3. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn
2.3. Dãy số trong SGK Toán lớp 11 hiện hành
2.3.1. Dãy số trong bộ sách Cơ bản
Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M2, E2, G2.
Bài “Dãy số” nằm trong chương III: “Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân”. Cũng giống như trong M1, chương này gồm các nội dung sau:
Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Bài 2: Dãy số.
Bài 3: Cấp số cộng. Bài 4: Cấp số nhân.
Trước khi định nghĩa dãy số, M2đưa vào một hoạt động:
Hoạt động 1:
Cho hàm số . Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).
[5, tr.85]
Mục đích của việc đưa vào hoạt động này là để học sinh ôn lại về hàm số, đặc biệt là cách tính giá trị của hàm số khi biến nhận các giá trị cụ thể. Như G2 có trình bày: “Hoạt động 1 nhằm để học sinh ôn lại về hàm số, trong đó phải tính các giá trị của hàm số khi n nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5. Tập hợp các giá trị tương ứng của f(n) được xếp đúng thứ tự của n trong tập : f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)”. Đồng thời, thông qua hoạt động này, có thể dẫn dắt HS đi đến định nghĩa dãy số. Tiếp đó, M2 giới thiệu định nghĩa dãy số, tuy nhiên có sự khác biệt so với cách trình bày ở M1, trong M1, dãy số hữu hạn được định nghĩa trước dãy số vô hạn, còn trong M2 thì ngược lại, dãy số vô hạn được định nghĩa trước, cụ thể:
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ*được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là một dãy số). Kí hiệu:
u : ℕ*→ℝ * 1 ( ) , 2 1 f n n n = ∈ − 1 ( ) 2 1 f n n = − *
39 n → u(n).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển trong đó un= u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, unlà số hạng thứ
n và là số hạng tổng quátcủa dãy số.
[5, tr.85]
Khái niệm dãy số được M1 đưa vào một cách rõ ràng, dễ hình dung thông qua khái niệm hàm số mà học sinh đã được học trước đó và qua hoạt động 1. Để nói về dạng khai triển của dãy số, M1 đã chuyển từ kí hiệu u = u(n) sang un= u(n), thực chất là gắn cho giá trị u(n) của dãy số một số n chỉ thứ tự và unlà số hạng thứ n trong khai triển u1, u2, u3,…, un,…. Như vậy, dạng khai triển u1, u2, u3,…, un,… của dãy số chính là một tập hợp số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định.
Tiếp đó, M1 đưa vào ví dụ 1 gồm hai dãy số quen thuộc mà học sinh đã được gặp trước đó rất nhiều, đó là dãy các số tự nhiên lẻ và dãy các số chính phương.
Ví dụ 1:
a) Dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, … có số hạng đầu u1= 1, số hạng tổng quát un = 2n-1.
b) Dãy các số chính phương 1, 4, 9, 16, … có số hạng đầu u1 = 1, số hạng tổng quát un = n2.
[5, tr.85]
Sau khi đưa định nghĩa dãy số vô hạn, M1 đưa vào khái niệm dãy số hữu hạn như sau: “Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m} với m∈ℕ*được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3¸…, um, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối”. Trong dạng khai triển của dãy số hữu hạn, chúng tôi nhận thấy M2 chỉ liệt kê một vài số hạng đầu và số hạng cuối, còn các số hạng ở giữa được kí hiệu bằng dấu “…”, đặc biệt có một sự khác biệt với dãy số vô hạn là un trong dạng khai triển u1, u2, u3, …, un, …, của dãy số vô hạn là số hạng tổng quát thứ n của dãy số, còn umtrong dạng khai triển u1, u2, u3¸ …, um của dãy số hữu hạn không phải số hạng tổng quát thứ m của dãy số mà lại là số hạng cuối của dãy số và không có định nghĩa số hạng tổng quát thứ n đối với dãy số hữu hạn. Tiếp đó, M2đưa vào hai ví dụ về dãy số hữu hạn trong ví dụ 2:
40
a) -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có u1=-5, u7 = 13 b) là dãy số hữu hạn có u1 = , u5 = .
[5, tr.86]
Dãy số trong ví dụ trên gồm các số được viết theo một quy luật, trong câu a, các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và số hạng đứng sau lớn hơn số hạng đứng trước 3 đơn vị, còn trong câu b, các số có tính chất là tử luôn bằng 1 và mẫu là các lũy thừa tăng dần của 2. Cũng như M1, M2 giới thiệu các ví dụ về dãy số hữu hạn gồm các số được viết theo một quy luật. Chúng tôi cho rằng với cách trình bày như vậy của SGK, khi dãy số hữu hạn gồm các số được viết không theo một quy luật nào thì HS không xem đó là dãy số.
Tiếp đó, M2 trình bày các cách cho một dãy số, cũng như trong M1, có ba cách cho dãy số được đề cập đến là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát, cho bằng phương pháp mô tả và cho bằng phương pháp truy hồi. Tuy nhiên, trước khi đi vào các cách cho dãy số thì M2 có đưa vào hoạt động: “Hoạt động 2: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa”. Theo G2, M2 đưa vào hoạt động 2 nhằm ôn lại các cách cho một hàm số, vì dãy số cũng là hàm số nên tất nhiên cũng có bấy nhiêu cách cho một dãy số. Tuy nhiên, khi trình bày về các cách cho một dãy số thì M2chỉ trình bày ba cách cho dãy số như đã nói ở trên. Như vậy, chúng tôi cho rằng nhận định trên của G2 chưa thực sự thỏa đáng, bởi vì dãy số mà M2 đề cập đến ở đây là dãy số vô hạn, có vô số số hạng, vì vậy dãy số không thể cho bằng bảng, biểu đồ Ven hay cặp các phần tử, nó chỉ đúng trong trường hợp dãy số hữu hạn, tuy nhiên cũng như M1, M2 không đề cập gì đến các cách cho một dãy số trong trường hợp dãy số hữu hạn. Điều này có thể gây nhầm lẫn cho HS. HS có thể cho rằng dãy số hữu hạn cũng có ba cách cho dãy số như dãy số vô hạn. Tiếp theo, chúng tôi phân tích chi tiết cách trình bày các cách cho một dãy số của M2.
M2 giới thiệu dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát thông qua một ví dụ: Ví dụ 3
a) Cho dãy số (un) với
(1)
Từ công thức (1), ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn,
Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được
1 1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16 32 1 2 1 32 3 ( 1) . n n n u n = − 5 5 5 3 243 ( 1) . 5 5 u = − = −
41
[5, tr. 86]
Cách cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát là thông dụng và khá đơn giản vì nếu biết số hạng tổng quát un = u(n) thì ta dễ dàng tìm ra mọi số hạng của dãy số. Thông qua ví dụ 3, M1 đưa ra cách xác định một số hạng bất kì của dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát, đồng thời kết luận rằng, dãy số hoàn toàn xác định nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó. Sau đó, M1 có đưa vào hoạt động 3:
Hoạt động 3
Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số sau: a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ ;
b) Dãy các số tự nhiên chia 3 dư 1.
[5, tr.86]
Theo chúng tôi, mục đích của việc đưa vào hoạt động 3 là nhằm hình thành ở học sinh kĩ năng dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bằng phương pháp mô tả và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
M2 chỉ ra rằng, không phải mọi dãy số đều có công thức số hạng tổng quát un. Ngoài cách cho bằng công thức của số hạng tổng quát, còn có các cách khác để cho một dãy số.
Tiếp đó, M2trình bày dãy số cho bằng phương pháp mô tả thông qua ví dụ 4:
Ví dụ 4:
Số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn = 3,141592653589…
Nếu lập dãy số (un) là giá trị gần đúng thiếu của số với sai số tuyệt đối là thì
Đó là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.
[5, tr.87]
Trong ví dụ trên, dãy số không thể tìm được công thức của số hạng tổng quát, tuy nhiên M2 không nêu rõ điều này. Trong ví dụ 1 và hoạt động 3, dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, và trong các trường hợp này dãy số đều có thể tìm được công thức của số hạng tổng quát, đặc biệt trong chương trình và SGK Toán bậc tiểu học và THCS, HS đã
9 81 3 3, , 9, ,..., ( 1) . ,... 2 4 n n n − − − π π π 10−n 1 3,1; 2 3,14; 3 3,141; 4 3,1415;... u = u = u = u =
42
được tiếp xúc nhiều với những dãy số cho bằng phương pháp mô tả và trong các trường hợp đó, dãy số luôn tìm được công thức của số hạng tổng quát. Như vậy, mặc dù M2 có nói là không phải mọi dãy số đều có công thức số hạng tổng quát un nhưng với cách trình bày của SGK như vậy thì ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của HS?
Cũng giống với hai cách cho dãy số được đề cập đến ở trên, dãy số cho bằng phương pháp truy hồi cũng được M2giới thiệu thông qua một ví dụ cụ thể:
Ví dụ 5. Dãy số Phi-bô-na-xi là dãy số (un) được xác định như sau :
với n ≥3,
nghĩa là, kể từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó.
Cách cho dãy số như trên được gọi là cho bằng phương pháp truy hồi. [5, tr.87]
Sau đó, M2 đưa ra định nghĩa một dãy số cho bằng phương pháp truy hồi : “Nói
cách khác, cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là : a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó”. [5, tr. 87]
Theo G2, có hai dãy số cho bằng phương pháp truy hồi thường gặp là :
hay
Cách cho dãy số bằng phương pháp truy hồi có tính “kiến thiết”, nghĩa là để tính được số hạng có chỉ số cho trước, ta phải tính lần lượt tất cả các số hạng đứng trước đó.
Tiếp theo, M2 trình bày biểu diễn hình học của dãy số. Vì dãy số là hàm số trên tập nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n, un). M2giới thiệu hai cách biểu diễn dãy số trên mặt phẳng tọa độ và trên trục số. Đối với cách biểu diễn dãy số trên mặt phẳng tọa độ, G2 có trình bày dãy số (un) được biểu diễn bởi các điểm thuộc đồ thị của hàm số y = u(x) có hoành độ nguyên dương, như vậy để biểu diễn hình học của dãy số (un), ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số u(x) rồi thu hẹp nó trên tập các số nguyên dương. Tuy nhiên điều đó không được M1 cũng như M2 đề cập đến. Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số u(x) và biểu diễn hình học dãy số (un) trong M2 khá mờ nhạt. Điều này thể hiện ở ví dụ 6: 1 2 1 2 1 n n n u u u u − u − = = = + 1 1 ( ); 2. n n u a u f u − n = = ≥ 1 2 1 2 , ( , ); 3. n n n u a u b u f u − u − n = = = ≥ *
43
[5, tr. 88]
Sau đó, M2 có giới thiệu biểu diễn hình học trên trục số của dãy số trong ví dụ trên:
[5, tr. 88]
Trong biểu diễn hình học của dãy số, chúng tôi nhận thấy chỉ biểu diễn một vài số hạng đầu của dãy số và người ta thường biểu diễn hình học dãy số trên trục số. Ngoài hai cách nêu trên, G2 còn đưa vào cách biễu diễn hình học dãy số cả trên trục tung và trục hoành. Cụ thể:
Giả sử dãy số (un) được cho bởi công thức truy hồi 1 1 ( ); 1. n n u a u + f u n = = ≥
44 trong đó f(un) là biểu thức đối với un.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường cong (C) của hàm số y = f(x) và đường thẳng d: y = x. M2hướng dẫn cách biểu diễn như sau:
[6, tr. 94]
Cách biểu diễn hình học dãy số cả trên trục tung và trục hoành chỉ áp dụng được với dãy số truy hồi dạng , còn dãy số truy hồi dạng
không thể biễu diễn được. Tuy nhiên cách biểu diễn hình học dãy số này không được M2đề cập đến. Vậy vì sao mà M2 lại không đưa vào biểu diễn hình học của dãy số theo cách này? M2 và G2đều không giải thích vấn đề này.
Sau khi giới thiệu biểu diễn hình học dãy số, M2 trình bày vấn đề: Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn.Trước khi giới thiệu định nghĩa, M2 đưa vào hoạt động 5:
Hoạt động 5.
Cho các dãy số (un) và (vn) với a) Tính un+1, vn+1
b) Chứng minh un+1 < un, vn+1 > vn, với mọi .
[5, tr.89] 1 1 ( ); 1 n n u a u + f u n = = ≥ 1 2 1 2 , ( , ); 3. n n n u a u b u f u − u − n = = = ≥ 1 1 ; 5 1 n n u v n n = + = − * n∈
45
Hoạt động 5 giúp cho HS chuẩn bị tiếp thu định nghĩa ở phần đầu. Để hoàn thành được hoạt động này, HS cần nhớ lại cách chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa đã học ở lớp 10:
a > b a – b > 0.
Tiếp đó, M2trình bày định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm:
Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n ∈ .
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < unvới mọi n ∈ .
[5, tr.89]
Ta thấy dãy số tăng, dãy số giảm được định nghĩa tương tự hàm số đồng biến (hay tăng), hàm số nghịch biến (hay giảm) đã học ở lớp 10. Tuy nhiên, định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm được trình bày đơn giản hơn do mỗi số hạng của dãy số được gắn với một số chỉ thứ tự. G2 có nói thêm rằng: Nếu dãy số được cho bằng công thức của số hạng tổng quát un= f(n) thì sự tăng hay giảm của dãy số tùy thuộc vào hàm số f tăng hay giảm trên tập xác định [1, +∞).
Sau đó, M2 đưa vào hai ví dụ 7 và 8:
Ví dụ 7.Dãy số (un) với un = 2n - 1 là dãy số tăng. Thật vậy, với mọi số n ∈ℕ*xét hiệu un+1 - un. Ta có un+1 – un = 2(n+1) -1 - (2n - 1) = 2. Do un+1 – un >0 nên un+1 > un.
Ví dụ 8. Dãy số (un) với un = là dãy số giảm.
Thật vậy, với mọi n ∈ ℕ*, vì un>0 nên có xét tỉ số . Ta có
.
Dễ thấy <1 nên <1 suy ra un+1 < un.
[5, tr.89]
Thông qua đó, hình thành nên hai kĩ thuật xét tính tăng, giảm của dãy số.
* * 3n n 1 n n u u + 1 1 1 1 : 3 3 3 n n n n u n n n u n + + + + = = 1 3 n n + n 1 n u u +
46
+ Kĩ thuật 1: Xét dấu của hiệu H = un+1 - unvới mọi n ∈ , nếu H > 0 thì dãy số tăng, nếu H < 0 thì dãy số giảm.
+ Kĩ thuật 2:Nếu un > 0 với n ∈ thì lập tỉ số rồi so sánh với 1, nếu với mọi n ∈ thì dãy số giảm, nếu với mọi n ∈ thì dãy tăng.
M2 có nhấn mạnh không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm, có những dãy số không tăng cũng không giảm, ví dụ dãy số (un) với un = (-3)ntức là dãy -3, 9, -27, 81,…
Trước khi giới thiệu định nghĩa dãy số bị chặn, M2 đưa vào hoạt động 6 yêu cầu HS chứng minh hai bất đẳng thức khá đơn giản, mục đích của hoạt động này là thông qua hai