4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
1.2.3 GTLN, GTNN trong các SGK Đại số, Giải tích lớp 10, 11, 12
1.2.3.1 Chương trình nâng cao
1.2.3.1.1 GTLN, GTNN trong sách Đại số 10 nâng cao
Trong sách Đại số 10 nâng cao, các đối tượng GTLN và GTNN xuất hiện trong phần dạy học về hàm số (ở chương II) và phần dạy học về bất đẳng thức (ở chương IV).
Trong chương II: Hàm số bậc nhất và bậc hai, các đối tượng này xuất hiện ở dạng GTLN và GTNN của hàm số.
Chương này gồm ba bài, lần lượt là: bài Đại cương về hàm số, bài Hàm số bậc nhất và bài Hàm số bậc hai. Ở bài đầu tiên, một trong những mục tiêu về kỹ năng được chương trình đưa ra liên quan đến GTLN và GTNN của hàm số là:
Khi cho hàm số bằng đồ thị, HS cần bước đầu nhận biết một vài tính chất của hàm số như GTLN hoặc GTNN của hàm số (nếu có).
(SGV Đại số 10 nâng cao, tr.69).
Trong bài này, SGK cũng thể hiện điều này thông qua ví dụ:
Ví dụ 2.Hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [-3;8] được cho bằng đồ thị như trong hình.
Dựa vào đồ thị đã cho, ta có thể nhận biết được (với độ chính xác nào đó): - Giá trị của hàm số tại một số điểm, chẳng hạn f(–3) = –2, f(1) = 0;
- Các giá trị đặc biệt của hàm số, chẳng hạn, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-3;8] là -2;
- Dấu của f(x) trên một khoảng, chẳng hạn nếu 1 < x < 4 thì f(x) < 0. (Đại số 10 nâng cao, tr.37)
Từ đây, HS tiếp tục thực hiện 4 bài tập trong chương này liên quan đến KNV
TLN.NN.HS mà chỉ nhờ vào công cụ đồ thị để giải quyết, tức là sử dụng kỹ thuật
Đồ thị của một hàm số xác định trên ℝ được cho trên hình. Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó. Hãy cho biết giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số (nếu có).
(Bài tập Đại số 10 nâng cao, tr.30)
Hướng dẫn của SBT:
Hàm số có GTNN bằng 4, 4 khi x = 2, nhưng không có GTLN. (Bài tập Đại số 10 nâng cao, tr.40)
Đặc điểm chung của các bài tập này là SGK hay SBT luôn đưa ra sẵn đồ thị của hàm số đang xét rồi đề nghị lập bảng biến thiên của hàm số và cuối cùng là đề nghị cho biết GTLN hay GTNN của hàm số (nếu có). Chúng tôi tự hỏi: Nếu lúc này, một hàm số chỉ cho bằng bảng biến thiên thì HS có thể chỉ ra được GTLN hay GTNN của hàm số (nếu có) không?
Trong chương này, chúng tôi lưu tâm đến bài Hàm số bậc hai khi ở đây xuất hiện việc tìm GTLN và GTNN của hàm số bằng công thức cho sẵn. SGK đã biến đổi 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =𝑎 �𝑥2 + 22𝑎𝑏 𝑥 +4𝑎𝑏22� −4𝑎𝑏2+𝑐 =𝑎 �𝑥+2𝑎𝑏�2−𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎 rồi dựa vào việc tịnh tiến đồ thị hàm số biểu thị bởi y = ax2 mà HS đã từng biết đồ thị hàm số này ở lớp 9 và đưa ra kết luận (chúng tôi gọi kết luận này là kết luận KL):
Đồ thị của hàm số 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎 ≠0) là một parabol có đỉnh
𝐼 �−2𝑎𝑏 ;−4𝑎∆�, nhận đường thẳng 𝑥 =−2𝑎𝑏 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a >0, xuống dưới khi a <0.
(Đại số 10 nâng cao, tr.56)
SGK không minh họa một trường hợp hàm số bậc hai cụ thể nào cho kết luận
này mà tiếp tục đưa ra những nhận xét:
Từ đồ thị của hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên sau đây.
Như vậy:
Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−2𝑎𝑏), đồng biến trên khoảng (−2𝑎𝑏 ; +∞) và có GTNN là −4𝑎∆ khi x = −2𝑎𝑏.
Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−2𝑎𝑏), nghịch biến trên khoảng (−2𝑎𝑏 ; +∞) và có GTLN là −4𝑎∆ khi x = −2𝑎𝑏.
(Đại số 10 nâng cao, tr.57)
Từ đây, chúng tôi nhận thấy sự xuất hiện của tổ chức toán học sau:
KNV TLN.NN.HSBH: Tìm GTLN (GTNN) của hàm số y = ax2
+ bx + c với a<0 (a>0) trên ℝ.
Kỹ thuật 𝜏HSBH: Công thức.
• Bước 1: Tính giá trị ∆của tam thức bậc hai ax2 + bx + c;
• Bước 2: Kết luận GTLN (GTNN) của hàm số là −4𝑎∆.
Công nghệ được SGK chọn để giải thích cho kỹ thuật này là kết luận KL. Minh họa:
33.Lập bảng theo mẫu sau đây rồi điền vào ô trống các giá trị thích hợp (nếu có): Hàm số Hàm số có GTLN/GTNN khi x = ? GTLN GTNN
y = 3x2 – 6x + 7
y = –5x2 – 5x + 3
y = x2 – 6x + 9
y = –4x2 + 4x – 1
Hướng dẫn của SGV: Hàm số Hàm số có GTLN/GTNN khi x = ? GTLN GTNN y = 3x2 – 6x + 7 x = 1 4 y = –5x2 – 5x + 3 x = -0,5 4,25 y = x2 – 6x + 9 x = 3 0 y = –4x2 + 4x – 1 x = 0,5 0 (SGV Đại số 10 nâng cao, tr.88)
Như vậy, có thể xuất hiện tổ chức toán học sau:
KNV TLN.NN.TTBH: Tìm GTLN (GTNN) của biểu thức y = ax2 + bx + c với
a<0 (a>0) trên ℝ.
Kỹ thuật𝜏TTBH: Công thức.
• Bước 1: Tính ∆;
• Bước 2: Kết luận GTLN (GTNN) của tam thức bậc hai là −4𝑎∆.
Công nghệ:Kết luận KL.
Tuy nhiên, KNV TLN.NN.HSBH chỉ giúp giải quyết một lớp các bài toán liên quan đến các hàm số bậc hai. Do đó, kỹ thuật công thức 𝜏HSBH nói chung không áp dụng để giải quyết KNV TLN.NN.HS – KNV giúp giải quyết một lớp bài toán tổng quát hơn. Tương tự, kỹ thuật 𝜏TTBH cũng không áp dụng để giải quyết KNV TLN.NN mà chỉ giúp giải quyết lớp các bài toán hẹp hơn liên quan đến GTLN và GTNN của tam thức bậc hai.
Liên quan đến bảng biến thiên, chúng tôi lưu ý đến lời giải thích trong một ví dụ ở bài Hàm số bậc hai:
Ví dụ.Hãy cho biết sự biến thiên của hàm số 𝑦=−𝑥2+ 4𝑥 −3. Vẽ đồ thị của hàm số đó.
Giải.
[...]
Ta có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên này cho thấy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 khi x = 2. [...]
Đặc biệt, lời giải thích được minh họa trên đây được SGK đưa ra trước khi vẽ đồ thị của hàm số. Chúng tôi dự đoán rằng SGK đã coi bảng biến thiên như là một công cụ để giải quyết KNV TLN.NN.HS và do đó, có thể có kỹ thuật sau:
TLN.NN.HS: Tìm GTLN (GTNN) của hàm số y = f(x) trên D.
Kỹ thuật 𝜏BBT: bảng biến thiên.
• Bước 1: Vẽ bảng biến thiên của hàm số trên D;
• Bước 2: So sánh các giá trị của hàm số tại các đầu mút của tập D (nếu có) và các điểm thuộc Dmà hàm số thay đổi chiều biến thiên. Giá trị nào lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) là GTLN (tương ứng, GTNN) của hàm số. Công nghệ giải thích cho kỹ thuật bảng biến thiên này là: tính đơn điệu của hàm số, đồ thị của hàm số.
Tuy nhiên, yêu cầu của chương trình liên quan đến đối tượng bảng biến thiên trong chương này chỉ là:
Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua đồ thị của nó”.
(SGV Đại số 10 nâng cao, tr.69)
Sự góp mặt của bảng biến thiên với vai trò là công cụ để giải quyết KNV
TLN.NN.HS trong chương này cũng không thấy rõ ở SGK và SBT. Chúng tôi chỉ tìm
ra được thêm bài tập 2.29 trong SBT mà lời hướng dẫn của SBT cũng theo thứ tự tương tự như ví dụ trên, tức là, có được bảng biến thiên rồi đưa ra GTLN hay GTNN của hàm số và cuối cùng mới vẽ đồ thị. Điều này cho thấy vai trò mờ nhạt của bảng biến thiên trong việc tìm GTLN và GTNN của hàm số ở giai đoạn này.
Các đối tượng GTLN và GTNN tiếp tục xuất hiện trong chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình.
Yêu cầu cần đạt của chương trình liên quan đến các đối tượng này là một trong những yêu cầu về kỹ năng của HS:
Biết cách tìm GTLN và GTNN của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến. (SGV Đại số 10 nâng cao, tr.150)
Như vậy, các KNV liên quan đến GTLN và GTNN trong chương này có thể là
tiên trong bài Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức. Trong những lưu ý của SGV về dạy học bài này, các tác giả đã viết:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Muốn chứng minh số M (hay m) là GTLN (GTNN) của f(x) trên D, ta làm như sau:
- Chứng minh bất đẳng thức 𝑓(𝑥)≤ 𝑀 (𝑓(𝑥)≥ 𝑚) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷;
- Chỉ ra một (không cần tất cả) giá trị 𝑥=𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥𝑜) =𝑀 (𝑓(𝑥𝑜) = 𝑚).
(SGV Đại số 10 nâng cao, tr.153)
Lưu ý này cũng thể hiện một định nghĩa về GTLN (tương ứng, GTNN) của biểu thức một biến cũng như thể hiện các điều kiện để một số là GTLN hay GTNN của một biểu thức một biến. Trong đó, việc sử dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt để mô tả GTLN và GTNN của biểu thức một biến được các tác giả viết SGK chọn. Chúng tôi gọi lưu ý này là phát biểu PB1. Mặt khác, lưu ý này liên quan đến biểu thức một biến nhưng GV có thể phát biểu tương tự cho biểu thức nhiều biến như sau (chúng tôi chỉ đề cập đến biểu thức hai biến, biểu thức ba biến):
● Phát biểu PB2:
Muốn chứng minh số M (hay m) là GTLN (tương ứng, GTNN) của biểu thức hai biến F(a, b) có điều kiện xác định là D, ta làm như sau:
- Chứng minh bất đẳng thức𝐹(𝑎;𝑏) ≤ 𝑀 (tương ứng, 𝐹(𝑎;𝑏) ≥ 𝑚) với mọi cặp giá trị (a, b) thỏa D;
- Chỉ ra một (không cần tất cả) cặp giá trị (a, b) thỏa D sao cho 𝐹(𝑎;𝑏) = 𝑀
(tương ứng, 𝐹(𝑎;𝑏) = 𝑚). ● Phát biểu PB3:
Muốn chứng minh số M (hay m) là GTLN (tương ứng, GTNN) của biểu thức ba biến F(a, b, c) có điều kiện xác định là D, ta làm như sau:
- Chứng minh bất đẳng thức 𝐹(𝑎;𝑏;𝑐) ≤ 𝑀 (tương ứng, 𝐹(𝑎;𝑏;𝑐)≥ 𝑚) với mọi bộ giá trị của (a, b, c) thỏa D;
- Chỉ ra một (không cần tất cả) bộ giá trị (a, b, c) thỏa D sao cho 𝐹(𝑎;𝑏;𝑐) = 𝑀
Khi đó, có thể xuất hiện các KNV (mà chúng tôi gọi là các KNV chứng minh) cùng kỹ thuật giải quyết (và công nghệ giải thích cho kỹ thuật) như:
KNV Kỹ thuật, công nghệ
TCM.LN.NN: Chứng minh
một số M (m) là GTLN (GTNN) của biểu thức một biến hay của hàm số biểu thị bởi F(x) trên D.
Kỹ thuật 𝜏ĐN: định nghĩa.
+ Bước 1: Chứng minh 𝐹(𝑥)≤ 𝑀 (𝐹(𝑥) ≥ 𝑚) với mọi xthuộc D;
+ Bước 2: Chỉ ra giá trị xo thuộc D sao cho F(xo) = M
(F(xo) = m). Công nghệ: Phát biểu PB1. TCM.LN.NN.HB: Chứng minh một số M (m) là GTLN (GTNN) của biểu thức hai biến F(a, b) có điều kiện xác định là D. Kỹ thuật 𝜏ĐN.HB: định nghĩa. + Bước 1: Chứng minh 𝐹(𝑎,𝑏) ≤ 𝑀 (𝐹(𝑎,𝑏) ≥ 𝑚) với mọi bộ giá trị (a, b) thỏa D;
+ Bước 2: Chỉ ra một bộ giá trị (ao, bo) thuộc D sao cho F(ao, bo) = M(hay F(ao, bo) = m). Công nghệ: Phát biểu PB2. TCM.LN.NN.BB: Chứng minh một số M (m) là GTLN (GTNN) của biểu thức ba biến F(a, b, c) có điều kiện xác định là D. Kỹ thuật 𝜏ĐNGTNN.NB: định nghĩa GTNN. + Bước 1: Chứng minh 𝐹(𝑎,𝑏,𝑐) ≤ 𝑀 (𝐹(𝑎,𝑏,𝑐) ≥ 𝑚) với mọi bộ giá trị (a, b, c) thỏa D;
+ Bước 2: Chỉ ra một bộ giá trị ao, bo, co thuộc D sao cho F(ao, bo, co) = M (F(ao, bo, co) = m).
Công nghệ: Phát biểu PB3.
Tuy nhiên, lưu ý trên không nói rõ phải làm như thế nào để có được số M hay m
– điều được mong đợi trong yêu cầu về kỹ năng của HS ở trên. Vậy thì làm thế nào để có được các số M hay mấy?
Trong phần lý thuyết của bài Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức, GTLN và GTNN được đề cập ở mục Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân trong những ứng dụng của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (SGK còn gọi là bất đẳng thức Cauchy) đối với hai số không âm và đối với ba số không âm. Các bất đẳng thức này được trình bày dưới dạng các định lí:
Định lí:
Với mọi 𝑎 ≥0,𝑏 ≥0 ta có 𝑎+𝑏
2 ≥ √𝑎𝑏. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Định lí:
Với mọi 𝑎 ≥0,𝑏 ≥0,𝑐 ≥0 ta có 𝑎+𝑏+𝑐
3 ≥ √𝑎𝑏𝑐3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
(Đại số 10 nâng cao, tr.106, 108)
Một số hệ quả được SGK rút ra từ các định lí này là:
• Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
• Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Hoạt động H3: Phát biểu kết quả tương tự hệ quả trên cho trường hợp ba số dương. (SGK Đại số 10 nâng cao, tr.107, 109)
Từ đây, chúng tôi nhận thấy xuất hiện các tổ chức toán học:
KNV TLN.NN.HB: Tìm GTLN (GTNN) của biểu thức F(a, b) thỏa điều kiện D.
Kỹ thuật 𝜏BĐT.HB: bất đẳng thức.
• Bước 1: Sử dụng một hay một số bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng
và các tính chất của bất đẳng thức để tìm được số thực M (m) sao cho
𝐹(𝑎,𝑏) ≤ 𝑀(𝐹(𝑎,𝑏) ≥ 𝑚) với mọi bộ giá trị của các biến thỏa D;
• Bước 2: Tìm một bộ giá trị (ao, bo) thỏa D mà tại đó F(ao, bo) = M
(F(ao, bo) = m) rồi kết luận M (m) là GTLN (GTNN) của biểu thức. Công nghệ: Phát biểu PB2.
KNV TLN.NN.BB: Tìm GTLN (GTNN) của biểu thức F(a, b, c) thỏa điều kiện D.
Kỹ thuật 𝜏BĐT.BB: bất đẳng thức.
• Bước 1: Sử dụng một hay một số bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng
và các tính chất của bất đẳng thức để tìm được số thực M (m) sao cho
𝐹(𝑎,𝑏,𝑐) ≤ 𝑀(𝐹(𝑎,𝑏,𝑐) ≥ 𝑚) với mọi bộ giá trị của các biến thỏa D;
• Bước 2: Tìm một bộ giá trị (ao, bo, co) thỏa Dmà tại đó F(ao, bo, co) = M
(F(ao, bo, co) = m) rồi kết luận M (m) là GTLN (GTNN) của biểu thức. Công nghệ: Phát biểu
Minh họa:
Cho các số không âm a, b. Tìm GTNN của biểu thức: a) 𝐴=𝑎2+𝑏2+𝑎𝑏 −3𝑎 −3𝑏+ 2006.
(Bài tập Đại số 10 nâng cao, tr.116)
Hướng dẫn của SBT:
a) Ta có
𝐴= (𝑎 −1)2+ (𝑏 −1)2+𝑎𝑏 − 𝑎 − 𝑏+ 2004= (𝑎 −1)2+ (𝑏 −1)2+ (𝑎 −1)(𝑏 −1) + 2003 =�(𝑎 −1) +𝑏−12 �2+34(𝑏 −1)2+ 2003≥2003. Dấu bằng xảy ra khi
�𝑎 −1 +𝑏−12 = 0
𝑏 −1 = 0 ⇔ �𝑎𝑏 = 1= 1.
Vậy A nhỏ nhất bằng 2003 khi a = b = 1. (Bài tập Đại số 10 nâng cao, tr.161)
Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy trong phần dạy học về bất đẳng thức này các tổ chức toán học liên quan đến GTLN, GTNN như sau:
KNV TLN.NN: Tìm GTLN (GTNN) của biểu thức một biến F(x) trên D.
Kỹ thuật 𝜏BĐT: bất đẳng thức.2 Minh họa:
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 𝐴=√𝑥 −1 +√4− 𝑥. (Đại số 10 nâng cao, tr.112)
Hướng dẫn của SGV:
Với 1≤ 𝑥 ≤4, ta có 𝐴2 = (√𝑥 −1 +√4− 𝑥)2= 3 + 2�(𝑥 −1)(4− 𝑥)≤3 + 𝑥 −1 + 4− 𝑥= 6.
Suy ra 𝐴 ≤6.
Dấu bằng xảy ra khi x – 1 = 4 – x, tức là 𝑥=52 (thỏa mãn điều kiện 1≤ 𝑥 ≤4). Vậy GTLN của A là √6.
𝐴2= 3 + 2�(𝑥 −1)(4− 𝑥)≥3 vì �(𝑥 −1)(4− 𝑥)≥0. Vậy 𝐴 ≥ √3.
𝐴2= 3 khi x = 1 hoặc x = 4, nên 𝐴=√3 khi x = 1 hoặc x = 4. Vậy GTNN của A là
√3.
(SGV Đại số 10 nâng cao, tr.157)
KNV TLN.NN.HS: Tìm GTLN (GTNN) của hàm số y = f(x) trên D.
Kỹ thuật 𝜏BĐT.HS: bất đẳng thức.
2 Luận văn này, tr.22.
• Bước 1: Biểu thị hàm số thông qua biểu thức một biến f(x);
• Bước 2: Sử dụng kỹ thuật 𝜏BĐTđể tìm GTLN M (GTNN m) của f(x);
• Bước 3: Kết luận M (m) là GTLN (GTNN) của hàm số cho trước. Minh họa:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với −3≤ 𝑥 ≤5. (Đại số 10 nâng cao, tr.110)
Hướng dẫn của SGV:
Vì −3≤ 𝑥 ≤5 nên x + 3 và 5 – x là hai số không âm có tổng bằng 8 và do đó tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Do x + 3 = 5 – x khi và chỉ khi x = 1 nên GTLN của f(x) = (x + 3)(5 – x) là f(1) = 16. Ta có f(x) = (x + 3)(5 – x) ≥0 và dấu bằng xảy ra khi x = -3 hoặc x = 5 nên GTNN của f(x) là f(-3) = f(5) = 0.
(SGV Đại số 10 nâng cao, tr.156)
KNV TB.LN.NN: Tìm giá trị của biến để biểu thức một biến F(x) đạt GTLN (GTNN) trên D.
Kỹ thuật 𝜏BĐT.B: bất đẳng thức.
• Bước 1: Sử dụng một hay một số bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng
và các tính chất của bất đẳng thức để tìm được số thực M (m) sao cho
F(x)≤M (F(x)≥m) với mọi xthuộc D;
• Bước 3: Tìm giá trị xo thuộc D mà tại đó F(xo)=M (F(xo)=m) và kết luận đó là giá trị cần tìm.
Minh họa:
Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 cm × 50 cm. Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất.
(Bài tập Đại số 10 nâng cao, tr.105)
Hướng dẫn của SBT:
Gọi cạnh hình vuông được cắt là x (0 <𝑥< 25), đơn vị: xentimét). Thể tích V của cái hộp là V =x(80−2 )(50x −2 )x .
Khi đó ta có 12𝑉= 6𝑥(80−2𝑥)(100−4𝑥)≤ �6𝑥+80−2𝑥+100−4𝑥3 �3 = 603.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6𝑥= 80−2𝑥= 100−4𝑥 tức là 𝑥= 10. GTLN của V là 18000 cm3 khi 𝑥 = 10 (cm).
Vậy phải cắt đi ở bốn góc vuông của hình chữ nhật ban đầu những hình vuông có cạnh 10cm.
(Bài tập Đại số 10 nâng cao, tr.128)
Công nghệ giải thích cho kỹ thuật bất đẳng thứctrên đây là phát biểu PB1. ■ Bảng thống kê số lượng các bài toán thuộc các KNV liên quan đến GTLN, GTNN trong bài Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thứcnhư sau:
KNV Kỹ thuật SGK Số lượng bài toán SBT Tổng số
TLN.NN.HB Bất đẳng thức 1 1 TLN.NN.BB 2 2 TLN.NN 2 4 6 TLN.NN.HS 6 3 9