dãy số trong dạy học toán ở phổ thông

ví dụ trên, chẳng hạn như tính đơn điệu, tính hội tụ,… Tiếp đó, [a] có đề cập đến các kiến thức liên quan đến dãy số như định nghĩa sự hội tụ của dãy, các tính chất của dãy số hội tụ, dã

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Minh Hải

DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở

PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Minh Hải

DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở

PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý lu ận và Phương pháp dạy học môn Toán

Mã s ố: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

L ỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Chí Thành, thầy

đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS

Vũ Như Thư Hương, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga và quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức cũng như niềm say mê đối với chuyên ngành didactic toán

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám Hiệu và các học sinh trường THPT Vĩnh Lộc, trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn đã giúp đỡ tôi trong vấn đề thực nghiệm của luận văn

Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, sự động viên của bạn bè, của các anh chị em trong lớp Didactic Toán khóa 22, sự giúp đỡ của Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trường THCS Huỳnh Văn Nghệ trong quá trình giảng dạy là động lực để tôi tiếp tục phấn đấu và hoàn thành luận văn Tôi xin gửi đến họ lòng biết ơn sâu sắc và những tình cảm thân thương nhất

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt

LÊ MINH H ẢI

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 3

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 3

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu 3

3 Phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn 4

C HƯƠNG 1: DÃY SỐ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN Ở ĐẠI HỌC 5

1.1 Dãy số trong giáo trình [a] 5

1.2 Dãy số trong giáo trình [b] 9

C HƯƠNG 2: DÃY SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở PHỔ THÔNG 17 2.1 Dãy số trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở 18

2.2 Dãy số trong SGK Toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 22

2.3 Dãy số trong SGK Toán lớp 11 hiện hành 38

2.3.1 Dãy số trong bộ sách Cơ bản 38

2.3.2 Dãy số trong bộ sách Nâng Cao 61

C HƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 66

3.1 Thực nghiệm 1 66

3.1.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 66

3.1.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm 66

3.1.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm 68

3.2 Thực nghiệm 2 71

3.2.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 71

3.2.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm 71

3.2.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm 75

3.3 Kết luận 77

KẾT LUẬN 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

PHỤ LỤC 82

MỞ ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Qua thực tế giảng dạy môn Toán ở lớp 6, chúng tôi thấy rằng, sách giáo khoa (SGK) toán lớp 6 có đưa vào bài tập:

“Cho dãy số sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Trong dãy số trên, mỗi số (kể từ số thứ 3) bằng tổng của hai số liền trước Hãy viết

tiếp bốn số nữa của dãy số.” [1, tr.17]

Đây là thời điểm đầu tiên mà thuật ngữ “dãy số” được đưa vào trong sách giáo khoa Mặc dù SGK Toán bậc tiểu học (TH) và bậc trung học cơ sở (THCS) chưa định nghĩa khái

niệm dãy số mà chỉ định nghĩa dãy số tự nhiên nhưng từ “dãy số” được sử dụng khá nhiều

lần Vậy khi đó dãy số mang nghĩa gì? Điều đó ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của

HS khi học về khái niệm dãy số ở lớp 11 Trong chương trình SGK Đại số và giải tích lớp

11, khái niệm dãy số được định nghĩa ra sao? Nó được giới thiệu cho HS như thế nào?

Ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến các câu hỏi xuất phát như sau:

Q’1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm dãy số, các cách cho một dãy số và các khái niệm liên quan được đề cập như thế nào?

Q’2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở phổ thông, chúng xuất hiện ra sao? với những ràng buộc nào, vai trò? Sự tiến triển của chúng qua các cấp học?

Q3’: Cách trình bày của SGK ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của HS khi học về dãy số?

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu

Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu ở trên thì theo chúng tôi, điều quan trọng là phải tìm kiếm công cụ lý thuyết phù hợp làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lời đó Và chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học, phân tích sinh thái,

…); lí thuyết tình huống (đồ án didactic, phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm, …);

…

Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, khái niệm dãy số, các cách cho một dãy số

và các khái niệm liên quan được trình bày như thế nào?

Q 2 : Trong thể chế dạy học Toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số được xây dựng và tiến triển ra sao?

Q 3 : Mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số ảnh hưởng như thế nào đến mối quan

hệ cá nhân của HS?

3 Phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn

Để đạt được mục đích đã đề ra cũng như tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định tiến hành nghiên cứu như sau:

 Trước hết, chúng tôi nghiên cứu tri thức bác học thông qua một số giáo trình Toán ở bậc đại học Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày khái niệm dãy số, các cách cho một dãy số và các khái niệm liên quan đến nó trong các giáo trình Toán ở đại học Những

kết quả trên được trình bày trong chương 1: “Dãy số trong giáo trình Toán ở đại học”

 Trong chương 2: “Dãy số trong sách giáo khoa toán ở phổ thông”, chúng tôi tiến

hành phân tích sơ lược sách giáo khoa toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở (cụ thể, chúng tôi chọn phân tích các sách giáo khoa lớp 2, lớp 4 và lớp 6) để có cái nhìn tổng quan, làm rõ đối tượng dãy số xuất hiện như thế nào, mang nghĩa gì? có những ràng buộc nào? có những

tổ chức toán học nào liên quan được xây dựng? Vai trò của chúng? Sau đó, chúng tôi phân tích sách giáo khoa, sách bài tập Đại số và Giải tích 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 để làm

rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số và các tổ chức toán học liên quan đến khái

niệm này Tiếp đó, chúng tôi phân tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số

và Giải tích 11 hiện hành để làm rõ cách trình bày của khái niệm dãy số, các cách cho một dãy số, các khái niệm liên quan và các tổ chức toán học liên quan đến nó Qua đó chúng tôi

chỉ rõ mối tương quan giữa dãy số và hàm số Tổng hợp các kết quả thu được, chúng tôi đưa

ra giả thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết đó

 Việc kiểm chứng được tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sẽ giúp chúng tôi tìm

yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3 và được trình bày trong chương 3: “Nghiên cứu thực nghiệm”

C HƯƠNG 1: DÃY SỐ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN Ở ĐẠI

HỌC Mục tiêu của chương:

Chương này có mục tiêu phân tích làm rõ khái niệm dãy số và các khái niệm gắn liền với nó trong giáo trình Toán ở đại học Cụ thể, qua việc phân tích các giáo trình toán, chúng tôi cố gắng làm rõ cách trình bày khái niệm dãy số, các cách cho một dãy số và các khái niệm liên quan đến nó Những kết quả thu được làm cơ sở tham chiếu cho việc phân tích ở chương 2

Chúng tôi chọn hai giáo trình sau để làm tài liệu nghiên cứu:

- Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012), Toán học cao cấp tập hai, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam Kí hiệu là giáo trình [a]

- MarieMonier (2009), Giải tích 1 (Người dịch: Lý Hoàng Tú), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam Kí hiệu là giáo trình [b]

1.1 Dãy s ố trong giáo trình [a]

Trước hết, chúng tôi tóm tắt cấu trúc các chương trong giáo trình [a]:

Chương 1: Số thực

Chương 2: Hàm số một biến số thực

Chương 3: Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số

Chương 4: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số

Chương 5: Các định lí về giá trị trung bình

Chương 6: Nguyên hàm và tích phân bất định

Như vậy khái niệm dãy số được trình bày sau các khái niệm tập hợp, ánh xạ, trường

số thực Và nó được định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ:

Định nghĩa 1 Một dãy số thực (nói ngắn gọn là dãy số) là một ánh xạ từ *

 vào

:

*

 ∋n x n∈ Người ta thường dùng kí hiệu , để chỉ một dãy số

ví dụ trên, chẳng hạn như tính đơn điệu, tính hội tụ,…

Tiếp đó, [a] có đề cập đến các kiến thức liên quan đến dãy số như định nghĩa sự hội

tụ của dãy, các tính chất của dãy số hội tụ, dãy đơn điệu, tính bị chặn và một số định lí khác liên quan đến sự hội tụ của dãy số,…

Trong giáo trình này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến một chú ý về dãy số thực được [a] trình bày ở trang 31, trang 32 như sau:

Chú ý cuối cùng về dãy số thực:

Trong các ví dụ trước, dãy {xn} được xác định bởi công thức

Đó là cách xác định hiện (hay tường minh) một dãy số Theo cách xác định ấy, ta

có thể tính ngay xn khi biết n

Bây giờ xét dãy số {xn} được xác định như sau:

{ } xn n = 1, 2, ,

1

n

12

13

1

n

1 1

1 1

2 1 1

1

2

2 , n 2

Trong trường hợp này ta không biết được xn, nếu không biết được

xn-1,…Nếu muốn tính x3, ta phải xuất phát từ x0 tính x1, từ x1 tính x2, rồi từ x2 tính

x3 Người ta gọi đây là cách xác định ẩn hay xác định theo quy nạp một dãy số Hãy xét chi tiết hơn dãy đó Vì với x0 = 2

Qua đó, chúng ta có thể thấy được [a] đã đề cập đến hai cách xác định một dãy số, đó

là cách xác định hiện (hay tường minh) một dãy số và cách xác định ẩn (hay xác định theo

quy nạp) một dãy số Hay nói cách khác, hai cách cho một dãy số là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát và dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Trong đó, dãy số cho bằng phương pháp truy hồi chỉ được nhắc đến trong chú ý này ở cuối chương, và [a] trình bày muốn tính số hạng thứ n của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi thì phải tính tất cả các số hạng đứng trước nó Ngoài ra [a] không đề cập đến những cách xác định dãy số khác

và cũng không đề cập đến việc chuyển một dãy số cho ở dạng công thức truy hồi sang công thức của số hạng tổng quát và ngược lại Và ở cuối chú ý này, [a] có trình bày thêm:

Chúng ta không bàn chi tiết về ưu, nhược điểm của các cách xác định dãy, cũng không bàn về sự hội tụ của dãy ẩn; chúng ta chỉ lưu ý rằng tuy về hình thức cách cho dãy dưới dạng quy nạp không tiện tính toán, nhưng nó rất thực tế; vì những dãy ẩn nảy sinh từ việc tìm dãy hội tụ về một số nào đó (thường là không biết trước); chẳng hạn dãy ẩn nảy sinh từ thủ tục phân đôi (xem 3.7 chương 3) và thủ tục Newton (xem 5.2.7 chương 5))

[13, tr 32]

2 1 1

1

2,2

1

22

22

n n

n

x x

Rõ ràng trong chú ý trên, [a] khẳng định là không bàn về sự hội tụ của dãy ẩn, tuy nhiên trong phần bài tập ở cuối chương, chúng tôi thấy rằng trong tất cả 9 bài tập dành cho phần dãy số thực (từ bài 16 đến bài 24), có đến sáu bài là xét sự hội tụ của dãy ẩn Cụ thể:

Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và có chung giới hạn

23 Xét sự hội tụ của dãy , với x0 =

24 Đặt x0 = 1, xn(3 + xn-1) + 1 = 0 với n

[13, tr 39-40]

KẾT LUẬN: Qua việc phân tích [a], chúng tôi rút ra một số nhận xét sau đây:

- Dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ từ *

1:

a x b

- Ngoài ra, [a] không đề cập đến những cách xác định dãy số khác và cũng không đề cập đến việc chuyển một dãy số cho ở dạng công thức truy hồi sang công thức của số hạng tổng quát và ngược lại

- Trong phần lý thuyết, [a] đề cập nhiều đến dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát còn dãy số cho bằng phương pháp truy hồi chỉ được nhắc đến ít ở chú ý cuối chương [a] khẳng định tuy về hình thức cho dãy dưới dạng quy nạp không tiện tính toán nhưng nó lại rất thực tế, [a] còn khẳng định không bàn đến sự hội tụ của dãy cho bằng phương pháp truy hồi, tuy nhiên trong phần bài tập, [a] đề cập nhiều đến sự hội tụ của dãy cho ở dạng này

1.2 Dãy s ố trong giáo trình [b]

Đầu tiên, chúng tôi tóm tắt cấu trúc các chương trong [b]:

i Dãy thực đơn điệu

ii Dãy kề nhau

c Dãy con

d Một số loại dãy thông thường

i Một số loại dãy thông thường

ii Dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi iii Dãy truy hồi loại un+1 = f(un)

Định nghĩa dãy số trình bày trong [b] ở trang 49 như sau:

Một dãy (số) là một ánh xạ từ vào K (K = hoặc ); thay cho ký hiệu u:

( )

n→u n K



 , ta thường ký hiệu (u n)n∈ hay(u n)n≥0hay(u n)

Một dãy thực (tương ứng: phức) là một dãy (số) sao cho:

∀ n∈ , u n∈  (tương ứng:)

Với mỗi n∈ , unđược gọi là số hạng thứ n của dãy

Mỗi ánh xạ từ {n∈,n≥ n0} vào K, với n0∈K cố định cũng gọi là một dãy (số); phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các un “t ừ một thứ tự nào đó trở đi”

“Chúng tôi nhận thấy những kí hiệu này có thể làm mờ nhạt bản chất ánh xạ của dãy

số Chỉ số n trong mỗi số hạng un cho ta biết thứ tự của số hạng này trong dãy, chẳng hạn: u0

là số hạng thứ 0 của dãy, u1 là số hạng thứ 1 của dãy,… Trong trường hợp:

Mỗi ánh xạ từ {n∈,n≥n0} vào K, với n0 K cố định cũng gọi là một dãy (số) (Tr 49)

thì thứ tự của số hạng trong dãy được hiểu như thế nào? Phải chăng ở trường hợp này,

vẫn được gọi là số hạng thứ n0? (Chẳng hạn nếu n0 = 5 thì u5 được gọi là số hạng thứ 5 của

dãy).” [8, tr.7]

Theo chúng tôi, định nghĩa số hạng thứ n của dãy số được đưa vào ngay sau định

nghĩa dãy số, sau đó [b] mới trình bày: “Mỗi ánh xạ từ { n∈,n≥n0} vào K, với n0∈K

cố định cũng gọi là một dãy (số); phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các

∈

0

n

u

un “từ một thứ tự nào đó trở đi.” [8, tr.49] Như vậy thì [b] chỉ định nghĩa số hạng thứ n đối

với trường hợp dãy số có tập nguồn là , còn với dãy số có tập nguồn là {n∈,n≥n0}

thì [b] không đề cập đến khái niệm này, chúng tôi cho rằng dãy số có tập nguồn {

0

,

n∈ n≥n } chẳng qua là dãy số trên tập sau khi bỏ đi n0 – 1 số hạng đầu tiên Tuy

nhiên, với cách trình bày như trong [b] thì có thể gây nhầm lẫn cho người đọc

Sau khi đề cập đến các vấn đề liên quan đến sự hội tụ của dãy, [b] đã đưa ra năm ví

dụ sơ cấp về dãy

1) Dãy c ộng

Một dãy (u n n)∈ trong K được gọi là dãy cộng (hoặc: cấp số cộng) khi và chỉ khi

tồn tại sao cho:

Dãy cộng (hay cấp số cộng) được [b] giới thiệu dưới hai dạng là phương pháp truy

hồi và công thức của số hạng tổng quát Tương tự dãy nhân (cấp số nhân) cũng như vậy

Tiếp đó, [b] giới thiệu thêm ba dãy số được cho dưới dạng công thức của số hạng tổng quát

và khảo sát tính hội tụ của ba dãy số đó

Mặc dù giáo trình không giới thiệu các cách cho một dãy số một cách tường minh,

nhưng thông qua các khái niệm và ví dụ, chúng nhận thấy có hai cách cho một dãy số được

[b] đề cập đến, đó là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát và dãy số cho bằng

phương pháp truy hồi Những cách cho dãy số khác cũng không được đưa vào trong giáo

trình này Khác với [a], dãy số cho bằng phương pháp truy hồi được [b] đề cập đến khá

nhiều, khá cụ thể Đặc biệt, trong phần 3.4: Một số loại dãy thông thường, [b] có đề cập

nhiều đến dãy số cho bằng phương pháp truy hồi như dãy afin truy hồi cấp một với hệ số

không đổi, dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi, dãy truy hồi loại un+1 = f(un)

Trong đó, tác giả có trình bày một cách rõ ràng cách chuyển dãy số cho bằng công thức truy

hồi sang dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Cụ thể, đối với dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi, [b] định nghĩa như sau:

“Đó là các dãy(u n n)∈ trong K sao cho tồn tại (a, b) thỏa mãn: ∀ ∈n  , un+1 =au n+b”

[9, tr.74] Sau đó, [b] có trình bày cách chuyển dãy số này về dạng cho bằng công thức của

hệ với cấp số nhân, như trong luận văn “Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy học toán

ở trung học phổ thông” của Diệp Văn An Lạc có viết: “Vậy là xuất phát từ dãy (u n n)∈ trong

đó (với a 1) ta có thể xây dựng được một cấp số nhân Cụ thể dãy

cấp một với hệ số không đổi” không phải là dãy cộng thì bằng cách thông qua cấp số nhân

ta sẽ dễ dàng tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy này”

Đối với dãy truy hồi tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi, [b] trình bày định nghĩa như sau: “Cho (a, b) ; ký hiệu Ea,b là tập hợp các dãy trong K sao cho:

, n n n

n u + au + bu

∀ ∈  = + gọi là các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai với hệ số khôngđổi” Tiếp

đó, [b] định nghĩa khái niệm phương trình đặc trưng của các dãy tuyến tính truy hồi cấp hai:

≠ λ∈K

1

b a

Cho , dãy(r n)n∈ thuộc Ea,b khi và chỉ khi nghĩa là

Phương trình được gọi là phương trình đặc trưng

(của các dãy tuyến tính truy hồi cấp hai thỏa mãn: ) Kí

hiệu biệt thức của phương trình này là

[9, tr.76]

Sau đó, [b] trình bày công thức của số hạng tổng quát ứng với các trường hợp của biệt thức

Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt trong K kí hiệu là r1

và r2 (xảy ra khi K = và 0) hay (K = và >0)) Khi đó tồn tại

( ) sao cho: Trong được tính dựa vào u0, u1, u2

Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có một và chỉ một nghiệm trong K kí hiệu là

r0 (trường hợp =0) Khi đó tồn tại ( ) sao cho:

Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng không có nghiệm trong K (nghĩa là

K = và < 0) (Phần này chúng tôi không trình bày ở đây, nó sẽ được hiểu rõ hơn trong

ví dụ mà [b] đưa vào)

Và cũng trong phần này, [b] đưa vào ba ví dụ tìm công thức tổng quát của dãy truy

hồi tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi ứng với ba trường hợp của biệt thức nói ở trên,

cụ thể:

VÍ DỤ:

1) Dãy Fibonaci

Ta tính phần tử tổng quát của dãy ( )φn n∈ xác định bởi:

do đó tồn tại sao cho:

Ta có:

Vậy, giá trị của là:

2) Tính un, biết rằng

Phương trình đặc trưng có một nghiệm duy nhất

ro= 2 (gọi là nghiệm kép); do đó tồn tại sao cho:

1

1 2 0

2

1 0

 = + =

n n

n

diễn dãy truy hồi loại un+1 = f(un) bằng đồ thị Các bước vẽ không được [b] đưa vào rõ ràng, tuy nhiên nó được thể hiện ngầm ẩn qua hình vẽ, cụ thể: Bước 1: Vẽ đồ thị (C) của hàm số y

= f(x) và đường thẳng (d) y = x Bước 2: Xác định vị trí u0 trên trục hoành Vì u1 = f(u0) nên

u1 là tung độ của điểm thuộc (C) có hoành độ bằng u0, sau đó xác định điểm thuộc (d) có tung độ bằng u1, khi đó hoành độ điểm này là u1, và như vậy, ta biểu diễn được điểm u1trên

trục hoành Làm tương tự, ta biễu diễn được các số hạng tiếp theo của dãy số trên trục hoành Dựa vào đồ thị này, ta có thể dễ dàng quan sát được tính tăng, giảm; sự hội tụ của dãy số

[9, tr 79]

[9, tr 80]

[9, tr 80]

Kết luận: Qua việc phân tích [b], chúng tôi rút ra một số nhận xét sau đây:

- Dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ Tuy nhiên có sự khác biệt giữa hai giáo trình [a] và [b], trong [a], dãy số được định nghĩa trên tập  *, còn trong [b], dãy số được định nghĩa trên tập  hoặc {n∈,n≥n0} Vì vậy cách gọi số thứ tự các số hạng trong dãy số ở hai giáo trình là khác nhau

- Giáo trình [b] đề cập đến hai cách cho một dãy số là dãy số cho bằng công thức của

số hạng tổng quát và dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, nhưng được trình bày ngầm ẩn qua các khái niệm, ví dụ chứ không trình bày một cách tường minh như trong [a]

- Cũng như [a], [b] không đề cập đến những cách xác định dãy số khác

- [a] đề cập nhiều đến dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát còn dãy số cho bằng phương pháp truy hồi chỉ được nhắc đến ít ở chú ý cuối chương và không khảo sát đến tính hội tụ của nó, trong khi đó [b] đưa vào rất nhiều dãy số cho bằng phương pháp truy hồi,

và đặc biệt việc chuyển một dãy số cho ở dạng công thức truy hồi sang công thức của số hạng tổng quát được trình bày khá rõ ràng, chi tiết [b] trình bày nhiều ví dụ về khảo sát sự biến thiên, sự hội tụ của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, và đặc biệt [b] có biễu diễn dãy số truy hồi loại

un+1 = f(un) bằng đồ thị

C HƯƠNG 2: DÃY SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở

Q2, Q3

Những kết quả đã đạt được trong chương 1 sẽ hình thành nên cơ sở tham chiếu cho việc phân tích trong chương này

Để thực hiện việc nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào các tài liệu sau:

- Bộ sách giáo khoa Toán bậc tiểu học và THCS

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), NgôThúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001)

- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô

Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001)

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2011)

- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Vũ Tuấn (Chủ biên), 2006)

- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),

2006)

Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi dùng các kí hiệu sau:

M1 Đại số và Giải tích 11

E1 Bài tập Đại số và Giải tích 11

M2 Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

E2 Bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

G2 Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

M3 Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

E3 Bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

G3 Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

2.1 Dãy s ố trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở

Như đã trình bày trong phần ghi nhận ban đầu, thuật ngữ “dãy số” đã được sử dụng

trước khi đưa vào khái niệm dãy số ở chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 11 Việc nghiên cứu dãy số trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi sau:

- Dãy số xuất hiện như thế nào trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở? Nó mang nghĩa gì? Đối tượng dãy số được đề cập đến như thế nào?

- Việc đưa vào thuật ngữ “dãy số” trước khi định nghĩa khái niệm dãy số ở chương

trình và SGK lớp 11 ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của học sinh khi học khái niệm dãy số ở lớp 11?

Qua việc phân tích một số SGK Toán ở bậc tiểu học và THCS, chúng tôi rút ra được một số ghi nhận sau:

SGK Toán 2 có đưa ra nhiều bài tập dạng điền số vào chỗ trống, cụ thể:

1 a) Các số: 0; 1; 2; 3; … ; 9; 10; … ; 100; …; 1000; … là các số tự nhiên Các số tự nhiên sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn tạo thành dãy số tự nhiên: 0; 1;

có thể kéo dài mãi Qua đó có thể hình thành ở học sinh sự vô hạn của dãy số tự nhiên Ngoài ra, SGK Toán 4 còn nhấn mạnh: “Trong dãy số tự nhiên, hai số liên tiếp thì hơn kém nhau 1 đơn vị”? Có phải chăng sau khi khái niệm dãy số tự nhiên được đưa vào thì khái

niệm “dãy số” cũng bắt đầu xuất hiện?

Sau khi trình bày khái niệm dãy số tự nhiên, SGK Toán 4 có đưa vào một số bài tập sau:

Bài 4: Viết số thích hợp vào các chỗ trống:

Trong các SGK Toán ở tiểu học, thuật ngữ “dãy số” vẫn chưa được đưa vào; tuy

nhiên, trong một số tài liệu bồi dưỡng HSG dành cho HS tiểu học thì chúng tôi nhận thấy

rằng thuật ngữ “dãy số” được sử dụng một cách phổ biến mặc dù trong các tài liệu này

không trình bày thế nào là dãy số? Vậy ở đây khái niệm dãy số mang nghĩa gì? Phải chăng

khái niệm “dãy số” được hình thành từ khái niệm dãy số tự nhiên, dãy số là kết quả thu

được khi viết liên tiếp các số theo một quy tắc (quy luật) dễ đoán nào đó? Qua nghiên cứu một số tài liệu bồi dưỡng HSG chúng tôi thấy rằng, có khá nhiều dạng bài tập về dãy số được đưa vào giảng dạy cho HS, ví dụ điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số; xác định số a có thuộc dãy số đã cho không; tìm số các số hạng dãy số; tính tổng của các

số hạng của dãy số, … Chúng tôi xét cụ thể bài tập sau trong sáng kiến kinh nghiệm về chuyên đề dãy số ở tiểu học của Nguyễn Văn Tam:

4 Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau:

Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243

Như vậy, mặc dù trong các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học không trình bày một cách tường minh thế nào là dãy số, tuy nhiên, thông qua các bài tập chúng ta có thể thấy rằng khái niệm dãy số ở tiểu học mang nghĩa là kết quả thu được khi viết liên tiếp các

số theo một quy luật dễ đoán nào đó

Trong SGK Toán 6 có đưa vào bài toán sau:

Cho dãy số sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Trong dãy số trên, mỗi số (kể từ số thứ ba) bằng tổng của hai số liền trước Hãy viết tiếp bốn số nữa của dãy

[1, tr 17]

Đây là thời điểm đầu tiên mà thuật ngữ “dãy số” xuất hiện trong sách giáo khoa Dãy

số trong bài toán là dãy số vô hạn và các số trong dãy số được viết theo quy luật là “mỗi số (kể từ số thứ ba) bằng tổng của hai số liền trước” Đặc biệt, khái niệm số hạng thứ n của dãy

số cũng xuất hiện một cách ngầm ẩn qua bài toán trên

Tiếp đó, trong mục có thể em chưa biết có đưa vào bài toán tính tổng: “

” Các số trong tổng này tạo thành một cấp số cộng, SGK Toán 6 gọi đây là các số tự nhiên cách đều mà không gọi là dãy số cách đều như một số tài liệu bồi dưỡng HSG Trong mục này, SGK Toán 6 còn giới thiệu công thức tính tổng các các số tự nhiên cách đều là lấy số đầu cộng số cuối, nhân với số số hạng rồi chia cho 2 Đây cũng chính là công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng Các bài toán dạng này còn xuất hiện khá nhiều trong SGK và sách bài tập Toán 6 Ví dụ:

Ngoài ra, SGK Toán lớp 6 có đưa thêm bài tập:

a) Trong phép chia cho 2, số dư có thể bằng 0, 1 Trong mỗi phép chia cho 3, 4,

5, số dư có thể bằng bao nhiêu?

b) Dạng tổng quát của số chia hết cho 2 là 2k Dạng tổng quát của số chia cho 2

dư 1 là 2k +1 (k thuộc N) Hãy viết dạng tổng quát của số chia hết cho 3, số chia cho 3 dư 1, số chia cho 3 dư 2?”

[12]

Bài tập trên cho thấy các số tự nhiên chia hết cho 2 là 0, 2, 4, 6, 8, … có dạng tổng quát là 2k, Tương tự đối với các số chia hết cho 3 Như vậy, qua bài tập này hình thành ở HS kĩ năng tìm dạng tổng quát của các số có chung tính chất, đây cũng chính là công thức số hạng tổng quát của dãy số

Như vậy, trong SGK Toán ở bậc tiểu học và THCS, thông qua các bài tập, HS đã được tiếp xúc với đối tượng dãy số Các dãy số (hữu hạn và vô hạn) mà HS đã được làm quen đều là những dãy số gồm các số được viết theo một quy tắc (quy luật) dễ đoán nào đó Điều này dẫn chúng tôi đến kết luận sau:

Trước khi khái niệm dãy số được giảng dạy chính thức ở lớp 11, khái niệm dãy số đã tồn tại ở học sinh với nghĩa là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy luật dễ

2.2 Dãy s ố trong SGK Toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000

Trong M1, bài “Dãy số” nằm trong chương III: “Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân ” Chương này gồm các nội dung sau:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2: Dãy số

Bài 3: Cấp số cộng

Bài 4: Cấp số nhân

Trong hai giáo trình đại học [a] và [b], khái niệm dãy số được đưa vào trước khái

niệm hàm số, vì vậy mà khái niệm dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ, vậy trong M1, khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào? có những cách cho dãy số nào được M1 đề cập đến?

Khái niệm dãy số được M1 định nghĩa như sau:

1 Định nghĩa Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên

Một hàm số u xác định trên tập hợp M được gọi là một dãy số

hữu hạn Tập giá trị của dãy số hữu hạn này là u(1), u(2), , u(m) Người ta thường kí hiệu các giá trị đó là u(1) = u1 , u(2) = u2, …, u(m) = u m và viết dãy số

đã cho dưới dạng sau: u1 , u2 , , um

u1được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)

u2được gọi là số hạng thứ hai

…

umđược gọi là số hạng thứ m (hay số hạng cuối)

Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn

3, 6, 9, 12, 15

Dãy số này có 5 phần tử là u1 = 3, u2 = 6,u3 = 9, u4 = 12, u5 = 15

Một hàm số u xác định trên tập hợp *

 các số tự nhiên khác không được gọi

là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số)

Tập giá trị của dãy số u gồm vô số phần tử

u(1) = u1, u(2) = u2, …, u(n) = u n ,…

Người ta thường viết dãy số u dưới dạng u1 , u2 , , u n ,

Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số u

u1được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)

{1; 2;3; ; }

u2được gọi là số hạng thứ hai…

unđược gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số u

Người ta còn kí hiệu một cách ngắn gọn dãy số u là (un) hay nếu không thể

các số tự nhiên khác không và un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy

số u Thay cho cách gọi u(k) là giá trị của hàm số u tại k, M1đã kí hiệu u(k) = u k và g ọi u k là

số hạng thứ k của dãy số Ngoài việc được viết dưới dạng khai triển u1 , u2, , u n, , dãy số u

còn được kí hiệu là (u n ) hay u n (nếu không thể nhầm lẫn)

Chúng tôi nhận thấy khái niệm dãy số hữu hạn được M1 đưa vào trong khi đó ở cấp

độ đại học thì nó không được đề cập đến trong hai giáo trình [a] và [b] Mặc dù M1 đưa vào khái niệm dãy số hữu hạn nhưng nó chỉ được nhắc đến một lần trong phần định nghĩa rồi hoàn toàn không xuất hiện ở những phần sau nữa Có lẻ vì vậy mà dãy số vô hạn còn được

gọi tắt là dãy số và khi xét một dãy số mà không nói gì thêm thì chúng ta ngầm hiểu dãy số

đó là dãy số vô hạn Trong khi đó, ở chương trình và SGK Toán bậc tiểu học và THCS, chúng tôi nhận thấy dãy số hữu hạn được đề cập đến khá nhiều

Dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm hàm số, dãy số là một hàm số u xác định trên tập hợp *

 , có nhiều cách cho hàm số như bảng, công thức, đồ thị, biểu đồ Ven, … Vậy

=

các cách cho một dãy số có giống với các cách cho một hàm số không? Chúng tôi tìm được câu trả lời như sau:

1 Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau đây

a) Cho số hạng tổng quát un của nó bằng công thức:

Ví dụ Cho dãy số (un) với Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được:

b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số với sai số tuyệt đối10-n

Chẳng hạn, với = 3,1415926535…

Ta có u1 = 3,1; u2 = 3,14; u3 = 3,141, u4 = 3,1415…

c) Cho bằng phương pháp truy hồi, tức là

1) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

2) Cho hệ thức truy hồi tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài

một dãy số có sự khác biệt so với các cách cho hàm số, dãy số mà M1 đề cập đến ở đây chính là dãy số vô hạn, nó có vô số số hạng, vì vậy mà dãy số không thể cho bằng bảng

1 1

2 3( 2)

cũng như biểu đồ Ven, trong khi đó thì hàm số có thể cho bằng bảng và biểu đồ Ven Bên

cạnh đó, dãy số còn được cho bằng phương pháp truy hồi, đây cũng là điểm khác biệt so với hàm số Mặc dù trong phần này, M1 không đưa vào cách cho dãy số bằng đồ thị; tuy nhiên, sau đó M1 có giới thiệu cách biễu diễn hình học dãy số Trong các ví dụ và bài tập, M1thường cho dãy số bằng cách 1 và cách 3

Và ở đây, M1không đề cập đến các cách cho một dãy số hữu hạn, M1 chỉ đưa vào

một ví dụ về dãy số hữu hạn ngay sau khi đưa vào định nghĩa:

Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn

đó dãy số mang nghĩa “kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy luật nào đó” Vậy khi dãy số hữu hạn gồm các số được viết không theo một quy luật nào thì HS có xem

đó là dãy số không? Chúng tôi cho rằng HS sẽ không xem đó dãy số

Như đã nói ở trên, sau khi đưa vào các cách cho một dãy số, M1 còn giới thiệu cách biểu diễn hình học dãy số M1 có trình bày: “Theo định nghĩa, dãy số là một hàm số có tập xác định là , vì vậy ta có thể biễu diễn hình học dãy số như là đồ thị của một hàm số Khi

đó, dãy số được biễu diễn bởi một tập hợp điểm có tọa độ (n, un) trong mặt phẳng tọa độ”

[3, tr.91] Tuy nhiên, ở đây chúng tôi thấy rằng, trong trường hợp dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát, M1 chưa thể hiện rõ mối quan hệ giữa biểu diễn hình học dãy số

un và đồ thị của hàm số u(x), từ đồ thị hàm số u(x), ta có thể dễ dàng biễu diễn được các điểm (n, un) của dãy số Dãy số unchẳng qua là thu hẹp của hàm số u(x) trên tập

Tiếp đó, M1 có đưa vào ví dụ biễu diễn hình học của dãy số cho ở dạng công thức của số hạng tổng quát và không nhắc gì đến biễu diễn hình học của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

*



*



[3, tr.90]

Trong ví dụ, M1 chỉ biểu diễn một vài số hạng đầu của dãy số Dựa vào biểu diễn hình học của dãy số, chúng ta có thể dễ dàng dự đoán được tính tăng, giảm; tính bị chặn; sự hội tụ,… Biễu diễn hình học dãy số cho ta cái nhìn trực quan về dãy số và nó còn được M1dùng khi dạy cho HS về khái niệm giới hạn Có một vài vấn đề được đặt ra ở đây là: Ngoài

ba cách cho dãy số được nhắc đến ở trên, còn có cách cho dãy số nào khác nữa không? Biểu diễn hình học dãy số có được xem là một cách cho dãy số không? Để trả lời cho vấn đề đặt

ra ở trên, trước hết chúng ta phải hiểu thế nào là cách cho dãy số? Chúng tôi cho rằng cách cho dãy số được hiểu là với cách cho đó, dãy số hoàn toàn được xác định tức là chúng ta có thể xác định được tất cả các số hạng của dãy số đó, giáo trình [a] không sử dụng thuật ngữ

“cách cho dãy số” mà sử dụng thuật ngữ “cách xác định dãy số” Hai giáo trình [a] và [b] chỉ đề cập đến hai cách cho dãy số là cho bằng công thức của số hạng tổng quát un và cho bằng phương pháp truy hồi Ngoài hai cách cho dãy số đó ra, M1 còn giới thiệu thêm cách cho dãy số bằng mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó, và với các cách cho dãy số này, dãy số hoàn toàn được xác định Như vậy, qua phân tích ở trên, chúng ta có thể tìm thấy được câu trả lời cho câu hỏi: Biểu diễn hình học dãy số có được xem là một cách cho dãy số không? Câu trả lời là không bởi vì biễu diễn hình học của dãy số chỉ biểu diễn một vài số hạng đầu của dãy số mà thôi, và biểu diễn hình học của dãy số được trình bày độc lập với đồ thị hàm số, dựa vào đó chúng ta không thể xác định được tất cả các số hạng của dãy số

Tiếp đó, M1 trình bày các khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn Cụ thể:

Định nghĩa 1 Dãy số (un) được gọi là tăng nếu với mọi ta có

un < un+1

[3, tr.91]

Chúng tôi cho rằng việc kí hiệu dãy số u(n) là (un) hay un có thể gây nhầm lẫn cho

HS vì un cũng là số hạng tổng quát của dãy số Trong định nghĩa trên, M1 định nghĩa dãy số tăng nếu , đồng thời dưới ảnh hưởng của định nghĩa sự biến thiên của hàm

HS có thể hiểu nhầm un trong định nghĩa là công thức số hạng tổng quát thứ n của dãy số, đặc biệt trong tất cả các ví dụ về xét tính tăng giảm, M1 đều đưa vào dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Sau khi trình bày định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, M1 có đưa vào chú ý:

Chú ý:

b) Dãy số (un) tăng 

Nếu mọi số hạng của dãy (un) đều dương thì :

Dãy số (un) tăng 

Chú ý tương tự đối với dãy số giảm

[3, tr.92]

Thông qua chú ý trên, chúng ta thấy có hai kĩ thuật xét tính tăng, giảm của dãy số được hình thành

Kĩ thuật 1: Xét hiệu un+1 – un với mọi , nếu un+1 - un > 0 thì dãy số (un) tăng, nếu

un+1 – un< 0 thì dãy số (un) giảm

Kĩ thuật 2: Nếu mọi số hạng của dãy số (un) đều dương thì xét thương với mọi

, nếu > 1 thì dãy số (un) tăng, nếu <1 thì dãy số (un) giảm

Tiếp đó, M1 trình bày định nghĩa dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn Cũng giống như ở trên, các ví dụ mà M1đưa vào đều lấy dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Tuy nhiên, kĩ thuật xét tính bị chặn của dãy số không được M1đưa ra các bước rõ ràng như xét tính tăng, giảm Như đã nói ở trên, biễu diễn hình học cho ta cái nhìn trực quan

u u

+

về dãy số, qua đó chúng ta dễ dàng dự đoán được tính tăng giảm, tính bị chặn, sự hội tụ của dãy số, tuy nhiên qua phân tích, chúng tôi nhận thấy M1 không dùng biễu diễn hình học để minh họa cho HS về tính tăng giảm, bị chặn mà chỉ dùng khi dạy định nghĩa giới hạn của dãy số Chúng tôi cho rằng khi biễu diễn hình học dãy số, ta chỉ biểu diễn một vài số hạng đầu của dãy số mà thôi; như vậy thì thay vì biễu diễn hình học, chúng ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển, qua đó cũng có thể dễ dàng dự đoán được tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số Tuy nhiên, khi học về khái niệm giới hạn, biễu diễn hình học lại có vai trò rất quan trọng, cho ta hình ảnh trực quan về dãy số HS có thể quan sát bằng mắt khoảng cách từ unđến một số nào đó càng lúc càng nhỏ khi n càng lớn

[3, tr 106]

Như vậy, qua biễu diễn hình học, HS dễ dàng tiếp cận định nghĩa giới hạn dãy số Ở đây, chúng tôi không phân tích chi tiết khái niệm giới hạn của dãy số, điều làm chúng tôi quan tâm đó là khi trình bày về khái niệm giới hạn của dãy số, những cách cho dãy số nào được M1 đề cập đến? Có tồn tại kiểu nhiệm vụ tìm giới hạn của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi không? Và kiểu nhiệm vụ đó được giải quyết bởi kĩ thuật nào? Chúng tôi thấy rằng, ngay từ ví dụ mở đầu để giới thiệu định nghĩa giới hạn dãy số đến tất cả các ví dụ sau

đó mà M1 đưa vào đều đề cập đến tìm giới hạn của dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Tuy nhiên, trong phần bài tập lại xuất hiện một bài tìm giới hạn của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

4 Cho dãy số (un) xác định bởi

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn Tìm giới hạn đó

2

n n

u

n u

Như vậy, rõ ràng kiểu nhiệm vụ tìm giới hạn của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi tồn tại Sau đây, chúng tôi giới thiệu lời giải mà E1 trình bày:

LG Ta đã biết dãy số (un) xác định bởi

Qua lời giải, chúng ta có thể tìm thấy yếu tố kĩ thuật cho kiểu nhiệm vụ trên Ngoài

ra, trong E1 còn xuất hiện thêm hai bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này nữa Qua đó, chúng tôi thấy rằng, mặc dù trong phần lý thuyết về giới hạn dãy số, M1 không đề cập gì đến dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, tuy nhiên trong phần bài tập, M1 và E1 lại đưa vào một số bài tập liên quan đến dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Qua phân tích ở trên, ta thấy M1 giới thiệu có ba cách cho dãy số, tuy nhiên dãy số cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó và cho bằng phương pháp truy hồi không được nhắc đến trong các ví dụ, mà thay vào đó là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Vậy HS có cho rằng bất kì dãy số nào cũng có thể tìm được công thức của

số hạng tổng quát không? Có những ràng buộc nào cần để một dãy số cho bằng công thức truy hồi có thể tìm được công thức của số hạng tổng quát? M1 không hề đề cập đến vấn đề này M1 chỉ nói rằng “Người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau” còn mối liên hệ giữa các cách cho dãy số M1 không đề cập đến Như vậy, với cách trình bày của sách giáo khoa, chúng tôi dự đoán có thể HS sẽ cho rằng bất kì dãy số nào cũng có thể tìm được công thức số hạng tổng quát

1

1

2

1 2

n n

u u

n

u +

1 2

a

a= +

Tiếp theo chúng tôi phân tích hai đối tượng là cấp số cộng và cấp số nhân, tuy nhiên chúng tôi không phân tích làm rõ M1 trình bày hai đối tượng này như thế nào cũng như không phân tích chi tiết các tổ chức toán học liên quan đến cấp số cộng, cấp số nhân Điều chúng tôi quan tâm ở đây là cấp số cộng và cấp số nhân cũng là dãy số, vậy chúng được M1

đề cập đến với những cách cho nào? Mối liên hệ giữa những cách cho đó?

Đối với cấp số cộng, M1 định nghĩa như sau: “Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay

trước nó với một số không đổi gọi là công sai” [3, tr.95] Như vậy, M1 định nghĩa cấp số cộng dưới dạng mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó Sau đó, M1 trình bày: “Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có

un+1 = un + d, (n = 1,2,…) (1)

Công thức (1) là một hệ thức truy hồi” [3, tr.95]

Như vậy, cấp số cộng có thể được xem là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:

trong đó a và d là những số cho trước, a là số hạng đầu, d là công sai

Tiếp đó, M1đề cập đến vấn đề công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai

d được cho bởi công thức:

[3, tr.96]

Qua đó, chúng tôi nhận thấy M1 đề cập đến cấp số cộng với ba cách cho dãy số là cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó, cho bằng công thức của số hạng tổng quát và cho bằng phương pháp truy hồi Cấp số cộng xuất hiện khá nhiều ở chương trình và

SGK bậc tiểu học, THCS với tên gọi là dãy số cách đều, tuy nhiên tên gọi này chỉ xuất hiện

trong các tài liệu bồi dưỡng HSG chứ không được đưa vào trong SGK Toán SGK Toán 6

gọi dãy số cách đều này bằng tên gọi khác là “các số tự nhiên cách đều”

Tương tự, cấp số nhân cũng được M1 đề cập đến với ba cách cho dãy số Ngoài ra,

M1 còn giới thiệu công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng và cấp số nhân Ở đây, có một vấn đề chúng tôi quan tâm: Trong M1, có tồn tại hay không kiểu nhiệm vụ tính tổng n số hạng đầu của một dãy số bất kì?

Qua phân tích ở trên, ta thấy nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân thì việc chuyển dãy số đó từ dạng cho bằng công thức truy hồi sang công thức của số hạng tổng quát khá dễ dàng bằng công thức cho sẳn hoặc bằng con đường quy nạp toán học Tuy nhiên, sẽ khó khăn hơn nếu dãy số đó không phải là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, như trong giáo trình [b], ta thấy có khá nhiều dạng của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, ví dụ dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi, dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi, dãy truy hồi loại un+1 = f(un), ứng với mỗi dạng, [b] có trình bày công thức của số hạng tổng quát Vậy trong M1, kiểu nhiệm vụ tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi có được đề cập đến không? Có những đặc trưng nào?

Để có câu trả lời thích đáng cho các vấn đề đặt ra ở trên, chúng tôi tiến hành phân tích các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng dãy số và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này:

1 Kiểu nhiệm vụ T 1 2000 : “Tìm số hạng thứ k của dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát”

- Qui ước về thứ tự của số hạng uktrong dãy số

¤ Nhận xét: Yếu tố kĩ thuật và công nghệ ứng với kiểu nhiệm vụ này được trình bày

một cách tường minh trong M1 Không tồn tại kiểu nhiệm vụ tìm số hạng thứ k của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

2 Kiểu nhiệm vụ T 2 2000 : “Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số”

Kiểu nhiệm vụ này có 2 biến thể:

2000 1θ

E 1 trình bày lời giải như sau:

- Qui ước về thứ tự của số hạng uktrong dãy số

- Suy luận toán học và phương pháp chứng minh quy nạp toán học ¤ Nhận xét: Kĩ thuật được trình bày một cách tường minh trong E1 Theo chúng tôi, đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi có thể tìm được công thức của số hạng tổng quát qua con đường quy nạp Khi thực hiện kĩ thuật , có thể HS sẽ gặp khó khăn trong việc tìm mối liên hệ giữa giá trị uk với k để tìm ra công thức của số hạng tổng quát Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy dãy số trong bài tập trên là một cấp số nhân Vì vậy có thể giải bài tập trên bằng cách chứng minh dãy số là một cấp số nhân công bội 2 và số hạng đầu là 3, vì vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số

là un = 3.2n-1 Tuy nhiên, bài tập này được M1 đưa vào trước hai đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân Và thực ra, công thức số hạng tổng quát un của cấp số nhân được suy ra từ công thức truy hồi bằng phương pháp quy nạp

 Kiểu nhiệm vụ T 22 2000 : Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó

¤ Ví dụ: BT 3, [M 1 , tr.94]

1 1

2000 21θ

2000 21τ

1 1

Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3;

b) Khi chia cho 5 còn d ư 2

E 1 trình bày lời giải như sau:

a) u n = 3n (n ≥ 1) b) u n = 5(n - 1) +2 (n ≥ 1)

¤ Kĩ thuật :

- Liệt kê một vài số hạng đầu của dãy số

- Từ các kết quả trên, tìm mối liên hệ giữa giá trị uk với k để dự đoán công thức của

số hạng tổng quát (kết hợp với mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của dãy số để dự đoán công thức của số hạng tổng quát)

3 Kiểu nhiệm vụ T 3 2000 : “Xét tính đơn điệu của dãy số”

Kiểu nhiệm vụ này có 2 biến thể:

 Kiểu nhiệm vụ T 31 2000 : Xét tính đơn điệu của dãy số cho bằng công thức của

số hạng tổng quát

¤ Ví dụ:

Ví dụ, [M 1 , tr.92]

M 1 trình bày lời giải như sau:

2000 22τ

2000 22θ

2000 21τ

1

n

n u n

+

=

- Xét hiệu un+1 – unvới mọi , nếu un+1 - un> 0 thì dãy số (un) tăng, nếu

un+1 – un< 0 thì dãy số (un) giảm

Nếu mọi số hạng của dãy số (un) đều dương thì ta có thể thay bước 2 bằng:

- Xét thương với mọi , nếu > 1 thì dãy số (un) tăng, nếu <1 thì dãy số (un) giảm

¤ Công nghệ :

- Định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm

¤ Nhận xét: Kĩ thuật được M1trình bày một cách tường minh trong phần chú ý

 Kiểu nhiệm vụ T 32 2000 : Xét tính đơn điệu của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

¤ Ví dụ: BT 7, [M 1 , tr.95]

Chứng minh rằng dãy số (u n ) xác định bởi

là dãy số giảm

E 1 trình bày lời giải như sau:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp Ta phải chứng minh

*

n∈ 

1

n n

u u

n∈  n 1

n

u u

n

u u

+

2000 21θ

1 1

2

( 1) 1

2

n n

u

n u

- Định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm

- Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

¤ Nhận xét: Kĩ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này được E1trình bày cụ thể thông qua lời giải bài tập

4 Kiểu nhiệm vụ T 4 2000 : “Xét tính bị chặn của dãy số”

Kiểu nhiệm vụ này có 2 biến thể:

- Kĩ thuật xét tính bị chặn trên của dãy số:

+ Dự đoán số M sao cho un≤ M, (nếu có)

+ Chứng minh un≤ M,

+ Kết luận dãy số bị chặn trên

- Tương tự đối với dãy số bị chặn dưới, bị chặn

- Kĩ thuật chứng minh dãy số không bị chặn:

dự đoán số M, hay sử dụng máy tính bỏ túi,…

 Kiểu nhiệm vụ T 42 2000 : Xét tính bị chặn của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

¤ Ví dụ: BT 7, [M 1 , tr.95]

Chứng minh rằng dãy số (u n ) xác định bởi

là dãy số bị chặn dưới

E 1 trình bày lời giải như sau:

Dãy số đã cho bị chặn dưới Ta sẽ chứng minh

- Kĩ thuật xét tính bị chặn trên của dãy số:

+ Dự đoán số M sao cho un≤ M, (nếu có)

+ Chứng minh un≤ M, bằng phương pháp quy nạp

+ Kết luận dãy số bị chặn trên

- Tương tự đối với dãy số bị chặn dưới, bị chặn

- Kĩ thuật chứng minh dãy số không bị chặn:

+ Chứng minh phản chứng

2000 21θ

1 1

2

( 1) 1

2

n n

u

n u

u

2000 32τ

¤ Công nghệ :

- Định nghĩa dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn

- Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

số lại là u0, như vậy cách gọi thứ tự các số hạng trong dãy số có sự khác biệt giữa M1 và [b] Đặc biệt, M1có đưa vào định nghĩa dãy số hữu hạn trước khi định nghĩa dãy số vô hạn

- Có ba cách cho dãy số được M1 đề cập đến là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát, dãy số cho bằng phương pháp truy hồi và cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp Tuy nhiên dãy số cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp và cho bằng phương pháp truy hồi được nhắc đến rất ít

- Các 4 kiểu nhiệm vụ xuất hiện trong M1:

 Kiểu nhiệm vụ T12000: “Tìm số hạng thứ k của dãy số cho bằng công thức của

số hạng tổng quát”

 Kiểu nhiệm vụ T22000: “Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số”

• Kiểu nhiệm vụ T212000: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

• Kiểu nhiệm vụ T222000

: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó

 Kiểu nhiệm vụ T32000: “Xét tính đơn điệu của dãy số”

• Kiểu nhiệm vụ T312000: Xét tính đơn điệu của dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

• Kiểu nhiệm vụ T322000

: Xét tính đơn điệu của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

 Kiểu nhiệm vụ T42000: “Xét tính bị chặn của dãy số”

• Kiểu nhiệm vụ T412000: Xét tính bị chặn của dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2000 32θ

2.3 Dãy s ố trong SGK Toán lớp 11 hiện hành

2.3.1 Dãy số trong bộ sách Cơ bản

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M2, E2, G2

Bài “Dãy số” nằm trong chương III: “Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân” Cũng

giống như trong M1, chương này gồm các nội dung sau:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

khi n nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5 Tập hợp các giá trị tương ứng của f(n) được xếp đúng thứ tự của n trong tập : f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)” Đồng thời, thông qua hoạt động này, có thể dẫn dắt HS đi đến định nghĩa dãy số Tiếp đó, M2 giới thiệu định nghĩa dãy

số, tuy nhiên có sự khác biệt so với cách trình bày ở M1, trong M1, dãy số hữu hạn được định nghĩa trước dãy số vô hạn, còn trong M2 thì ngược lại, dãy số vô hạn được định nghĩa trước, cụ thể:

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ*được gọi là một dãy số

vô hạn (gọi tắt là một dãy số) Kí hiệu: