4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
3.3 Phân tích hậu nghiệm
Do thời điểm thực nghiệm không thỏa mãn yêu cầu thực nghiệm đối với HS lớp 10 mà chỉ phù hợp với HS lớp 11 và 12 nên chúng tôi chỉ thăm dò được ý kiến đối với HS các lớp 11 và 12.
Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm trên 329 HS ở 8 lớp. Cụ thể:
- 88 HS của hai lớp 11 nâng cao 11A4, 11A5 của trường trung học phổ thông Ngô Gia Tự, tỉnh Khánh Hòa;
- 67 HS của hai lớp 11 chuẩn 11C1, 11C11 của trường trung học phổ thông Phan Bội Châu, tỉnh Bình Thuận;
- 104 HS của hai lớp 12 nâng cao 12A1, 12A2 của trường trung học phổ thông Nguyễn Hữu Huân, Tp.HCM;
- 70 HS của hai lớp 12 chuẩn 12A3, 12A5 của trường trung học cơ sở – trung học phổ thông Thuận Mỹ, tỉnh Long An.
Để tiện minh họa câu trả lời của HS, chúng tôi đánh số HS từ 1 đến 329.
3.3.1 Bài tập 1
Do bài tập này gồm nhiều câu (từ a đến j) nên sau khi quan sát bài làm của HS cho tình huống này, chúng tôi nhận thấy rất nhiều HS đôi lúc sử dụng chiến lược CL1.1 “cả hai trường hợp phải đúng” cho câu này, đôi lúc lại sử dụng chiến lược CL1.2 “chỉ cần một trong hai trường hợp là đúng” cho câu khác. Do đó, việc thu lượm và thống kê các kết quả làm việc của HS của chúng tôi sẽ dựa trên việc HS có
hay không có sử dụng chiến lược “chỉ một trường hợp” cho một hay một số câu. Việc này sẽ cho thấy quan niệm QN1có tồn tại ở HS hay không.
Bảng thống kê như sau:
Chiến lược của HS 11 nâng cao 12 nâng cao 11 chuẩn 12 chuẩn Tổng (Tỉ lệ)
Có sử dụng chiến
lược CL1.1 52 67 38 47 (62%) 204
Không sử dụng
chiến lược CL1.1 36 37 29 23 (38%) 125
Tổng 88 104 67 70 329 (100%)
Bảng 3.1: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 1
Bảng thống kê trên cho thấy có đến 204 HS, chiếm khoảng 62% trong tổng số HS chúng tôi thực nghiệm, đã sử dụng chiến lược CL1.1 để giải thích ít nhất một câu trong tình huống này. Điều này dẫn đến, rõ ràng có sự hiện diện của quan niệm
QN1 ở một phần đông đảo HS các khối lớp 11 và 12 cả hai chương trình chuẩn và nâng cao.
Bảng thống kê cũng cho thấy tỉ lệ HS có sử dụng chiến lược CL1.1 ở các lớp là gần như nhau:
- Khoảng 59% HS các lớp 11 nâng cao; - Khoảng 64,4% HS các lớp 12 nâng cao; - Khoảng 56,7% HS các lớp 11 chuẩn; - Khoảng 67,1% HS các lớp 12 chuẩn.
Điều này cho thấy, tỉ lệ số HS có sử dụng chiến lược CL1.1 không những không giảm mà còn tăng từ lớp 11 sang lớp 12 (ở cùng một chương trình). Điều này một phần có thể do việc so sánh hai số bằng các dấu ≤,≥xuất hiện cuối cùng ở một vài thời điểm trong các SGK Đại số lớp 10, còn ở lớp 11 và 12 đều không thấy xuất hiện việc so sánh này dẫn đến điều kiện để gợi HS nhớ lại việc so sánh như thế này ở các lớp 11 và 12 không còn nữa.
Phân tích chi tiết bài làm của HS:
- Trong số 204 HS có sử dụng chiến lược CL1.1, có đến 168 HS (ở các lớp khác nhau) cho rằng hai mệnh đề ở câu a và b (“1≤3”, “2≥ −1”) là sai và đều giải
thích theo kiểu “1 chỉ bé hơn 3 chứ không thể bằng 3”, “2 luôn lớn hơn -1 chứ không bằng -1”. Ngoài ra, có 6 HS (ở các lớp khác nhau) trả lời theo kiểu “kết hợp” hai mệnh đề “1<3” và “1=3” (tương ứng, “2>-1” và “2=-1”) lại với nhau. Chẳng hạn, sau đây là phần trả lời của HS HS44 và HS124:
Điều này cho thấy những HS này đã sử dụng ngầm ẩn mệnh đề tuyển để giải thích sự lựa chọn của mình. Tuy nhiên, việc không đưa vào mệnh đề tuyển và mệnh đề hội trong chương trình môn toán phổ thông có thể là một trong những nguyên nhân dẫn đến những HS trên đã sai lầm khi nhầm lẫn giữa mệnh đề tuyển và mệnh đề hội.
Chúng tôi cũng nhận thấy có 4 HS cho rằng hai mệnh đề ở hai câu này lúc thì sai, lúc thì đúng. Chúng tôi minh họa phần trả lời của HS HS20:
Điều này đặt ra nguyên nhân gây ra phần trả lời trên. Đó có phải là do việc không hiểu khái niệm mệnh đề ở HS? Hay là việc đưa ra những mệnh đề này không quen thuộc đối với HS dẫn đến việc HS không coi chúng là những mệnh đề? Chúng tôi không có điều kiện để phỏng vấn HS nên vẫn chưa tìm kiếm được câu trả lời cho những câu hỏi này.
- Trong 204 HS có sử dụng chiến lược CL1.1, có đến 147 HS cho rằng các mệnh đề ở câu b và c (“0≤0”, “0≥0”) là sai và giải thích theo kiểu “một số luôn bằng chính nó, không thể lớn hơn hay bé hơn chính nó được”.
- Đối với các mệnh đề ở câu e và g (“∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥2 ≥0”, “∀𝑥 ∈ ℝ,−|𝑥| ≤0”), đa số HS (272 HS) đều trả lời là mệnh đề đúng và giải thích sự lựa chọn của mình theo chiến lược CL1.2. Những HS còn lại (57 HS) có đưa ra sự lựa chọn của mình nhưng lại không giải thích gì về sự lựa chọn đó.
- Đối với các mệnh đề ở câu f và h (“∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥2+ 1≥0”, “∀𝑥 ∈ ℝ,−|𝑥|− 2≤0”), có 112 HS đã sử dụng chiến lược CL1.1 để giải thích cho sự lựa chọn của mình. Chẳng hạn, phần giải thích của HS HS102 với việc cho rằng các mệnh đề ở câu f và h là sai như sau:
f)
h)
- Đối với hai câu cuối i và j (“∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥 < 2,5⇒ 𝑥 ≤ 3”, “∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥 > 1⇒ 𝑥 ≥ −2”), có đến 139 HS cho rằng hai mệnh đề ở hai câu này là sai và giải thích theo chiến lược CL1.1. Chẳng hạn, HS HS203 giải thích cho câu i: “x<2,5 là x có thể bé hơn 3 chứ không thể bằng 3 vì nếu x bằng 3 thì nó sẽ lớn hơn 2,5” và cho câu j: “x>1 thì x có thể lớn hơn -2 chứ nếu x bằng -2 thì x không thể lớn hơn 1”.
Qua những xem xét và thống kê phần trả lời của HS ở tình huống 1, chúng tôi nhận thấy rằng, quan niệm QN1 quả thực có tồn tại nơi một lượng lớn HS các lớp 11 và 12 ở cả hai chương trình. Chúng tôi đã đưa ra một phần nguyên nhân gây ra quan niệm QN1 ở HS trong chương 3. Tại đây, chúng tôi đưa ra thêm một vài nguyên nhân khác. Đó là: việc so sánh hai số bằng các dấu <, >, = xuất hiện trải dài suốt môn Toán bậc tiểu học và xuất hiện thường xuyên ở bậc học trung học cơ sở, trung học phổ thông là một trong những chướng ngại cho việc so sánh hai số bằng
các dấu ≤,≥, và việc không được học phép tuyển hai mệnh đề hay mệnh đề tuyển cũng là một trong những nguyên nhân gây ra tình trạng trên.
3.3.2 Bài tập 2
Sau khi xem xét phần trả lời của HS cho bài toán này, chúng tôi nhận thấy có sự đa dạng trong sự lựa chọn chiến lược ở hai câu a và b của HS. Chẳng hạn:
- Một số HS sử dụng chiến lược CL2.1 cho câu a nhưng không làm câu b;
- Một số HS sử dụng chiến lược CL2.1 cho câu a nhưng lại dùng chiến lược CL2.2 hay CL2.4 cho câu b;
- Một số HS không làm được câu a nhưng làm câu b theo chiến lược CL2.4; - Không có HS nào dùng chiến lược CL2.3 cho cả hai câu;
Tuy nhiên, chúng tôi quan tâm đến việc HS có sử dụng chiến lược CL2.7 “không kiểm tra sự tồn tại dấu bằng” ở câu b hay không. Do đó, chúng tôi thống kê sau đây số lượng bài làm của HS có sử dụng chiến lược này. Bảng thống kê như sau:
Chiến lược 11 nâng cao 12 nâng cao 11 chuẩn 12 chuẩn Tổng (Tỉ lệ)
CL2.7 28 32 27 16 103 (31,3%)
Tổng 88 104 67 70 329 (100%)
Bảng 3.2: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS dùng chiến lược CL2.7
Bảng thống kê cho thấy rõ ràng có không ít HS lớp 11 và 12 cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đã sử dụng chiến lược CL2.7 để giải quyết câu b. Cụ thể, chúng tôi đã quan sát được những câu trả lời theo những kiểu:
- “Suy thẳng”: có 78 HS ở tất cả các lớp cho rằng GTNN của A là 3 và không giải thích gì thêm hoặc giải thích “vì 𝐴 ≥3”.
- “Suy thẳng – tìm được”: có 25 HS ở các lớp cho rằng GTNN của A là 3 và cố gắng tìm điều kiện của xđể A = 3 nhưng không quan tâm đến sự vô lí của sự đồng thời hai trường hợp 𝑥 =−2 và 𝑥 = 0. Chẳng hạn, sau đây là bài làm của HS HS26:
Như vậy, thông qua việc thu lượm phần trả lời của HS cho bài toán trong tình huống 2, chúng tôi đã kiểm chứng được rằng, có sự tồn tại quan niệm “nếu có
𝐹(𝑥)≥ 𝑎 (a là số) với mọi x thuộc tập xác định D của F thì luôn tồn tại xo thuộc D để 𝐹(𝑥𝑜) = 𝑎” ở một bộ phận không ít HS. Ngoài ra, cũng qua việc thu lượm này, chúng tôi nhận thấy một trong hai sai lầm SL (Nếu 𝑓(𝑥)≥ 𝑚,∀𝑥 ∈ 𝐷thì có ngay
𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝐷𝑓(𝑥) =𝑚 mà không quan tâm đến việc tồn tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑚) không chỉ hiển diện ở HS các lớp 12 chương trình nâng cao như SGV Giải tích 12 đã nhận định mà còn hiển diện cả ở các HS lớp 12 chương trình chuẩn cùng với các HS lớp 11 ở cả hai chương trình.
3.3.3 Bài tập 3
Chúng tôi thống kê kết quả trả lời của HS theo các chiến lược đối với bài toán trong tình huống này như sau:
CL3.1 CL3.2 CL3.3 Không trả lời Tổng 11 nâng cao 39 37 3 9 88 12 nâng cao 59 23 14 8 104 11 chuẩn 38 19 4 6 67 12 chuẩn 51 11 2 6 70 187 (56,8%) 90 (27,4%) 23 (7%) 29 (8,8%) 329 (100%)
Bảng 3.3: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 3
Bảng thống kê trên cho thấy số lượng HS lựa chọn chiến lược CL3.1 để giải quyết yêu cầu trong tình huống là nhiều nhất không chỉ trong tổng số HS trả lời ở cả các lớp 11, 12 chương trình chuẩn và nâng cao (khoảng 56,8%) mà còn chiếm nhiều nhất trong mỗi khối lớp chúng tôi thực nghiệm. Các HS làm theo chiến lược này đều thể hiện câu trả lời theo kiểu: “GTNN của B là 2” mà không giải thích gì thêm hoặc giải thích “vì 𝐵 ≥2”. Điều này cho thấy, ở phần nhiều HS có quan niệm: nếu có 𝐹(𝑥1;𝑥2)≥ 𝑎 (a là số) với mọi (𝑥1;𝑥2)thuộc tập xác định D của F thì luôn tồn tại (𝑥1𝑜;𝑥2𝑜)thuộc D để 𝐹(𝑥1𝑜;𝑥2𝑜) = 𝑎.
Khi quan sát những bài làm của HS theo chiến lược CL3.2 “kiểm tra dấu bằng nhưng chưa triệt để”, chúng tôi nhận thấy, HS đều cố gắng tìm điều kiện của x và y
Điều đặc biệt khi quan sát các bài làm của HS theo chiến lược CL3.2 là: HS kết luận ngay “GTNN của B là 2” rồi mới bắt đầu tìm điều kiện của biến để “B = 2”. Điều này cũng cho thấy sự hiện diện quan niệm trên ở các HS theo chiến lược này.
3.3.4 Bài tập 4
Chúng tôi thống kê kết quả trả lời của HS theo các chiến lược đối với bài toán trong tình huống này như sau:
CL4.1 CL4.2 CL4.3 CL4.4 Không trả lời Tổng 11 nâng cao 20 38 9 10 11 88 12 nâng cao 37 36 13 11 7 104 11 chuẩn 12 33 4 9 9 67 12 chuẩn 22 27 7 12 2 70 91 (27,7%) 134 (40,7%) 33 (10%) 42 (12,8%) 29 (8,8%) 329 (100%)
Bảng 3.4: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 4
Bảng thống kê cho thấy tất cả các chiến lược đều xuất hiện ở HS từng khối lớp. Trong đó, số lượng HS dùng chiến lược CL4.2 (“dấu bằng luôn xảy ra”) chiếm nhiều nhất trong tổng số HS chúng tôi thực nghiệm với khoảng 40,7%. Đối với chiến lược này, có 2 kiểu trả lời sau:
HS136:
HS19:
(Đồng ý với bạn An vì 𝑆 ≥3 thì S có GTNN là 3. Vậy 3 là một trong các giá trị của Svới x, y, zthuộc D).
Như vậy, quả thật có sự tồn tại ở HS quan niệm “nếu có 𝐹(𝑥1;𝑥2;𝑥3) ≥ 𝑎 (a là số) với mọi (𝑥1;𝑥2;𝑥3)thuộc tập xác định D của F thì luôn tồn tại (𝑥1𝑜;𝑥2𝑜;𝑥3𝑜)
thuộc D để 𝐹(𝑥1𝑜;𝑥2𝑜;𝑥3𝑜) = 𝑎”. Điều này còn thể hiện ở các câu trả lời của HS khi họ trả lời theo chiến lược CL4.1 (“D = ℝ”). Số lượng HS dùng chiến lược này chiếm vị trí thứ hai với khoảng 27,7% trong tổng số HS chúng tôi thực nghiệm. Minh họa sau đây bài làm của HS106:
Qua những câu trả lời của HS thuộc chiến lược CL4.1, và cụ thể hơn là câu trả lời minh họa của HS HS106 trên, chúng tôi còn nhận ra việc không quan tâm đến “hình dạng” của tập xác định của biểu thức là một trong những nguyên nhân gây ra những câu trả lời kiểu này.
Chiến lược CL4.4 và CL4.3 cũng được HS các lớp sử dụng. Tuy nhiên, những HS trả lời theo các chiến lược này đều không cho thấy có sự tồn tại quan niệm mà chúng tôi đang cần kiểm chứng ở họ. Đặc biệt, những câu trả lời theo chiến lược CL4.4 (“tùy theo giá trị của S”) cho thấy HS nhận thức rõ sự thiếu chặt chẽ của quan niệm QN1. Chẳng hạn, bài làm của HS HS117 làm theo chiến lược CL4.4 cho rằng 𝑆 ≥3“thì chưa chắc đã có S = 3”:
Qua kết quả thu được từ những bài làm của HS ở các tình huống 2, 3, 4, chúng tôi đã kiểm chứng được giả thuyết GT1’.
KẾT LUẬN
Nghiên cứu ở các chương 1, 2, 3 đã giúp chúng tôi trả lời được câu hỏi nghiên cứu CH1, phần nào câu hỏi CH2 và CH3. Chúng tôi tóm tắt những ý chính đã đạt được như sau:
Về các khái niệm liên quan đến GTLN, GTNN trong thể chế dạy học toán ở phổ thông: chúng xuất hiện có tính chất kế thừa. Khởi đầu bằng khái niệm số lớn nhất,
số bé nhấtở bậc tiểu học rồi chuyển sang GTLN của biểu thức, GTNN của biểu thức
và song song đó là các khái niệm GTLN của hàm số, GTNN của hàm sốở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông. Nghĩa của các khái niệm GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số đều dựa trên nghĩa của các khái niệm số lớn nhất, số bé nhất. Đặc biệt, nghĩa của các khái niệm số lớn nhất, số bé nhất được dựa trên các khái niệm số lớn hơn, số bé hơn. Điều đó chứng tỏ “so sánh nhất” được dựa trên nền tảng của “so sánh hơn” trong thể chế. Mặt khác, việc định nghĩa GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số đều có sự hiện diện của đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt, cụ thể là các dấu ≤, ≥. Điều này không chỉ thể hiện trong thể chế dạy học toán phổ thông mà còn trong một số giáo trình bậc đại học khi họ đề cập đến các khái niệm liên quan đến GTLN, GTNN như: cận trên, cận dưới, cận trên đúng, cận dưới đúng, phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, GTLN, GTNN của hàm số12.
Những KNV liên quan đến GTLN, GTNN trong thể chế đều xoay quanh việc
tìm GTLN, GTNN như tìm số lớn nhất, số bé nhất trong một dãy các số hữu hạn
cho trước hay tìm GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số. Chúng tiến triển từ lớp 1 đến lớp 12 và có nhiều kỹ thuật cũng như công cụ hỗ trợ cho việc tìm này. Việc phân tích thể chế cho thấy có sự ưu tiên của thể chế về việc dùng bất đẳng thức không nghiêm ngặt để tìm GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số.
Chúng tôi quan tâm đến những sai lầm SL được đặt ra từ đầu luận văn. Việc tìm hiểu sự xuất hiện cũng như một số đặc trưng của các dấu ≤, ≥trong thể chế ở chương 2 và 3 giúp chúng tôi phần nào giải thích được nguyên nhân gây ra các sai
lầm đó thông qua một số quan niệm của HS như: “Dấu ≤ (tương ứng, ≥) chỉ được sử dụng khi phải mô tả cùng lúc cả hai trường hợp là bé hơn và bằng (tương ứng,