4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
2.1 Bất đẳng thức không nghiêm ngặt trong các SGK Toán phổ thông
2.1.1 Sách Toán 6
Các dấu ≤, ≥xuất hiện đầu tiên ở bài §2 Tập hợp các số tự nhiên trong chương đầu tiên Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên của sách Toán 6 tập một. Chúng được giới thiệu như sau: “Người ta viết 𝑎 ≤ 𝑏để chỉ a<b hoặc a = b, viết 𝑏 ≥ 𝑎 để chỉ b>a hoặc b = a”(Toán 6 tập một, tr.7).
Lúc này, việc giới thiệu chúng được gắn với việc mô tả đặc trưng của một tập hợp số:
GV giới thiệu tiếp các kí hiệu ≤ và ≥. Củng cố: Viết tập hợp 𝐴= {𝑥 ∈ ℕ|6≤ 𝑥 ≤ 8} bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
(SGV Toán 6 tập một, tr.28)
Các dấu ≤, ≥ tiếp tục xuất hiện ở tài liệu này trong việc thể hiện kết quả số dư trong phép chia hai số tự nhiên và thể hiện điều kiện để thực hiện một số phép tính trong tập số tự nhiên:
• Cho hai số tự nhiên a và btrong đó 𝑏 ≠0, ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r
duy nhất sao cho: a = b.q + r trong đó 0≤ 𝑟<𝑏. • am : an = am—n (𝑎 ≠0; 𝑚 ≥ 𝑛).
• 𝑎 ⋮ 𝑚 và 𝑏 ⋮ 𝑚⇒(𝑎 − 𝑏)⋮ 𝑚 (𝑎 ≥ 𝑏). (Toán 6 tập một, tr.22, 29, 34)
Như vậy, sự xuất hiện của các dấu ≤, ≥ở lớp 6 gắn liền với các số tự nhiên. Các dấu này được sử dụng khi phải mô tả cùng lúc9 hai trường hợp là lớn hơn và bằng hoặc cùng lúc hai trường hợp nhỏ hơn và bằng giữa hai số tự nhiên. Khi phải thể hiện những điều này, các dạng xuất hiện gắn với các dấu ≤, ≥ là:
• Một chữ ≤ một số; một số ≤ một chữ; • Một chữ ≥ một chữ.
Các dấu này không thấy xuất hiện trong SGK và SBT Toán 6 tập hai.
2.1.2 Sách Toán 7
Trong SGK và SBT Toán 7 tập một, dấu ≤không xuất hiện, dấu ≥có xuất hiện. Dấu ≥xuất hiện với vai trò thể hiện điều kiện để thực hiện một số phép tính trong
9
Thuật ngữ “cùng lúc” được chúng tôi sử dụng ở đây theo nghĩa sau :
Ví dụ : 𝑎 ≤ 𝑏 nghĩa là có những giá trị của cặp a và b thỏa 𝑎<𝑏 và có giá trị của cặp a và b thỏa
tập số hữu tỉ: “𝑥𝑚:𝑥𝑛 =𝑥𝑚−𝑛(𝑥 ≠0,𝑚 ≥ 𝑛)” (Toán 7 tập một, tr.18), trong đó
𝑥 ∈ ℚ;𝑚,𝑛 ∈ ℕ;𝑚,𝑛 > 1. Ngoài ra, dấu ≥còn gắn liền với sự xuất hiện của khái niệm giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:
• |𝑥| =� 𝑥 nếu 𝑥 ≥ 0 −𝑥 nếu 𝑥< 0.
• Với mọi 𝑥 ∈ ℚ ta luôn có: |𝑥|≥0, |𝑥|≥ 𝑥 (Toán 7 tập một, tr.14).
Khi phải thể hiện những điều trên, các dạng xuất hiện gắn với dấu ≥ là: • Một chữ ≥một chữ;
• Một chữ ≥một số;
Ngoài ra, như chúng tôi đã chỉ ra ở chương 1, tuy các bài toán thuộc KNV
TLN.NN không xuất hiện trong SGK nhưng chúng lại xuất hiện trong SBT và các kỹ
thuật để giải quyết các KNV này có sự hỗ trợ của các dấu ≥, ≤. Khi đó, xuất hiện thêm các dạng:
• Biểu thức chữ10≥một số; • Biểu thức chữ ≤một số.
Việc này mang thêm nghĩa cho các dấu ≥, ≤. Nghĩa này gắn với các khái niệm
GTLN, GTNN của biểu thức:
• Biểu thức chữ ≥một số a: tức là biểu thức chữ ấy có thể đạt GTNN là a.
• Biểu thức chữ ≤một số a: tức là mọi giá trị của biểu thức chữ ấy không vượt quá a hay nói cách khác, biểu thức chữ ấy có thể đạt GTLN là a.
Các dấu ≥, ≤không thấy xuất hiện trong SGK Toán 7 tập hai.
Việc không xuất hiện các dạng mà hai vế chỉ toàn là số hay biểu thức số ở các SGK Toán 6 tập một, Toán 7 tập một và các SBT tương ứng gây cho chúng tôi dự đoán về quan niệm QN1 sau có thể tồn tại ở HS lớp 7: Dấu ≤ (tương ứng, ≥) chỉ được sử dụng khi phải mô tả cùng lúc cả hai trường hợp là bé hơn và bằng (tương ứng, cả hai trường hợp lớn hơn và bằng). Điều này có thể là do họ chỉ sử dụng các
10Chúng tôi gọi tên khái niệm biểu thức chữ dựa vào định nghĩa sau: “Biểu thức chữ là một hay
dấu <, >, = để so sánh hai số cụ thể - một việc làm quen thuộc được bắt gặp trong các SGK tiểu học hiện hành chứ họ chưa gặp việc so sánh hai số hay hai biểu thức số bằng các dấu ≤, ≥trước đây.
Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy ở các dạng có chứa các dấu ≤, ≥mà trong đó có một vế chứa chữ, thì đều tồn tại giá trị của chữ (mà khi ấy trở thành biến) để cho đẳng thức xảy ra. Do đó, chúng tôi dự đoán rằng đối với HS lớp 7, nếu có 𝐹(𝑥)≤ 𝑎hoặc 𝐹(𝑥)≥ 𝑎 (a là số) với mọi x thuộc tập xác định D của F thì luôn tồn tại x thuộc D để F(x) = a (quan niệm QN2).
2.1.3 Sách Toán 8
Các dấu ≤, ≥không thấy xuất hiện ở SGK Toán 8 tập một mà xuất hiện ở SGK Toán 8 tập hai và chỉ trong chương Bất phương trình bậc nhất một ẩn. Ở đây, SGK giới thiệu lại khái niệm “lớn hơn hoặc bằng”, “nhỏ hơn hoặc bằng” và qua đó củng cố lại nghĩa “không nhỏ hơn” của khái niệm “lớn hơn hoặc bằng” và nghĩa “không lớn hơn” của khái niệm “nhỏ hơn hoặc bằng”:
Nếu số a không nhỏ hơn số b, thì phải có hoặc a > b, hoặc a = b. Khi đó, ta nói gọn là alớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là 𝑎 ≥ 𝑏. Ví dụ: 𝑥2 ≥0 với mọi x; Nếu c là số không âm thì ta viết 𝑐 ≥0.
Nếu số akhông lớn hơn số b, thì phải có hoặc a<b, hoặc a = b. Khi đó, ta nói gọn là a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là 𝑎 ≤ 𝑏. Ví dụ: −𝑥2≥0với mọi x; Nếu số y
không lớn hơn 3 thì ta viết 𝑦 ≤3. (Toán 8 tập hai, tr.35)
Từ đây, HS được làm quen nhiều hơn các dạng “biểu thức chữ ≥một số”, “biểu thức chữ ≤một số”, “biểu thức chữ ≥biểu thức chữ”, “biểu thức chữ ≤biểu thức chữ” thông qua việc học tập về:
• Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
Với ba số a, b và c, ta có: nếu 𝑎 ≤ 𝑏 thì 𝑎+𝑐 ≤ 𝑏+𝑐; nếu 𝑎 ≥ 𝑏 thì 𝑎+𝑐 ≥ 𝑏+𝑐.
(Toán 8 tập hai, tr.36)
• Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có: nếu 𝑎 ≤ 𝑏 thì 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐; nếu 𝑎 ≥ 𝑏 thì 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐. Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có: nếu 𝑎 ≤ 𝑏 thì 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐; nếu a≥b thì 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐. (Toán 8 tập hai, tr.38)
Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: 2−5𝑥 ≤17. (Toán 8 tập hai, tr.47)
Đặc biệt, trong SGK xuất hiện một số bài toán so sánh hai số cụ thể mà có sử dụng các dấu ≤, ≥ (dạng “một số ≥một số”, “một số ≤một số”):
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? a) (−2) + 3≥2.
b) −6≤2. (−3). (Toán 8 tập hai, tr.37)
Tuy nhiên, số lần xuất hiện các dạng này rất ít với ba lần xuất hiện trong ba bài toán nói về tính đúng sai của các khẳng định được đưa ra. SGV chỉ hướng dẫn một nhiệm vụ duy nhất là câu b) trên đây như sau: “Khẳng định câu b) đúng vì vế trái là -6, vế phải là 2.(-3) cũng là -6 và ta có – 6 ≤ – 6”(SGV Toán 8 tập hai, tr.44). Qua đó, cả SGV và SGK cũng không bàn đến việc so sánh hai số cụ thể bằng các dấu
≤, ≥. Điều này có thể gây cho HS lúng túng vì từ trước đến nay, họ chỉ sử dụng các dấu >, <, = trong việc so sánh hai số cụ thể chứ không sử dụng các dấu ≤, ≥. Chúng tôi tự hỏi: HS sẽ ứng xử như thế nào khi so sánh hai số cụ thể bằng các dấu
≤, ≥? Từ sự xuất hiện mờ nhạt của các dạng “một số ≥một số”, “một số ≤một số”, chúng tôi dự đoán quan niệm QN1vẫn còn tồn tại ở HS lớp 8.
Mặt khác, ở lớp 8, HS đã làm quen với biểu thức nhiều biến (hai biến, ba biến). Trong đó, chúng tôi nhận thấy các dạng xuất hiện các dấu ≤, ≥mà trong đó có một vế chứa biến (biểu thức một biến hay nhiều biến), thì đều tồn tại giá trị của biến hay các biến để cho đẳng thức xảy ra. Do đó, chúng tôi dự đoán có sự tồn tại của quan niệm QN2’: Với 𝑛 ∈ {1; 2; 3}, nếu có 𝐹(𝑥1;𝑥2; … ;𝑥𝑛) ≤ 𝑎hoặc 𝐹(𝑥1;𝑥2; … ;𝑥𝑛) ≥
𝑎 (a là số) với mọi (𝑥1;𝑥2; … ;𝑥𝑛) thuộc tập xác định D của F thì luôn tồn tại
(𝑥1𝑜;𝑥2𝑜; … ;𝑥𝑛𝑜)thuộc D để 𝐹(𝑥1𝑜;𝑥2𝑜; … ;𝑥𝑛𝑜) =𝑎. (Do đó, quan niệm QN2 là một trường hợp của quan niệm QN2’).
2.1.4 Sách Toán 9
Các dấu ≤, ≥ tiếp tục xuất hiện trong SGK Toán 9 tập một nhưng không thấy có mặt ở SGK Toán 9 tập hai. Đặc biệt, dấu ≥ xuất hiện rất nhiều ở các dạng “một
hoặc bằng không” để mô tả các dạng này được chuyển thành thuật ngữ “không âm”. Sự xuất hiện này gắn liền với việc học tập về căn bậc hai trong việc thể hiện:
• Điều kiện để một số có căn bậc hai:
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a. (Toán 9 tập một, tr.4)
• Giá trị căn bậc hai số học của một số:
Với 𝑎 ≥0, ta có: Nếu 𝑥 =√𝑎 thì 𝑥 ≥0 và 𝑥2=𝑎. (Toán 9 tập một, tr.4)
• Điều kiện xác định của biểu thức đại số dưới dấu căn:
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi √𝐴 là căn thức bậc hai của A, còn A
được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
√𝐴 xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm. (Toán 9 tập một, tr.8)
• Giá trị của căn thức bậc hai:
Một cách tổng quát, với A là một biểu thức, ta có √𝐴2 = |𝐴|, có nghĩa là:
√𝐴2 =𝐴 nếu 𝐴 ≥0 (tức là A lấy giá trị không âm);
√𝐴2 =−𝐴 nếu 𝐴< 0 (tức là A lấy giá trị âm). (Toán 9 tập một, tr.10)
• Điều kiện để biến đổi căn thức, như:
√𝐴𝐵 =√𝐴.√𝐵(với 𝐴 ≥0 và 𝐵 ≥0);
�𝐵𝐴=√𝐵√𝐴 (với 𝐴 ≥0 và 𝐵> 0). (Toán 9 tập một, tr.39)
Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy dạng “một số ≥ một số” trong việc giải quyết các bài toán thuộc KNV Tìm căn bậc hai số học của một số không âm ở bài Căn bậc hai trong SGK:
Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau:
a) 49; b) 64; c) 81; d) 1,21.
Giải mẫu
√49 = 7, vì 7≥0 và 72= 49. (Toán 9 tập một, tr.5)
Số lượng bài toán thuộc KNV này khá nhiều: 12 bài toán trong SGK và 8 bài toán trong SBT ở bài Căn bậc hai. Tuy nhiên, SGK và SGV cũng không giải thích thêm về việc so sánh hai số bằng các dấu ≤, ≥. Cụ thể ở đây là so sánh giữa một số dương với số 0. Chúng tôi tiếp tục tự hỏi: HS sẽ ứng xử như thế nào khi gặp dạng này? Có thể họ sẽ nắm được việc so sánh hai số cụ thể bằng các dấu ≤, ≥ qua việc gặp gỡ nhiều lần, sự giải thích của GV và cũng có thể họ chỉ giải quyết một cách máy móc theo bài mẫu trên. Chúng tôi không biết quan niệm QN1 có còn tiếp tục hiện diện ở HS lớp 9 hay không.
Mặt khác, trong khi xem xét SGK và SBT, chúng tôi nhận thấy các dạng xuất hiện các dấu ≤, ≥mà trong đó có một vế chứa chữ, đều tồn tại giá trị của chữ (mà khi ấy trở thành biến) để cho đẳng thức xảy ra. Do đó, chúng tôi tiếp tục dự đoán về sự tồn tại quan niệm QN2’ở HS lớp 9.
2.1.5 Các sách Đại số lớp 10
● Đối với sách Đại số 10 nâng cao, các dấu ≤, ≥ tiếp tục xuất hiện. Tại đây, dạng “biểu thức số ≤ một số” và dạng “một biểu thức số ≤ một biểu thức số” xuất hiện và mỗi dạng chỉ gặp một lần trong các bài toán thuộc KNV So sánh giá trị của hai biểu thức ở §1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức của chương 4 Bất đẳng thức và bất phương trình trong SGK (không xuất hiện trong SBT). Chẳng hạn:
Ví dụ 1. Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh hai số √2 +√3 và 3.
Giải. Giải sử √2 +√3≤3. Do hai vế của bất đẳng thức đó đều dương nên
√2 +√3≤3⇔ �√2 +√3�2 ≤9⇔5 + 2√6≤9⇔2√6≤4⇔ √6≤2⇔ 6≤4, vô lí.
Vậy √2 +√3 > 3.
(Đại số 10 nâng cao, tr.104)
Như vậy, việc giải quyết các bài toán trên của SGK hay SGV đều có sử dụng đến việc so sánh hai số cụ thể bằng các dấu ≤, ≥. Tuy nhiên, việc xuất hiện các dạng so sánh giữa hai số cụ thể hay giữa hai biểu thức số hay giữa biểu thức số với một số cụ thể quá ít. Trong khi đó, các dạng có chứa các dấu ≤, ≥ mà có một vế chứa chữ (một chữ hay một biểu thức chữ) (vế còn lại có thể chứa chữ hoặc không chứa chữ) xuất hiện rất nhiều ở tài liệu này. Điều này có thể gây cho HS học lớp 10
chương trình nâng cao tiếp tục có quan niệm QN1 không? Sự xuất hiện của các dạng này như sau:
Các dạng có chứa các dấu ≤, ≥ mà một vế là một chữ, một vế là một số xuất hiện đầu tiên, trong chương 1 Mệnh đề và Tập hợp. Cũng như ở SGK Toán 6 tập một, ở đây, các dạng này hỗ trợ cho việc mô tả đặc trưng của một số tập hợp số:
Trong các chương sau, ta thường sử dụng các tập con sau đây của tập số thực ℝ. Tên gọi và kí hiệu Tập hợp Biểu diễn trên trục số
Tập số thực (−∞; +∞) Đoạn [a;b] Khoảng (a;b) Nửa khoảng [a;b) Nửa khoảng (a;b] Nửa khoảng (-∞;a] Nửa khoảng [a;+∞) Khoảng (-∞;a) Khoảng (a;+∞) ℝ {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} {𝑥 ∈ ℝ|𝑎<𝑥 <𝑏} {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥<𝑏} {𝑥 ∈ ℝ|𝑎<𝑥 ≤ 𝑏} {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 𝑎} {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 𝑎} {𝑥 ∈ ℝ|𝑥<𝑎} {𝑥 ∈ ℝ|𝑥>𝑎}
(Đại số 10 nâng cao, tr.18)
Điển hình nhất trong việc sử dụng các tập hợp số này là việc mô tả điều kiện xác định của hàm số:
Cho hàm số 𝑓(𝑥) =�−2(𝑥 −2) nếu−1≤ 𝑥< 1 √𝑥2−1 nếu 𝑥 ≥1
Cho biết tập xác định của hàm số f. (Đại số 10 nâng cao, tr.46)
Hướng dẫn của SGV:
Tập xác định là [-1;+∞). (SGV Đại số 10 nâng cao, tr.76)
Các dạng có chứa các dấu ≤, ≥mà trong đó có một vế là biểu thức chữ còn xuất hiện ở chương 3 và chương 4. Ở chương 3 “Phương trình và hệ phương trình”, dạng “biểu thức chữ ≥ 0” xuất hiện trong việc thể hiện điều kiện xác định của phương trình chứa căn thức bậc hai:
Điều kiện của phương trình √𝑥3−2𝑥2+ 1 = 3 là 𝑥3−2𝑥2+ 1≥0. (Đại số 10 nâng cao, tr.67)
Ở chương 4 “Bất đẳng thức và bất phương trình”, các dạng này hỗ trợ việc mô tả một số đối tượng, một số KNV cũng như việc giải quyết các KNV này như:
• Mô tả một số bất đẳng thức không ngặt đúng. Chẳng hạn,
◦ −|𝑎|≤ 𝑎 ≤|𝑎| với mọi 𝑎 ∈ ℝ. ◦ Với mọi 𝑎 ≥0,𝑏 ≥0 ta có 𝑎+𝑏
2 ≥ √𝑎𝑏. (Đại số 10 nâng cao, tr.105, 106)
• KNV Chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương bất kì thì
𝑎+𝑏
𝑐 +𝑏+𝑐𝑎 +𝑐+𝑎𝑏 ≥6. (Đại số 10 nâng cao, tr.107)
• Mô tả một số bất phương trình, hệ bất phương trình cũng như nghiệm của bất phương trình một ẩn. Chẳng hạn,
26. Giải và biện luận phương trình 𝑚(𝑥 − 𝑚)≤ 𝑥 −1. (Đại số 10 nâng cao, tr.121)
Hướng dẫn của SGV:
𝑚(𝑥 − 𝑚)≤ 𝑥 −1⇔(𝑚 −1)𝑥 ≤ 𝑚2−1.
- Nếu m = 1 thì S = ℝ;
- Nếu m > 1 thì S = (−∞;m +1]; - Nếu m < 1 thì S = [m + 1;+∞). (SGV Đại số 10 nâng cao, tr.163)
• Các KNV mà chúng tôi đã chỉ ra ở chương 1 như TNN.LN.HB, TNN.LN.BB, TLN.NN,
TLN.NN.HS và TB.LN.NN. Minh họa:
Ví dụ 5. Tìm GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) =𝑥+3𝑥 với x > 0.
Giải. Do x > 0 nên ta có 𝑓(𝑥) =𝑥+𝑥3≥2�𝑥.3𝑥= 2√3 và 𝑓(𝑥) = 2√3⇔ 𝑥=
3
𝑥⇔ 𝑥=√3.
Vậy GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) =𝑥+3𝑥 với x > 0 là 𝑓�√3�= 2√3. (Đại số 10 nâng cao, tr.108)
● Đối với SGK Đại số 10, các dấu ≤,≥xuất hiện ở những thời điểm tương tự như trong SGK Đại số 10 nâng cao cũng như hỗ trợ để mô tả những đối tượng như trong
SGK Đại số 10 nâng cao. Ngoài ra, mật độ xuất hiện của các dạng chứa các dấu