Ba đường cônic và bài toán quỹ tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********** ĐINH CƠNG LÂM BA ĐƯỜNG CƠNIC VÀ BÀI TỐN QUỸ TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI – 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN *********** ĐINH CƠNG LÂM BA ĐƯỜNG CƠNIC VÀ BÀI TỐN QUỸ TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS Đinh Thị Kim Thúy HÀ NỘI – 2019 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, cố gắng, nỗ lực thân, em nhận hướng dẫn, bảo tận tình chu đáo thạc sĩ Đinh Thị Kim Thúy - giảng viên tổ Hình Học, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội Đồng thời em nhận ý kiến bảo, giúp đỡ, hướng dẫn từ thầy cô giáo khoa Toán bạn bè Nhân dịp này, em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Đinh Thị Kim Thúy, người tận tình quan tâm giúp đỡ em suốt thời gian qua, xin cảm ơn thầy cơ, bạn bè gia đình tạo điều kiện để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Tác giả khóa luận Đinh Cơng Lâm LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận "Ba đường Cơnic tốn quỹ tích" cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn ThS Đinh Thị Kim Thúy Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực có sử dụng số tài liệu danh mục tài liệu tham khảo Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Tác giả khóa luận Đinh Cơng Lâm Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức ba đường Cônic 1.1 1.2 1.3 Elip 1.1.1 Phương trình tắc Elip 1.1.2 Hình dạng tính chất Elip 1.1.3 Tiếp tuyến Elip Hypebol 10 1.2.1 Phương trình tắc Hypebol 10 1.2.2 Hình dạng tính chất Hypebol 12 1.2.3 Tiếp tuyến Hypebol 14 Parabol 16 1.3.1 Phương trình tắc Parabol 17 1.3.2 Hình dạng tính chất Parabol 18 1.3.3 Tiếp tuyến Parabol 19 Bài tốn quỹ tích ba đường Cơnic 21 2.1 Một vài nét tốn quỹ tích 21 2.2 Elip tốn quỹ tích 22 2.2.1 22 Quỹ tích Elip i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 ĐINH CƠNG LÂM Quỹ tích trung điểm dây cung AB Elip có phương không đổi 2.2.3 Quỹ tích trung điểm dây cung AB Elip biết đường thẳng AB qua M 2.2.4 2.3 31 Quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc với đường tròn 2.2.6 28 Quỹ tích tâm đường tròn qua điểm tiếp xúc với đường tròn cho trước 2.2.5 24 34 Quỹ tích điểm từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với đến Elip 37 Hypebol tốn quỹ tích 39 2.3.1 Quỹ tích Hypebol 39 2.3.2 Quỹ tích trung điểm dây cung AB Hypebol có phương khơng đổi 2.3.3 Quỹ tích trung điểm dây cung AB Hypebol biết AB qua M 2.3.4 44 45 Lập phương trình quỹ tích điểm từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với đến Hypebol 46 2.4 Parabol tốn quỹ tích 47 2.5 Bài tập đề nghị 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 ii Lời mở đầu Lí chọn đề tài “ Ba đường conic tốn quỹ tích” chun đề hình học chương trình hình học THPT Các tốn thường phải áp dụng tính chất hình học trước sử dụng biến đổi đại số không cịn kĩ thuật tính tốn đại số thơng thường Vì để học tốt nội dung này, học sinh cần phối hợp nhiều thao tác tư phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái qt hóa, đặc biệt hóa, Tuy nhiên, học sinh có khả học tập, tiếp thu khác Hơn nữa, tốn “ Ba đường Cơnic tốn quỹ tích” thường phức tạp nên việc vận dụng lí thuyết vào làm tập khó khăn học sinh Vì lí trên, em chọn đề tài “ Ba đường Cơnic tốn quỹ tích” với mong muốn giúp đỡ học sinh hiểu nắm kiến thức, đồng thời phát giúp em khắc phục sai lầm giải toán Elip, Parabol, Hypebol tốn quỹ tích chúng Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CÔNG LÂM Lịch sử nghiên cứu vấn đề Các đường conic chủ đề tốn học nghiên cứu cách có hệ thống Những đường conic phát Menaechmus (Người Hy Lạp, 375-325 năm trước Công nguyên), giám hộ cho Alexander the Great Những đường conic hình thành nỗ lực nhà toán học để giải tốn tiếng: chia thành ba góc góc, gấp đơi khối lập phương phép phép cầu phương vòng tròn Những định nghĩa ba đường conic cắt hình nón xoay có góc đỉnh thay đổi với mặt phẳng vng góc với đường sinh hình nón, tùy thuộc vào góc nhỏ, hay lớn 90 độ mà có elip, parabol hay hypebol tương ứng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức ba đường conic ứng dụng vào việc giải tốn quỹ tích Nhiệm vụ nghiên cứu • Tóm tắt kiến thức liên quan đến ba đường conic • Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập luyện tập ba đường conic tốn quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CÔNG LÂM Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp kiến thức từ việc nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tài liệu có liên quan đến nội dung Chương Kiến thức ba đường Cônic 1.1 1.1.1 Elip Phương trình tắc Elip Định nghĩa 1.1 Elip (E) tập hợp điểm cho tổng khoảng cách tới hai điểm cố định phân biệt F1 , F2 số không đổi 2a, lớn khoảng cách F1 F2 Vậy (E) = {M | M F1 + M F2 = 2a} Trong đó: • Hai điểm F1 , F2 gọi hai tiêu điểm • Khoảng cách F1 F2 = 2c : tiêu trục • Trung điểm I F1 F2 tâm (E) Định lý 1.1 Trong mặt phẳng Oxy, (E) có tiêu điểm F1 (−c, 0), F2 (c, 0) có tổng hai bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm tùy ý Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CƠNG LÂM Ví dụ 2.10 Cho điểm A(a, 0) đường thẳng (∆) : 2x − a = với a > Lập phương trình quỹ tích điểm M thỏa mãn MA = √ 2d(M, (∆)) Lời giải Giả sử M (x, y), ta có: MA = ⇔ √ 2d(M, (∆)) √ |2x − a| 2 (x − a) + y = 2 ⇔ 2[(x − a)2 + y ] = (2x − a)2 ⇔ x2 − y = a2 Vậy quỹ tích điểm M thuộc Hypebol vuông a2 (H) : x − y = 2 Ví dụ 2.11 Cho hai điểm A(−a, 0) B(a, 0) với a > a Lập phương trình quỹ tích điểm M thỏa mãn OM = M A.M B b Lập phương trình quỹ tích điểm N cho đường thẳng AN BN có tích hệ số góc k c (C) đường trịn thay đổi ln qua A, B E1 E2 đường kính (C) phương với Ox Lập phương trình quỹ tích điểm EF Lời giải a Giả sử M (x, y), ta có: 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CÔNG LÂM OM = M A.M B ⇔ x2 +y = (x + a)2 + y (x − a)2 + y a2 2 ⇔x −y = Vậy quỹ tích điểm M thuộc Hypebol a2 vuông (H1 ) : x2 − y = b) Giả sử N (x, y), ta có: Hệ số góc đường thẳng AN BN theo thứ tự kA = y y kB = x+a x−a Suy y y2 y x2 kA kB = k ⇔ =k ⇔ − 2 =1 x+a x−a a k b Vậy quỹ tích điểm N thuộc Hypebol (H2 ) : x2 y2 − =1 a2 k b2 c) Giả sử E(x, y) đầu đường kính (C) (có tâm I(0, m)) phương với Ox, ta có:   y = m  IE = IA ⇔   y = m  x2 + (m − m)2 = a2 + y Vậy quỹ tích điểm E1 , E2 thuộc Hypebol vng (H3 ) : x2 − y = a2 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3.2 ĐINH CƠNG LÂM Quỹ tích trung điểm dây cung AB Hypebol có phương khơng đổi Dạng tốn: Đường thẳng (d) có phương không đổi cắt Hypebol x2 y (H) : − = (0 < b < a) A, B Tìm quỹ tích trung điểm I a b AB PHƯƠNG PHÁP − Giả sử (d) có vectơ phương → v (α, β) không đổi I(xo , yo ), đó: (d) :   x = xo + αt , t∈R  y = yo + βt Xét tương giao (d) (H) là:     x = xo + αt    y = yo + βt      b2 x2 − a2 y = a2 b2 ⇒ (α2 b2 − β a2 )t2 + 2(αxo b2 − βyo a2 )t + x2o b2 − yo2 a2 − a2 b2 = (2.7) Vì (d) ∩ (H) = {A, B} nên (2.7) có hai nghiệm tA , tB thỏa mãn:  2(αxo b2 − βyo a2 )   tA + tB = − α2 b2 − β a2 x2 b2 − y a2 − a2 b2   tA tB = o 2 o 2 α b −β a 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CƠNG LÂM Vì I trung điểm AB nên: 2x0 = xA + xB = (xo + αtA ) + (xo + αtB ) ⇔ tA + tB = ⇔ αxo b2 − βyo a2 = (2.8) Ta thấy tọa độ I thỏa mãn (2.8), quỹ tích trung điểm I thuộc đường thẳng (∆) : αb2 x − βa2 y = 2.3.3 Quỹ tích trung điểm dây cung AB Hypebol biết AB qua M x2 y Dạng toán: Cho Hypebol (H) : − = (0 < b < a) Đường a b thẳng (d) qua điểm M cố định không thuộc hai đường tiệm cận (H) cắt (H) A, B Chứng minh trung điểm I AB chạy Hypebol cố định PHƯƠNG PHÁP Giả sử M (xM , yM ) I(xo , yo ), đó: (d) :   x = xo + (xM − xo )t  y = yo + (yM − yo )t Xét tương giao (d) (H) là:     x = xo + (xM − xo )t    y = yo + (yM − yo )t      b2 x2 − a2 y = a2 b2 45 , t∈R Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CÔNG LÂM ⇒ [(xM − xo )2 b2 − (yM − yo )2 a2 ]t2 + 2[(xM − xo )xo b2 − (yM − yo )yo a2 ]t + x2o b2 − yo2 a2 − a2 b2 = (2.9) Vì (d) ∩ (H) = {A, B} nên (2.9) có hai nghiệm tA , tB thỏa mãn: tA + tB = − 2[xM − xo ]xo b2 − (yM − yo )yo a2 (xM − xo )2 b2 − (yM − yo )2 a2 Vì I trung điểm AB nên: 2xo = xA + xB = [xo + (xM − xo )tA ] + [xo + (xM − xo )tB ] ⇔ tA + tB = ⇔ (xM − xo )xo b2 − (yM − yo )yo a2 = (xo − x2M )2 (yo − y2M )2 x2M yM ⇔ − = − a2 /4 b2 /4 a b (2.10) Ta thấy tọa độ I thỏa mãn (2.10), quỹ tích trung điểm I thuộc Hypebol (x − x2M )2 (y − y2M )2 x2M yM (H1 ) : − = − a2 /4 b2 /4 a b 2.3.4 Lập phương trình quỹ tích điểm từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với đến Hypebol x2 y2 Dạng toán: Cho Hypebol (H) : − = Tìm tập hợp a b điểm từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với tới (H) PHƯƠNG PHÁP Giả sử M (xo , yo ), từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với tới (H) 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CƠNG LÂM • Hai đường thẳng qua M vng góc với có dạng: (d1 ) : y = k(x − xo ) + yo ⇔ (d1 ) : y = kx − kxo + yo 1 (d2 ) : y = − (x − xo ) + yo ⇔ (d2 ) : y = − x + xo + yo k k k • Điều kiện để (d1 ) (d2 ) tiếp xúc với (H) là:   k a2 − b2 = (yo − kxo )2  (− )2 a2 − b2 = (yo + xo )2 k k ⇔   k a2 − b2 = (yo − kxo )2  a2 − k b2 = (kyo + xo )2 Cộng hai vế hai phương trình ta k a2 + k b2 + a2 + b2 = yo2 − 2kxo yo + k x2o + k yo2 + 2kxo yo + x2o ⇔ k (a2 + b2 ) + a2 + b2 = x2o + yo2 + k (x2o + yo2 ) ⇔ (x2o + yo2 )(k + 1) = (a2 + b2 )(k + 1) (2.11) Khử k + từ hệ (2.11) ta được: x2o + yo2 = a2 − b2 Vậy, ta có trường hợp: • Với a > b, tập hợp điểm M từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với tới (H) đường trịn tâm O, bán kính √ R = a2 − b2 • Với a ≤ b, khơng tồn điểm M 2.4 Parabol tốn quỹ tích Ví dụ 2.12 Cho Parabol y = x 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CƠNG LÂM a Tìm quỹ tích trung điểm dây cung (P ) có độ dài cho trước b Tìm quỹ tích trung điểm dây cung (P ) có hệ số góc k cho trước c Tìm quỹ tích trung điểm dây cung chắn (P ) viên phần có diện tích S cho trước Lời giải Giả sử AB dây cung (P ) với A(yA2 , yA ) B(yB2 , yB ) Với I trung điểm AB thì:  x + xB  x = A I: y +  y = A yB (2.12a) (2.12b) Từ (2.12a), ta được: x = (yA2 + yB2 ) = yA + yB 2 + yA − yB 2 2 =y + yA − yB (2.13) a Từ giả thiết: AB = ⇔4 = AB = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = (yA − yB )2 [(yA + yB )2 + 1] 4 ⇔ (yA − yB ) = = (yA + yB )2 + 4y + (2.13a) (C) 4y + Vậy quỹ tích trung điểm (I) AB thuộc đường cong (C) đường Thay (2.13a) vào (2.13) ta được: x = y + 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CƠNG LÂM cung tiệm cận với (P ) b Từ giả thiết: k= yA − yB yA − yB 1 = = = ⇔ y = xA − xB yA − yB2 yA + yB 2y 2k (∆) Mặt khác, từ (1) ta nhận thấy: x = (yA2 + yB2 ) > Vậy quỹ tích trung điểm I AB thuộc phần đường thẳng ∆ (P ) c Từ giả thiết, phương trình tung độ giao điểm A, B là: (y − yA )(y − yB ) = Diện tích hình viên phấn chắn AB là: yB (y − yA )(y − yB )dy = (yB − yA )3 S=− yA ⇔ (yB − yA )2 = (6S)3/2 (2.14) 3/2 3S Thay (2.14) vào (2.13), ta được: x = y + (C1 ) Vậy quỹ tích trung điểm I AB thuộc đường cong (C1 ) Chú ý: Với câu b ta tổng qt tốn sau: Bài tốn Đường thẳng (d) có phương khơng đổi cắt Parabol (P ), y = 2px A, B Chứng minh trung điểm I AB chạy đường thẳng cố định phương với Ox 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CƠNG LÂM PHƯƠNG PHÁP − Giả sử (d) có vectơ phương → v (α, β) không đổi I(xo , yo ), đó: d:   x = xo + αt , t∈R  y = yo + βt Xét tương giao (d) (H) là:     x = xo + αt    y = yo + βt      y = 2px ⇒ β t2 + 2(βyo − pα)t + yo2 − 2pxo = (2.15) Vì (d) ∩ (P ) = {A, B} nên (2.15) có hai nghiệm tA , tB thỏa mãn:  2(αp − βyo )   tA + tB = β2 y − 2pxo   tA tB = o β Vì I trung điểm AB nên: 2xo = xA +xB = (xo +αtA )+(xo +αtB ) ⇔ tA +tB = ⇔ pα−βyo = (2.16) Nhận xét tọa độ I thỏa mãn (2.16), quỹ tích trung điểm I thuộc đường thẳng (∆) : βy − pα = cố định phương với Ox Bài toán Cho Parabol (P ) : y = 2px Đường thẳng (d) qua điểm M cố định không thuộc (P ) cắt (P ) A, B Chứng minh 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CÔNG LÂM trung điểm I AB chạy Parabol cố định PHƯƠNG PHÁP Giả sử M (xM , yM ) I(xo , yo ), đó: (d) :   x = xo + (xM − xo )t , t∈R  y = yo + (yM − yo )t Xét tương giao (d) (P ) là:     x = xo + (xM − xo )    y = yo + (yM − yo )t      y = 2px ⇒ (yM − yo )2 t2 + 2[(yM − yo )yo − p(xM − xo )]t + yo2 − 2pxo = Vì (d) ∩ (P ) = {A, B} nên (1) có hai nghiệm tA , tB thỏa mãn:  2[(xM − xo )p − (yM − yo )yo ]   tA + tB = (yM − yo )2 y − 2pxo   tA tB = o (yM − yo )2 Vì I trung điểm AB nên: 2xo = xA + xB = [xo + (xM − xo )tA ] + [xo + (xM − xo )tB ] ⇔ tA + tB = ⇔ (xM − xo )p − (yM − yo )yo = yM ⇔ yo − 2 yM = (xo − xM )p + 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.5 ĐINH CÔNG LÂM Bài tập đề nghị Bài tập Cho hai điểm A(cos t, 0) B(0, sin t) với t tham số −−→ −−→ → − Lập phương trình quỹ tích cách điểm M thỏa mãn AM + 3M B = x2 x2 + = Tìm tập hợp điểm từ Bài tập Cho Elip (E) : kẻ hai tiếp tuyến vng góc với tới (E) Bài tập Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + (y + 5)2 = 441 (C1 ) : x2 + (y − 5)2 = 25 Gọi M tâm đường tròn (C) di động tiếp xúc với (C1 ), (C2 ) Tìm quỹ tích điểm M nếu: a (C) tiếp xúc với (C1 ) tiếp xúc với (C1 ) b (C) tiếp xúc với (C1 ) (C2 ) Bài tập Cho Elip (E) : x2 y + = A(−3, 0), M (−3, m), B(3, 0), N (3, n) a Xác định tọa độ giao điểm I AN BM b Chứng tỏ để M N tiếp xúc với (E) điều kiện cần đủ a, b thỏa mãn m.n = c Với a, b thay đổi M N tiếp xúc với (E) Tìm quỹ tích I x2 y Bài tập Cho Elip (E) : + = với < b < a hai đường a b 2 tròn (C1 ) : x + y = (a + b) ; (C2 ) : x2 + y = (a − b)2 Các điểm P, Q chạy (C1 ), (C2 ) cho Ox tia phân giác góc P OQ Gọi M trung điểm P Q, Chứng minh M thuộc (E) Bài tập Chứng tỏ phương trình: Ax2 + By = 0, với A, B = 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CƠNG LÂM phương trình Parabol có O(0, 0), nhận Oy làm trục đối xứng Tìm tiêu điểm phương trình đường chuẩn Parabol Bài tập Chứng tỏ phương trình: Ay + Bx = 0, với A, B = phương trình parabol có đỉnh O(0, 0), nhận Ox làm trục đối xứng Tìm tiêu điểm phương trình đường chuẩn parabol Bài tập Viết phương trình Parabol (P ) có đỉnh gốc tọa độ trường hợp sau: a Biết đường chuẩn x = −3 b Biết đường chuẩn y = −2 c Đi qua điểm A(2, −4) nhận trục hoành làm trục đối xứng d Nhận trục hoành làm trục đối xứng chắn đường thẳng √ x + 2y = đoạn Bài tập Cho điểm F (3, 0) a Viết phương trình Parabol (P ) có tiêu điểm (F ) đỉnh gốc tọa độ b Một điểm nằm parabol (P ) có hồnh độ x = Hãy tính khoảng cách từ điểm tới tiêu điểm c Qua I(2, 0) dựng đường thẳng (d) thay đổi cắt Parabol (P ) hai điểm (A, B) Chứng minh tích số khoảng cách từ A B tới Ox số Bài tập 10 Xét hình (H) giới hạn đường Parabol (P ), y = 0, x = 1, x = Lập phương trình Parabol (P ) biết (P ) có đỉnh 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐINH CƠNG LÂM S(1, 2) diện tích hình (H) 15 Bài tập 11 Cho Parabol (P ) : x2 = 2y gọi F tiêu điểm (P ) Giả sử đường thẳng (d) qua F tạo với chiều dương trục Ox góc α cắt (P ) hai điểm M, N a Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng M N theo p α b Từ suy quỹ tích I α thay đổi Bài tập 12 Cho Parabol (P ) : x2 = 2y Tìm tập hợp điểm mặt phẳng từ kẻ hai tiếp tuyến tới (P ) hai tiếp tuyến vng góc với 54 Kết luận Khóa luận đưa hệ thống lý thuyết ba đường Conic phương pháp chung để giải tốn quỹ tích chúng, song song với ví dụ cụ thể nhằm giúp học sinh nắm kiến thức áp dụng vào giải toán Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học với thời gian chuẩn bị chưa nhiều, cộng thêm vốn kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu thân hạn chế, chắn khóa luận cịn nhiều thiết xót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Tác giả khóa luận Đinh Cơng Lâm 55 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chun tốn hình học 10, năm 2009 Nxb Giáo Dục Việt Nam [2] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chun tốn hình học 12, năm 2009 Nxb Giáo Dục Việt Nam [3] Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải tốn Hình học giải tích mặt phẳng, Nxb Hà Nội [4] Lê Hồng Đức (Chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải tốn đường thẳng, đường tròn, ba đường Conic 56 ... tuyến Parabol 19 Bài tốn quỹ tích ba đường Cơnic 21 2.1 Một vài nét tốn quỹ tích 21 2.2 Elip toán quỹ tích 22 2.2.1 22 Quỹ tích Elip i... − 2y + = 20 Chương Bài toán quỹ tích ba đường Cơnic 2.1 Một vài nét tốn quỹ tích Trong chương trình mơn Tốn cấp nói chung cấp Trung Học Phổ Thơng nói riêng tốn quỹ tích đưa vào danh sách tốn khó... 37 Hypebol toán quỹ tích 39 2.3.1 Quỹ tích Hypebol 39 2.3.2 Quỹ tích trung điểm dây cung AB Hypebol có phương khơng đổi 2.3.3 Quỹ tích trung điểm