dãy số trong dạy học toán ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Minh Hải DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Minh Hải DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN CHÍ THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Chí Thành, thầy tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS Vũ Như Thư Hương, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức niềm say mê chuyên ngành didactic toán Tôi xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học - Ban Giám Hiệu học sinh trường THPT Vĩnh Lộc, trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn giúp đỡ vấn đề thực nghiệm luận văn Trong suốt trình thực luận văn, động viên bạn bè, anh chị em lớp Didactic Toán khóa 22, giúp đỡ Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THCS Huỳnh Văn Nghệ trình giảng dạy động lực để tiếp tục phấn đấu hoàn thành luận văn Tôi xin gửi đến họ lòng biết ơn sâu sắc tình cảm thân thương Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình tôi, động viên giúp đỡ mặt LÊ MINH HẢI MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Phạm vi lý thuyết tham chiếu 3 Phương pháp nghiên cứu tổ chức luận văn CHƯƠNG 1: DÃY SỐ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN Ở ĐẠI HỌC 1.1 Dãy số giáo trình [a] 1.2 Dãy số giáo trình [b] CHƯƠNG 2: DÃY SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở PHỔ THÔNG17 2.1 Dãy số SGK Toán bậc tiểu học trung học sở 18 2.2 Dãy số SGK Toán lớp 11 chỉnh lí hợp năm 2000 22 2.3 Dãy số SGK Toán lớp 11 hành 38 2.3.1 Dãy số sách Cơ 38 2.3.2 Dãy số sách Nâng Cao 61 CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 66 3.1 Thực nghiệm 66 3.1.1 Đối tượng hình thức thực nghiệm 66 3.1.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) toán thực nghiệm 66 3.1.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) toán thực nghiệm 68 3.2 Thực nghiệm 71 3.2.1 Đối tượng hình thức thực nghiệm 71 3.2.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) toán thực nghiệm 71 3.2.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) toán thực nghiệm 75 3.3 Kết luận 77 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 PHỤ LỤC 82 MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp 6, thấy rằng, sách giáo khoa (SGK) toán lớp có đưa vào tập: “Cho dãy số sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Trong dãy số trên, số (kể từ số thứ 3) tổng hai số liền trước Hãy viết tiếp bốn số dãy số.” [1, tr.17] Đây thời điểm mà thuật ngữ “dãy số” đưa vào sách giáo khoa Mặc dù SGK Toán bậc tiểu học (TH) bậc trung học sở (THCS) chưa định nghĩa khái niệm dãy số mà định nghĩa dãy số tự nhiên từ “dãy số” sử dụng nhiều lần Vậy dãy số mang nghĩa gì? Điều ảnh hưởng đến quan niệm HS học khái niệm dãy số lớp 11 Trong chương trình SGK Đại số giải tích lớp 11, khái niệm dãy số định nghĩa sao? Nó giới thiệu cho HS nào? Ghi nhận dẫn đến câu hỏi xuất phát sau: Q’1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm dãy số, cách cho dãy số khái niệm liên quan đề cập nào? Q’2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy phổ thông, chúng xuất sao? với ràng buộc nào, vai trò? Sự tiến triển chúng qua cấp học? Q3’: Cách trình bày SGK ảnh hưởng đến quan niệm HS học dãy số? Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để có giải thích thỏa đáng cho vấn đề nêu theo chúng tôi, điều quan trọng phải tìm kiếm công cụ lý thuyết phù hợp làm sở cho việc đưa câu trả lời Và đặt nghiên cứu phạm vi Didactic toán Cụ thể, vận dụng số khái niệm lí thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối tượng tri thức, tổ chức toán học, phân tích sinh thái, …); lí thuyết tình (đồ án didactic, phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm, …); … Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu lựa chọn, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Trong thể chế dạy học bậc đại học, khái niệm dãy số, cách cho dãy số khái niệm liên quan trình bày nào? Q2 : Trong thể chế dạy học Toán trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số xây dựng tiến triển sao? Q3 : Mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân HS? Phương pháp nghiên cứu tổ chức luận văn Để đạt mục đích đề tìm câu trả lời cho câu hỏi nêu trên, xác định tiến hành nghiên cứu sau:  Trước hết, nghiên cứu tri thức bác học thông qua số giáo trình Toán bậc đại học Nghiên cứu nhằm tìm hiểu cách trình bày khái niệm dãy số, cách cho dãy số khái niệm liên quan đến giáo trình Toán đại học Những kết trình bày chương 1: “Dãy số giáo trình Toán đại học”  Trong chương 2: “Dãy số sách giáo khoa toán phổ thông”, tiến hành phân tích sơ lược sách giáo khoa toán bậc tiểu học trung học sở (cụ thể, chọn phân tích sách giáo khoa lớp 2, lớp lớp 6) để có nhìn tổng quan, làm rõ đối tượng dãy số xuất nào, mang nghĩa gì? có ràng buộc nào? có tổ chức toán học liên quan xây dựng? Vai trò chúng? Sau đó, phân tích sách giáo khoa, sách tập Đại số Giải tích 11 chỉnh lí hợp năm 2000 để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số tổ chức toán học liên quan đến khái niệm Tiếp đó, phân tích sách giáo khoa, sách tập, sách giáo viên Đại số Giải tích 11 hành để làm rõ cách trình bày khái niệm dãy số, cách cho dãy số, khái niệm liên quan tổ chức toán học liên quan đến Qua rõ mối tương quan dãy số hàm số Tổng hợp kết thu được, đưa giả thuyết nghiên cứu tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính đắn giả thuyết  Việc kiểm chứng tính đắn giả thuyết nghiên cứu giúp tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3 trình bày chương 3: “Nghiên cứu thực nghiệm” CHƯƠNG 1: DÃY SỐ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN Ở ĐẠI HỌC Mục tiêu chương: Chương có mục tiêu phân tích làm rõ khái niệm dãy số khái niệm gắn liền với giáo trình Toán đại học Cụ thể, qua việc phân tích giáo trình toán, cố gắng làm rõ cách trình bày khái niệm dãy số, cách cho dãy số khái niệm liên quan đến Những kết thu làm sở tham chiếu cho việc phân tích chương Chúng chọn hai giáo trình sau để làm tài liệu nghiên cứu: - Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012), Toán học cao cấp tập hai, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Kí hiệu giáo trình [a] - MarieMonier (2009), Giải tích (Người dịch: Lý Hoàng Tú), Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Kí hiệu giáo trình [b] 1.1 Dãy số giáo trình [a] Trước hết, tóm tắt cấu trúc chương giáo trình [a]: Chương 1: Số thực Chương 2: Hàm số biến số thực Chương 3: Giới hạn liên tục hàm số biến số Chương 4: Đạo hàm vi phân hàm số biến số Chương 5: Các định lí giá trị trung bình Chương 6: Nguyên hàm tích phân bất định Chương 7: Tích phân xác định Chương 8: Chuỗi Trong giáo trình [a], khái niệm dãy số trình bày chương I: Số thực, trước chương hàm số biến số thực, với trình tự sau: 1.1 Tập hợp 1.2 Tập số thực 1.3 Dãy số thực Như khái niệm dãy số trình bày sau khái niệm tập hợp, ánh xạ, trường số thực Và định nghĩa dựa khái niệm ánh xạ: Định nghĩa Một dãy số thực (nói ngắn gọn dãy số) ánh xạ từ * vào : * ∋ n  xn ∈  Người ta thường dùng kí hiệu { xn } , n = 1,2, , để dãy số [13, tr.18] Sau định nghĩa khái niệm dãy số, [a] giới thiệu ví dụ dãy số, cụ thể: Thí dụ: (a) {xn}; xn = 1 1 ; x1 = 1; x2 = , x3 = ; …, xn = , … n n (b){xn}; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; …, xn = 1, … (c) {xn}; xn = (-1)n; x1 = -1; x2 = 1, …, xn = (-1)n, … (d){xn}; xn = n2; x1 = 1, x2 = 4, …, xn = n2, n n  1  1 (e) {xn}; xn = 1 +  ; x1 = 2; x2 = , …, xn = 1 +  , …  n  n [13, tr.18] Các dãy số {xn} ví dụ xác định công thức xn = f(n) Dựa vào số hạng dãy số, [a] đưa số nhận xét mở đầu dãy số ví dụ trên, chẳng hạn tính đơn điệu, tính hội tụ,… Tiếp đó, [a] có đề cập đến kiến thức liên quan đến dãy số định nghĩa hội tụ dãy, tính chất dãy số hội tụ, dãy đơn điệu, tính bị chặn số định lí khác liên quan đến hội tụ dãy số,… Trong giáo trình này, đặc biệt quan tâm đến ý dãy số thực [a] trình bày trang 31, trang 32 sau: Chú ý cuối dãy số thực: Trong ví dụ trước, dãy {xn} xác định công thức xn = f ( n ) Đó cách xác định (hay tường minh) dãy số Theo cách xác định ấy, ta tính xn biết n Bây xét dãy số {xn} xác định sau:  xo =  x n −1 −  , ∀n ∈  xn −1 − n  x= x n −1  Trong trường hợp ta xn, xn-1,…Nếu muốn tính x3, ta phải xuất phát từ x0 tính x1, từ x1 tính x2, từ x2 tính x3 Người ta gọi cách xác định ẩn hay xác định theo quy nạp dãy số = xn xn−1 − Hãy xét chi tiết dãy Vì nên x2 − xn − xn−1 = − n−1 xn−1 xn = xn2−1 − , với x0 = 2 xn−1 xn2−1 + 2 xn−1 Suy dãy {xn} giảm dần xn > 0, ∀ n, {xn} hội tụ hội tụ đến nghiệm dương phương trình bậc hai x2 – = 0, tức hội tụ đến (lưu ý =1,414213526 x3 = 1,41421) [13, tr.31-32] Qua đó, thấy [a] đề cập đến hai cách xác định dãy số, cách xác định (hay tường minh) dãy số cách xác định ẩn (hay xác định theo quy nạp) dãy số Hay nói cách khác, hai cách cho dãy số dãy số cho công thức số hạng tổng quát dãy số cho phương pháp truy hồi Trong đó, dãy số cho phương pháp truy hồi nhắc đến ý cuối chương, [a] trình bày muốn tính số hạng thứ n dãy số cho phương pháp truy hồi phải tính tất số hạng đứng trước Ngoài [a] không đề cập đến cách xác định dãy số khác không đề cập đến việc chuyển dãy số cho dạng công thức truy hồi sang công thức số hạng tổng quát ngược lại Và cuối ý này, [a] có trình bày thêm: Chúng ta không bàn chi tiết ưu, nhược điểm cách xác định dãy, không bàn hội tụ dãy ẩn; lưu ý hình thức cách cho dãy dạng quy nạp không tiện tính toán, thực tế; dãy ẩn nảy sinh từ việc tìm dãy hội tụ số (thường trước); chẳng hạn dãy ẩn nảy sinh từ thủ tục phân đôi (xem 3.7 chương 3) thủ tục Newton (xem 5.2.7 chương 5)) [13, tr 32] Rõ ràng ý trên, [a] khẳng định không bàn hội tụ dãy ẩn, nhiên phần tập cuối chương, thấy tất tập dành cho phần dãy số thực (từ 16 đến 24), có đến sáu xét hội tụ dãy ẩn Cụ thể: xn : xn −1 + 19 Xét dãy = với x0 = xn −1 Chứng minh {xn} giới hạn hữu hạn Chứng minh lim xn = +∞ n →+∞ 20 Xét dãy xn := an an −1 + 2bn −1 ; 2an −1 + 3bn −1 , bn := với an := bn với a0 > , b0 > Chứng minh an > 0, bn > Tính xn+1 theo xn Tính xn+1 - xn chứng tỏ dãy {xn} đơn điệu, suy {xn} có giới hạn độc lập với a0, b0 21 Xét hội tụ tìm giới hạn (nếu có) dãy = xn : + với x0 = xn −1 22 Cho hai số a b thỏa < a < b, xét dãy = xn : xn −1 yn= −1 , yn : ( xn−1 + yn−1 ) với x0 = a y0 = b Chứng minh hai dãy hội tụ có chung giới hạn 23 Xét hội tụ dãy x= n : + xn −1 , với x0 = 24 Đặt x0 = 1, xn(3 + xn-1) + = với n ≥ [13, tr 39-40] KẾT LUẬN: Qua việc phân tích [a], rút số nhận xét sau đây: - Dãy số định nghĩa dựa khái niệm ánh xạ từ * vào  - [a] đề cập đến hai cách xác định dãy số, cách xác định (hay tường minh) dãy số cách xác định ẩn (hay xác định theo quy nạp) dãy số Ở đây, tác giả sử dụng cụm từ “cách xác định (hay tường minh)” không dùng “công thức số hạng tổng quát” dãy số Mặc dù em học dãy số (hữu hạn vô hạn) lớp 11, nhiên sau dãy số với nghĩa hàm số xác định tập * bị mờ nhạt dần chí em không nhớ Có điều đặc biệt có số em câu 1, em trả lời : “Dãy số hàm số tập * ” làm câu 3, em lại cho số không viết theo quy luật dãy số Như vậy, bên cạnh ảnh hưởng dãy số với nghĩa “là kết thu viết liên tiếp số theo quy luật đó”, cách trình bày SGK ảnh hưởng không nhỏ đến quan niệm HS Việc thực nghiệm cho phép làm rõ mối quan hệ cá nhân HS với khái niệm dãy số đồng thời thực nghiệm giúp kiểm chứng tính đắn giả thuyết H’1 3.2 Thực nghiệm 3.2.1 Đối tượng hình thức thực nghiệm Thực nghiệm triển khai hình thức HS giải cá nhân toán vào phiếu Chúng tiến hành thực nghiệm 80 HS hai lớp 12, HS sử dụng máy tính bỏ túi 3.2.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) toán thực nghiệm 3.2.2.1 Xây dựng toán thực nghiệm: Nội dung câu hỏi thực nghiệm: Cho dãy số (un) xác định bởi: un = (−1) n + 2n 3 Hãy tính tổng sau: a) S3 = u1 + u2 + u3 b) S30 = u1 + u2 + u3 + …+ u30 Chúng xây dựng câu hỏi để thực nghiệm dựa vào việc chọn giá trị biến didactic sau: Biến V2.1: Cách cho dãy số Ba giá trị biến: 71 + Dãy số cho phương pháp mô tả + Dãy số cho công thức số hạng tổng quát + Dãy số cho phương pháp truy hồi Biến V2.2: Số số hạng đầu cần tính tổng (n Sn) Hai giá trị biến: + Tổng cần tính có số hạng đầu + Tổng cần tính có nhiều số hạng đầu Biến V2.3: Có sử dụng máy tính bỏ túi hay không? Hai giá trị biến: + Được sử dụng máy tính bỏ túi + Không sử dụng máy tính bỏ túi Biến V2.4: Các số hạng đầu dãy số có tạo thành cấp số cộng cấp số nhân không? Ba giá trị biến: + Các số hạng đầu dãy số tạo thành cấp số cộng + Các số hạng đầu dãy số tạo thành cấp số nhân + Các số hạng đầu dãy số không tạo thành cấp số cộng cấp số nhân Biến V2.5: Dãy số có phải cấp số cộng cấp số nhân không? Ba giá trị biến: + Dãy số cấp số cộng + Dãy số cấp số nhân + Dãy số cấp số cộng cấp số nhân Trong toán trên, giá trị biến V2.1 là: “Dãy số cho công thức số hạng tổng quát” Giá trị biến V2.2 câu a là: “Tổng cần tính có số hạng đầu”, câu b là: “Tổng cần tính có nhiều số hạng đầu” Giá trị biến V2.3 là: “Được sử dụng máy tính bỏ túi” Giá trị biến V2.4 là: “Các số hạng đầu dãy số tạo thành cấp số cộng” Giá trị biến V2.5 là: “Dãy số cấp số cộng cấp số nhân” 3.2.2.2 Phân tích chi tiết toán thực nghiệm: Ở câu a, yêu cầu học sinh tính tổng số hạng u1, u2, u3 đó, số hạng tạo thành cấp số cộng Việc chọn giá trị biến V2.2 câu a tổng cần tính có số hạng đầu để HS tính ba số hạng cộng lại với Việc chọn giá trị 72 biến V2.2 câu b tổng cần tính có nhiều số hạng đầu để ngăn chặn HS tính 30 số hạng u1, u2, u3, …, u30 tính tổng 30 số hạng Việc chọn giá trị biến V2.4 số hạng đầu dãy số tạo thành cấp số cộng để hướng HS đến chiến lược sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng S n = n(u1 + u n ) Việc chọn giá trị biến V2.3 “Được sử dụng máy tính bỏ túi” nhằm mục đích hướng HS đến chiến lược sử dụng chức tính tổng máy tính bỏ túi Việc chọn giá trị biến V2.5 “Dãy số cấp số cộng hay cấp số nhân” nhằm mục đích kiểm tra xem HS ứng xử trường hợp Liệu HS có sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng để tính không? Đây điều mà đặc biệt quan tâm • Các chiến lược có thể: S2.1: “Tính số hạng cộng lại với nhau” Cái quan sát gắn với chiến lược S2.1: a) S2.1a: u1 = 1, u2 =3, u3 = S3 = b) S2.1b: u1 = 1, u2 = 3, u3 = 5, u4 = 11, u5 = 21, u6 = 43, u7 = 85, u8 = 171, u9 = 341 , u10 = 683, u11 = 1365, u12 = 2731, u13 = 5461 , u14 = 10923 , u15 = 21845, u17 = 87381, u18 = 174763, u19 = 349525, u20 = 699051 , u16 = 43691 , u21 = 1398101 , u22 = 2796203, u23 = 5592405 , u24 = 111884811 , u25 = 22369621 , u26 = 44739243 , u27 = 89478485, u28 = 178956971 , u29 = 357913941 , u30 = 715827883 S30 = 1431655764 S2.2: “Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng Sn = n(u1 + u n ) [ 2u1 + (n − 1)d ].n ” hay S n = 2 Cái quan sát gắn với chiến lược S2.2: a) S2.2a: u1 = 1, u3 = = S3 3(u1 + u3 ) 3(1 + 5) = = 2 b) S2.2b1: 73 u1 = 1, u30 = 715827883 30(u1 + u30 ) 30(1 + 715827883) = = 1, 073741826.1010 2 S30 = S2.2b2: u1 = 1, u2 = 3, u3 = d=2 + (n − 1)2].n [ 2.1 + (30 − 1)2].30 = S30 = 900 Sn = [ 2u Ở câu b, HS đưa kết sau đây: b1: S30 = 1,073741826.1010 b2: S30 = 900 b3: Không tính tổng S2.3: “Sử dụng chức tính tổng máy tính bỏ túi” Cái quan sát gắn với chiến lược S2.3 a) S2.3a: 1 S3 = ∑  (−1) x x=1  + x  =  b) S2.3b: 30 S30 = 1 ∑  (−1) x=1 x  + x  = 1431655764  S2.4: Chiến lược khác Chúng nhóm vào tất chiến lược khác với chiến lược nêu trên, ví dụ: Sử dụng công thức tính tổng n số hạng cấp số nhân Sn = u1 (1 − q n ) , 1− q làm không rõ ràng,… • Sự lựa chọn giá trị biến ảnh hưởng đến chiến lược Trong câu a, biến V2.2 nhận giá trị “tổng cần tính có số hạng đầu” để hướng HS đến chiến lược S2.1, câu b, chọn biến V2.2 nhận giá trị “tổng cần tính có nhiều số hạng đầu” nhằm ngăn chặn HS sử dụng chiến lược S2.1 Biến V2.1 nhận giá trị “Dãy số cho công thức số hạng tổng quát” nhằm hướng HS đến chiến lược S2.3 Khi gặp tình 74 tính tổng n số hạng đầu dãy số bất kì, HS sử dụng chiến lược S2.2, kiểm chứng giả thuyết H2 3.2.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) toán thực nghiệm Chúng tiến hành thực nghiệm 80 HS trường THPT Vĩnh Lộc trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn với kết sau: Bảng 3.4 Thống kê làm câu a Chiến lược quan sát THPT THPT Vĩnh Chuyên Lộc Lê Quý Tổng Đôn S2.1: “Tính số hạng cộng lại với ” 35 38 73 (91,25%) S2.2: “Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng S n = Sn = [ 2u 0 n(u1 + un ) hay (0%) + (n − 1)d ].n ” S2.3: “Sử dụng chức tính tổng máy 0 tính bỏ túi” (0%) S2.4: Chiến lược khác (8,75%) Bảng 3.5 Thống kê làm câu b Chiến lược quan sát THPT THPT Vĩnh Chuyên Lộc Lê Quý Tổng Đôn S2.1: “Tính số hạng cộng lại với ” (10%) S2.2: “Sử dụng công thức tính tổng n số hạng 19 23 42 (52,5%) 75 đầu cấp số cộng S n = Sn = [ 2u n(u1 + un ) hay + (n − 1)d ].n ” S2.3: “Sử dụng chức tính tổng máy 10 tính bỏ túi” (12,5%) S2.4: Chiến lược khác 16 20 (25%)  Nhận xét: Câu a: Trong 80 làm HS, có đến 73 HS (chiếm tỉ lệ 91,25%) sử dụng chiến lược S2.1, HS sử dụng chiến lược S2.2 S2.3, có HS không làm (chiếm tỉ lệ 8,75%) Câu b: Trong 80 làm HS, có đến HS sử dụng chiến lược S2.1(chiếm tỉ lệ 10%), có 42 HS sử dụng chiến lược S2.2 (chiếm tỉ lệ 52,5%), có 10 HS sử dụng chiến lược S2.3 (chiếm tỉ lệ 12,5%), có 20 HS sử dụng chiến lược S2.4 (chiếm tỉ lệ 25%) Ở câu b, nhận thấy có vài HS sử dụng chiến lược S2.1: “Tính số hạng cộng lại với ”, nhiên, em tính vài số hạng đầu để trống không làm Chiến lược S2.2: “Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng Sn = n(u1 + un ) [ 2u1 + (n − 1)d ].n ” HS sử dụng nhiều, số HS hay S n = 2 sử dụng chiến lược này, đa số em sử dụng công thức tính tổng S n = n(u1 + un ) , thấy rằng, dãy số (un) cấp số cộng hay cấp số nhân, HS sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng hay cấp số nhân, đặc biệt toán này, HS sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng, lý xây dựng toán thực nghiệm có số hạng đầu u1, u2, u3 tạo thành cấp số cộng Qua phân tích trên, nhận thấy gặp tình tính tổng n số hạng đầu dãy số bất kì, đa số HS sử dụng chiến lược S2.2 chiến lược S2.4 (Trong chiến lược S2.4 HS sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân) Ghi 76 nhận cho phép kiểm chứng quy tắc hành động R: “Khi gặp tình tính tổng n số hạng dãy số cho công thức số hạng tổng quát, HS thường sử dụng công thức tính tổng n số hạng cấp số cộng cấp số nhân” 3.3 Kết luận Trong chương này, tiến hành làm thực nghiệm đối tượng học sinh lớp 12 nhằm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu quy tắc hành động sau: Giả thuyết H: Sau học khái niệm dãy số lớp 11, khái niệm dãy số với nghĩa “kết thu viết liên tiếp số theo quy luật dễ đoán đó” tồn HS Điều dẫn đến gặp dãy số hữu hạn, số viết không theo quy luật dễ đoán HS cho dãy số, trường hợp chất ánh xạ dãy số bị mờ nhạt Quy tắc hành động R: Khi gặp tình tính tổng n số hạng dãy số cho công thức số hạng tổng quát, HS thường sử dụng công thức tính tổng n số hạng cấp số cộng cấp số nhân Thông qua thực nghiệm 1, kiểm chứng sau học khái niệm dãy số lớp 11, khái niệm dãy số với nghĩa “kết thu viết liên tiếp số theo quy luật dễ đoán đó” tồn HS, qua làm rõ mối quan hệ cá nhân HS liên quan đến khái niệm dãy số kiểm chứng tính đắn giả thuyết H Qua thực nghiệm 2, muốn kiểm chứng công thức tính tổng n số hạng cấp số cộng cấp số nhân ảnh hưởng đến HS, thể chế SGK Đại số giải tích lớp 11 đưa vào hầu hết toán tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng cấp số nhân, yêu cầu tính tổng n số hạng đầu dãy số tùy ý, gặp tình tính tổng n số hạng dãy số bất kì, HS giải nào? Kết thực nghiệm cho phép trả lời câu hỏi trên, đồng thời kiểm chứng quy tắc hành động R trả lời cho câu hỏi Q3 77 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu đối tượng dãy số giáo trình Toán đại học, thể chế dạy học toán bậc TH bậc THCS, thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp năm 2000 thể chế dạy học toán lớp 11 hành cho phép trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 nêu phần mở đầu Ngoài ra, kết thu từ thực nghiệm chứng tỏ tính đắn giả thuyết nghiên cứu quy tắc hành động nêu chương Qua đó, có câu trả lời cho câu hỏi Q3 Sau kết đạt luận văn Ở chương 1, qua việc phân tích hai giáo trình [a] [b], cố gắng làm rõ vài vấn đề liên quan đến dãy số cấp độ đại học: - Dãy số định nghĩa dựa khái niệm ánh xạ Tuy nhiên có khác biệt hai giáo trình [a] [b], [a], dãy số định nghĩa tập * , [b], dãy số định nghĩa tập  { n ∈ , n ≥ n0 } Vì cách gọi số thứ tự số hạng dãy số hai giáo trình khác - Có hai cách cho dãy số dãy số cho công thức số hạng tổng quát dãy số cho phương pháp truy hồi đề cập đến, không đề cập đến cách xác định dãy số khác - [a] đề cập nhiều đến dãy số cho công thức số hạng tổng quát dãy số cho phương pháp truy hồi nhắc đến ý cuối chương không khảo sát đến tính hội tụ nó, [b] đưa vào nhiều dãy số cho phương pháp truy hồi, đặc biệt việc chuyển dãy số cho dạng công thức truy hồi sang công thức số hạng tổng quát trình bày rõ ràng, chi tiết [b] trình bày nhiều ví dụ khảo sát biến thiên, hội tụ dãy số cho phương pháp truy hồi, đặc biệt [b] có biễu diễn dãy số truy hồi loại un+1 = f(un) đồ thị Ở chương 2, qua phân tích sách giáo khoa, làm rõ tiến trình xuất khái niệm dãy số từ bậc tiểu học bậc THPT, làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp năm 2000 mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 hành với đối tượng dãy số Bên cạnh đó, việc làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán phổ thông với đối tượng dãy số dẫn đến giả thuyết nghiên cứu quy tắc hành động sau: 78 Giả thuyết H: Sau học khái niệm dãy số lớp 11, khái niệm dãy số với nghĩa “kết thu viết liên tiếp số theo quy luật dễ đoán đó” tồn HS Điều dẫn đến gặp dãy số hữu hạn, số viết không theo quy luật dễ đoán HS cho dãy số, trường hợp chất ánh xạ dãy số bị mờ nhạt Quy tắc hành động R: Khi gặp tình tính tổng n số hạng dãy số cho công thức số hạng tổng quát, HS thường sử dụng công thức tính tổng n số hạng cấp số cộng cấp số nhân Bên cạnh đó, đưa nhận xét: Nhận xét: - Khi gặp tình tìm công thức số hạng tổng quát dãy số cho phương pháp truy hồi, HS thường dự đoán công thức số hạng tổng quát chứng minh phương pháp quy nạp toán học - Khi tìm công thức số hạng tổng quát dãy số, HS trách nhiệm dự đoán công thức số hạng tổng quát dãy số khó dự đoán, trường hợp này, đề thường cho sẳn công thức số hạng tổng quát yêu cầu HS chứng minh phương pháp quy nạp toán học, đề yêu cầu HS dự đoán công thức số hạng tổng quát dãy số đơn giản Ở chương 3, trình bày nghiên cứu thực nghiệm học sinh lớp 12 Kết thực nghiệm cho phép kiểm chứng tính đắn giả thuyết đặt Qua làm rõ mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng dãy số, từ cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2011), Toán tập một, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình (2007), Bài tập Đại số Giải tích 11 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn (2001), Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn (2001), Bài tập Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007), Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007), Sách giáo viên Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Nguyễn Áng, Vũ Quốc Chung, Đỗ Tiến Đạt, Đỗ Trung Hiệu, Trần Diên Hiển, Đào Thái Lai, Phạm Thanh Tâm, Kiều Đức Thành, Lê Tiến Thành, Vũ Dương Thụy (2011), Toán 4, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Diệp Văn An Lạc (2012), Một nghiên cứu cấp số nhân dạy học Toán trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm TP.Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh Jean –MarieMonier (2009), Giải tích (Người dịch: Lý Hoàng Tú), Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 10 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số Giải tích 11 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục 11 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục 12 Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, Phạm Đức Quang (2011), Bài tập Toán 6, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 80 13 Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012), Toán học cao cấp tập hai, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 14 Vũ Tuấn (Chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007), Bài tập Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục 81 PHỤ LỤC Phụ lục 1: Các câu hỏi thực nghiệm PHIẾU 1: Họ tên: …………………………………………………………………………… Trường:………………………………………………………………Lớp………… Câu 1: Theo em, dãy số gì? Câu 2: Hãy cho bốn ví dụ dãy số? 82 PHIẾU 2: Họ tên: …………………………………………………………………………… Trường:………………………………………………………………Lớp………… Câu 3: Theo em, trường hợp sau dãy số, trường hợp không phải? Vì sao? a) 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; …; 100 b) 3; -2; 10; 14; -5; -25; 4; 83 c) 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; −4 11 13 15 30 −70 d ) 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 Phụ lục 2: Các câu hỏi thực nghiệm Họ tên: …………………………………………………………………………… Trường:………………………………………………………………Lớp………… Bài tâp: Cho dãy số (un) xác định bởi: un = (−1) n + 2n 3 Hãy tính tổng sau: a) S3 = u1 + u2 + u3 b) S30 = u1 + u2 + u3 + …+ u30 84 85 [...]... niệm un là số hạng thứ n của dãy số Như vậy, trong [b] u1 không phải là số hạng đầu tiên của dãy số trong khi đó, trong [a] u1 lại là số hạng đầu tiên của dãy số Và trong luận văn “Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy học toán ở trung học phổ thông của Diệp Văn An Lạc có trình bày: “Chúng tôi nhận thấy những kí hiệu này có thể làm mờ nhạt bản chất ánh xạ của dãy số Chỉ số n trong mỗi số hạng un... Cao E3 Bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao G3 Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao 2.1 Dãy số trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở Như đã trình bày trong phần ghi nhận ban đầu, thuật ngữ dãy số đã được sử dụng trước khi đưa vào khái niệm dãy số ở chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 11 Việc nghiên cứu dãy số trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở cho phép chúng... câu hỏi sau: - Dãy số xuất hiện như thế nào trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở? Nó mang nghĩa gì? Đối tượng dãy số được đề cập đến như thế nào? - Việc đưa vào thuật ngữ dãy số trước khi định nghĩa khái niệm dãy số ở chương trình và SGK lớp 11 ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của học sinh khi học khái niệm dãy số ở lớp 11? Qua việc phân tích một số SGK Toán ở bậc tiểu học và THCS, chúng... khá nhiều dạng bài tập về dãy số được đưa vào giảng dạy cho HS, ví dụ điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số; xác định số a có thuộc dãy số đã cho không; tìm số các số hạng dãy số; tính tổng của các số hạng của dãy số, … Chúng tôi xét cụ thể bài tập sau trong sáng kiến kinh nghiệm về chuyên đề dãy số ở tiểu học của Nguyễn Văn Tam: 4 Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau: a) 3, 9, 27, .,... diễn hình học dãy số có được xem là một cách cho dãy số không? Câu trả lời là không bởi vì biễu diễn hình học của dãy số chỉ biểu diễn một vài số hạng đầu của dãy số mà thôi, và biểu diễn hình học của dãy số được trình bày độc lập với đồ thị hàm số, dựa vào đó chúng ta không thể xác định được tất cả các số hạng của dãy số 26 Tiếp đó, M1 trình bày các khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn... ngữ dãy số xuất hiện trong sách giáo khoa Dãy số trong bài toán là dãy số vô hạn và các số trong dãy số được viết theo quy luật là “mỗi số (kể từ số thứ ba) bằng tổng của hai số liền trước” Đặc biệt, khái niệm số hạng thứ n của dãy số cũng xuất hiện một cách ngầm ẩn qua bài toán trên 20 Tiếp đó, trong mục có thể em chưa biết có đưa vào bài toán tính tổng: “ 1 + 2 + 3 + + 99 + 100 ” Các số trong. .. tồn tại ở học sinh với nghĩa là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy luật dễ đoán nào đó 21 2.2 Dãy số trong SGK Toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Trong M1, bài Dãy số nằm trong chương III: Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân” Chương này gồm các nội dung sau: Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học Bài 2: Dãy số Bài 3: Cấp số cộng Bài 4: Cấp số nhân Trong hai giáo trình đại học [a]... được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tìm được quy luật của mỗi dãy số đó a Ta nhận xét: 3x3 = 9 9x3 = 27 Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là: 27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (Đúng) Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243 Như vậy, mặc dù trong các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học không... lần trong phần định nghĩa rồi hoàn toàn không xuất hiện ở những phần sau nữa Có lẻ vì vậy mà dãy số vô hạn còn được gọi tắt là dãy số và khi xét một dãy số mà không nói gì thêm thì chúng ta ngầm hiểu dãy số đó là dãy số vô hạn Trong khi đó, ở chương trình và SGK Toán bậc tiểu học và THCS, chúng tôi nhận thấy dãy số hữu hạn được đề cập đến khá nhiều Dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm hàm số, dãy. .. diễn dãy số truy hồi loại un+1 = f(un) bằng đồ thị 16 CHƯƠNG 2: DÃY SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở PHỔ THÔNG Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số Thể chế mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến thể chế dạy học toán ở bậc tiểu học ... TRÌNH TOÁN Ở ĐẠI HỌC 1.1 Dãy số giáo trình [a] 1.2 Dãy số giáo trình [b] CHƯƠNG 2: DÃY SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở PHỔ THÔNG17 2.1 Dãy số SGK Toán bậc tiểu học trung học. .. … Trong dãy số trên, số (kể từ số thứ ba) tổng hai số liền trước Hãy viết tiếp bốn số dãy [1, tr 17] Đây thời điểm mà thuật ngữ dãy số xuất sách giáo khoa Dãy số toán dãy số vô hạn số dãy số. .. Q1: Trong thể chế dạy học bậc đại học, khái niệm dãy số, cách cho dãy số khái niệm liên quan trình bày nào? Q2 : Trong thể chế dạy học Toán trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy