4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
1.3 Bàn về các thuật ngữ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số
Chúng tôi ghi nhận từ luận văn của Lê Anh Tuấn (2009) sau khi tác giả này phân tích SGK Giải tích 12 nâng cao:
Khi học kiến thức về tìm GTLN và GTNN của một hàm số (có ứng dụng đạo hàm), HS thường mắc sai lầm khi nhầm lẫn giữa giá trị cực đại và GTLN; giá trị cực tiểu và GTNN (khi sử dụng bảng biến thiên).
([13], tr.59)
Tuy nhiên, lời ghi nhận trên chưa được tác giả kiểm chứng. Liệu điều dự đoán này của Lê Anh Tuấn (2009) là hợp lí? Liệu điều đó có xảy ra đối với HS học chương trình chuẩn? Chúng tôi xem xét tiến trình xuất hiện thuật ngữ giá trị cực
niệm này trong một sách đại học (tài liệu [14]) (mà chúng tôi đã xem xét và đề cập ở phần Phụ lục của luận văn) nhằmlàm rõ vấn đề này. Cụ thể như sau:
● Về định nghĩa:
Đối với SGK Giải tích 12 nâng cao, giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số được định nghĩa ở mục khái niệm cực trị của hàm số trong bài Cực trị của hàm số
của chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số như sau:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (𝐷 ⊂ ℝ) và 𝑥𝑜 ∈ 𝐷.
a) xo được gọi là một điểm cực đại của hàm số fnếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm xo sao cho (𝑎;𝑏)⊂ 𝐷 và 𝑓(𝑥) <𝑓(𝑥𝑜) với mọi 𝑥 ∈(𝑎;𝑏)\{𝑥𝑜}. Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b) xo được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm xo sao cho (𝑎;𝑏)⊂ 𝐷 và 𝑓(𝑥) >𝑓(𝑥𝑜) với mọi 𝑥 ∈(𝑎;𝑏)\{𝑥𝑜}. Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
(Giải tích 12 nâng cao, tr.10)
Tài liệu này còn lưu ý về mặt thuật ngữ và đưa ra ví dụ minh họa:
Nếu xolà một điểm cực trị của hàm số fthì người ta nói rằng hàm số fđạt cực trị tại điểm xo.
(Giải tích 12 nâng cao, tr.10)
Đối với SGK Giải tích 12, các khái niệm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cũng được định nghĩa trong chương đầu tiên Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, ở bài Cực trị của hàm số. Chúng được định nghĩa như sau:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là −∞; b là
+∞) và điểm 𝑥𝑜 ∈(𝑎;𝑏).
a) Nếu tồn tại số h> 0 sao cho f(x) <f(xo) với mọi 𝑥 ∈(𝑥𝑜− ℎ;𝑥𝑜+ℎ) và 𝑥 ≠ 𝑥𝑜
b) Nếu tồn tại số h> 0 sao cho f(x) >f(xo) với mọi 𝑥 ∈(𝑥𝑜− ℎ;𝑥𝑜+ℎ) và 𝑥 ≠ 𝑥𝑜
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xo. (Giải tích 12, tr.13)
Tài liệu này còn chú ý thêm về mặt thuật ngữ:
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của hàm số; f(xo) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số. […]
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trịcủa hàm số. (Giải tích 12, tr.14)
Như vậy, cùng một thuật ngữ là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) mà hai SGK Giải tích lớp 12 ở hai chương trình thể hiện hai mối quan tâm khác nhau trong định nghĩa của khái niệm này. Ở SGK Giải tích 12 đề cập đến đối tượng hàm số phải liên tục trên khoảng (a;b), trong khi SGK Giải tích 12 nâng cao thì không. Do đó, có thể SGK Giải tích 12 nâng cao sẽ xét cực trị của các hàm số liên tục trên tập xác định và của những hàm số không liên tục trên tập xác định. Chúng tôi không khảo sát cũng như chỉ ra những hệ quả từ những định nghĩa trong hai SGK này dẫn tới. Người đọc có thể tham khảo những điều này trong luận văn của Phan Quang Thắng (2012) (tài liệu [11]).
Đối chiếu các định nghĩa của các khái niệm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số trong các SGK Giải tích lớp 12 trên đây với các định nghĩa của chúng trong giáo trình của Vũ Tuấn (và các tác giả khác) (tài liệu [14]), chúng tôi nhận thấy tên gọi của các khái niệm này có sự khác biệt:
SGK Giải tích 12 nâng cao Giáo trình [14]
Cực đại
Giá trị cực đại Giá trị cực đại địa phương Cực đại địa phương Cực tiểu
Giá trị cực tiểu Giá trị cực tiểu địa phương Cực tiểu địa phương Cực trị
Giá trị cực trị Giá trị cực trị địa phương Cực trị địa phương
Cũng như giáo trình [14], các SGK Giải tích lớp 12 cũng cho thấy giá trị cực đại (tương ứng, giá trị cực tiểu) f(xo) của hàm số f chính là GTLN (tương ứng, GTNN) của hàm số f nhưng chỉ trong lân cận của điểm đang xét nào đó của tập xác định của chứ không phải là cả tập xác định. Khi xét trên cả tập xác định thì các khái niệm
được đề cập đến là GTLN của hàm số và GTNN của hàm số mà chúng tôi đã từng đề cập trong luận văn này. Khi đối chiếu với các định nghĩa trong giáo trình [14], tên gọi của các khái niệm này không thay đổi, chỉ là có thêm tên gọi khác có mặt trong [14]:
Các SGK
Giải tích lớp 12 Giáo trình [14]
GTLN Cực đại tuyệt đối, GTLN GTLN và GTNN được gọi
chung là cực trị tuyệt đối
GTNN Cực tiểu tuyệt đối, GTNN
Tại sao có sự khác biệt giữa cách gọi tên các khái niệm liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số trong [14] và trong các SGK Giải tích lớp 12? Qua xem xét tài liệu [2], việc gọi tên các khái niệm điểm cực đại, giá trị cực đại, điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu, cực trịkhông phải chỉ do các tác giả viết các SGK Giải tích lớp 12 đưa ra mà còn là do chương trình quy định từ trước:
Về kiến thức:
- Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. - Biết các điều kiện cần và đủ để hàm số có điểm cực trị.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số. ([2], tr.179)
Do đó, dường như thể chế dạy học Toán phổ thông muốn phân biệt rõ ràng giữa các tên gọi của các khái niệm khác nhau, dẫn đến việc gọi tên khác nhau: cực đại –
GTLN, cực tiểu – GTNN. Vấn đề là HS có phân biệt được không. Về mặt nghĩa
thông thường, cực đại là lớn nhất, cực tiểu là nhỏ nhất và cực trị là GTLN hoặc GTNN. Điều này còn thể hiện trong các SGK Vật lí trung học phổ thông mà chúng tôi xem xét trong phần dưới đây.
● Các thuật ngữ cực đại, cực tiểu, cực trị trong một số SGK:
Chúng tôi phát hiện được các thuật ngữ liên quan đến GTLN, GTNN xuất hiện nhiều trong các SGK Vật lí lớp 10 như quãng đường xa nhất, độ cao cực đại, độ cao lớn nhất, gia tốc tối thiểu, tầm bay xa xa nhất, lực ma sát nghỉ cực đại, động năng cực đại, thế năng đàn hồi cực đại,… Thuật ngữ cực trị không được tìm thấy trong
các tài liệu này. Chúng tôi minh họa một số trường hợp có mặt thuật ngữ cực đại
trong SGK Vật lí 10 nâng cao:
○ Bài toán với lời giải có mặt thuật ngữ độ cao cực đại:
Bài toán. Từ độ cao 5 m, một vật nặng được ném theo phương thẳng đứng lên phía trên với vận tốc ban đầu 4 m/s. Chọn trục tọa độ Oythẳng đứng hướng lên trên. a) Viết phương trình chuyển động của vật.
b) Vẽ đồ thị tọa độ, đồ thị vận tốc của vật. c) […]
d) […]
Bài giải.
Chọn gốc tọa độ ở mặt đất, gốc thời gian là lúc ném vật. Ta có: yo= 5m; vo = 4 m/s; g = -9,8 m/s2.
a) Phương trình chuyển động: 𝑦=𝑦𝑜+𝑣𝑜𝑡+12𝑔𝑡2 = 5 + 4𝑡 −12. 9,8.𝑡2
𝑦=−4,9𝑡2+ 4𝑡+ 5
b) Muốn vẽ được đồ thị tọa độ, ta phải biểu diễn hàm bậc hai
𝑦=−4,9𝑡2+ 4𝑡+ 5, hàm này có dạng 𝑦=𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐với a = -4,9; b = 4; c =
5. Đường biểu diễn hàm y theo tlà một đường parabol có bề lõm hướng xuống (vì
a < 0), cắt trục tung tại điểm A (t = 0, y = 5) ứng với lúc ném vật và cắt trục hoành tại điểm C (t = t2, y = 0) ứng với lúc vật chạm đất. t2 là nghiệm dương của phương trình −4,9𝑡2+ 4𝑡+ 5 = 0, t2 = 1,50 s.
Đỉnh Bcủa parabol ứng với cực đại của tam thức 𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐. Cực đại đạt được khi 𝑡=𝑡1 =−2𝑎𝑏 =94,8= 0,41 𝑠. Giá trị của cực đại là:
𝑦max =𝑦1 =−𝑏24𝑎+ 4𝑎𝑐 = 5,82 m
[…]
Nhận xét: Tung độ của đỉnh parabol chính là GTLN của hàm số 𝑦 =𝑎𝑡2+ 𝑏𝑡+𝑐 (𝑎< 0) xét trên ℝ hay trên tập con bất kỳ nào của ℝmà chứa một số là hoành độ của đỉnh parabol. Lúc này, hoành độ của đỉnh parabol cũng là điểm cực đại và tung độ của nó cũng là giá trị cực đại của hàm số. Như vậy, việc sử dụng thuật ngữ cực đại ở đây mang nghĩa chính xác về mặt toán học (theo các SGK Giải tích lớp 12) lẫn nghĩa thông thường.
Trong thời gian học bài này, HS học chương trình trung học phổ thông nâng cao cũng học về khái niệm hàm số bậc hai ở SGK Đại số 10 nâng cao. Ở tài liệu này, HS biết tung độ của đỉnh parabol chính là GTLN hay GTNN của hàm số bậc hai trên ℝ hay trên tập con bất kỳ nào của ℝ mà chứa một số là hoành độ của đỉnh parabol. Từ đó, chúng tôi cho rằng HS có thể gọi GTLN của hàm số là giá trị cực đại của hàm số (trên bất kỳ tập xác định nào) hay gọi GTNN của hàm số là giá trị cực tiểu của hàm số (trên bất kỳ tập xác định nào) – chúng chỉ là những cách gọi khác nhau của cùng một đối tượng.
○ Khi học về khái niệm lực ma sát nghỉ, HS được làm quen với thuật ngữ lực ma sát nghỉ cực đại. Các khái niệm này được mô tả như sau:
Vật Ađặt trên mặt bàn nằm ngang. Trọng lực 𝑃�⃗của Acân bằng với phản lực pháp tuyến 𝑁��⃗ của mặt bàn. A đứng yên. Kéo vật Abằng một lực nằm ngang 𝐹⃗ tăng dần từ 0. Lúc đầu, A vẫn đứng yên. 𝐹⃗ phải đạt tới một giá trị nhất định, A mới dịch chuyển.
Vì sao lúc đầu có lực kéo 𝐹⃗ mà A vẫn đứng yên? Đó là do mặt bàn đã tác dụng lên
Amột lực cân bằng với 𝐹⃗, ngăn cản chuyển động của A. Lực đó gọi là lực ma sát nghỉ (𝐹⃗𝑚𝑠𝑛).
Khi F tăng dần, Fmsn tăng theo đến một giá trị FM nhất định thì vật A bắt đầu trượt trên mặt bàn. FM là GTLN của lực ma sát nghỉ: Fmsn ≤RFM. FM còn gọi là lực ma sát nghỉ cực đại.
(Vật lí 10 nâng cao, tr.89 – 90 – 92)
Nhận xét: Thuật ngữ cực đại ở đây được hiểu theo ngôn ngữ thông thường, tức là GTLN. Ngoài ra, chúng tôi còn phát hiện những thuật ngữ khác như động năng
cực đại, thế năng đàn hồi cực đại, vận tốc cực đại đều mang nghĩa thông thường là GTLN.
Còn xét trong SGK Vật lí 10, chúng tôi cũng phát hiện ra thuật ngữ cực đại
trong các khái niệm như: lực ma sát nghỉ cực đại, động năng cực đại, … mà chúng đều được hiểu theo ngôn ngữ thông thường là GTLN.
Mặt khác, khi quan sát các SGK Đại số lớp 10, chúng tôi còn nhận thấy thuật ngữ cực trị của biểu thức mà chúng tôi đã từng đề cập trong luận văn này. Đó là trong tiêu đề của một bài đọc thêm “Một phương pháp tìm cực trị của biểu thức P(x;y) = ax + by trên một miền đa giác lồi” đối với SGK Đại số 10 nâng cao và bài đọc thêm “Phương pháp tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác”. Các bài toán được đặt ra trong các bài đọc thêm này là:
BÀI TOÁN: Tìm GTNN hay GTLN vủa biểu thức P(x;y) = ax + by (b≠0) trên một miền đa giác phẳng lồi (kể cả biên).
(Đại số 10 nâng cao, tr.133)
Bài toán. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F = ax + by (a, b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó x, ylà các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A1A2... Ai Ai+1… An. Xác định x, y để F đạt GTLN, GTNN.
(Đại số 10, tr.99)
Tuy nhiên, trong nội dung các bài đọc thêm này chỉ nói đến GTLN, GTNN của biểu thức và không đề cập đến thuật ngữ cực trị của biểu thức nữa. Chúng tôi cho rằng các tác giả viết SGK đã đề cập đến thuật ngữ cực trị theo nghĩa thông thường, tức là GTLN và GTNN.
Chúng tôi tham khảo thêm các SGK Vật lí lớp 12 vì HS học đồng thời hai tài liệu SGK Vật lí 12 nâng cao và SGK Giải tích 12 nâng cao (đối với chương trình nâng cao) cũng như SGK Vật lí 12 và SGK Giải tích 12 (đối với chương trình chuẩn). Khi quan sát các SGK Vật lí lớp 12, chúng tôi vẫn tìm thấy những thuật ngữ như: gia tốc có độ lớn cực đại, vận tốc có độ lớn cực đại, độ lệch cực đại của vật so với vị trí cân bằng, … Những thuật ngữ này cho thấy việc sử dụng thuật ngữ cực đạilà theo ngôn ngữ thông thường, tức là GTLN.
Tóm lại:
Có sự đồng nhất về nghĩa thông thường của các thuật ngữ cực đại và GTLN (cũng như thuật ngữ cực trị và GTLN, GTNN) và nghĩa này cũng tồn tại trong các SGK Vật lí lớp 10, 12. Chúng tôi băn khoăn về sự tồn tại ở HS lớp 12 các quan niệm sau: GTLN của hàm số là cực đại của hàm số, GTNN của hàm số là cực tiểu của hàm số.
Gắn với các quan niệm này, chúng tôi dự đoán một số sai lầm ở HS như:
- Khi hàm số có GTLN tại đầu mút của đoạn đang xét, đồng thời, hàm số cũng đạt cực đại, họ cho rằng GTLN của hàm số chính là giá trị cực đại của hàm số hoặc nếu có nhiều giá trị cực đại, họ so sánh chúng và giá trị nào lớn nhất chính là GTLN của hàm số trên đoạn đang xét. Điều xảy ra tương tự đối với GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số.
- Hay khi hàm số không có GTLN nhưng vẫn có một hay nhiều giá trị cực đại thì HS cho rằng một trong các giá trị cực đại chính là GTLN của hàm số. Điều xảy ra tương tự cho GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số.