4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
1.2.3.1.2 GTLN, GTNN trong SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao
Trong tài liệu này, GTLN và GTNN xuất hiện trong chương I: Hàm số lượng
lượng giác, bài Phương trình lượng giác cơ bản và bài Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
Trong bài Các hàm số lượng giác, mục tiêu về kỹ năng của HS là: “Giúp HS nhận biết hình dạng và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác cơ bản (thể hiện tính tuần hoàn, tính chẵn – lẻ, GTLN, GTNN, giao với trục hoành, ...)” (SGV Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.17). Như vậy, đồ thị lúc này được chương trình coi như là công cụ để thể hiện GTLN và GTNN của các hàm số lượng giác cơ bản. Điều này được thể hiện trong SGK như sau:
Nhận xét
1) Khi x thay đổi, hàm số y= sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [ 1;1]− . Ta nói tập giá trịcủa hàm số y= sinxlà đoạn [ 1;1]− .
(Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.7)
và
Nhận xét
1) Khi xthay đổi, hàm số y =cosxnhận mọi giá trị thuộc đoạn [ 1;1]− . Ta nói tập giá trị của hàm số y =cosx là đoạn [ 1;1]− .
(Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.8)
Do sự quy ước từ lớp 103, tập xác định của hàm số y = sinx và y = cosx là ℝ, nên qua những nhận xét trên đây, có sự ngầm ẩn của các nhận định “−1≤ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≤ 1,∀𝑥 ∈ ℝ, hàm số y = sinx đạt GTLN là 1 tại các điểm 𝜋2+𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)và đạt
3
“Khi cho hàm số bằng biểu thức, ta quy ước rằng: Nếu không có giải thích gì thêm thì tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f(x) được
GTNN là –1 tại các điểm −𝜋2+𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)” và “−1 ≤cos𝑥 ≤ 1,∀𝑥 ∈ ℝ, hàm số y = cosx đạt GTLN là 1 tại các điểm 𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)và đạt GTNN là –1 tại các điểm
𝜋+𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)”. Điều này cũng thể hiện qua lời giải hướng dẫn các bài toán thuộc các KNV liên quan đến các đối tượng GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số trong SGV và SBT.
Các tổ chức toán học liên quan đến các đối tượng này như sau:
KNV TLN.NN.HS: Tìm GTLN (GTNN) của hàm số y = f(x) trên D.
Kỹ thuật 𝜏BĐT.HS: bất đẳng thức.
Minh họa:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: b) 𝑦=�1−sin (𝑥2)−1.
(Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.14)
Hướng dẫn của SGV:
b) Do y = sin(x2) đạt GTLN là 1 (khi 𝑥2 =𝜋2+𝑘2𝜋, k nguyên không âm), đạt GTNN là –1 (khi 𝑥2 =−𝜋2+𝑘2𝜋 , k nguyên dương) nên hàm số 𝑦= �1−sin (𝑥2)−1 đạt GTLN là √2−1 và GTNN là –1.
(SGV Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.22)
KNV TLN.NN: Tìm GTLN (GTNN) của biểu thức một biến F(x) trên D.
Kỹ thuật 𝜏BĐT: bất đẳng thức.
Minh họa:
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức sau:
a) asinx + bcosx (a và blà hằng số, 𝑎2+𝑏2≠0). (Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.42)
Hướng dẫn của SGV:
a) Viết asinx + bcosx = Csin(x+𝛼) trong đó 𝐶 =√𝑎2+𝑏2. GTLN và GTNN của hàm số y = sin(x+𝛼) theo thứ tự là 1 và –1 nên GTLN và GTNN của asinx + bcosx
theo thứ tự là √𝑎2+𝑏2 và −√𝑎2+𝑏2.
(SGV Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.53)
KNV TB.LN.NN.HS: Tìm giá trị của biến để hàm số y = f(x) đạt GTLN (GTNN) trên D.
Kỹ thuật 𝜏BĐT.B.HS: bất đẳng thức.
• Bước 1: Sử dụng một hay một số bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng
để tìm được số thực M (m) sao cho 𝑓(𝑥)≤ 𝑀 (𝑓(𝑥)≥ 𝑚) với mọi x
thuộc D;
• Bước 2: Tìm giá trị xo thuộc Dmà tại đó f(xo)=M (f(xo)=m) và kết luận xo
là giá trị cần tìm. Minh họa:
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40obắc trong ngày thứ t
của một năm không nhuận được cho bởi hàm số
𝑑(𝑡) = 3sin�182𝜋 (𝑡 −80)� + 12 với 𝑡 ∈ ℤ và 0 <𝑡 ≤365. a) [...]
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất? c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất? (Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.29)
Hướng dẫn của SGV:
a) [...]
b) Do sin𝑥 ≥ −1 với mọi x nên thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi sin�182𝜋 (𝑡 −80)�=−1với 𝑡 ∈ ℤ và 0 <𝑡 ≤365.
Phương trình đó cho ta 182𝜋 (𝑡 −80) =−𝜋2+𝑘2𝜋, tức là t = 364k – 11 (với 𝑘 ∈ ℤ).
Mặt khác, 0 < 364𝑘 − 11≤365⇔36411 <𝑘 ≤376364⇔ 𝑘 = 1 (do k nguyên).
Trả lời. Thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) khi t=353, tức là vào ngày thứ 353 trong năm.
c) Tương tự, ta phải giải phương trình sin�182𝜋 (𝑡 −80)�= 1 với 𝑡 ∈ ℤ và
0 <𝑡 ≤365.
Trả lời. Thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (15 giờ) vào ngày thứ 171 trong năm.
(SGV Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.40)
Qua đó, các bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng xuất hiện thêm để giúp giải quyết các bài toán thuộc các KNV trên đây là “∀𝑥 ∈ ℝ,−1≤sin𝑥 ≤ 1” và “∀𝑥 ∈ ℝ,−1≤cos𝑥 ≤ 1”.
Đặc biệt, chúng tôi còn nhận thấy sự xuất hiện của kỹ thuật mới để giải quyết
KNV TLN.NN.HSnhư sau:
Kỹ thuật 𝜏TGT.HS: tập giá trị.
• Bước 1: Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình y = f(x) xác định trên
Dvới ẩn x, tham số y;
• Bước 2: Biến đổi tương đương điều kiện ở bước 1 để có 𝑦 ≤ 𝑀 (𝑦 ≥ 𝑚) và kết luận M (m) là GTLN (GTNN) của hàm số.
Minh họa:
Xét hàm số 𝑦=sin𝑥+cos𝑥−1sin𝑥−cos𝑥+3. Viết đẳng thức đó thành (𝑦 – 1)sin𝑥 – (𝑦 + 1)cos𝑥 = – 3𝑦 – 1, để suy ra rằng khi xthay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị tùy ý thỏa mãn điều kiện (𝑦 −1)2+ (𝑦+ 1)2 ≥(3𝑦+ 1)2. Từ đó hãy tìm GTLN, GTNN của hàm số đã cho.
(Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.13)
Hướng dẫn của SBT:
Do |sin𝑥+ cos𝑥|≤ √2 nên sinx – cosx + 3≠0 với mọi x. Vậy cặp số (x,y) thỏa
mãn 𝑦 =sin𝑥+cos𝑥−1sin𝑥−cos𝑥+3khi và chỉ khi: (y – 1)sinx – (y + 1)cosx = – (3y +1).
Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn �−�(𝑦 −1)2+ (𝑦+ 1)2;�(𝑦 −1)2+ (𝑦+ 1)2�.
Đẳng thức trên cho thấy –(3y+1) phải thuộc đoạn đó, tức là: (3𝑦+ 1)2≤ (𝑦 −1)2+ (𝑦+ 1)2.
Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để (𝑦 – 1)sin𝑥 – (𝑦 + 1)cos𝑥 = – (3𝑦 + 1).
Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với 7𝑦2+ 6𝑦 −1≤0 tức là −1≤ 𝑦 ≤
1 7.
Từ đó ta suy ra GTLN và GTNN của ytheo thứ tự là 17 và –1. (Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.36)
Số lượng các bài toán thuộc các KNV trên được thống kê như sau: KNV Kỹ thuật Số lượng bài toán SGK SBT
TLN.NN.HS Bất đẳng thức 3 6
Tập giá trị 2
TLN.NN Bất đẳng thức 3
TB.LN.NN.HS Bất đẳng thức 6
Tổng: 20
Bảng 1.5: Bảng thống kê các KNV liên quan đến GTLN, GTNN ở SGK, SBT Đại số và Giải tích 11 nâng cao
Như vậy, các kỹ thuật bất đẳng thức tiếp tục áp đảo trong việc giải quyết các KNV liên quan đến các đối tượng GTLN và GTNN của hàm số hay của biểu thức. Các bài toán được giải quyết bởi kỹ thuật tập giá trị chỉ nằm trong SBT và chiếm số lượng ít ỏi so với các bài toán được giải quyết bởi các kỹ thuật bất đẳng thức (2 so với 18). Từ đó, chúng tôi cho rằng HS có thể không biết đến các kỹ thuật tập giá trị
nếu họ chỉ học trong SGK.
Tóm lại:
Qua phân tích thể chế với các đối tượng GTLN, GTNN ở sách Đại số và Giải
tích 11 nâng cao, chúng tôi thu được các kết quả sau:
■ Các khái niệm GTLN, GTNN của biểu thức cũng như của hàm số vẫn không được định nghĩa trong SGK mà tiếp tục được sử dụng như những khái niệm đã biết. Các KNV liên quan đến GTLN, GTNN đều xoay quanh việc tìm GTLN hay GTNN của biểu thức hay của hàm số. Việc tìm GTLN hay GTNN của biểu thức nhiều biến không còn thấy xuất hiện nữa.
■ Các KNV TLN.NN.HS, TLN.NN đã xuất hiện ở lớp 10, nay tiếp tục xuất hiện và các kỹ thuật bất đẳng thứctiếp tục chiếm ưu thế khi giải quyết các KNV này. Có sự xuất hiện nhưng mờ nhạt của kỹ thuật tập giá trịđể giải quyết KNV TLN.NN.HS.
■ Đồ thị được thể chế coi là công cụ để thể hiện GTLN và GTNN của các hàm số lượng giác cơ bản nhưng lúc này, thể chế không quan tâm đến việc nó là một công cụ để tìm GTLN và GTNN của biểu thức hay hàm số như ở các lớp 9, 10.
■ Chúng tôi nhận thấy các biểu thức hay các hàm số được SGK và SBT Đại số và Giải tích 11 nâng cao đưa ra trong các bài toán thuộc các KNV liên quan đến
GTLN, GTNN đều có GTLN (nếu xét GTLN) hay GTNN (nếu xét GTNN). Do đó,
chúng tôi dự đoán quy tắc QTGV tiếp tục hiện diện ở GV khi họ dạy chương trình lớp 11 nâng cao: “Khi cho HS giải quyết các bài toán thuộc các KNV liên quan đến GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số, GV có trách nhiệm đưa ra các biểu thức hay các hàm số biểu thị bởi biểu thức phải luôn có GTLN (nếu xét GTLN) hay GTNN (nếu xét GTNN) trên tập xác định”.
■ Liên quan đến các sai lầm SL, trong những lời giải chi tiết của SGK, SGV và
SBT cho những bài toán liên quan đến việc tìm GTLN và GTNN của hàm số hay
của biểu thức, các tác giả viết SGK đều chỉ ra sự tồn tại của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để f(xo) = M” và của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷để f(xo) = m”. Như vậy, nếu có các sai lầm SL ở HS lớp 11 chương trình nâng cao thì không phải do cách trình bày lời giải của SGK, SGV và SBT.