Dãy số trong bộ sách Nâng Cao

3. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn

2.3.2. Dãy số trong bộ sách Nâng Cao

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M3, E3, G3.

Trong M3, bài “Dãy số” nằm trong chương III: “Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân”. Chương này gồm các nội dung sau:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Bài 2: Dãy số.

Bài 3: Cấp số cộng. Bài 4: Cấp số nhân.

Các khái niệm dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn, các cách cho dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn được M3 trình bày về cơ bản giống với M2.

Trước khi định nghĩa dãy số, M3 có giới thiệu:

Ở các lớp dưới, qua việc giải bài tập, ta đã làm quen với khái niệm dãy số. Khi đó, nói tới dãy số ta hiểu đó là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó. Chẳng hạn, khi viết liên tiếp các lũy thừa với số mũ tự nhiên của

, theo thứ tự tăng dần của số mũ, ta được dãy số:

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un là số nằm ở vị trí thứ n (kể từ trái qua phải) của dãy số (1), ta có

1 2 − 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 , , , , , ,... (1) 2 2 2 2 2 2 −  −  −  −  −  −                         

Điều đó cho thấy dãy số (1) thể hiện một quy tắc mà nhờ nó, ứng với mỗi số nguyên dương n, ta xác định được duy nhất một số thực un. Vì thế, ta có thể coi dãy số (1) là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương.

[10, tr.101]

Khác với M2, trước khi định nghĩa dãy số, M2 đưa vào một hoạt động nhằm giúp HS ôn lại về hàm số, đặc biệt là cách tính giá trị của hàm số khi biến nhận các giá trị cụ thể. Còn trong M3, trước khi định nghĩa dãy số, M3 nhắc lại những dãy số mà HS đã được làm quen ở những lớp dưới, từ đó dẫn dắt HS phát hiện dãy số thể hiện một quy tắc mà nhờ nó, ứng với mỗi số nguyên dương n, ta xác định được duy nhất một số thực un. Vì thế dãy số được định nghĩa là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương. Như vậy, dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm hàm số một cách tự nhiên chứ không áp đặt như trong M2.

Đối với các cách cho một dãy số, M3 giới thiệu có ba cách cho một dãy số như trong M2, tuy nhiên chúng tôi nhận thấy giữa các SGK không có sự thống nhất về mặt ngôn ngữ khi gọi tên các cách cho dãy số, ví dụ cùng là cách cho dãy số bằng phương pháp mô tả, M1 sử dụng thuật ngữ là “Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp”, M2sử dụng thuật ngữ

“Dãy số bằng phương pháp mô tả”, còn M3 lại dùng “Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số”. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi không được M3 định nghĩa một cách tường minh như trong M2 mà được giới thiệu thông qua các ví dụ 3 và 4. Cuối phần này có một chú ý: “Một dãy số có thể cho bởi nhiều cách. Chẳng hạn, dãy số (un) ở ví dụ 3 có thể cho bởi công thức của số hạng tổng quát như sau: .” [10, tr.104] Như vậy, chúng tôi cho rằng với cách trình bày của SGK kết hợp với quan điểm của học sinh là hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích có thể gây nhầm lần cho HS, HS sẽ cho rằng mọi dãy số đều có thể tìm được công thức của số hạng tổng quát.

Sau khi trình bày các cách cho dãy số, M2 giới thiệu biễu diễn hình học dãy số, tuy nhiên nó không được M3đưa vào.

Khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn được định nghĩa như trong M2. Dãy số trong các ví dụ xét tính tăng, giảm, dãy số bị chặn đều cho bằng công thức của số hạng tổng quát. 1 1 2 n n u −   = −    * 2n 1, n n u = − ∈

Chúng tôi nhận thấy các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng dãy số và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này trong M2 đều xuất hiện trong M3 và ngoài ra không có thêm tổ chức toán học nào mới. Sau đây, chúng tôi nhắc lại các kiểu nhiệm vụ có trong M2được đề cập đến trong M3:

 Kiểu nhiệm vụ T’

1: “Tìm số hạng số hạng thứ k của dãy số”.

 Kiểu nhiệm vụ T’2: “Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi”.

 Kiểu nhiệm vụ T’3: “Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng phương pháp mô tả”.

 Kiểu nhiệm vụ T’4: “Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát”.

 Kiểu nhiệm vụ T’5: “Viết công thức truy hồi của dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát”.

 Kiểu nhiệm vụ T’6: “Chứng minh dãy số tuần hoàn với chu kì p tức là un + p = unvới mọi *

n∈ ”.

 Kiểu nhiệm vụ T’7: “Xét tính tăng, giảm của dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát”.

 Kiểu nhiệm vụ T’8: “Xét tính bị chặn của dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát”.

Đối với kiểu nhiệm vụ T’1: “Tìm số hạng số hạng thứ k của dãy số”, không giống M2, trong M3 kiểu nhiệm vụ này chỉ có hai kiểu nhiệm vụ biến thể là T’11: “Tìm số hạng số hạng thứ k của dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát” và T’12: “Tìm số hạng số hạng thứ k của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi”, không có kiểu nhiệm vụ: “Tìm số hạng thứ k của dãy số cho bằng phương pháp mô tả”. Trong kiểu nhiệm vụ con T11, xuất hiện nhiều bài tập tìm số hạng thứ k với số k nhỏ và số k lớn, tuy nhiên trong kiểu nhiệm vụ con T12lại không xuất hiện bài tập nào với số k lớn.

Đối với kiểu nhiệm vụ T’2: “Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi”, chúng tôi nhận thấy cũng giống như trong M2, M3giới thiệu cho HS phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, bằng cách dự đoán công thức số hạng tổng quát rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Trong trường hợp dãy số khó dự đoán công thức số hạng tổng quát, đề bài thường cho sẵn công thức số hạng tổng quát và chỉ yêu cầu HS chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Như vậy, cũng như M2, M3

mong muốn HS sử dụng thành thạo phương pháp quy nạp toán học. Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy trong M3 có giới thiệu một bài toán:

Bài 43 [M3, tr.122]

“ Cho dãy số (un) xác định bởi

u1 = 1 và un+1 = 5un + 8 với mọi n≥1”.

a) Chứng minh rằng dãy số (vn), với vn = un + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b) Dựa vào kết quả phần a), hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).”

Bài toán này được đưa vào ở phần luyện tập của bài 4: Cấp số nhân. Qua đó, chúng tôi thấy rằng, ngoài phương pháp dự đoán công thức số hạng tổng quát rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, M3 còn giới thiệu cho HS một phương pháp nữa, đó là xuất phát từ dãy số (un), ta có thể xây dựng được một cấp số nhân (vn), từ đó ta có thể xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy (un) đã cho. Phương pháp này đã được đề cập đến trong giáo trình [b] ở bậc đại học. Tuy nhiên, trong phương pháp này, M3 không hướng dẫn cách xây dựng dãy số (vn) mà cho sẵn, chỉ yêu cầu HS chứng minh đó là một cấp số nhân. Vì vậy theo chúng tôi, nếu trong đề bài chưa cho sẵn dãy số (vn) thì chắc chắn rằng để tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, HS sẽ dự đoán công thức số hạng tổng quát rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Chúng tôi cho rằng nếu như trong phương pháp thứ nhất để tìm công thức số hạng tổng quát, SGK muốn nhấn mạnh phương pháp quy nạp toán học thì trong phương pháp thứ hai, SGK muốn nhấn mạnh phương pháp chứng minh dãy số là cấp số nhân. Theo chúng tôi, SGK không muốn nhấn mạnh vấn đề tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi. Trong khi đó, dãy số cho bằng phương pháp truy hồi xuất hiện rất nhiều trong tự nhiên, việc chuyển dãy số cho bằng phương pháp truy hồi sang dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát để tiện cho tính toán và nghiên cứu các tính chất là rất cần thiết, tuy nhiên vấn đề này không được giáo trình [a] và chương trình SGK toán THPT quan tâm nhiều.

Kết luận chương 2:

Trong chương này, chúng tôi đã tiến hành phân tích sách giáo khoa Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ cở, qua đó chúng tôi nhận thấy rằng trước khi khái niệm dãy số được giảng dạy ở lớp 11, HS đã được làm quen với khái niệm dãy số thông qua các bài tập, khi đó

khái niệm dãy số mang nghĩa là “kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy luật dễ đoán nào đó”.

Các giả thuyết nghiên cứu và quy tắc hành động được rút ra qua quá trình phân tích SGK:

Giả thuyết H: Sau khi học khái niệm dãy số ở lớp 11, khái niệm dãy số với nghĩa “kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy luật dễ đoán nào đó” vẫn còn tồn tại ở HS. Điều này dẫn đến khi gặp dãy số hữu hạn, nếu các số được viết không theo một quy luật dễ đoán nào thì HS sẽ cho rằng đó không phải là dãy số, trong trường hợp này bản chất ánh xạ của dãy số bị mờ nhạt.

Quy tắc hành động R: Khi gặp tình huống tính tổng n số hạng đầu tiên của một dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát, HS thường sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng hoặc cấp số nhân.

Bên cạnh đó, chúng tôi còn đưa ra một nhận xét:

Nhận xét:

- Khi gặp tình huống tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, HS thường dự đoán công thức số hạng tổng quát rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

- Khi tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, HS không có trách nhiệm dự đoán công thức số hạng tổng quát đối với những dãy số khó dự đoán, trong trường hợp này, đề bài thường cho sẳn công thức số hạng tổng quát và chỉ yêu cầu HS chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, đề bài chỉ yêu cầu HS dự đoán công thức số hạng tổng quát đối với những dãy số đơn giản.

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM.

Chương này có mục đích triển khai các thực nghiệm cho phép kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu sau đây:

Để đạt được mục đích nêu trên, chúng tôi tiến hành hai thực nghiệm sau đây: Thực nghiệm 1: Kiểm chứng giả thuyết H’1.

Thực nghiệm 2: Kiểm chứng giả thuyết H2.

Dãy số trong SGK Toán lớp 11 hiện hành