao hạ từ đỉnh A, B tam giác ABC Các đường thẳng OD BE cắt K, đường thẳng OE AD cắt L Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K, L, M thẳng hàng bốn điểm C, D, O, H nằm đường tròn 125/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 126 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Bài 14 (T4/514 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số tháng năm 2020) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD, gọi E; F hình chiếu vng góc D trến cạnh AB AC Giả sử hai đoạn thẳng OA EF cắt I Chứng minh AB · AC · AI = AD3 Ê Lời giải Bài 15 (T12/514 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số tháng năm 2020) Cho tam giác ABC nhọn Hai điểm M , N nằm cạnh BC cho M , N không trùng với B, C đồng thời BM = CN Đường thẳng qua M vuông góc với CA, cắt đường thẳng AB F Đường thẳng qua N vng góc với AB, cắt đường thẳng AC E M F cắt N E P Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác P EF lấy điểm Q cho P Q ∥ BC Gọi R điểm đối xứng với Q qua trung điểm BC Chứng minh AR ⊥ BC Ê Lời giải 126/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 127 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Bài 16 (T2/515 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số tháng năm 2020) Cho tam giác ABC cạnh BC cố định, đỉnh A di động Kẻ phân giác AD tam giác Qua C kẻ đường thẳng vng góc với phân giác AD N Gọi M trung điểm AC Chứng minh đỉnh A di động M N qua điểm cố định Ê Lời giải 127/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 128 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Bài 17 (T4/515 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số tháng năm 2020) Cho đường tròn (O, R) Từ điểm A ngồi đường trịn kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE (D nằm A E), BC cắt OA H Từ H kẻ đường thẳng song song với BE cắt AB K Chứng minh BD qua trung điểm HK Ê Lời giải 128/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 129 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Bài 18 (T12/517 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số tháng năm 2020) Cho tam giác ABC có B, C hai điểm cố định thuộc đường tròn (O), điểm A thay đổi (O) Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi (C1 ), (C2 ), (C3 ) đường trịn đường kính AB, BC, CA AH cắt (C2 ) điểm M (M thuộc đoạn AH), BH cắt (C3 ) N (N thuộc đoạn BH), CH cắt (C1 ) P (P thuộc đoạn CH) AN cắt (C1 ) điểm S khác A, AP cắt (C3 ) điểm T khác A Đường thẳng N P cắt (C1 ) điểm X khác P , cắt (C3 ) Y khác N ; XS cắt Y T điểm Z Đường thẳng qua A vng góc với N P cắt (C1 ) J, cắt (C3 ) L a) Đường trịn tâm A bán kính AN cắt (C1 ) điểm V , cắt (C3 ) điểm U Chứng minh 129/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 130 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống ba điểm V , N , J thẳng hàng ba điểm U , P , L thẳng hàng b) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác XY Z điểm cố định A thay đổi (O) Ê Lời giải 130/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 131 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Bài 19 Gọi AD, BE, CF đường cao ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) Chứng minh chu vi ∆DEF không đổi A, B, C thay đổi đường trịn (O, R) cho diện tích ∆ABC ln a2 Bài 20 Cho tam giác ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) Chứng minh I thuộc đường trịn đường kính OA AB + AC = 2BC Bài 21 Cho tam giác ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD Đường tròn (K) tiếp xúc BD, DA tiếp xúc (O) Đường tròn (L) tiếp xúc DC, DA tiếp xúc (O) Tiếp tuyến chung khác AD (K) (L) cắt BC M Chứng minh M trung điểm đoạn BC AB + AC = 2BC AB = AC BẢNG ĐÁP ÁN 131/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí Pi, Hội Tốn học Việt Nam [2] Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ, ,Nhà xuất giáo dục Việt Nam [3] Diễn đàn toán học https://diendantoanhoc.net [4] AoPS Forum https://artofproblemsolving.com [5] Trần Quang Hùng, Tuyển chọn chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn Hình học, NXB ĐHQG Hà Nội [6] Nguyễn Tăng Vũ, Chuyên đề Hình học lớp bồi dưỡng học sinh khiếu, NXB GD Hà Nội [7] TS Nguyễn Ngọc Giang ( Chủ biên) - Lê Viết Ân, Sáng tạo hình học, NXB ĐHQG Hà Nội [8] Nguyễn Trường Sơn, Định lí điểm Miquel tam giác, Hội thảo khoa học chuyên đề tổ chức Ninh Bình 2019 132/132 p Sáng kiến – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy