4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
3.2 Giới thiệu nội dung thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm
3.2.1 Bài tập 1
Nội dung của bài tập 1 như sau:
Bài tập 1:Trong những mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? Em hãy trả lời bằng cách ghi Đ (nếu đúng) hay ghi S (nếu sai) vào cột thứ hai và giải thích rõ tại sao. Mệnh đề Đ hay S Giải thích a) 1≤3 b) 2≥ −1 c) 0≤0 d) 0≥0 e) ∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥2 ≥ 0 f) ∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥2+ 1≥0 g) ∀𝑥 ∈ ℝ,−|𝑥|≤0 h) ∀𝑥 ∈ ℝ,−|𝑥|−2≤0 i) ∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥 < 2,5⇒ 𝑥 ≤ 3 j) ∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥 > 1⇒ 𝑥 ≥ −2
Mục đích thực nghiệm: kiểm tra sự tồn tại quan niệm QN1 ở HS, tức là quan niệm: Dấu ≤ (tương ứng, ≥) chỉ được sử dụng khi phải mô tả cùng lúc cả hai trường hợp là bé hơn và bằng (tương ứng, cả hai trường hợp lớn hơn và bằng).
● Biến B1: bản chất của mệnh đề toán học. Các giá trị của biến:
- G1a: mệnh đề hằng11 ; - G1b: mệnh đề chứa biến.
Ngoài ra, còn có các biến tình huống:
● Tính đúng sai của mệnh đề: tất cả mệnh đề đều đúng, tất cả mệnh đề đều sai hay vừa có mệnh đề đúng, vừa có mệnh đề sai.
● Cách thức làm việc của HS: làm việc cá nhân hay làm việc theo nhóm; ● Thời gian làm việc: HS làm trong thời gian ngắn hay thời gian dài;
● Hình thức đặt câu hỏi: đề bài yêu cầu HS giải quyết hay yêu cầu HS nhận xét kết quả làm việc của người khác hay cả hai.
Phân tích nội dung bài tập 1:
Trong bài tập này, tất cả các mệnh đề được đưa ra đều đúng. Mục đích của việc này chỉ nhằm tìm hiểu ứng xử của HS khi họ bắt gặp những mệnh đề mà trong đó có chứa các dấu ≤, ≥chứ chúng tôi không xem xét hay mong đợi ở họ tìm được một phản ví dụ cho một mệnh đề toán học sai nào đó liên quan đến các dấu này. Và đó cũng là lí do khi chúng tôi cố ý đưa ra những mệnh đề đơn giản đối với HS. Chẳng hạn, trong những mệnh đề này, các biểu thức chữ trong mệnh đề chứa biến chỉ là bình phương của một số thực hay giá trị tuyệt đối của một số thực. Mặt khác, chúng tôi cũng cố ý lựa chọn tập hợp giá trị của biến trong mệnh đề chứa biến là tập hợp các số thực nhằm cho HS cái nhìn quen thuộc khi họ thường bắt gặp những mệnh đề chứa biến này với lượng từ ∀. Những điều trên này nhằm tạo điều kiện cho chúng tôi xem xét hai hướng suy nghĩ của HS khi gặp bất đẳng thức 𝑎 ≤ 𝑏:
- Một là, nếu chỉ tồn tại những cặp giá trị a và b sao cho a < b mà không tồn tại những cặp giá trị a và b sao cho a = bthì không thể kết luận 𝑎 ≤ 𝑏. Hoặc là, nếu chỉ tồn tại những cặp giá trị a và b sao cho a = b mà không tồn tại những cặp giá trị a
và b sao cho a < bthì không thể kết luận 𝑎 ≤ 𝑏.
11 Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “mệnh đề hằng” theo nghĩa là mệnh đề toán học nhưng không phải là mệnh đề chứa biến. Chẳng hạn: “1 < 2”.
- Hai là, nếu tồn tại những cặp giá trị a và b sao cho a < b thì có thể kết luận
𝑎 ≤ 𝑏. Hoặc là, nếu tồn tại những cặp giá trị a và b sao cho a = bthì cũng có thể kết luận 𝑎 ≤ 𝑏.
Trong hai hướng suy nghĩ trên đây, hướng suy nghĩ thứ hai là đúng. Điều tương tự cho bất đẳng thức 𝑎 ≥ 𝑏. Tuy nhiên, nếu HS nào suy nghĩ theo hướng thứ nhất thì rõ ràng, quan niệm QN1thật sự tồn tại ở HS đó.
Chúng tôi đưa ra những mệnh đề chứa bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà cả hai vế đều là số (tức là giá trị G1a của biến B1) nhằm xem xét việc HS có biết so sánh hai số bằng các dấu ≤ và ≥ hay không. Những mệnh đề này bao gồm từ câu a đến câu d (4 câu). Ở các mệnh đề còn lại, chúng tôi chọn giá trị G1b của biến B1
nhằm xem xét ứng xử của HS khi có ít nhất một vế của bất đẳng thức không nghiêm ngặt chứa biến. Điều này cũng nhằm xem xét ứng xử của HS khi bất đẳng thức không nghiêm ngặt chuyển từ hai vế đều là số (các câu a – d) sang tồn tại một vế có chứa biến (các câu e, f, g, h, i, j). HS có thể thay một số giá trị của biến để kiểm tra tính đúng sai của bất đẳng thức và họ sẽ gặp lại dạng hai vế của bất đẳng thức không nghiêm ngặt đều là số như ở các câu a – d. Trong những mệnh đề này, có hai mệnh đề (e, g) mà khi thay các giá trị của biến thì sẽ có các trường hợp đúng: “a <
b” và “a = b” (đối với mệnh đề có dấu ≤) và có các trường hợp đúng: “a > b” và “a
= b” (đối với mệnh đề có dấu ≥). Chúng tôi còn thiết kế 4 mệnh đề ở 4 câu (f, h, i, j) mà khi thay bất kì giá trị nào của biến thuộc tập xác định hay thỏa điều kiện cho trước thì chỉ gặp một trường hợp đúng là “a < b” (hay “a > b”) mà không thể có trường hợp “a = b”. Những chọn lựa trên của chúng tôi cũng nhằm xem xét quan niệm QN1 có tồn tại nơi HS không.
Chúng tôi dự đoán các chiến lược và những cái có thể quan sát được ở bài tập 1 như sau:
□ Chiến lược CL1.1: “cả hai trường hợp phải đúng”. Đối với chiến lược này, HS suy nghĩ theo hướng thứ nhất. Tức là, nếu xảy ra chỉ một trong các trường hợp “bé hơn”, “lớn hơn” và “bằng” thì HS không chấp nhận việc sử dụng các dấu ≤, ≥.
Họ chỉ chấp nhận sử dụng các dấu ≤ (tương ứng, ≥) nếu xảy ra cả hai trường hợp bé hơn và bằng (tương ứng, lớn hơn và bằng).
Cái có thể quan sát:
Mệnh đề a) “1 ≤3” là sai vì 1 chắc chắn bé hơn 3 chứ không bằng 3.
Mệnh đề f) “∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥2+ 1≥0” là sai vì không có số thực x nào mà
𝑥2+ 1 = 0.
Mệnh đề i) “∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥 < 2,5 ⇒ 𝑥 ≤3” là sai vì x bé hơn 2,5 thì không thể bằng 3 được.
□ Chiến lược CL1.2: “chỉ cần một trong hai trường hợp là đúng”. Đối với chiến lược này, HS suy nghĩ theo hướng thứ hai. Tức là, nếu xảy ra chỉ một trong hai trường hợp “bé hơn” và “bằng” thì HS vẫn chấp nhận việc sử dụng dấu ≤ và nếu xảy ra chỉ một trong hai trường hợp “lớn hơn” và “bằng” thì HS vẫn chấp nhận việc sử dụng dấu ≥. Cái có thể quan sát: Mệnh đề a) “1 ≤3” là đúng vì 1 bé hơn 3 là đúng. Mệnh đề f) “∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥2+ 1≥0” là đúng vì từ mệnh đề đúng “∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥2 ≥0” ta có ∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥2+ 1≥0 + 1 = 1 ≥0. Mệnh đề i) “∀𝑥 ∈ ℝ,𝑥 < 2,5⇒ 𝑥 ≤ 3” là đúng vì x bé hơn 2,5 thì xbé hơn 3. Mà 3 bé hơn hoặc bằng 3 nên xbé hơn hoặc bằng 3.
3.2.2 Bài tập 2
Nội dung của bài tập 2 như sau:
Bài tập 2:Cho biểu thức 𝐴 = (𝑥 + 2)2+𝑥2+ 3với x là số thực. a) Hãy chứng minh rằng 𝐴 ≥ 3.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Mục đích thực nghiệm: kiểm chứng một phần giả thuyết GT1’. Cụ thể là kiểm chứng sự tồn tại và tồn tại dai dẳng ở HS quan niệm: “Nếu có 𝐹(𝑥)≥ 𝑎 (a là số) với mọi x thuộc tập xác định D của F thì luôn tồn tại xo thuộc D để 𝐹(𝑥𝑜) =𝑎”.
Chúng tôi thiết kế bài tập này dựa trên việc lựa chọn các giá trị của những biến didactic sau:
● Biến B2.1: Sự xuất hiện dạng 𝐹(𝑥) ≥ 𝑎 (alà số) trong tình huống. Các giá trị của biến:
- G2.1a: có; - G2.1b: không.
● Biến B2.2: Dạng của biểu thức bậc hai 𝐹(𝑥). Các giá trị của biến:
- G2.2a: dạng 𝑎(𝑥+𝑏)2+𝑐(𝑥+𝑑)2+𝑒; - G2.2b: dạng 𝑎(𝑥+𝑏)2+𝑐;
- G2.2c: dạng 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐.
Ngoài ra, còn có các biến tình huống:
● Dạng của biểu thức F(x): bậc hai, bậc ba, mũ, logarit, …
● Sự xuất hiện của lời giải thích cụ thể: có, không, hay có nhưng chưa hoàn tất. ● Hình thức đặt câu hỏi: đề bài yêu cầu học sinh giải quyết hay yêu cầu học sinh nhận xét kết quả làm việc của người khác hay cả hai.
● Việc tìm nghiệm của phương trình 𝐹(𝑥) = 𝑎 là dễ tìm hay khó tìm được.
Phân tích nội dung bài tập 2:
Trong bài tập này, chúng tôi lựa chọn biểu thức F(x) là bậc hai – dạng quen thuộc đối với HS vì mục đích của chúng tôi là kiểm chứng được giả thuyết GT1’ chứ không xem xét ứng xử của HS khi gặp dạng biểu thức phức tạp hơn như biểu thức vô tỉ, phân thức, ... Mặt khác, điều này sẽ giúp phần nào cho việc kiểm tra sự tồn tại nghiệm của phương trình 𝐹(𝑥) =𝑎. Tuy nhiên, chúng tôi đưa ra biểu thức A trên mà không tồn tại giá trị nào của biến để A = 3. Do đó, nếu HS đã chứng minh được 𝐴 ≥3và lại có quan niệm “nếu có 𝐹(𝑥) ≥ 𝑎 (a là số) với mọi x thuộc tập xác định D của F thì luôn tồn tại xo thuộc D để 𝐹(𝑥𝑜) =𝑎” thì họ sẽ không quan tâm đến việc tìm giá trị của xđể A = 3. Câu hỏi tiếp theo (câu b) chính là lúc chúng tôi kiểm tra được sự tồn tại này.
Chúng tôi dự đoán các chiến lược và những cái có thể quan sát được ở bài tập 2 như sau:
Đối với câu a):Chứng minh: 𝐴 ≥3.
□ Chiến lược CL2.1: “bất đẳng thức 𝑎2 ≥0,∀𝑎 ∈ ℝtrực tiếp”. Ở chiến lược này, HS sẽ dùng bất đẳng thức này để đánh giá trực tiếp giá trị của biểu thức A.
Cái có thể quan sát được:
Với mọi số thực x, ta có: (𝑥 + 2)2 ≥0; 𝑥2 ≥0. Khi đó, 𝐴 = (𝑥 + 2)2+𝑥2+ 3≥3. Vậy 𝐴 ≥3.
□ Chiến lược CL2.2: “bất đẳng thức 𝑎2 ≥0,∀𝑎 ∈ ℝgián tiếp”. Ở chiến lược này, HS khai triển biểu thức A về dạng tam thức bậc hai rồi tiếp tục đưa về dạng
𝑚(𝑎𝑥+𝑏)2+𝑛và sử dụng bất đẳng thức “𝑎2 ≥0,∀𝑎 ∈ ℝ”để đánh giá giá trị của biểu thức A.
Cái có thể quan sát được:
𝐴 = (𝑥+ 2)2+𝑥2+ 3 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 7 = 2(𝑥+ 1)2+ 5≥5,∀𝑥 ∈ ℝ. Suy ra, GTNN của A là 5. Vậy 𝐴 ≥5 ≥3.
□ Chiến lược CL2.3: “công thức −∆⁄4𝑎của tam thức bậc hai 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐”. Ở chiến lược này, HS khai triển biểu thức Avề dạng tam thức bậc hai rồi dùng công thức −∆⁄4𝑎 (hay −∆′ 𝑎⁄ ) của tam thức bậc hai 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐để tìm GTNN của nó và so sánh với 3.
Cái có thể quan sát được:
𝐴 = (𝑥+ 2)2+𝑥2+ 3 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 7. Khi đó, A đạt GTNN là −∆⁄4𝑎 = −(42−4.2.7) 4.2⁄ = 5. Suy ra GTNN của A là 5. Khi đó, 𝐴 ≥5≥3.
□ Chiến lược CL2.4: “đạo hàm – bảng biến thiên”. Ở chiến lược này, HS dùng công cụ đạo hàm và bảng biến thiên ở lớp 12 để tìm GTNN của A rồi so sánh giá trị đó với 3.
Cái có thể quan sát được:
𝐴 = (𝑥+ 2)2+𝑥2+ 3 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 7. Xét hàm số 𝑦= 2𝑥2+ 4𝑥+ 7 trên ℝ.
𝑦′ = 4𝑥+ 4;𝑦′ = 0⇔ 𝑥 =−1;𝑦(−1) = 5. Bảng biến thiên:
□ Chiến lược CL2.5: “dấu tam thức bậc hai”. Ở chiến lược này, để chứng minh
𝐴 ≥3, HS sẽ chứng minh 𝐴 −3≥0nhờ áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai (với 𝐴 −3là một tam thức bậc hai).
Cái có thể quan sát được:
𝐴 ≥3 ⇔ 𝐴 −3 ≥0 ⇔2𝑥2+ 4𝑥+ 4≥0,∀𝑥 ∈ ℝ ⇔ �2 > 0∆≤ 0.
⇔ �−2 > 016≤ 0(đúng). Vậy 𝐴 ≥3.
□ Chiến lược CL2.6: “thay một số giá trị”. Ở chiến lược này, HS chứng minh câu a bằng cách thay một số giá trị của x vào biểu thức và nhận thấy giá trị của A
tương ứng đều lớn hơn 3.
Cái có thể quan sát được:
𝑥 = 0⇒ 𝐴 = 7 > 3; 𝑥 = 1⇒ 𝐴 = 13 > 3; 𝑥=−2⇒ 𝐴 = 7 > 3. Vậy 𝐴 ≥3.
Đối với câu b):Tìm GTNN của A.
□ Chiến lược CL2.7: “không kiểm tra sự tồn tại dấu bằng”. Đối với chiến lược này, HS đã sử dụng kết quả của câu a) rồi kết luận 3 là GTNN của A mà không kiểm tra sự tồn tại giá trị của xđể A = 3.
Cái có thể quan sát được:
Do 𝐴 ≥3nên GTNN của A là 3.
□ Chiến lược CL2.8: “có kiểm tra sự tồn tại dấu bằng”. Đối với chiến lược này,
HS sử dụng một trong ba chiến lược CL2.2, CL2.3, CL2.4 để tìm GTNN của A.
Trong đó, ở các lời giải của hai chiến lược CL2.2 và CL2.3 đã có ngầm ẩn sự tồn tại của x = -1 để A = 5.
Ảnh hưởng của biến lên chiến lược:
Đối với bài tập này, chúng tôi chọn giá trị G2.1a (có sự xuất hiện của dấu ≥ trong tình huống) của biến B2.1 nhằm kiểm tra quan niệm của HS trong giả thuyết GT1’
khi họ bắt gặp dạng 𝐹(𝑥)≥ 𝑎. Điều này tạo điều kiện cho việc sử dụng chiến lược CL2.7 cho câu b của HS nếu ở họ có quan niệm như trong giả thuyết GT1’. Khi đó, chúng tôi kiểm chứng được một phần giả thuyết GT1’. Nếu không, họ sẽ sử dụng một trong các chiến lược CL2.2, CL2.3 và CL2.4 để giải quyết câu b).
Trong các chiến lược từ CL2.1 đến CL2.6 có thể có để giải quyết câu a, chiến lược CL2.1 và CL2.5 là những chiến lược có thể chứng minh được 𝐴 ≥3một cách trực tiếp. Còn các chiến lược CL2.2, CL2.3, CL2.4 phải thông qua tính chất 𝐴 ≥ 5
và 5≥3. Đối với những HS có quan niệm QN1, nếu họ sử dụng một trong các chiến lược CL2.2, CL2.3, CL2.4 để giải quyết câu a, thì họ có thể kết luận yêu cầu đề bài là sai vì phải chứng minh 𝐴 ≥ 5chứ không phải chứng minh 𝐴 ≥3. Lúc này, chúng tôi khó có thể kiểm chứng được quan niệm của HS trong giả thuyết GT1’. Ý đồ của chúng tôi là tạo điều kiện để HS có thể chứng minh được 𝐴 ≥3. Điều này rõ ràng là phải dựa vào dạng của biểu thức. Do đó, việc lựa chọn giá trị G2.2a (dạng
𝑎(𝑥 +𝑏)2+𝑐(𝑥+𝑑)2+𝑒) của biến B2.2 giúp chúng tôi hạn chế được việc này. Việc lựa chọn giá trị này gây cho chiến lược CL2.1 đắt giá hơn những chiến lược khác vì HS có thể áp dụng được ngay các tính chất của bất đẳng thức để giải quyết. Việc lựa chọn những giá trị khác của biến B2.2 (dạng 𝑎(𝑥+𝑏)2+𝑐; hay dạng
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐) sẽ không giúp chúng tôi nhận được những kết quả mong muốn để kiểm chứng được giả thuyết GT1’.
3.2.3 Bài tập 3
Nội dung của bài tập 3 như sau:
Bài tập 3: Cho bài toán :
“Cho biểu thức 𝐵 =�1 +2𝑦𝑥� �1 +2𝑥𝑦�với x, y là các số thực dương. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của B”.
Có một bạn học sinh đã giải bài toán này, nhưng chưa xong. Lời giải của bạn như sau :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương, ta có:
1 +2𝑥𝑦 ≥2�2𝑥𝑦 1 +2𝑦𝑥 ≥2�𝑦
2𝑥
Suy ra : 𝐵=�1 +2𝑦𝑥� �1 +2𝑥𝑦� ≥ 2�2𝑦𝑥 . 2�2𝑥𝑦 = 2, ∀𝑥,𝑦 > 0
Mục đích thực nghiệm: kiểm chứng một phần giả thuyết GT1’. Cụ thể là kiểm chứng sự tồn tại và tồn tại dai dẳng ở HS quan niệm: “Nếu có 𝐹(𝑥1;𝑥2)≥ 𝑎 (a là số) với mọi (𝑥1;𝑥2)thuộc tập xác định D của F thì luôn tồn tại (𝑥1𝑜;𝑥2𝑜)thuộc D để
𝐹(𝑥1𝑜;𝑥2𝑜) = 𝑎”.
Chúng tôi thiết kế bài tập này dựa trên việc lựa chọn các giá trị của những biến didactic sau:
● Biến B3.1: Sự xuất hiện dạng 𝐹(𝑥1,𝑥2) ≥ 𝑎, (alà số) trong tình huống. Các giá trị của biến:
- G3.1a: có; - G3.1b: không.