Đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn và các bài toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM PHÚ HOÀNG LAN ĐA GIÁC NỘI, NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRỊN VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM PHÚ HỒNG LAN ĐA GIÁC NỘI, NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRỊN VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng – Năm 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN LIÊN QUAN 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ LIÊN QUAN 1.3 MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC LIÊN QUAN 1.3.1 Tam giác đồng dạng 1.3.2 Các hệ thức vectơ 1.3.3 Các hệ thức lượng tam giác đường 1.3.4 Các phép biến hình 1.3.5 Một số định lí liên quan tròn 1 2 2 4 5 6 CHƯƠNG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VỚI ĐƯỜNG TRÒN NỘI, NGOẠI TIẾP CỦA NÓ 2.1 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VỚI ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP CỦA NĨ 2.1.1 Dạng toán vận dụng tam giác đồng dạng 2.1.2 Dạng tốn vận dụng tích vơ hướng hai vectơ 2.1.3 Dạng toán vận dụng hệ thức lượng tam giác đường tròn 2.1.4 Dạng tốn vận dụng phép biến hình 2.2 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VỚI ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP CỦA NĨ 2.2.1 Dạng toán vận dụng tam giác đồng dạng 12 12 12 17 22 28 30 31 2.2.2 Dạng tốn vận dụng tích vơ hướng hai vectơ 2.2.3 Dạng toán vận dụng hệ thức lượng tam giác đường tròn 2.2.4 Dạng tốn vận dụng phép biến hình 2.3 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP CỦA TAM GIÁC 2.3.1 Dạng toán vận dụng tam giác đồng dạng 2.3.2 Dạng tốn vận dụng tích vơ hướng hai vectơ 2.3.3 Dạng toán vận dụng hệ thức lượng tam giác đường tròn 33 35 40 41 41 43 44 CHƯƠNG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐA GIÁC NỘI, NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 3.1 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐA GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 3.2 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐA GIÁC NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 3.3 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐA GIÁC VỪA NGOẠI TIẾP VỪA NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 49 49 64 67 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn ký ghi rõ họ tên Phạm Phú Hoàng Lan DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu −→ AB AB ∆ABC a b c hb hc ma mb mc p R r S ∆ABC Tên gọi Vectơ AB −→ Độ dài đại số AB Tam giác ABC Cạnh BC Cạnh AC Cạnh AB Đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC Đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC Đường cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB Đường trung tuyến hạ từ A xuống cạnh BC Đường trung tuyến hạ từ B xuống cạnh AC Đường trung tuyến hạ từ C xuống cạnh AB Nửa chu vi tam giác Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Diện tích tam giác ∆IJK Tam giác ABC đồng dạng với tam giác IJK MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các hệ thức tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp đường trịn khơng phải vấn đề xạ lạ với học sinh, từ học bậc THCS, học sinh tiếp cận với tam giác, tứ giác, đường tròn hệ thức liên hệ yếu tố độ dài độ lớn góc Thế dạng toán khiến học sinh phải lúng túng Đặc biệt dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học Vì dạng tốn địi hỏi khả tư nhạy bén, biết vận dụng, kết hợp kiến thức đại số vào tốn hình học Trong chương trình tốn THCS THPT có nêu tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Song thời lượng giảng dạy khiêm tốn nên ta chưa thể thấy hết đa dạng, phong phú lột tả hết kì diệu yếu tố hình học thể tốn Ở đây, mục tiêu luận văn giới thiệu đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác đa giác nội, ngoại tiếp hình trịn Các tốn đưa từ đến nâng cao, mở rộng Bên cạnh việc thể mối liên hệ yếu tố đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn ta phân loại phương pháp kĩ thuật để chứng minh toán đẳng thức, bất đẳng thức Và hết, ta thấy phong phú phạm vi ứng dụng bất đẳng thức Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu - Hệ thống tốn chứng minh đẳng thức yếu tố hình học tam giác, tứ giác đa giác nội, ngoại tiếp hình trịn - Hệ thống tốn chứng minh bất đẳng thức yếu tố hình học tam giác, tứ giác đa giác nội, ngoại tiếp hình trịn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tổng quan đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn - Nghiên cứu phương pháp, kĩ thuật chứng minh toán liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Các toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức yếu tố hình học đa giác đường tròn 3.2 Phạm vi nghiên cứu - Trong chương trình sách tốn giáo khoa, sách toán nâng cao THCS, THPT, sách chuyên đề liên quan - Các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp tài liệu - Thu thập tài liệu đẳng thức, bất đẳng thức từ sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu chuyên đề hình học, đại số liên quan - Khảo sát, phân tích, tổng hợp tài liệu để hệ thống phân loại dạng toán đẳng thức, bất đẳng thức 4.2 Phương pháp thực nghiệm - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để thực đề tài - Quan sát, đánh giá thực tế trình tiếp thu học sinh Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo cho học sinh THCS, THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi Cấu trúc luận văn Luận văn gồm : Mở đầu, Kết luận ba chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Đẳng thức bất đẳng thức tam giác với đường tròn nội, ngoại tiếp Chương Đẳng thức bất đẳng thức đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn Cùng với hướng dẫn Thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, chọn đề tài "Đa giác nội, ngoại tiếp đường trịn tốn liên quan" cho luận văn thạc sĩ CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nêu số khái niệm kết liên quan đến đề tài Trong toàn đề tài, cụm từ đa giác nội tiếp, đa giác ngoại tiếp hiểu đa giác nội tiếp đường tròn, đa giác ngoại tiếp đường tròn 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN LIÊN QUAN Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường trịn ngoại tiếp đa giác, đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác, đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn Điều kiện cần đủ đề tứ giác ngoại tiếp đường tròn tổng cạnh đối Đa giác có đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng gọi tâm đa giác 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ LIÊN QUAN Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy) Với n số thực không âm tùy ý x1 , x2 , , xn ta có trung bình cộng chúng khơng nhỏ trung bình nhân số √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n dấu xảy x1 = x2 = · · · = xn Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Bunhiacovsky) Cho số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Khi (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 Dấu đẳng thức xảy bi = kai , i = 1, , n 57 ta có 1 AB + BC + CD2 + DA2 = 2BE + AC + 2DE + AC 2 = 2(2EF + BD2 ) + AC Vậy AC + BD2 + 4EF = AB + BC + CD2 + DA2 Theo định lí Ptơ - lê - mê ta có AC.BD = AB.CD + AD.BC Từ suy (AC − BD)2 + 4EF = (AB − CD)2 + (AD − BC)2 (1) 2 Mặt khác ta lại có 4EF ≥ (AD − BC) Thật vậy, gọi M trung điểm AB , xét tam giác M EF ta có EF ≥ |M F − M E| Suy EF ≥ |AD − BC| 2 Vậy 4EF ≥ (AD − BC)2 (2) Từ (1) (2) ta suy điều phải chứng minh Bài toán 3.14 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Bài giải Xét −−→ −→ −→ AB + AC + AD2 − (BC + CD2 + DB ) = (OB − OA)2 + (OC − −→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ OA) + (OD − OA)2 − (OC − OB)2 − (OD − OC)2 − (OB − OD)2 −→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ = −2OA(OB + OC + OD) + 2(OB.OC + OC.OD + OD.OB) −→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ = OA2 − 2OA(OB + OC + OD) + (OB + OC + OD)2 − 4R2 −→ −−→ −→ −−→ = [OA − (OB + OC + OD)]2 − 4R2 Suy AB + AC + AD2 − (BC + CD2 + DB ) + 4R2 ≥ Vậy AB + AC + AD2 + 4R2 ≥ BC + CD2 + DB Bài toán 3.15 (Hàng điểm điều hịa.) Cho tứ giác ABCD khơng phải hình thang nội tiếp đường trịn tâm (O) Giả sử góc đỉnh D tứ giác nhỏ AB cắt CD E , AD cắt BC F , AC cắt BD H Tia EH cắt (O) tai M N (M nằm E H ) cắt AD BC G L Tia F H cắt (O) P Q (P nằm F H ) cắt AB CD R S Chứng minh GA FA = GD FD Lúc bốn điểm D, G, A, F theo thứ tự gọi hàng điểm điều hòa 58 F N A G P I R O D B L S Q M C E Bài giải Gọi I giao điểm OF với M N Khi ta dễ dàng nhận thấy OF ⊥M N (I trung điểm M N ) Bên cạnh ta chứng minh IG IF đường phân giác ngồi tam giác IAD Vì tứ giác ABHI nội tiếp (Góc I H nhìn cạnh AB hai góc nhau) nên AIN = ABH (góc ngồi góc đối diện tứ giác nội tiếp) hồn tồn tương tự ta có tứ giác DIHC nội tiếp góc N ID = HCD GA IA FA Do ta có = = (hệ định lí Ta - lét đường GD ID FD phân giác tam giác) Nhận xét: Để ý bốn điểm D, G, A, F nằm hàng điểm theo thứ tự điểm G nằm AD, cịn điểm F nằm ngồi AD GA FA =− Với định nghĩa tỉ số kép hàng A, D, G, F Khi ta có GD FD GA F A số, kí hiệu (ADGF ) xác định (ADF G) = : GD F D ta có (ADGF ) = −1 Từ ta có cách định nghĩa hàng điểm điều hòa sau: Định nghĩa 3.3 (Hàng điểm điều hịa) Nếu (ABCD) = −1 hàng CA DA A, B, C, D gọi hàng điều hịa Hay nói cách khác, =− CB DB A.B, C, D hàng điều hịa 59 Bài toán 3.16 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Quay tứ giác quanh O góc α (0o < α < 90o ) Ta tứ giác A′ B ′ C ′ D′ Gọi M, N, P, Q giao điểm AB A′ B ′ , BC B ′ C ′ , CD C ′ D′ , DA D′ A′ Chứng minh M N = P Q Bài giải C′ D P C O N D′ B′ Q A E′ E M B A′ Gọi E, F, I, J trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Ta có EF ∥ IJ (cùng song song với AC ) EJ ∥ F I (cùng song song với BD) Vậy EF IJ hình bình hành Gọi E ′ trung điểm cạnh A′ B ′ Ta có AB = A′ B ′ suy AOE = A′ OE ′ Nên EOE ′ = AOA′ = α ˆ = Eˆ ′ = 90o , OM chung) Ta có ∆OEM = ∆OE ′ M (OE = OE ′ ; E α Suy EOM = OE OM = α cos Do phép đồng dạng tỉ số k = α có cách thực cos α phép quay Q tâm O, góc quay phép vị tự Vok biến E thành M Tương tự biến F thành N , biến I thành P , biến J thành Q Tứ giác M N P Q ảnh hình bình hành EF IJ phép đồng dạng nói Vậy M N P Q hình bình hành hay M N = P Q Bài toán 3.17 Cho ngũ giác ABCDE Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh DI = AI.AD 60 Bài giải A I E B O D C Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ABCD ta có số đo cung 360o tạo cạnh đa giác = 72o Khi góc IEA = EDA (góc nội tiếp chắn cung nhau) Từ ta suy ∆AIE ∆AED AE AI Suy = AD AE Ta dễ dàng nhận thấy DEB = EIB Do tam giác EDI cân D, suy DI = DE = EA DI AI Điều dẫn đến = hay DI = AI.AD AD DI Bài toán 3.18 Cho ABCDE ngũ giác lồi nội tiếp đường trịn bán kính Nếu biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < −→ − − → −→ −− → Bài giải Ta có = AE = (AC + CE)2 = AC + CE + 2AC.CE −→ − − → Vì góc ACE = 90o nên AC.CE = Khi = AE = AC + CE −→ −−→ −−→ −−→ = (AB + BC)2 + (CD + DE)2 −→ −−→ −−→ −−→ = AB + BC + CD2 + DE + 2AB.BC + 2CD.DE −→ −−→ −−→ −−→ Như ta cần chứng minh abc < 2AB.BC bcd < 2CD.DE −→ −−→ Bởi 2AB.BC = 2ab cos(180o − ABC) = 2ab cos AEC = ab.CE −→ −−→ Mà c < CE nên abc < 2AB.BC −−→ −−→ Hồn tồn tương tự ta có bcd < 2CD.DE Suy a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < 61 Bài toán 3.19 Cho đa giác cạnh A1 A2 A9 Chứng minh A1 A2 + A1 A3 = A1 A5 Bài giải A1 A2 M A3 A4 A5 Vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác cho Khi cạnh đa giác căng cung 360 = 40o Dễ thấy A2 A4 = A1 A3 A2 A4 ∥ A1 A5 Lại có tam giác A1 M A5 nên tam giác A2 M A4 Khi A1 A2 + A1 A3 = A1 A2 + A2 A4 = A1 A2 + A2 M = A M = A1 A5 Bài toán 3.20 Cho lục giác nội tiếp đường trịn ABCDEF có AB = AF ; DC = DE Chứng minh AD > (BC + EF ) Bài giải A F B C H K D E Gọi H; K hình chiếu D AC, AE Tứ giác ACDE nội tiếp nên góc HCD = KED, mặt khác theo giả thiết DC = DE nên ∆HCD = ∆HED suy HC = KE 62 Ta có AH + AK = AC + AE Hay 2AH = AC + AE Vậy 2AD > AC + AE Tương tự ta có 2AD > DB + DF Từ (1) (2) suy 4AD > (AC + DB) + (AE + DF ) Gọi M giao điểm AC DB , N giao điểm AE Ta có { AC + DB = (M A + M D) + (M D + M C) > AD + BC AE + DF = (N A + N D) + (N E + N F ) > AD + EF (1) (2) (3) DF Kết hợp với (3) ta suy 4AD > 2AD + BC + EF Vậy AD > (BC + EF ) Bài toán 3.21 Cho đường trịn tâm O bán kính R ngoại tiếp ngũ giác lồi ABCDE có AB = BC = DE = R Gọi M, N trung điểm CD EA Chứng minh √ √ MN ≤ R + Bài giải A N B E O C D M Xét hai tam giác ON B CM B Ta có, theo giả thiết tam giác OAB, OBC ODE tam giác Vậy nên AOE + DOC = 180o 2DCO + DOC = 180o , AOE = 2DCO Suy AON = OCM ∆AON = ∆OCM Suy ON = CM ∆ON B = ∆CM B Điều kéo theo BM = BN tam giác BM N tam giác Vậy để tính M N ta cần tính BN 63 Xét tam giác AON với AON = α < 90o M N = BN = R2 + R2 cos2 α − 2R2 cos α cos(α + 60o ) = R2 [1 + cos2 α − cos α(cos α cos 60o − sin α sin 60o )] ( ) ( √ √ ) √ 3 = R2 (1 + sin α cos α) = R2 + sin 2α ≤ R2 + 2 √ √ Do M N ≤ R + Bài toán 3.22 Trên cạnh ngũ giác có diện tích S nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R chọn điểm cho điểm tạo thành ngũ giác nội tiếp với ngũ giác cho Chứng minh ngũ giác cho chứa tâm chu vi ngũ giác nội tiếp tạo 2S thành lớn R Bài giải A M B L N O E C Q P D Sử dụng kí hiệu hình vẽ Gọi p chu vi ngũ giác tạo thành Sử dụng bất đẳng thức diện tích tứ giác khơng vượt nửa tích hai đường chéo áp dụng vào tứ giác thu cách nối tâm O với điểm tương ứng cạnh đa giác cho Ta có S = SOLAM + SOM BN + SON CP + SOP DQ + SOQEL 1 1 ≤ OA.LM + OB.M N + OC.N P + OD.P Q + OE.QL 2 2 ≤ R.(LM + M N + N P + P Q + QL) ≤ R.p 2S Từ suy p ≥ R 64 Bài toán 3.23 Giả sử O tâm đa giác A1 A2 An , X điểm mặt phẳng Chứng minh −−→ −−→ −−→ − → a OA1 + OA2 + · · · + OAn = −−→ −−→ −−→ −−→ b XA1 + XA2 + · · · + XAn = nXO c.A1 X + A2 X + · · · + An X = n(R2 + d2 ) d = OX Bài giải −−→ −−→ → a Đa giác xét đến đa giác nên giả sử − a = OA1 + OA2 + −−→ 360o − · · · + OAn , ta cho → a quay quanh điểm O với góc quay điểm n Ai biến thành điểm Ai+1 (điểm An+1 = A1 ) − → → → Do đó, qua phép quay − a biến thành tức − a = −−→ −−→ −−→ b Ta có XA1 + XA2 + · · · + XAn = −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ = (XO + OA1 ) + (XO + OA2 ) + · · · + (XO + OAn ) −−→ −−→ −−→ −−→ = nXO + OA1 + OA2 + · · · + OAn −−→ = nXO −−→ −−→ −−→ − → Do câu a ta chúng minh OA1 + OA2 + · · · + OAn = c −−→ −−→ Ta có Ai X = (Ai O + OX)2 −−→ −−→ = Ai O2 + OX + 2Ai O.OX −−→ −−→ = R2 + d2 + 2Ai O.OX n n − ∑ ∑ −→ −−→ Suy Ai X = nR2 + nd2 + Ai O.OX = nR2 + nd2 i=1 i=1 n − ∑ −→ − → Vì Ai O = chứng minh câu a i=1 3.2 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐA GIÁC NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN Bài toán 3.24 a Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh AB + CD = BC + AD b Cho tứ giác ABCD có AB + CD = BC + AD Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp Bài giải a Giả sử đường tròn (O) nội tiếp tiếp xúc với cạnh AB, BC, CD, DA E, F, G, H Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AE = AH, BE = BF, DH = DG, CG = CF 65 B A H E O F C D G Do AB + CD = BC + AD b * Nếu AB = BC theo giả thiết AB + CD = BC + AD nên ta suy CD = AD Khi ∆ABD ∆CBD (c.c.c) ˆ D ˆ Từ ta có BD đường phân giác góc B Gọi O giao điểm tia phân giác góc Cˆ BD ˆ D, ˆ Cˆ Ta có BO, DO, CO tia phân giác B, Vậy O cách cạnh tứ giác ABCD Vậy tứ giác ABCD ngoại tiếp * Nếu AB ̸= BC Giả sử AB < BC , mà theo giả thiết ta có AB + CD = BC + AD nên AD < CD Trên cạnh BC, CD lấy M, N cho BM = AB, DN = AD mà AB + CD = BC + AD CM = CN Tam giác BAM cân B Tam giác DAN cân D, tam giác CM N cân C ˆ C, ˆ D ˆ đường trung Các đường phân giác góc B, trực tam giác AM N nên chúng đồng quy O Suy O điểm cách cạnh tứ giác ABCD Vậy tứ giác ABCD ngoại tiếp Bài toán 3.25 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh SOAB + SOCD = SABCD Bài giải Gọi r bán kính đường trịn tâm (O) nội tiếp tứ giác ABCD Ta có AB + CD = BC + AD 1 1 Suy AB.r + CD.r = BC.r + AD.r 2 2 Nên SOAB + SOCD = SOBC + SOAD 66 Vậy SOAB + SOCD = SABCD Bài tốn 3.26 Cho hình thang cân ABCD(AB ∥ CD) ngoại tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh AB.CD = 4R2 Bài giải A B E F O D C K Ta có tam giác AEO tam giác AF O (tính chất tiếp tuyến đường tròn) Nên AEO = AOF Tương tự ta có DOK = DOF nên DOA = 90o Xét tam giác AOD vuông O, đường cao OF AB CD Ta có OF = F A.F D = 2 Vậy AB.CD = 4R2 Bài tốn 3.27 Cho đường trịn tâm O nội tiếp hình thang ABCD, AB ∥ CD tiếp xúc với cạnh AB E , với cạnh CD F Chứng BE DF minh = AE CF Bài giải B A M O D C Gọi M tiếp điểm đường tròn (O) tiếp xúc với AD Ta có AM = AE , AO tia phân giác góc EAM , DM = DF , DO tia phân giác góc M DF Ta có EAM + M DF = 180o (EAM M DF hai góc phía AB ∥ CD) ∆OAD vuông O với OM đường cao nên ta có AM.DM = OM 67 Suy AE.DF = R2 Tương tự ta có BE.CF = R2 Nên ta có AE.DF = BE.CF BE DF Vậy = AE CF 3.3 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐA GIÁC VỪA NGOẠI TIẾP VỪA NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRỊN Bài tốn 3.28 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; r), đồng thời nội tiếp đường tròn khác Gọi I, K, M, H theo thứ tự hình chiếu O lên AB, BC, CD, DA Chứng minh r2 = AK.CM = BI.DH Bài giải A z t z M y D B K t I O x y H x C Kí hiệu hình vẽ Gọi I, K, M, H tiếp điểm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD cạnh BC, AB, DC, AD, r bán kính đường trịn nội tiếp tứ giác ABCD Đặt CH = CI = x, DH = DM = y, BI = BK = t, AK = AM = z ABCD tứ giác nội tiếp nên KBO + ODH = 90o , từ ta có KBO = HOD Ta có ∆EBO ∆HOD (g.g) t r Suy = suy r2 = yt r y hay ta có r = BI.DH Hồn tồn tương tự ta có r2 = AK.CM Bài tốn 3.29 Cho tứ giác nội tiếp ngoại tiếp ABCD cóAB = a, BC = b, CD = c,√ DA = d Khi diện tích S tứ giác tính công thức S = abcd 68 Bài giải Ta sử dụng kí hiệu hình vẽ toán Gọi I, K, M, H tiếp điểm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD cạnh BC, AB, AD, r bán kính đường trịn nội tiếp tứ giác ABCD Đặt CH = CI = x, DH = DM = y, BI = BK = t, AK = AM = z Gọi S diện tích tứ giác ABCD, p nửa chu vi tứ giác ABCD Ta có S = pr = (a + c)r a + c = b + d nên ta có S = (a + c)2 r2 Mặt khác ta có abcd = (z + t)(t + x)(x + y)(y + z) = (zt + xz + t2 + xt)(xy + xz + y + yz) = (zt + yt + t2 + xt)(xy + yt + y + yz)(doxz = yt) = t(z + y + t + x)y(x + t + y + z) = yt(x + y + z + t) = r2 (c + a)2 (do r2 = yt chứng minh toán 1.) √ Do S = abcd, S = abcd Bài toán 3.30 Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường trịn có diện tích S chu vi p Chứng minh p2 A B C D = tan + tan + tan + tan S 2 2 Bài giải Gọi O, r tâm bán kính đường trịn nội tiếp tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q hình chiếu tâm O lên cạnh AB, BC, CD, DA Ta có ( ) A B C D p = AM + BN + CP + DQ = r cot + cot + cot + cot 2 2 A+C B+D π = = , Theo giả thiết 2 C C A A nên sin = cos , sin = cos 2 2 A+C A+C sin sin C A C A 2 ; tan + tan = cot + cot = C C A A 2 2 sin sin cos cos 2 2 C A C A Suy tan + tan = cot + cot 2 2 D B D B Tương tự ta có tan + tan = cot + cot 2 2 69 ( A B C D Từ ta p = r cot + cot + cot + cot 2 2 A B C D = tan + tan + tan + tan 2 2 ( )−1 A B C D Suy r = p tan + tan + tan + tan 2 2 ( )−1 A B C D S = pr = p2 tan + tan + tan + tan 2 2 ) p2 A B C D Vậy = tan + tan + tan + tan S 2 2 Bài toán 3.31 Chứng minh đa giác có diện tích S nội tiếp hình trịn diện tích A ngoại tiếp hình trịn diện tích B ta A+B có S ≤ Bài giải Giả sử đa giác K ngoại tiếp đường tròn (I, r) nội tiếp đường tròn (O, R) Kí hiệu độ dài cạnh đa giác K , góc nhìn từ O xuống cạnh αi Nếu nối I với đỉnh K , ta thu tam giác có với diện rai tích αi Mặt khác hình trịn (O, R) ta có đẳng thức = 2R sin ta có ∑ ∑ ∑ r αi αi R2 + r SK = = Rr sin ≤ Rr = πRr ≤ π ✷ 2 2 70 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày có hệ thống toán đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn Cụ thể tác giả hồn thành cơng việc sau đây: Trình bày có hệ thống chứng minh số tính chất hình học liên quan đến đa giác với đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp Trình bày tốn cụ thể, logic, mạch lạc Các tốn trình bày từ đến nâng cao Trình bày lời giải chi tiết đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic Trong khuôn khổ luận văn, tác giả trình bày chuyên sâu số dạng toán liên quan đến đa giác nội, ngoại tiếp đường trịn Đặc biệt dạng tốn chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Vẫn nhiều dạng toán mà luận văn hướng đến tốn cực trị hình học, tốn dựng hình, tìm tập hợp điểm, chứng minh tính chất hình học, Tác giả hi vọng cách truyền tải phần nội dung kiến thức hình học đến cho người đọc cách dễ hiểu gần gũi Tạo tiền đề cho việc vận dụng, phát huy vào giải tốn chương trình cấp bậc cao 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình (2013), Nâng cao phát triển Toán 9, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Lộc (2007), Phương pháp vectơ hình học phẳng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2009), Chuyên đề hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc (2005), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [5] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình (2010), Tài liệu chun Tốn hình học 10, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Đăng Phất (2003), Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng, NXB Giáo dục [7] Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [8] Nguyễn Đức Tấn (2010), Cẩm nang vẽ hình phụ giải tốn hình học phẳng, NXB Tổng hợp TP Hồ Chí Minh ... đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác, đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn Điều kiện cần đủ đề tứ giác ngoại tiếp. .. nội tiếp, đa giác ngoại tiếp hiểu đa giác nội tiếp đường tròn, đa giác ngoại tiếp đường tròn 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN LIÊN QUAN Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường trịn ngoại tiếp đa giác, ... đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác đa giác nội, ngoại tiếp hình trịn Các tốn đưa từ đến nâng cao, mở rộng Bên cạnh việc thể mối liên hệ yếu tố đa giác nội, ngoại tiếp đường trịn