skkn cấp tỉnh phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua tìm lời giải các bài toán thực tế liên qua đến ứng dụng của đạo hàm

Đây là năng lực không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học màcòn giúp các em áp dụng toán học vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn một cách hiệu quảvà sáng tạo.Mô hình hóa t

MỤC LỤC

1 Mở đầu 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.2 Dạng 1 : Các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học 5

2.3.2 Dạng 2 : Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học 8

2.3.4 Bài tập đề nghị 17

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18

3 Kết luận, kiến nghị 21

3.1 Kết luận 21

3.2 Kiến nghị 21

Tài liệu tham khảo 21

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay, chương trình giáo dục phổ thông 2018 đượcthiết kế với mục tiêu phát triển toàn diện cho học sinh, không chỉ về kiến thức mà còn về kỹnăng và phẩm chất cá nhân Một trong những điểm nổi bật của chương trình này là việc tíchhợp các bài toán thực tế vào giảng dạy toán học

Các bài toán thực tế không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học mà còn tạo cơhội cho các em áp dụng những kiến thức này vào cuộc sống hàng ngày Qua việc giải quyếtcác bài toán có liên quan đến các tình huống thực tế, học sinh sẽ hiểu rõ hơn về mối quan hệgiữa toán học và thế giới xung quanh Đồng thời, các em cũng được phát triển kỹ năng tư duylogic, kỹ năng giải quyết vấn đề, và khả năng làm việc độc lập cũng như làm việc nhóm.Chương trình giáo dục phổ thông 2018 chú trọng đến sự liên kết giữa lý thuyết và thựctiễn, giúp học sinh thấy được sự hữu ích của toán học trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhưkhoa học, kỹ thuật, kinh tế và đời sống hàng ngày Các bài toán thực tế được thiết kế đa dạng,phong phú, phù hợp với từng lứa tuổi và từng cấp học, đảm bảo tính hấp dẫn và khả năng ứngdụng cao

Việc giảng dạy các bài toán thực tế còn giúp giáo viên có cơ hội đổi mới phương phápgiảng dạy, sử dụng các phương pháp dạy học tích cực như dạy học dựa trên vấn đề, dạy họctheo dự án Điều này không chỉ làm cho giờ học toán trở nên sinh động, thú vị hơn mà còngiúp học sinh phát huy tối đa tiềm năng của bản thân, chuẩn bị tốt hơn cho tương lai

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng với mục tiêu phát triển toàn diệncho học sinh Một trong những năng lực cốt lõi mà chương trình hướng đến là năng lực môhình hóa toán học Đây là năng lực không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học màcòn giúp các em áp dụng toán học vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn một cách hiệu quả

và sáng tạo

Mô hình hóa toán học là quá trình sử dụng ngôn ngữ và phương pháp toán học để biểudiễn, phân tích và giải quyết các vấn đề từ thực tế Nó bao gồm việc xây dựng các mô hìnhtoán học từ các hiện tượng thực tế, sau đó sử dụng các công cụ và kỹ thuật toán học để phântích và đưa ra giải pháp Điều này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của cáckhái niệm toán học mà còn rèn luyện cho các em kỹ năng tư duy logic, phân tích và giải quyếtvấn đề Đặc biệt, việc sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế là một phương pháphiệu quả để phát triển năng lực này

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong giải tích, cho phép chúng tanghiên cứu sự biến đổi và tốc độ thay đổi của các hàm số Khả năng sử dụng đạo hàm để phântích và tối ưu hóa các vấn đề thực tế không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của cáckhái niệm toán học mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy, lập luận và giải quyết vấn đề một cáchlogic và hệ thống

Tuy nhiên, nhiều học sinh hiện nay gặp khó khăn trong việc mô hình hóa các bài toán thực

tế Khó khăn này xuất phát từ việc chuyển đổi từ ngôn ngữ của vấn đề thực tế sang ngôn ngữtoán học, xây dựng các mô hình phù hợp và giải quyết chúng bằng các công cụ toán học Đểkhắc phục điều này, việc rèn luyện giải các bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm được xem

là một phương pháp hữu hiệu

Thông qua quá trình tìm tòi lời giải các bài toán thực tế, học sinh không chỉ được trảinghiệm việc áp dụng kiến thức toán học vào các tình huống cụ thể mà còn phát triển khả năng

tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề Đồng thời, việc này cũng giúp các em hiểu rõhơn về sự liên kết giữa toán học và các lĩnh vực khác trong cuộc sống, từ đó tạo động lực họctập và khám phá thế giới xung quanh

Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh lớp 12 học tập một cách chủ động và làm tốt các bàitoán thực tế trong đề thi TN THPT năm 2024 đồng thời giúp học sinh lớp 12 năm học 2025tiếp cận mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông mới, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh

nghiệm với đề tài:

“Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua hướng dẫn tìm lời giải các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm ”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu nhằm phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh trongcác bài toán thực tế giúp các em có khả năng lấy được điểm cao trong kỳ thi Tốt nghiệpTHPT năm 2024 đồng thời giúp đồng nghiệp trong tổ chuyên môn có thêm nguồn tài liệutham khảo trong giảng dạy theo chương trình giáo dục phổ thông mới 2018

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Tìm lời giải cho các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm xuất hiện trongcác đề thi Tốt nghiệp THPT và nội dung chương trình giáo dục 2018 ở môn Toán cấp THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

-Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo

-Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: lấy phiếu thăm dò về mức độ hứng thú, thống kêđiểm kiểm tra của học sinh hai lớp thực nghiệm và đối chứng

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Khái niệm mô hình hoá Toán học và năng lực mô hình hoá Toán học.

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, việc phát triển năng lực mô hình hóa toánhọc cho học sinh là một trong những mục tiêu quan trọng Mô hình hóa toán học không chỉgiúp học sinh hiểu sâu hơn về kiến thức toán học mà còn giúp các em áp dụng toán học vàogiải quyết các vấn đề thực tiễn một cách hiệu quả Việc rèn luyện giải các bài toán thực tế làphương pháp hữu ích để phát triển năng lực này

Khái niệm mô hình hóa toán học:

Mô hình hóa toán học là quá trình sử dụng ngôn ngữ và phương pháp toán học để biểudiễn, phân tích và giải quyết các vấn đề từ thực tế Quá trình này bao gồm việc xây dựng các

mô hình toán học (dưới dạng các phương trình, bất phương trình, hàm số, đồ thị, ) từ cáchiện tượng thực tế, sau đó sử dụng các công cụ và kỹ thuật toán học để phân tích và đưa ragiải pháp cho các vấn đề đó

Vai trò của bài toán thực tế trong mô hình hóa toán học:

 Tạo động lực học tập: Bài toán thực tế giúp học sinh thấy được sự liên quan và ứng

dụng của toán học trong cuộc sống hàng ngày, từ đó tạo động lực học tập và khám phátoán học

 Phát triển tư duy: Giải quyết các bài toán thực tế yêu cầu học sinh phải tư duy logic,

phân tích vấn đề, lập luận và đưa ra các giả thuyết Quá trình này giúp các em pháttriển kỹ năng tư duy toán học

 Ứng dụng kiến thức: Các bài toán thực tế yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức toán

học đã học để giải quyết vấn đề Điều này giúp củng cố kiến thức và làm cho việc họctoán trở nên có ý nghĩa hơn

Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng của học sinh trong việc chuyển đổi các tình

huống thực tế hoặc các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày thành ngôn ngữ toán học, sử dụngcác công cụ và phương pháp toán học để phân tích, giải quyết và diễn giải kết quả Năng lựcnày bao gồm một loạt các kỹ năng và kiến thức giúp học sinh hiểu rõ và ứng dụng toán họcvào các tình huống cụ thể

Cụ thể, năng lực mô hình hóa toán học bao gồm các thành phần chính sau:

o Chuyển đổi vấn đề thực tế thành một mô hình toán học bằng cách sử dụng cáccông cụ và phương pháp toán học Điều này có thể bao gồm việc thiết lập cácphương trình, bất phương trình, hàm số hoặc các cấu trúc toán học khác.

Sử dụng công cụ toán học để giải quyết mô hình:

o Sử dụng các phương pháp và công cụ toán học như giải tích, đại số, xác suất,thống kê, v.v., để giải quyết mô hình đã thiết lập

Phân tích và diễn giải kết quả:

o Đánh giá kết quả thu được từ mô hình toán học và diễn giải chúng trong bốicảnh của vấn đề thực tế Học sinh cần xác định xem các kết quả có hợp lý vàkhả thi hay không

Điều chỉnh mô hình:

o Nếu cần thiết, điều chỉnh mô hình để phản ánh chính xác hơn vấn đề thực tế.Điều này có thể bao gồm việc thay đổi các giả định, điều chỉnh các biến sốhoặc sử dụng các phương pháp toán học khác

Trình bày và giao tiếp kết quả:

o Trình bày quá trình và kết quả của việc mô hình hóa một cách rõ ràng và logic,

sử dụng ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ thông thường để truyền đạt đến ngườikhác

Phát triển năng lực mô hình hóa toán học giúp học sinh không chỉ nắm vững kiến thức toánhọc mà còn có khả năng áp dụng chúng vào các tình huống thực tế, từ đó nâng cao khả năng

tư duy, giải quyết vấn đề và sáng tạo Đây là một trong những mục tiêu quan trọng củachương trình giáo dục phổ thông 2018, nhằm chuẩn bị cho học sinh những kỹ năng cần thiếttrong cuộc sống và công việc sau này

2.1.2 Ứng dụng của đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

=ïïî

 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f x( )

=ïïî

Định lý về sự tồn tại GTLN – GTNN: “ Nếu hàm số liên tục trên đoạn é ùê úë û thì đạt giá trị a b;

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó “.

n D

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Mô hình hóa toán học là một trong những năng lực cốt lõi được nhấn mạnh trong chươngtrình giáo dục phổ thông 2018 Việc áp dụng toán học vào giải quyết các bài toán thực tếkhông chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức mà còn phát triển kỹ năng tư duy và khảnăng giải quyết vấn đề Tuy nhiên, trong quá trình học tập, nhiều học sinh gặp khó khăn khithực hiện mô hình hóa các bài toán thực tế Bài viết này sẽ phân tích thực trạng này và đề xuấtmột số giải pháp khắc phục

-Khó khăn trong việc hiểu và xác định vấn đề thực tế

Một trong những khó khăn đầu tiên mà học sinh gặp phải là việc hiểu và xác định đúng vấn

đề thực tế Nhiều học sinh chưa có khả năng nhận diện các yếu tố quan trọng của vấn đề vàxác định mối quan hệ giữa chúng Điều này dẫn đến việc xây dựng mô hình không chính xáchoặc không đầy đủ

-Thiếu kỹ năng tư duy trừu tượng và logic

Mô hình hóa toán học đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy trừu tượng và logic Tuynhiên, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc chuyển đổi từ một tình huống cụ thể sang cácbiểu thức toán học Điều này đặc biệt khó khăn khi học sinh phải làm việc với các khái niệmtrừu tượng và phức tạp

-Thiếu kinh nghiệm và kỹ năng áp dụng công cụ toán học

Học sinh thường thiếu kinh nghiệm và kỹ năng sử dụng các công cụ toán học cần thiết choquá trình mô hình hóa Ví dụ, việc sử dụng các công cụ số học, hình học, và giải tích để thiếtlập và giải quyết các mô hình toán học đòi hỏi kỹ năng mà nhiều học sinh chưa được rènluyện đầy đủ

-Khó khăn trong việc kiểm tra và điều chỉnh mô hình

Một vấn đề khác là nhiều học sinh không biết cách kiểm tra và điều chỉnh mô hình sau khi

đã thiết lập Họ thiếu kỹ năng phân tích và đánh giá kết quả, dẫn đến việc sử dụng mô hìnhkhông hiệu quả hoặc sai lệch

-Thiếu sự hướng dẫn và hỗ trợ từ giáo viên

Giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc hướng dẫn học sinh phát triển năng lực môhình hóa toán học Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, giáo viên chưa đủ thời gian hoặc chưađược trang bị đầy đủ phương pháp giảng dạy để hỗ trợ học sinh Điều này làm cho học sinhkhó có thể tiến bộ trong việc mô hình hóa bài toán thực tế

-Tâm lý e ngại và thiếu tự tin

Nhiều học sinh cảm thấy e ngại và thiếu tự tin khi phải giải quyết các bài toán thực tế Sựphức tạp của các tình huống thực tế và áp lực từ việc phải tìm ra giải pháp đúng làm cho họcsinh dễ nản lòng và từ bỏ

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để khắc phục những khó khăn trên, cần có những giải pháp đồng bộ từ nhiều phía:

-Tăng cường hướng dẫn và hỗ trợ từ giáo viên:

Giáo viên cần được đào tạo và trang bị các phương pháp giảng dạy mới để hỗ trợ học sinhtrong quá trình mô hình hóa toán học Cần tạo ra môi trường học tập thân thiện, khuyến khíchhọc sinh đặt câu hỏi và thảo luận

-Phát triển kỹ năng tư duy trừu tượng và logic:

Các bài tập và hoạt động học tập cần được thiết kế để phát triển kỹ năng tư duy trừu tượng

và logic cho học sinh Cần tạo điều kiện cho học sinh thực hành và áp dụng các kiến thức toánhọc vào các tình huống thực tế

-Cung cấp các công cụ và tài liệu hỗ trợ:

Cần cung cấp cho học sinh các công cụ và tài liệu hỗ trợ để họ có thể thực hành mô hìnhhóa toán học một cách hiệu quả Ví dụ, sử dụng phần mềm toán học, ứng dụng công nghệthông tin trong giảng dạy và học tập

-Khuyến khích và tạo động lực cho học sinh:

Cần khuyến khích và tạo động lực cho học sinh bằng cách ghi nhận những nỗ lực và thànhcông của họ Tạo ra các hoạt động học tập thú vị và hấp dẫn để học sinh thấy được sự hứngthú và giá trị của việc học toán

-Tăng cường hợp tác và trao đổi kinh nghiệm:

Tạo điều kiện cho học sinh hợp tác và trao đổi kinh nghiệm với nhau Các hoạt động nhóm,

dự án học tập có thể giúp học sinh học hỏi lẫn nhau và phát triển kỹ năng mô hình hóa toánhọc

Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến việc sự dụng đạo hàm

có thể chia thành 2 phần lớn:

Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học Qua

các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng toán thường gặp là gì ?Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải quyết bài toán

mà họ đã đặt ra ?

Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo của hàm số thì trước tiên ta phải “thiết lập

được hàm số” Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho mô hình mô phỏng

thực tiễn Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi

đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.

Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến (Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tính

huống 1 biến).

Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình

thành ở bước 2 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa

2.3.2 Dạng 1 : Các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học

Ví dụ 1.( Bài toán vật lý) Một chất điểm chuyển động theo quy luật s t( ) =6t2- t3- 9t+1

● Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết v t( ) =s t'( )

Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong 5 giây đầu tiên tÎ ê úé ùë û thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học.0;5

Hướng dẫn giải

( ) '( ) 12 32 9, '( ) 6 12, '( ) 0 2

v t =s t = t- t - v t = - t+ v t = Û t=

.Lập bảng biến thiên ta có:

 Bình luận: Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý là rất đa dạng nhưng đặc biệt thể hiện rõ

nét nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại lượng quãng đường, vận tốc và thời gian Không chỉ riêng ở các bài toán chuyển động như vậy, ta còn bắt gặp các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở các bài toán khác Mời bạn đọc tiếp tục theo dõi các bài toán tiếp theo sau để hiểu rõ hơn.

Ví dụ 2 Khi cá hồi bơi với tốc độ v km h( / )

ngược dòng nước, năng lượng sản ra của nótrên một đơn vị thời gian là v 3 ( )J

, đơn vị là Jun Người ta thấy rằng, khi cá di cư cố gắngcực tiểu hóa năng lượng tổng thể để bơi một cách nhất định Nếu vận tốc dòng nước là

- trong đó q là hằng số dương Để giảm thiểu tối đa năng lượng khi bơi

quãng đường L thì tốc độ v cần thỏa mãn

a

v =

C

52

a

v =

D

72

 Bình luận: trong thực tế, khi khảo sát việc bơi ngược dòng của những chú cá này, ta thấy

tốc độ của chúng gần gấp 1,5 lần tốc độ của dòng nước.

Ví dụ 3 Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản phẩm, biết nhu

cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là

đơn vị sản phẩm sản xuất ra sao cho thu được lợi nhuận là cao nhất

 Phân tích: ta có thể tổng quát bài toán như sau

● Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị thời gian là Q =Q P( )

và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là C =C Q( )

Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiều thuế nhất.

● Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0

Gọi t là mức thuế cần định trên một đơn vị sản phẩm sao cho thuế thu

được là cao nhất Ta có thuế mà doanh nghiệp phải nộp là T t( ) =tQ

Doanh thu mà doanh nghiệp có được sẽ là D Q( ) =P Q =(15000 3 - Q Q)

Suy ra lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sẽ là:L Q( ) =D Q( ) - C Q( ) - T t( )

1

1600 0

64001

 Bình luận: Trong thực tế, thì tùy vào các mặt hàng sản xuất từ xuất

khẩu đến nhập khẩu mà có thể chịu các loại thuế khác nhau Trên đây chỉ

là 1 tình huống ta xét tương ứng với mức thuế cần định cho sản phẩm để đạt được lợi nhuận cao nhất.

Do bài toán đã cho sẵn hàm nên ta không quá khó để vận dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên Tuy nhiên với các bài toán cần phải có một bước thiết lập hàm thì không dễ chút nào Các bài toán tiếp theo ta sẽ thấy rõ hơn.

2.3.2 Dạng 2 : Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn

chưa chuyển về mô hình toán học.

Ví dụ 4 Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách

nhau 5 hải lý Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu A chạy vềhướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại củatàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ Hãy xác định thời điểm mà

khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất ?

 Phân tích:

cần hiểu đôi chút về khái niệm vĩ tuyến và kinh tuyến ? Trên Trái Đất hay các hành tinh hoặc thiên

thể hình cầu, vĩ tuyến là một vòng tròn tưởng

tượng nối tất cả các điểm có cùng vĩ độ Trên Trái Đất, vòng tròn này có hướng

từ đông sang tây Vị trí trên vĩ tuyến được xác định bằng kinh độ Một vĩ tuyến luôn vuông

góc với một kinh tuyến tại giao điểm giữa chúng Các vĩ tuyến ở gần cực Trái Đất có đường kính nhỏ hơn (theo wikipedia.org).

Kinh tuyến là một nửa đường tròn trên bề mặt Trái Đất, nối liền hai Địa cực, có độ dài

khoảng 20.000 km, chỉ hướng bắc-nam và cắt thẳng góc với đường xích đạo Mặt phẳng của kinh tuyến 0° (chạy qua đài quan sát thiên văn tại Greenwich thuộc Luân Đôn) và kinh tuyến 180°, chia Trái Đất ra làm hai bán cầu – Bán cầu đông và Bán cầu tây.(theo wikipedia.org).

● Như vậy khi các tàu, thuyền đi trên biển chúng ta sẽ dùng một đơn vị đo khoảng cách khác

là hải lý (1 hải lý = 1852 mét) Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có thể gọi t là thời gian

mà sau khi xuất 2 tàu cách nhau một khoảng d.

● Khi đó d=A B1 12=AB12+AA12 Trong đó AA1 chính là quãng đường của tàu A đi được Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 5 hải lý theo đường vĩ tuyến, nên ta có thể tính

Và AA1là quãng đường tàu A đi được AA1=v t A =6t

Suy ra d= 85t2- 70t+25 Đặt f t( ) = 85t2- 70t+25

với t >0 Bài toán trở thành tìm min(0; ) ( ) ?

(hoặc sử dụng cực trị của parabol)

Ví dụ 5 Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a b´ với a< Người ta cắt bỏ 4b

hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp Hỏi cạnhcủa hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất ?

 Phân tích:

● Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình vuông cắt đi.

Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x Do khi đó 1 cạnh của tấm nhôm sau khi

< <

.

● Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại

là b- 2x > Đến đây ta cần thiết lập công thức tính thể0

V x

æ ö÷

ç ÷ç

V x

æ ö÷

ç ÷ç

Îç ÷÷

çè ø

= Đạo hàm V '=f x'( ) =12x2- 4(a b x ab+ ) +

Do đó V =' 0 luôn có hai nghiệm phân biệt

● Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi

 Bình luận: Qua bài toán

này ta cần lưu ý:

Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng Chúng ta không nên chỉ ghi

0

x > theo cách hiểu số đo đại số là một số dương

Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này không thể giải

quyết tiếp được Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế.

Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V x ='( ) 0

cũng như lập bảng biến thiên của V x( )

không hề đơn giản chút nào, đòi hỏi ở người giải phải có kỹ năng tốt trong biến đổi đại số.

Ví dụ 6 Có một cơ sở in sách xác định rằng: Diện tích của toàn

● Rõ ràng đây là một bài toán vô cùng thực tế mà ta thấy

hàng ngày Khi cầm trên tay quyển sách này nếu bạn tinh ý sẽ biết ngay nó thuộc khổ 20 30x và một số cuốn sách của nhà sách Khang Việt cũng có ở khổ 16 24x Như vậy họ đã tính toán như thế nào để có thể đưa được tỉ lệ giữa các kích thước của trang sách như vậy ? Chúng ta thử trở lại bài toán này, giải quyết câu hỏi của nó để tìm câu trả lời nhé !