giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học toán ở phổ thông

CH1 và được trình bày trong chương 1: “GTLN và GTNN trong thể chế dạy học Toán phổ thông”.Sau đó, chúng tôi sẽ dựa vào các SGK hiện hành ở Việt Nam để rút ra một số đặc trưng sư phạm của

Nguyễn Hồng Tú

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở PHỔ THÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

Nguyễn Hồng Tú

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

Tôi xin chân thành cảm ơn Phó Giáo sư – Tiến sĩ Annie Bessot, Tiến sĩ

Alain Birebent và Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh về những lời góp ý lẫn ý tưởng cho những buổi đầu của luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt

nhất cho chúng tôi

Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:

Ban Giám hiệu, các thầy cô và các em học sinh trường THPT Ngô Gia Tự – tỉnh Khánh Hòa, trường THPT Phan Bội Châu – tỉnh Bình Thuận, trường THCS, THPT Thuận Mỹ – tỉnh Long An, trường THPT Nguyễn Hữu Huân –

Tp.HCM đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Các bạn và các anh chị cùng khóa học cao học 21 như Đại số, Giải tích, Hình học, Lý luận và Phương pháp dạy học Toán, Vật lí nguyên tử – hạt nhân và năng lượng cao vì những sẻ chia trong học tập

Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học

Nguyễn Hồng Tú

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do ch ọn đề tài và những câu hỏi ban đầu 1

2 Khung lý thuyết tham chiếu 4

3 Mục đích nghiên cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn 5

Chương 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG 7

1.1 Số lớn nhất, số bé nhất trong nội dung học tập các tập số 8

1.1.1 Phân tích chương trình 8

1.1.2 Phân tích các sách giáo khoa 11

1.2 GTLN, GTNN của biểu thức và của hàm số 20

1.2.1 GTLN, GTNN của biểu thức ở lớp 7 20

1.2.1.1 GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối 20

1.2.1.2 GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn thức bậc hai 21

1.2.2 GTLN, GTNN của biểu thức và của hàm số ở lớp 9 23

1.2.3 GTLN, GTNN trong các SGK Đại số, Giải tích lớp 10, 11, 12 28

1.2.3.1 Chương trình nâng cao 28

1.2.3.1.1 GTLN, GTNN trong sách Đại số 10 nâng cao 28

1.2.3.1.2 GTLN, GTNN trong SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao 44

1.2.3.1.3 GTLN, GTNN trong sách Giải tích 12 nâng cao 50

1.2.3.2 Chương trình chuẩn 62

1.3 Bàn về các thuật ngữ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số 63

1.4 K ết luận 70

Chương 2 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG SƯ PHẠM CỦA ĐỐI TƯỢNG BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG NGHIÊM NGẶT 73

2.1 Bất đẳng thức không nghiêm ngặt trong các SGK Toán phổ thông 74

2.1.1 Sách Toán 6 74

2.1.2 Sách Toán 7 74

2.1.3 Sách Toán 8 76

2.1.4 Sách Toán 9 77

2.1.5 Các sách Đại số lớp 10 79

2.1.6 Các sách Đại số, Giải tích lớp 11 và 12 82

2.2 Kết luận 84

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 86

3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 86

3.2 Giới thiệu nội dung thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm 87

3.2.1 Bài tập 1 87

3.2.2 Bài tập 2 90

3.2.3 Bài tập 3 94

3.2.4 Bài tập 4 98

3.3 Phân tích hậu nghiệm 102

3.3.1 Bài tập 1 102

3.3.2 Bài tập 2 106

3.3.3 Bài tập 3 107

3.3.4 Bài tập 4 108

KẾT LUẬN 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Phiếu điều tra dành cho HS các lớp 10, 11, 12

Phụ lục 2 GTLN, GTNN ở bậc đại học

Phụ lục 3 GTLN, GTNN trong bộ SGK trung học phổ thông chuẩn

Phụ lục 4 Bảng tóm tắt sự tiến triển của các đối tượng GTLN, GTNN trong thể chế dạy học Toán phổ thông

Phụ lục 5 Vai trò của các dấu ≤, ≥ trong các SGK Toán phổ thông

Phụ lục 6 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Nội dung học tập các tập số ở phổ thông 8

Bảng 1.2: Bảng thống kê các KNV T SLN và T SBN ở các SGK Toán tiểu học 19

Bảng 1.3: Bảng thống kê các KNV liên quan đến GTLN, GTNN trong bài Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức 38

Bảng 1.5: Bảng thống kê các kỹ thuật giải quyết các KNV liên quan đến GTLN, GTNN ở SGK, SBT Đại số 10 nâng cao 43

Bảng 1.6: Bảng thống kê các KNV liên quan đến GTLN, GTNN ở SGK, SBT Đại số và Giải tích 11 nâng cao 49

Bảng 1.7: Bảng thống kê các kỹ thuật giải quyết các KNV liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số trong SGK, SBT Giải tích 12 nâng cao 57

Bảng 3.1: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 1 103

Bảng 3.2: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS dùng chiến lược CL2.7 106

Bảng 3.3: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 3 107

Bảng 3.4: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 4 108

MỞ ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài và những câu hỏi ban đầu

Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) là những đối tượng xuất hiện trong chương trình phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam trải dài từ bậc tiểu học đến bậc trung học phổ thông Có nhiều bài toán khác nhau liên quan đến những đối tượng này Chẳng hạn:

Ở lớp 4, có bài toán tìm số tự nhiên lớn nhất hay số tự nhiên bé nhất trong các số

Hay ở lớp 12, có bài toán như sau:

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

( Giải tích 12 nâng cao, tr.24)

GTLN và GTNN cũng là những đối tượng phổ biến trong những môn học khác

ở phổ thông Chẳng hạn trong môn Vật lí của lớp 10 có yêu cầu như sau:

Một vật đặt trên mặt phẳng nghiêng (góc nghiêng 𝛼 = 30 o ), được truyền một vận tốc ban đầu v o = 2m/s (hình vẽ) Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là 0,3

Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và 𝑥 ≥ 𝑦, 𝑥 ≥ 𝑧 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑃 =2𝑥+3𝑦𝑥 +𝑦+𝑧𝑦 +𝑧+𝑥𝑧

(trích Đề thi Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011)

Các bài toán về GTLN và GTNN còn gắn liền với thực tế rất sinh động Xin đưa

ra đây một bài toán ở phổ thông:

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn

vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng 𝑃(𝑛) = 480 − 20𝑛 (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch nhiều cá nhất?

(Giải tích 12 nâng cao, tr.22)

Những điều trên cho thấy GTLN và GTNN là những đối tượng xuất hiện ở chương trình phổ thông với vị trí khá quan trọng Chúng tồn tại ở nhiều dạng thuật ngữ khác nhau như “số lớn nhất”, “cao nhất”, “to nhất”, “nhiều nhất”, ứng với GTLN và “số bé nhất”, “nhỏ nhất”, “thấp nhất”, “ít nhất”, ứng với GTNN

Chúng tôi quan sát được lưu ý từ sách giáo viên (SGV) Giải tích 12 nâng cao liên quan đến các đối tượng này như sau:

Sau khi định nghĩa, đã nhắc lại điều sau đây:

Muốn chứng tỏ số M (hoặc m) là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số f trên tập hợp D,

cần chứng tỏ

a) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷;

b) Tồn tại ít nhất một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥 𝑜 ) = 𝑚)

Điều kiện b) là quan trọng, không được bỏ qua Một số học sinh đã không chú ý đến nó, do đó đã mắc sai lầm

Ta hãy xét bài tập 16: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) = sin 4 𝑥 + cos 4 𝑥

Có học sinh lập luận như sau:

Vì 𝑓(𝑥) ≥ 0 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên min𝑥∈ℝ𝑓(𝑥) = 0

Vì sin 4 𝑥 ≤ 1 và cos 4 𝑥 ≤ 1 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên 𝑓(𝑥) ≤ 1 + 1 = 2 với mọi 𝑥 ∈ ℝ

Do đó max 𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 2

Các k ết luận đó là sai Tại sao? Thật ra, ta có min𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) =12 và max𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) =

1

Học sinh đó mắc sai lầm vì đã không để ý đến điều kiện b)

(SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.39)

Từ đó cho thấy, có những học sinh (HS) lớp 12 bị mắc các sai lầm theo kiểu (chúng tôi gọi các sai lầm này là SL):

o Nếu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì có ngay max𝑥∈𝐷𝑓(𝑥) = 𝑀 mà không quan tâm đến việc tồn tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để𝑓(𝑥𝑜) = 𝑀

o Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì có ngay min𝑥∈𝐷𝑓(𝑥) = 𝑚 mà không quan tâm đến việc tồn tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để𝑓(𝑥𝑜) = 𝑚

Vậy các sai lầm này bắt nguồn từ đâu? Chúng có phổ biến ở HS lớp 12 và ở học sinh các lớp dưới không? Chúng có phải bắt nguồn từ một số bài toán nào đó liên quan đến GTLN và GTNN ở các lớp dưới không? Hoặc chúng có phải do cách trình bày c ủa các sách giáo khoa (SGK) không? Ngoài các sai lầm trên, còn sai lầm khác

c ủa HS khi giải quyết những bài toán về GTLN và GTNN hay không?

Có thể có nhiều nguyên nhân giải thích cho các sai lầm trên nhưng có thể nhận xét rằng các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt dường như cũng đóng vai trò tạo nên khó khăn và sai lầm ở HS trong việc giải quyết các bài toán về GTLN và GTNN Đặc biệt, khi đề cập đến các đối tượng GTLN và GTNN ở phổ thông, một

số SGK sử dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt để mô tả chúng Chẳng hạn định nghĩa GTLN và GTNN của hàm số ở SGK Giải tích 12 nâng cao như sau:

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (𝐷 ⊂ ℝ)

a) N ếu tồn tại một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑜) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 thì số M =

f(xo ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là

𝑀 = max𝑥∈𝐷𝑓(𝑥)

b) N ếu tồn tại một điểm 𝑥 𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥 𝑜) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 thì số m =

f(xo ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là min𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) ( Giải tích 12 nâng cao, tr.18)

Những ghi nhận trên khiến chúng tôi chọn đề tài Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học Toán ở phổ thông làm chủ đề cho luận văn của mình Cụ thể,

luận văn sẽ trả lời cho những câu hỏi ban đầu sau:

- Các đối tượng GTLN và GTNN được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào? Nhằm mục đích gì? Có những bài toán nào liên quan đến các đối tượng đó? Chúng tiến triển ra sao qua các khối lớp?

- Các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt có vai trò gì đối với các đối tượng GTLN và GTNN? Chúng có phải là yếu tố gắn liền với những sai lầm trên

của học sinh không?

- Kết quả lựa chọn của hệ thống dạy học ảnh hưởng gì đến việc học của HS về các đối tượng GTLN, GTNN và đến việc giải quyết các dạng toán liên quan đến các đối tượng này?

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận dụng các lý thuyết sau đây:

- Lý thuyết nhân chủng học Cụ thể, chúng tôi sử dụng các khái niệm "quan hệ thể chế", "quan hệ cá nhân", "tổ chức toán học"

- Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm (a priori) và phân tích hậu nghiệm (a posteriori)

- Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng khái niệm hợp đồng dạy học để phục vụ cho việc nghiên cứu

3 Mục đích nghiên cứu

Chúng tôi xác định các khái niệm:

- Mối quan hệ thể chế R(I,O), với I là thể chế dạy học phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam, O1 là đối tượng GTLN, O2 là GTNN, O được gọi chung cho cả

O1 và O2 Trong luận văn này, đôi khi chúng tôi gọi thay cụm từ “thể chế dạy học phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam” là “thể chế” hay “thể chế dạy học”

- Mối quan hệ cá nhân R(X,O), với X là người học (HS) hoặc người dạy (GV) Dựa theo khung lý thuyết tham chiếu đã chọn và những câu hỏi xuất phát ban đầu, chúng tôi đề ra những câu hỏi nghiên cứu sau mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:

CH1 Các đối tượng GTLN và GTNN được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền

với các đối tượng này là gì? Các tổ chức toán học đó tiến triển ra sao qua các khối lớp?

CH2 Các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt có những đặc trưng nào trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh

phạm phải liên quan đến các đối tượng này?

CH3 Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được HS vận dụng góp phần tạo ra các sai lầm SL? Còn có những sai lầm khác gắn liền với việc giải quyết các bài toán về GTLN và GTNN không?

4 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Nhằm đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như sau:

Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với các

đối tượng GTLN và GTNN qua việc phân tích chương trình và các SGK phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng các đối tượng trên, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp Những kết quả thu được sẽ cho phép trả lời cho các câu hỏi

CH1 và được trình bày trong chương 1: “GTLN và GTNN trong thể chế dạy học Toán phổ thông”.

Sau đó, chúng tôi sẽ dựa vào các SGK hiện hành ở Việt Nam để rút ra một số đặc trưng sư phạm của các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt Điều này

được trình bày trong chương 2: “Một số đặc trưng sư phạm của đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt” và sẽ giúp chúng tôi trả lời cho các câu hỏi CH2

Từ những kết quả phân tích trên, chúng tôi sẽ hình thành nên những giả thuyết nghiên cứu hoặc những nhận định cần kiểm tra sự tồn tại Chúng tôi sẽ kiểm chứng những giả thuyết và kiểm tra những nhận định bằng cách xây dựng và tiến hành

thực nghiệm: thực nghiệm đối với HS qua các phiếu câu hỏi, thực nghiệm đối với

GV qua các phiếu thăm dò ý kiến Các kết quả nhận được cũng cho phép chúng tôi

đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi CH3 và được trình bày trong chương 3: “Nghiên

c ứu thực nghiệm”

Những nghiên cứu trên được sơ đồ hóa như sau:

Thể chế dạy học toán phổ thông ở Việt Nam

các bất đẳng thức không ngặt

SGK Việt Nam

THỰC NGHIỆM Kiểm chứng giả thuyết Kiểm tra nhận định

Giả thuyết, nhận định

Chương 1

TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG

Mục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho các câu hỏi CH1 sau: Các

đối tượng GTLN và GTNN được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với các đối tượng này là gì? Các tổ chức toán học đó tiến triển ra sao qua các khối lớp?

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình phổ thông môn Toán hiện hành và các bộ SGK hiện hành ở Việt Nam

Trước hết, chúng tôi nhận thấy trong thể chế dạy học môn Toán ở phổ thông các khái niệm số lớn nhất và số bé nhất Các khái niệm này được HS làm quen đầu tiên

trong số những khái niệm liên quan đến các đối tượng GTLN và GTNN Các đối

tượng số lớn nhất và số bé nhất xuất hiện đầu tiên ở lớp 1 và chúng gắn liền với

việc học tập các tập hợp số ở phổ thông Do đó, đầu tiên, chúng tôi sẽ xem xét cách thức mà chương trình và các SGK đưa các khái niệm số lớn nhất và số bé nhất vào

trong dạy học với việc tìm kiếm phần trả lời cho câu hỏi: Việc đưa vào này gây cho

HS quan niệm gì về các khái niệm GTLN và GTNN của biểu thức hay của hàm số trước khi họ biết về chúng?

Sau đó, chúng tôi sẽ xem xét sự xuất hiện của các đối tượng GTLN và GTNN

của biểu thức hay của hàm số trong chương trình và các SGK ở các khối lớp Đây là các giai đoạn tiếp theo mà thể chế đề cập đến các đối tượng liên quan đến GTLN và GTNN

Chúng tôi lưu ý thể chế dạy học môn Toán ở phổ thông chỉ đề cập đến khái niệm hàm số một biến và không đề cập đến khái niệm hàm số nhiều biến Khi đó, thể chế

chỉ đề cập đến thuật ngữ hàm số nhằm chỉ hàm số một biến Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ hàm số để gọi tắt cho thuật ngữ hàm số một biến và khi

cần thiết, chúng tôi sẽ gọi tên đầy đủ Ngoài ra, trong luận văn này, chúng tôi dùng

thuật ngữ “so sánh hơn” để nói đến việc so sánh hai số thực khác nhau và thuật ngữ

“so sánh nhất” để nói đến việc tìm số lớn nhất hay số bé nhất trong một tập con nào

đó của tập các số thực

1.1 Số lớn nhất, số bé nhất trong nội dung học tập các tập số

1.1.1 Phân tích chương trình

Tài liệu Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2006) (tài liệu [2]) thể

hiện mạch nội dung học tập các tập hợp số ở phổ thôngnhư sau:

Bảng 1.1: Nội dung học tập các tập số ở phổ thông

Ghi chú + : Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị

* : Học chính thức

([2], tr.8)

Trong [2], tr.6, nêu rõ rằng một trong những mục tiêu dạy học môn Toán về tư duy là tư duy so sánh Như vậy, “so sánh hơn” và “so sánh nhất” được lưu ý quan tâm trong chương trình Nội dung dạy học so sánh các số trong các tập hợp số được

quy định trong [2] như sau:

Lớp Nội dung dạy học so

+ Sử dụng các từ lớn hơn, bé hơn, bằng nhau và các

dấu >, <, = khi so sánh hai số;

+ Xác định số lớn nhất, số bé nhất trong một nhóm các

số cho trước (sử dụng các từ "bé nhất", "lớn nhất") + Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc từ lớn

- Biết xác định số bé nhất (hoặc lớn nhất) trong một nhóm các số cho trước (tr.36);

- Biết sử dụng cấu tạo thập phân của số và giá trị theo

vị trí của các chữ số để so sánh các số có tới năm chữ

số (tr.45);

-Biết xác định số lớn nhất, số bé nhất trong một nhóm

có không quá 4 số cho trước (tr.46);

- Biết sắp xếp các số có đến bốn hoặc năm chữ số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc ngược lại (nhiều nhất là 4 số) (tr.46)

- Nhận ra hai phân số bằng nhau (tr.62);

- Biết so sánh hai phân số cùng mẫu số; Biết so sánh hai phân số khác mẫu số (tr.62);

- Biết viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc

- Biết các khái niệm bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất và tìm được bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất của hai số trong những trường hợp đơn giản (tr.91);

- Biết biểu diễn số nguyên trên trục số (tr.91); Sắp xếp đúng một dãy các số nguyên theo thứ tự tăng hoặc giảm (tr.92);

7 - Biểu diễn số hữu tỉ

- Biết so sánh hai số hữu tỉ (tr.97);

- Nhận biết thứ tự của các số thực trên trục số (tr.98)

Qua đó, chúng tôi nhận thấy có hai kiểu nhiệm vụ (KNV) liên quan đến “so sánh

nhất” trong dạy học các tập số là T SLN : Xác định số lớn nhất trong một nhóm các

số cho trước và T SBN : Xác định số bé nhất trong một nhóm các số cho trước

Sự tiến triển của chúng như sau:

+ Lớp 1: Hai kiểu nhiệm vụ này được giới hạn trong một nhóm các số tự nhiên đến 10 (nhóm các số tự nhiên có một chữ số), sau đó đến 100 (chủ yếu là nhóm các

số tự nhiên có hai chữ số)

+ Lớp 2: Nhóm các số tự nhiên đến 1000 (chủ yếu là nhóm các số tự nhiên có ba chữ số)

+ Lớp 3: Nhóm các số tự nhiên đến 10000 và đến 100000 (chủ yếu là nhóm các

số tự nhiên có bốn hoặc năm chữ số)

+ Lớp 4: Hoàn thành những kiến thức cơ bản về số tự nhiên Trong [2] ghi là

“Biết so sánh các số có đến sáu chữ số” và không ghi rõ đến việc “so sánh nhất” Chúng tôi cho rằng, từ ngữ “so sánh các số” ở đây bao hàm cả “so sánh hơn” và “so sánh nhất” vì khi nói đến “so sánh hơn” (so sánh hai số với nhau) thì trong [2] ghi là

“so sánh hai số” Trong khi đó, HS bắt đầu học về một “loại số” khác là phân số và trong [2] không hề có yêu cầu về việc “so sánh nhất”, ngay cả yêu cầu “biết so sánh các phân số” cũng không có

+ Lớp 5: HS làm quen thêm một “loại số” khác là số thập phân và cũng tương tự như yêu cầu về mức độ cần đạt của HS khi học về phân số ở lớp 4, [2] cũng không

yêu cầu về việc “so sánh nhất” các số thập phân mặc dù trong nội dung dạy học các

tập số có nêu phần dạy học số học ở lớp 5 là “So sánh các số thập phân”

+ Lớp 6: HS được ôn tập và bổ túc thêm kiến thức về tập số tự nhiên và phân số cũng như học về số nguyên Tuy nhiên, ở thời điểm này, hai KNV TSLN và TSBNkhông xuất hiện trong yêu cầu về mức độ cần đạt của chương trình

+ Từ lớp 7 trở đi, chúng tôi không thấy chương trình yêu cầu HS thực hiện hai KNV TSLN và TSBNtrong việc học tập các tập số tiếp theo

1.1.2 Phân tích các sách giáo khoa

Như đã trình bày, trong chương trình Toán phổ thông, các đối tượng số lớn nhất

và số bé nhất gắn liền với việc dạy học các tập số (chủ yếu là tập số tự nhiên)

Chúng xuất hiện ngay từ những bài học đầu tiên ở lớp 1 Để tiện theo dõi sự phân tích, chúng tôi trình bày mạch nội dung phần 1 (với tiêu đề Các số đến 10 Hình

vuông, hình tròn, hình tam giác) của SGK Toán 1 như sau:

• Nhiều hơn, ít hơn

• Hình vuông, hình tròn

• Hình tam giác

Trong đó, thuật ngữ số lớn nhất xuất hiện đầu tiên trong bài Số 10, với yêu cầu:

5 Khoanh vào số lớn nhất (theo mẫu):

a) 4, 2,

b) 8, 10, 9

c) 6, 3, 5

(Toán 1 , tr.37)

SGV Toán 1 hướng dẫn điều này như sau:

Nếu HS gặp khó khăn, GV có thể hướng dẫn HS quan sát lại dãy số từ 0 đến 10, từ

đó HS dựa vào thứ tự của các số mà xác định được số lớn nhất trong các số đã cho

(SGV Toán 1, tr.54)

Từ hướng dẫn này, chúng tôi nhận thấy có thể có một kỹ thuật để giải quyết KNV TSLN là 𝜏𝑆𝐿𝑁.1: xác định vị trí Trong đó, yêu cầu của chương trình ở giai đoạn đầu của lớp một này là “so sánh các số tự nhiên đến 10” và kỹ thuật 𝜏𝑆𝐿𝑁.1 nhắm đến dãy số được quan sát là từ 0 đến 10 Kỹ thuật này có thể có các bước sau:

𝜏𝑆𝐿𝑁.1: xác định vị trí

• Bước 1: Viết một dãy các số tự nhiên liên tiếp chứa các số cho trước;

• Bước 2: Xác định vị trí của các số ở đề bài trong dãy số vừa viết;

• Bước 3: Số nào ở đề bài nằm ở bên phải so với các số khác ở đề bài thì kết luận số đó là số lớn nhất

Điều chúng tôi quan tâm là sự xuất hiện của đối tượng số lớn nhất trong một yêu

cầu mà HS chưa được làm quen với thuật ngữ này trước đó liệu có gây trở ngại gì không ở HS khi thực hiện KNV TSLN Khi quan sát SGV, chúng tôi nhận thấy điều này được chuẩn bị trong quá trình HS học về các số ở những bài đầu tiên Cụ thể,

khi HS học đến bài Số 6, họ sẽ gặp yêu cầu sau đây:

Bài 3 Viết số thích hợp vào ô trống:

(Toán 1, tr.27)

SGV hướng dẫn GV khi dạy đến phần này:

Bài 3: Viết số thích hợp

- Hướng dẫn HS đếm các ô vuông trong từng cột rồi viết số thích hợp vào ô trống

GV giúp HS nhận biết: “Cột có số 6 cho biết có 6 ô vuông”; “Vị trí số 6 cho biết 6 đứng liền sau 5 trong dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6”

- Hướng dẫn HS điền số thích hợp vào các ô trống rồi đọc theo thứ tự từ 1 đến 6 và

từ 6 đến 1

- Giúp HS so sánh từng cặp hai số tiếp liền trong các số từ 1 đến 6 để biết 1 < 2; 2

< 3; 3 < 4; 4 < 5; 5 < 6 Nên cho HS nhận xét để biết 6 lớn hơn tất cả các số 1, 2, 3,

4, 5 và 6 là số lớn nhất trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Chẳng hạn: Cho HS quan sát để thấy tương ứng với số 6 là cột cao nhất có 6 ô vuông

(SGV Toán 1, tr.44)

Như vậy, từ hướng dẫn trong SGV Toán 1, chúng tôi nhận thấy các tác giả viết SGK Toán 1 mong muốn hình thành khái niệm số lớn nhất cho HS thông qua một

số nét đặc trưng của khái niệm này Đặc biệt, từ việc nắm bắt được khái niệm số lớn

hơn, HS có thể hình thành nên biểu tượng về khái niệm số lớn nhất thông qua đặc

trưng: số lớn hơn tất cả các số còn lại trong nhóm các số là số lớn nhất trong nhóm

các số đó Từ đây, xuất hiện một kỹ thuật có thể có khi giải quyết KNV TSLN là:

Còn thuật ngữ số bé nhất xuất hiện đầu tiên trong bài luyện tập ngay sau bài Số

10, với yêu cầu:

• Bước 1: Viết một dãy các số tự nhiên liên tiếp chứa các số cho trước;

• Bước 2: Xác định vị trí của các số ở đề bài trong dãy số vừa viết;

• Bước 3: Số nào ở đề bài nằm ở bên trái so với các số khác ở đề bài thì kết luận số đó là số bé nhất

Cũng như đối tượng số lớn nhất, đối tượng số bé nhất cũng được chuẩn bị để HS

làm quen trước khi HS thực hiện yêu cầu này SGV hướng dẫn GV giới thiệu số 0 trong bài Số 0 như sau:

Bước 1 Hình thành số 0

[ ]

Bước 2: Giới thiệu chữ số 0 in và chữ số 0 viết

[ ]

Bước 3: Nhận biết vị trí của số 0 trong dãy từ 0 đến 9

- Cho HS xem hình vẽ trong SGK, GV chỉ vào từng ô vuông (chữ nhật) và hỏi: "Có mấy chấm tròn?" (không, một, hai, ba, , chín)

- GV hướng dẫn HS đọc các số theo thứ tự từ 0 đến 9 rồi theo thứ tự ngược lại từ 9 đến 0

- GV gợi ý để HS thấy được số 0 là số bé nhất trong tất cả các số đã học, chẳng hạn, GV hỏi: "0 chấm tròn so với 1 chấm tròn thì nhiều hơn hay ít hơn?" (ít hơn)

GV ghi 0 < 1, rồi chỉ vào 0 < 1 cho HS đọc: "0 bé hơn 1"

(SGV Toán 1, tr.51)

Hướng dẫn này cũng cho thấy các tác giả viết SGK Toán 1 mong muốn HS hiểu

được khái niệm số bé nhất thông qua một số đặc trưng của nó, đặc biệt là đặc trưng

“số bé hơn tất cả các số còn lại trong nhóm các số là số bé nhất trong nhóm các số đó” Mặt khác, cũng từ hướng dẫn này, chúng tôi nhận thấy có thể có thêm một kỹ

thuật để giải quyết KNV TSBN là:

hạn ”, “nên cho HS ” cho thấy việc sử dụng kỹ thuật nào để giải quyết và hướng

dẫn cho HS là tùy thuộc vào GV

Hai KNV TSLN và TSBN còn hiện diện ở các SGK Toán 2, Toán 3 và Toán 4 như trong chương trình đã quy định Trong các SGK này và Toán 1, “so sánh hơn” và

“so sánh nhất” được dạy học trong cùng một bài, được gọi chung là “so sánh các

số” Chẳng hạn, Toán 1 có bài So sánh các số có hai chữ số; Toán 2 có bài So sánh các số có ba chữ số; Toán 3 có bài So sánh các số trong phạm vi 10 000 (tr.100), So sánh các số trong phạm vi 100 000; Toán 4 có bài So sánh các số có nhiều chữ số

Đặc biệt, trong phần lý thuyết của các bài này, các tác giả của các SGK đều chỉ nêu

phần dạy học “so sánh hơn” trong khi phần bài tập vẫn có những bài tập liên quan

đến “so sánh nhất” Chúng tôi minh họa một trường hợp ở bài So sánh các số trong

phạm vi 10 000 Phần lý thuyết của bài này:

1) Trong hai số:

● Số nào có ít chữ số hơn thì bé hơn Ví dụ: 999 < 1000

● Số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn Ví dụ: 10 000 > 9999.

2) Nếu hai số có cùng số chữ số thì so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng, kể từ trái sang phải

Hướng dẫn phần bài tập này trong SGV:

Bài 1: Cho HS tự làm rồi chữa bài Nên khuyến khích HS nêu cách so sánh từng cặp số Chẳng hạn, 6742 và 6722 đều có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn của chúng đều là 6, chữ số hàng trăm của chúng đều là 7, nên so sánh tiếp cặp chữ số hàng chục, ta có 4 > 2 Vậy 6742 > 6722

Bài 2: Khi chữa bài HS phải giải thích cách làm Chẳng hạn, 1km > 985m vì

1km = 1000m mà 1000m > 985m

Bài 3: Cho HS làm bài rồi chữa bài Khuyến khích HS giải thích cách làm (nếu có điều kiện) Nếu không đủ thời gian thì có thể cho HS làm bài 3 khi tự học rồi chữa bài vào tiết học sau

hoàn toàn không hướng dẫn thêm điều gì cho GV giúp HS nhận ra số lớn nhất hay

số bé nhất Trong khi đó, các bài toán liên quan đến các KNV về “so sánh hơn” đều được các SGV hướng dẫn chi tiết

Cũng qua việc xem xét này, chúng tôi nhận thấy có thêm kỹ thuật để giải quyết hai KNV TSLN và TSBN là:

Số có chữ số lớn nhất như thế sẽ là số lớn nhất trong nhóm các số đã cho Đối với KNV TSBN:

Kỹ thuật 𝜏𝑆𝐵𝑁.3: So sánh số chữ số và chữ số

• Bước 1: Tìm số (hay các số) có ít chữ số nhất trong nhóm các số tự nhiên cho trước;

Số có chữ số bé nhất như thế sẽ là số bé nhất trong nhóm các số đã cho Một số dẫn chứng của các kỹ thuật này:

(SGV Toán 3, tr.29, 269)

Bảng thống kê số lượng bài toán của các KNV TSLN, TSBN cùng với các kỹ thuật được các SGV Toán 1, 2, 3, 4 hướng dẫn như sau:

Bảng 1.2: Bảng thống kê các KNV T SLN và T SBN ở các SGK Toán tiểu học

Từ bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy, các kỹ thuật quan sát dãy số 𝜏𝑆𝐿𝑁.1, 𝜏𝑆𝐵𝑁.1chỉ xuất hiện ở lớp 1 Điều đặc biệt là các kỹ thuật này chỉ xuất hiện ở giai đoạn đầu của lớp 1, giai đoạn mà HS học về các số có một chữ số Như vậy, các

kỹ thuật này có thể sẽ không được HS ưu tiên sử dụng khi họ học về các số có nhiều chữ số Có thể giải thích cho điều này là về mặt sư phạm: HS không thể viết một dãy các số tự nhiên liên tiếp rất dài mà chứa cả các số có nhiều chữ số cho trước

Từ việc có đến 38 trong tổng số 57 bài toán mà các tác giả viết sách (SGK và SGV) không hướng dẫn GV giúp HS giải quyết các KNV TSLN, TSBN, và từ sự áp đảo của phần hướng dẫn dạy học “so sánh hơn” (trong đó có những quy tắc hướng dẫn tỉ mỉ về việc so sánh hai số) so với phần hướng dẫn dạy học “so sánh nhất”, cùng với việc dạy học “so sánh nhất” luôn dựa vào việc dạy học “so sánh hơn”, chúng tôi nhận thấy rằng các tác giả viết Toán 1, 2, 3, 4 dường như cho rằng việc dạy học “so sánh nhất” có thể được trợ giúp bởi việc dạy học “so sánh hơn” và HS

sẽ không khó khăn gì khi tìm số lớn nhất, số bé nhất trong một nhóm các số tự nhiên cho trước vì có một đặc trưng quan trọng của khái niệm số lớn nhất (tương

ứng, số bé nhất) trợ giúp một cách ngầm ẩn là: số lớn hơn (tương ứng, số bé hơn)

tất cả các số còn lại trong nhóm các số là số lớn nhất (tương ứng, số bé nhất) trong nhóm các số đó

Từ lớp 5 trở đi, chúng tôi không còn thấy sự xuất hiện tường minh của các KNV

TSLN và TSBN mà chúng hiện diện với tư cách là một bước trong một số kỹ thuật của một số KNV khác như “Sắp xếp hữu hạn các số cho trước từ bé đến lớn”, “Tìm ước chung lớn nhất của các số tự nhiên cho trước”,

Tóm lại:

Những phân tích trên chỉ ra rằng, thể chế mong muốn việc tìm số lớn nhất hay tìm số bé nhất của HS trong phần dạy học các số tự nhiên - tập hợp số mà HS tiếp

xúc đầu tiên - có thể dựa vào đặc trưng: số lớn hơn (tương ứng, số bé hơn) tất cả

các số còn lại trong nhóm các số là số lớn nhất (tương ứng, số bé nhất) trong nhóm các số đó Mặt khác, ở giai đoạn này, nhóm các số cho trước để thực hiện việc tìm

số lớn nhất, số bé nhất đều có hữu hạn phần tử (từ 3 đến 5 phần tử)

 Vậy khi chuyển sang việc tìm số lớn nhất hoặc số bé nhất trong một nhóm vô hạn các số (chẳng hạn, một tập hợp con của tập hợp các số thực) thì HS còn dựa vào đặc trưng trên hay không?

1.2 GTLN, GTNN của biểu thức và của hàm số

1.2.1 GTLN, GTNN c ủa biểu thức ở lớp 7

1.2.1.1 GTLN, GTNN c ủa biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối

Các đối tượng GTLN và GTNN của biểu thức xuất hiện đầu tiên trong SBT Toán 7 tập một, ở bài “Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số

thập phân” Mục tiêu dạy học của bài này như sau:

- HS hiểu khái niệm giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

- Xác định được giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ; có kỹ năng cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân

- Có ý thức vận dụng tính chất các phép toán về số hữu tỉ để tính toán hợp lí

(SGV Toán 7 tập một, tr.22)

Qua đó, chúng tôi nhận thấy chương trình không yêu cầu tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối trong bài này Nhưng chúng vẫn xuất hiện dưới dạng một số bài toán như:

𝐵 = −|1,4 − 𝑥| − 2 ≤ −2 B đạt giá trị lớn nhất là -2 khi x = 1,4

( Bài tập Toán 7 tập một, tr.29)

Các bài toán này hoàn toàn không được đề cập rõ việc tìm GTLN, GTNN của

biểu thức khi x thuộc tập số nào Tuy nhiên, các yêu cầu này nằm trong bài “Giá trị

tuyệt đối của một số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân” nên chúng tôi cho

rằng, các biểu thức đã cho được xác định một cách ngầm ẩn trên tập hợp các số hữu

tỉ Qua lời giải hướng dẫn của SBT và sự đối chiếu với SGK tương ứng, chúng tôi

nhận thấy việc giải quyết các yêu cầu này không dừng ở việc hiểu mà đòi hỏi HS phải vận dụng được một số tính chất liên quan đến khái niệm giá trị tuyệt đối của

một số hữu tỉ Cụ thể hơn, HS phải biết và vận dụng được bất đẳng thức “∀𝑥 ∈

ℚ, |𝑥| ≥ 0” mà họ vừa học trong SGK Đặc biệt, để giải quyết các bài tập này, HS phải biết các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi phù hợp trong khi họ chỉ bắt đầu được học chúng ở học kỳ II của lớp 8 Những điều trên khiến chúng tôi thắc

mắc: Có sự liên hệ hay không giữa các tính chất của đẳng thức và bất đẳng thức

nơi HS ở giai đoạn họ đã học các tính chất của đẳng thức (ở lớp 6) và chưa học các tính chất của bất đẳng thức? Vai trò của SBT Toán 7 tập 1 trong việc thực hiện mục tiêu học tập của chương trình là gì?

1.2.1.2 GTLN, GTNN c ủa biểu thức chứa căn thức bậc hai

Các đối tượng GTLN, GTNN của biểu thức cũng xuất hiện trong SBT Toán 7

tập một khi HS học khái niệm về căn bậc hai trong bài “Số vô tỉ Khái niệm về căn

B đạt GTLN là 175 khi và chỉ khi x = 5

( Bài tập Toán 7 tập một, tr.58)

Tuy nhiên, các đối tượng này không thấy xuất hiện trong bài này ở SGK tương ứng Việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn thức cũng không thấy xuất

hiện thêm trong SBT ngoài các bài toán trên đây Mục tiêu của bài này cũng cho

thấy việc không yêu cầu HS phải vận dụng khái niệm về căn bậc hai để tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn thức:

- HS có khái niệm về số vô tỉ và hiểu thế nào là căn bậc hai của một số không âm

- Bi ết sử dụng đúng kí hiệu √

(SGV Toán 7 t ập một, tr.45)

Việc giải quyết các bài toán trên đây lại cần vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi phù hợp trong khi HS chỉ bắt đầu được học chúng ở học kỳ II của lớp 8 Do đó, chúng tôi cho rằng việc đưa ra các bài toán này chỉ mang tính chất tham khảo

Mặt khác, chúng tôi nhận thấy việc yêu cầu tìm GTLN, GTNN của biểu thức của SBT Toán 7 tập một đều ngầm ẩn mặc định là tìm GTLN, GTNN của biểu thức

trên D với D là điều kiện xác định của biến để biểu thức có nghĩa

Tóm l ại, ở giai đoạn học kì I của lớp 7, tuy việc đưa ra các bài toán tìm GTLN

và GTNN của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối và của biểu thức chứa căn thức bậc hai, theo chúng tôi nhìn nhận, chỉ mang tính chất tham khảo nhưng chúng cho thấy

sự xuất hiện của tổ chức toán học liên quan đến GTLN và GTNN như sau:

Kỹ thuật 𝜏BĐT: bất đẳng thức

• Bước 1: Sử dụng một hay một số bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng

và các tính chất của bất đẳng thức để tìm được số thực M (tương ứng, m)

sao cho 𝐹(𝑥) ≤ 𝑀 (tương ứng, 𝐹(𝑥) ≥ 𝑚) với mọi x thuộc D;

• Bước 2: Tìm xo thuộc D mà F(xo) = M ( tương ứng, F(xo) = m) rồi kết

luận M là GTLN (tương ứng, m là GTNN) của F(x)

Trong đó, chúng tôi đề cập đến thuật ngữ bất đẳng thức không nghiêm ngặt

đúng để ám chỉ bất đẳng thức không nghiêm ngặt có chứa chữ mà đúng với mọi giá

trị của chữ thuộc tập xác định đang xét trong bất đẳng thức đó

Thông qua những phần hướng dẫn của SBT Toán 7 tập một, chúng tôi nhận thấy các tác giả viết sách mong muốn HS có thể giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức nhờ vào việc áp dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng, như bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối “∀𝐴 ∈ ℝ, |𝐴| ≥ 0”; bất đẳng thức

“∀𝐴 ≥ 0, √𝐴 ≥ 0” và áp dụng các tính chất của bất đẳng thức Tuy nhiên, lúc này, GTLN và GTNN của biểu thức chưa được định nghĩa tường minh

 Vậy, ở thời kỳ này, nếu HS chưa gặp và làm quen với KNV T LN.NN thì họ hiểu như thế nào về các đối tượng GTLN và GTNN của biểu thức? Và lúc này, ngay cả khi họ đã từng giải quyết các KNV trên thì quan niệm của họ ra sao về các

đối tượng GTLN và GTNN của biểu thức? Liệu họ có liên tưởng đến đặc trưng: số

lớn hơn (tương ứng, số bé hơn) tất cả các số còn lại trong nhóm các số là số lớn nhất (tương ứng, số bé nhất) trong nhóm các số đó không?

1.2.2 GTLN, GTNN c ủa biểu thức và của hàm số ở lớp 9

Các đối tượng GTLN, GTNN tiếp tục xuất hiện ở SBT Toán 9 tập một, Toán 9 tập hai, SBT Toán 9 tập hai dưới dạng GTLN, GTNN của tam thức bậc hai1 và của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0)

Trong SBT Toán 9 tập một, chúng xuất hiện như sau:

Trong bài Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai có yêu cầu:

“Bi ểu thức 𝑎𝑥 2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, trong đó a, b, c là những số cho trước với 𝑎 ≠ 0 được gọi là tam

thức bậc hai (đối với x)” (Đại số 10 nâng cao, tr.137)

a) Khai triển vế phải được 𝑥2+ √3𝑥 +34+14 Rút gọn sẽ được vế trái

b) Giá trị nhỏ nhất là 14 đạt được khi �𝑥 +√32�2 = 0, tức là khi 𝑥 = −√32

(Bài tập Toán 9 tập một, tr.47)

Một bài tương tự như vậy (nhưng yêu cầu tìm GTLN của biểu thức) được chúng tôi tìm thấy và những bài này đều nằm ở chương I (phần Đại số, trong SBT Toán 9

tập một) với chủ đề của chương là “Căn bậc hai Căn bậc ba” Tuy nhiên, chúng

tôi không tìm thấy mục tiêu dạy học hay mức độ, yêu cầu của chương trình về việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số ở chương này Các đối tượng này lại không xuất hiện trong SGK tương ứng Do đó chúng tôi cũng cho rằng các bài toán này chỉ mang tính chất tham khảo tuy rằng có sự gặp gỡ lại KNV T LN.NN cùng

với các kỹ thuật bất đẳng thức 𝜏𝐵Đ𝑇 Tại đây, biểu thức được đề cập là tam thức bậc hai, bất đẳng thức không ngặt được dùng để hỗ trợ là “∀𝐴 ∈ ℝ, 𝐴2 ≥ 0”

Ở chương trình học kỳ II môn Toán của lớp 9, HS được học một số tính chất của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0) – một trường hợp của hàm số bậc hai Đặc biệt, đồ thị được sử dụng như là công cụ duy nhất để nhận biết các tính chất ấy Điều này được chương trình quy định rõ:

Mặt khác, với việc “tính giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của

biến số” - một trong những mục tiêu dạy học về hàm số y = ax2(𝑎 ≠ 0) (SGV Toán

9 tập hai, tr.32) và là một việc làm quen thuộc khi HS làm quen với hàm số từ lớp 7,

HS tiếp tục thấy được sự liên hệ giữa các thuật ngữ giá trị của hàm số và giá trị của

biểu thức Qua đó, HS có thể hiểu rằng biểu thức ax2

(𝑎 ≠ 0) với a>0 đạt GTLN là

0 khi x=0 và với a<0 đạt GTNN là 0 khi x = 0 Thuật ngữ GTLN (tương ứng,

GTNN) lúc này có thể được hiểu như là số lớn nhất (tương ứng, số bé nhất) trong tất cả các giá trị

Việc liên hệ các tính chất trên với đồ thị hàm số y = ax2(𝑎 ≠ 0) cũng được SGK Toán 9 tập hai thể hiện qua nhận xét:

Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

(Toán 9, tập hai, tr.35)

Ngay trước nhận xét này, tài liệu này cũng đưa ra hình vẽ về đồ thị của các hàm

số cụ thể và yêu cầu tìm một vài đặc điểm của các đồ thị như đồ thị nằm phía trên

hay phía dưới trục hoành, điểm nào là điểm thấp nhất của đồ thị (đối với hàm số y = 2x2), điểm nào là điểm cao nhất của đồ thị (đối với hàm số 𝑦 = −12𝑥2):

• Bước 2: Xác định điểm cao nhất (tương ứng, điểm thấp nhất) của đồ thị;

• Bước 3: Kết luận tung độ của điểm cao nhất (tương ứng, điểm thấp nhất)

của đồ thị là GTLN (tương ứng, GTNN) của hàm số trên D

Trong đó, việc tìm GTLN và việc tìm GTNN của hàm số bậc hai 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠0) là những nhiệm vụ của KNV này Tuy nhiên, các bài toán thuộc các nhiệm vụ

này chỉ xoay quanh các kết quả: GTLN của hàm số cho bởi 𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 < 0) là 0

khi x = 0 và GTNN của hàm số cho bởi 𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 > 0) là 0 khi x = 0 HS chỉ cần

nắm bắt điều này để tìm GTLN hay GTNN của một hàm số dạng 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0)

mà có thể không cần tới đồ thị Chúng tôi tự hỏi: Vai trò của đồ thị hàm số trong việc tìm GTLN và GTNN của hàm số có còn được HS quan tâm khi họ vừa học xong chương trình lớp 9 không?

Mặt khác, việc tìm các giá trị của hàm số lúc này giống như tìm các giá trị của biểu thức chữ dẫn đến việc hiểu GTLN (tương ứng, GTNN) của hàm số như là GTLN (tương ứng, GTNN) của biểu thức biểu thị hàm số ấy và ngược lại Vì có sự liên hệ khăng khít với hàm số như thế nên việc tìm GTLN và GTNN của biểu thức

𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0) có thể nhờ vào đồ thị của hàm số cho bởi 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0) Do đó,

HS có thể có các kỹ thuật mới để giải quyết KNV T LN.NN ngay sau khi họ học về hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0) ở lớp 9 là:

Kỹ thuật 𝜏ĐT: đồ thị

• Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số cho bởi biểu thức F(x) trên D;

• Bước 2: Xác định điểm cao nhất (tương ứng, điểm thấp nhất) của đồ thị;

• Bước 3: Kết luận tung độ của điểm cao nhất (tương ứng, điểm thấp nhất)

của đồ thị là GTLN (tương ứng, GTNN) của biểu thức F(x) trên D

Tuy nhiên, không có bài toán nào thuộc KNV T LN.NN trong phần dạy học hàm số

𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0) này

Tóm lại:

Sau khi xem xét chương trình và các SGK, SBT, SGV môn Toán ở cấp trung

học cơ sở, chúng tôi đã rút ra được các kết quả:

■ Đã có sự xuất hiện của một số KNV liên quan đến GTLN và GTNN Chúng

gắn liền với việc tìm GTLN và GTNN của biểu thức hay của hàm số Đó là T LN.NN,

■ Các bài toán thuộc KNV T LN.NN đều được các tác giả viết SGK sử dụng các

kỹ thuật bất đẳng thức để giải quyết và chúng đều nằm trong các SBT, không nằm

trong các SGK Những điều này dẫn đến HS vừa học xong lớp 9 không có cơ hội

biết được KNV này và kỹ thuật bất đẳng thức nếu họ chỉ học trong các SGK

■ Vai trò của đồ thị trong việc tìm GTLN, GTNN của hàm số hay của biểu thức chưa được thể hiện nhiều vì HS mới chỉ làm quen với một hàm số đặc biệt là

𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0) cùng với kết quả đặc biệt: “GTLN của hàm số cho bởi 𝑦 =

𝑎𝑥2 (𝑎 < 0) là 0 khi x = 0” và “GTNN của hàm số cho bởi 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 > 0) là 0

khi x = 0”

1.2.3 GTLN, GTNN trong các SGK Đại số, Giải tích lớp 10, 11, 12

1.2.3.1 Chương trình nâng cao

1.2.3.1.1 GTLN, GTNN trong sách Đại số 10 nâng cao

Trong sách Đại số 10 nâng cao, các đối tượng GTLN và GTNN xuất hiện trong phần dạy học về hàm số (ở chương II) và phần dạy học về bất đẳng thức (ở chương IV)

 Trong chương II: Hàm số bậc nhất và bậc hai, các đối tượng này xuất hiện ở

dạng GTLN và GTNN của hàm số

Chương này gồm ba bài, lần lượt là: bài Đại cương về hàm số, bài Hàm số bậc

nhất và bài Hàm số bậc hai Ở bài đầu tiên, một trong những mục tiêu về kỹ năng

được chương trình đưa ra liên quan đến GTLN và GTNN của hàm số là:

Khi cho hàm số bằng đồ thị, HS cần bước đầu nhận biết một vài tính chất của hàm

số như GTLN hoặc GTNN của hàm số (nếu có)

( SGV Đại số 10 nâng cao, tr.69)

Trong bài này, SGK cũng thể hiện điều này thông qua ví dụ:

Ví dụ 2 Hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [-3;8] được cho bằng đồ thị như trong

hình

Dựa vào đồ thị đã cho, ta có thể nhận biết được (với độ chính xác nào đó):

- Giá trị của hàm số tại một số điểm, chẳng hạn f(–3) = –2, f(1) = 0;

- Các giá trị đặc biệt của hàm số, chẳng hạn, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-3;8] là -2;

- Dấu của f(x) trên một khoảng, chẳng hạn nếu 1 < x < 4 thì f(x) < 0

(Đại số 10 nâng cao, tr.37)

Từ đây, HS tiếp tục thực hiện 4 bài tập trong chương này liên quan đến KNV

T LN.NN.HS mà chỉ nhờ vào công cụ đồ thị để giải quyết, tức là sử dụng kỹ thuật

𝜏ĐT.HS Minh hoạ:

Đồ thị của một hàm số xác định trên ℝ được cho trên hình Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó Hãy cho biết giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số (nếu có)

( Bài tập Đại số 10 nâng cao, tr.30)

Hướng dẫn của SBT:

Hàm số có GTNN bằng  4, 4 khi x = 2, nhưng không có GTLN

(Bài tập Đại số 10 nâng cao, tr.40)

Đặc điểm chung của các bài tập này là SGK hay SBT luôn đưa ra sẵn đồ thị của hàm số đang xét rồi đề nghị lập bảng biến thiên của hàm số và cuối cùng là đề nghị

cho biết GTLN hay GTNN của hàm số (nếu có) Chúng tôi tự hỏi: Nếu lúc này, một

hàm số chỉ cho bằng bảng biến thiên thì HS có thể chỉ ra được GTLN hay GTNN của hàm số (nếu có) không?

Trong chương này, chúng tôi lưu tâm đến bài Hàm số bậc hai khi ở đây xuất

hiện việc tìm GTLN và GTNN của hàm số bằng công thức cho sẵn SGK đã biến đổi 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 �𝑥2 + 22𝑎𝑏 𝑥 +4𝑎𝑏22� −4𝑎𝑏2+ 𝑐 = 𝑎 �𝑥 +2𝑎𝑏�2−𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎 rồi dựa

vào việc tịnh tiến đồ thị hàm số biểu thị bởi y = ax2 mà HS đã từng biết đồ thị hàm

số này ở lớp 9 và đưa ra kết luận (chúng tôi gọi kết luận này là kết luận KL):

Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) là một parabol có đỉnh

𝐼 �−2𝑎𝑏 ; −4𝑎∆�, nhận đường thẳng 𝑥 = −2𝑎𝑏 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên

trên khi a >0, xuống dưới khi a <0

(Đại số 10 nâng cao, tr.56)

SGK không minh họa một trường hợp hàm số bậc hai cụ thể nào cho kết luận này mà tiếp tục đưa ra những nhận xét:

Từ đồ thị của hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên sau đây

( Đại số 10 nâng cao, tr.57)

Từ đây, chúng tôi nhận thấy sự xuất hiện của tổ chức toán học sau:

 KNV T LN.NN.HSBH : Tìm GTLN (GTNN) của hàm số y = ax 2

+ bx + c với a<0 (a>0) trên ℝ

Kỹ thuật 𝜏HSBH: Công thức

• Bước 1: Tính giá trị ∆ của tam thức bậc hai ax 2 + bx + c;

• Bước 2: Kết luận GTLN (GTNN) của hàm số là −4𝑎∆.

Công nghệ được SGK chọn để giải thích cho kỹ thuật này là kết luận KL

(SGV Đại số 10 nâng cao, tr.88)

Như vậy, có thể xuất hiện tổ chức toán học sau:

 KNV T LN.NN.TTBH : Tìm GTLN (GTNN) của biểu thức y = ax 2 + bx + c với

a<0 (a>0) trên ℝ

Kỹ thuật 𝜏TTBH: Công thức

• Bước 1: Tính ∆;

• Bước 2: Kết luận GTLN (GTNN) của tam thức bậc hai là −4𝑎∆.

Công nghệ: Kết luận KL

Tuy nhiên, KNV T LN.NN.HSBH chỉ giúp giải quyết một lớp các bài toán liên quan

đến các hàm số bậc hai Do đó, kỹ thuật công thức 𝜏HSBH nói chung không áp dụng

để giải quyết KNV T LN.NN.HS – KNV giúp giải quyết một lớp bài toán tổng quát hơn Tương tự, kỹ thuật 𝜏TTBH cũng không áp dụng để giải quyết KNV T LN.NN mà chỉ giúp giải quyết lớp các bài toán hẹp hơn liên quan đến GTLN và GTNN của tam thức bậc hai

Liên quan đến bảng biến thiên, chúng tôi lưu ý đến lời giải thích trong một ví dụ

Đặc biệt, lời giải thích được minh họa trên đây được SGK đưa ra trước khi vẽ đồ thị của hàm số Chúng tôi dự đoán rằng SGK đã coi bảng biến thiên như là một

công cụ để giải quyết KNV T LN.NN.HS và do đó, có thể có kỹ thuật sau:

Kỹ thuật 𝜏BBT: bảng biến thiên

• Bước 1: Vẽ bảng biến thiên của hàm số trên D;

• Bước 2: So sánh các giá trị của hàm số tại các đầu mút của tập D (nếu có)

và các điểm thuộc D mà hàm số thay đổi chiều biến thiên Giá trị nào lớn

nhất (tương ứng, nhỏ nhất) là GTLN (tương ứng, GTNN) của hàm số

Công nghệ giải thích cho kỹ thuật bảng biến thiên này là: tính đơn điệu của hàm

(SGV Đại số 10 nâng cao, tr.69)

Sự góp mặt của bảng biến thiên với vai trò là công cụ để giải quyết KNV

ra được thêm bài tập 2.29 trong SBT mà lời hướng dẫn của SBT cũng theo thứ tự tương tự như ví dụ trên, tức là, có được bảng biến thiên rồi đưa ra GTLN hay GTNN của hàm số và cuối cùng mới vẽ đồ thị Điều này cho thấy vai trò mờ nhạt của bảng biến thiên trong việc tìm GTLN và GTNN của hàm số ở giai đoạn này

 Các đối tượng GTLN và GTNN tiếp tục xuất hiện trong chương IV: Bất

Như vậy, các KNV liên quan đến GTLN và GTNN trong chương này có thể là

tiên trong bài Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức Trong những lưu ý của

SGV về dạy học bài này, các tác giả đã viết:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D Muốn chứng minh số M (hay m) là GTLN

(GTNN) của f(x) trên D, ta làm như sau:

- Chứng minh bất đẳng thức 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 (𝑓(𝑥) ≥ 𝑚) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷;

- Chỉ ra một (không cần tất cả) giá trị 𝑥 = 𝑥 𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥 𝑜 ) = 𝑀 (𝑓(𝑥 𝑜 ) = 𝑚)

(SGV Đại số 10 nâng cao, tr.153)

Lưu ý này cũng thể hiện một định nghĩa về GTLN (tương ứng, GTNN) của biểu thức một biến cũng như thể hiện các điều kiện để một số là GTLN hay GTNN của một biểu thức một biến Trong đó, việc sử dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt để mô tả GTLN và GTNN của biểu thức một biến được các tác giả viết SGK

chọn Chúng tôi gọi lưu ý này là phát biểu PB1 Mặt khác, lưu ý này liên quan đến

biểu thức một biến nhưng GV có thể phát biểu tương tự cho biểu thức nhiều biến như sau (chúng tôi chỉ đề cập đến biểu thức hai biến, biểu thức ba biến):

● Phát biểu PB2:

Muốn chứng minh số M (hay m) là GTLN (tương ứng, GTNN) của biểu thức hai biến F(a, b) có điều kiện xác định là D, ta làm như sau:

- Chứng minh bất đẳng thức 𝐹(𝑎; 𝑏) ≤ 𝑀 (tương ứng, 𝐹(𝑎; 𝑏) ≥ 𝑚) với mọi

cặp giá trị (a, b) thỏa D;

- Chỉ ra một (không cần tất cả) cặp giá trị (a, b) thỏa D sao cho 𝐹(𝑎; 𝑏) = 𝑀

(tương ứng, 𝐹(𝑎; 𝑏) = 𝑚)

● Phát biểu PB3:

Muốn chứng minh số M (hay m) là GTLN (tương ứng, GTNN) của biểu thức ba biến F(a, b, c) có điều kiện xác định là D, ta làm như sau:

- Chứng minh bất đẳng thức 𝐹(𝑎; 𝑏; 𝑐) ≤ 𝑀 (tương ứng, 𝐹(𝑎; 𝑏; 𝑐) ≥ 𝑚) với

mọi bộ giá trị của (a, b, c) thỏa D;

- Chỉ ra một (không cần tất cả) bộ giá trị (a, b, c) thỏa D sao cho 𝐹(𝑎; 𝑏; 𝑐) = 𝑀

(tương ứng, 𝐹(𝑎; 𝑏; 𝑐) = 𝑚)