skkn cấp tỉnh sử dụng giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán thực tế dưới dạng bài tập trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTCỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ,

DƯỚI DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Người thực hiện: Lê Thị Thúy Hằng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2024

MỤC LỤC

I ĐẶT VẤN ĐỀ 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3

1 Tên sáng kiến kinh nghiệm 3

2 Thực trạng giải pháp đã biết 3

3 Nội dung đề tài 4

3.1 Cơ sở lý thuyết 4

3.2 Sử dụng GTLN - GTNN vào giải bài toán Hình học 5

3.3 Sử dụng GTLN - GTNN vào giải bài toán Vật lý 9

3.4 Sử dụng GTLN-GTNN vào giải bài toán kinh tế 13

3.5 Sử dụng GTLN - GTNN trong Đời sống và các lĩnh vực khác 15

III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

I ĐẶT VẤN ĐỀ1 Lý do chọn đề tài

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 định hướng: “Giáo dục toán họcgóp phần hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất chủ yếu, nănglực chung và năng lực Toán học, biểu hiện tập trung của năng lực tính toán vớicác thành phần sau: Tư duy và lập luận toán học, mô hình hóa toán học, giảiquyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, sử dụng công cụ và phương tiện họctoán, phát triển kiến thức kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh trảinghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn Giáo dục toán học tạo lập sự kết nốigiữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với thực tiễn”

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, do đó lý thuyết toán học dù trừu tượngđến đâu chúng ta đều tìm thấy ứng dụng của nó trong thực tế cuộc sống Có rấtnhiều bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất như làmthế nào để giảm chi phí sản xuất xuống thấp nhất, mà lợi nhuận đạt được là caonhất, các bài toán về vận tốc Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy tại trườngTHPT Lê Hồng Phong tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việctiếp cận, lựa chọn kiến thức để giải quyết các bài toán đó Chính vì vậy tôi viết

sáng kiến “Sử dụng Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải cácbài toán thực tế, dưới dạng bài tập trắc nghiệm” Trong phạm vi sáng kiến của

mình, tôi đề cập tới áp dụng các kiến thức về đạo hàm để giải các bài toán vềvận tốc, diện tích, thể tích, và các bài toán kinh tế.

Tôi hi vọng rằng, với đề tài này sẽ giúp ích phần nào cho học sinh trườngTHPT Lê Hồng Phong có thêm tài liệu tham khảo để nghiên cứu, học tập, cácthầy cô đồng nghiệp có thêm tài liệu để tham khảo, giảng dạy có hiệu quả.

2 Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2022 – 2023 và học kỳ I năm học 2023 - 2024.- Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất củahàm số vào giải các bài toán thực tế, dưới dạng bài tập trắc nghiệm.

- Khách thể: Học sinh lớp 12 trường THPT Lê Hồng Phong - TX Bỉm Sơn- Thanh Hóa

- Tài liệu sử dụng cho học sinh và giáo viên trường THPT Lê Hồng Phong- TX Bỉm sơn - Thanh Hóa.

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ1 Tên sáng kiến kinh nghiệm

Sử dụng Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải quyết cácbài toán thực tế, dưới dạng bài tập trắc nghiệm.

2 Thực trạng giải pháp đã biết

Thông qua việc trực tiếp giảng dạy tại trường THPT Lê Hồng Phong vàtrao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tôi nhận thấy các em còn hạn chế trongviệc giải những bài toán thực tế, đặc biệt là việc lựa chọn kiến thức liên quan.

Các kiến thức về bài toán thực tế thông qua bài toán tìm Giá trị lớn nhất – Giá trịnhỏ nhất của hàm số được sử dụng rất ít, chủ yếu chỉ được giới thiệu qua chohọc sinh tự nghiên cứu (như bài toán vận tốc tức thời, cường độ dòng điện tứcthời ) Các phương pháp giải quyết những bài toán thực tế ứng dụng của giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cũng không nhiều, chưa phát huy hết tínhsáng tạo trong việc giải các dạng toán này.

Xuất phát từ thực trạng đó tôi thiết nghĩ cần tăng cường rèn luyện cho họcsinh khả năng giải quyết các tình huống thực tiễn liên quan đến việc ứng dụngGiá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Tôi đã tiến hành tổng hợp kết quả kiểm tra Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏnhất của hàm số của học sinh các lớp 12C6, 12C7 Trường THPT Lê HồngPhong - TX Bỉm Sơn - Thanh Hóa sau khi kết thúc Chương I - Giải tích 12 - họckỳ I năm học 2023 - 2024 theo bảng sau:

LớpSố HS0 1 2 34Điểm số5 67 8 9 10trên TBĐiểm

Do đây là phần nội dung kiến thức không mới nhưng ít được nghiêncứu, nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nêntôi chọn nghiên cứu nội dung này nhằm: tìm ra những phương pháp truyềnđạt phù hợp với học sinh, giúp các em hiểu sâu hơn và có kỹ năng tốt để giảibài toán thực tế thông qua việc giải bài toán Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số dưới dạng bài tập trắc nghiệm nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khókhăn mà học sinh thường hay mắc mỗi khi gặp phải dạng bài tập này, với mongmuốn nâng dần chất lượng dạy và học cho các em học sinh trường THPT LêHồng Phong.

Các kiến thức về bài toán thực tế mà sử dụng Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏnhất của hàm số là cơ sở để đưa đến cho các em học sinh một phương pháp

nghiên cứu mới Để đạt được mục đích trên, trong quá trình giảng dạy trên lớp,

tôi tập trung giải quyết những vấn đề sau:

+ Trình bày tổng quan về phương pháp tìm Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏnhất của hàm số để giải các bài toán thực tế Đây cũng là nền tảng kiến thức đểcác em khái quát hóa, mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn.

+ Các bài tập có hướng dẫn giải, một số bài toán thực tế, ứng dụng Giá trị

lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.+ Thực nghiệm sư phạm.

3 Nội dung đề tài

3.1 Cơ sở lý thuyết

a) Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số xác định trong khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng)

trị lớn nhất của hàm số trên khoảng K Kí hiệu:

trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K Kí hiệu:

b) Phương pháp tìm GTLN, GTNN.

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K:

Phương pháp: Lập bảng biến thiên trên khoảng K, rồi nhìn trên đó để kết

luận max, min.

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên trên khoảng đó và kết luận.

Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì ta có các

bước làm sau:

1 Tính đạo hàm của hàm số đã cho.

2 Tìm các điểm trên đoạn , tại đó hoặc không xác định.

4 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên (ở mục a)Khi đó:

Chú ý:

1 Hàm số liên tục trên đoạn thì hàm số f(x) luôn tồn tạigiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tất cả các giá trị trung gian nằm giữa giá trịnhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn đó.

2 Nếu đề bài không cho rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàmsố trên khoảng, đoạn nào cón nghĩa là ta tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tậpxác định của hàm số đó.

3.2 Sử dụng GTLN - GTNN vào giải bài toán Hình học

Bài toán 1: Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật

(không nắp) bằng tôn thể tích Chiếc thùng này có đáy là hình vuôngcạnh , chiều cao Để làm chiếc thùng, bác thợ phải cắt một miếngtôn như hình vẽ Tìm để bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất.

A B C D

Hướng dẫn giảiChọn C

Ta có thể tích hình hộp là: Diện tích toàn phần là:

Lập bảng biến thiên ta thấy khi thì S đạt giá trị nhỏ nhất

Vậy để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì bác thợ xây phải cắt một miếng tôncó đáy là hình vuông cạnh

Bài toán 2: Một khúc gỗ có dạng hình

khối nón có bán kính đáy bằng , chiều cao Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đóthành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ nhưhình vẽ Gọi là thể tích lớn nhất của khúc gỗhình trụ sau khi chế tác Tính

A B

Hướng dẫn giảiChọn D

Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là ,

Ta có:

Thể tích khối trụ:,

Khi đó ta có thể suy ra được với thì V đạt giá trị lớn nhất bằng

Bài toán 3: Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình

và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình Biếtcạnh hình vuông bằng , Tìm đểhình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất?

Hướng dẫn giảiChọn B

C

Dấu xảy ra khi

Bài toán 4: Người ta thiết kế một thùng chứa

hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định Biết

rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùngbằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu đểlàm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơnvị diện tích) Gọi chiều cao của thùng là và bánkính đáy là Tính tỉ số sao cho chi phí vật liệusản xuất thùng là nhỏ nhất?.

Hướng dẫn giảiChọn D

Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là và giá chomỗi đơn vị diện tích bằng

thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hìnhdạng là một khối trụ Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đãhoàn thiện.

A B C D Hướng dẫn giải

O

Xét hàm số , có.

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ

3.3 Sử dụng GTLN - GTNN vào giải bài toán Vật lý

Bài toán 6: Một chất điểm chuyển động theo quy luật

Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khit bằng bao nhiêu?

Ta có:

Vậy vận tốc của chuyển động đạt GTLN khi t=1 Chọn D.

Bài toán 7: Một nguồn điện với suất điện động

E và điện trở r được nối với một biến trở R như hìnhvẽ Với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt

trên toàn mạch sẽ đạt cực đại?

1 chiều đã được học ở lớp dưới: Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ là và đồng thời cường độ dòng điện trong mạch sẽ là

- Đến đây ta thấy P có thể tính theo R và r Và do đó ta có thể vận dụngkiến thức về đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Hướng dẫn giải

Theo công thức công suất tỏa nhiệt ta có: với

Xét hàm số , với R > 0Ta tìm

Bài toán 8: Hai con tàu A và B

đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau5 hải lý Đồng thời cả hai tàu cùng khởihành, tàu A chạy về hướng Nam với 6hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiệntại của tàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ.

Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất?

Phân tích: Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có thể gọi t là thời gian

mà sau khi xuất phát 2 tàu cách nhau một khoảng d.

- Khi đó, Trong đó, AA1 chính là quãng đườngcủa tàu A đi được Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 5 hải lý theo đường vĩtuyến, nên ta có thể tính

- Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc vàthời gian là:

Lập bảng biến thiên ta thấy:

Chú ý: Ta có thêm một cách tìm như sau:

(hoặc sử dụng cực trị của Parabol).

Đáp án A.

Bài toán 9: Một kho hàng được đặt tại ví trí A trên bến cảng cần được

chuyển tới kho C trên một đảo, biết rằng khoảng cách ngắn nhất từ kho C đến bờbiển AB bằng độ dài và khoảng cách giữa 2 điểm là Chi phí để vận chuyển toàn bộ kho hàng bằng đường bộ là300.000 đồng/km, trong khi đó chi phí vận chuyển hàng bằng đường thủy là500.000 đồng/km Hỏi phải chọn điểm trung chuyển hàng D (giữa đường bộ vàđường thủy) cách kho A một khoảng bằng bao nhiêu thì tổng chi phí vận chuyểnhàng từ kho A đến kho C là ít nhất?

Hướng dẫn giảiChọn C

Chi phí vận chuyển hàng là :

3.4 Sử dụng GTLN-GTNN vào giải bài toán kinh tế

Bài toán 10: Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho ra

một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Traivới thiết kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ,bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu đểđựng kem dưỡng da như hình vẽ Theo dự kiến, nhà sảnxuất có dự định để khối cầu có bán kính là

Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp làlớn nhất ( với mục đích thu hút khách hàng)

Phân tích:

Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa quả cầu như hình vẽ bên Gọi lần lượt làchiều cao và bán kính của hình trụ.

Ta thấy rằng thể tích của khối trụ sẽ là (phụ thuộc theo hai biếnvà

Ta lại có mối liên hệ giữa chúng là Để thuận tiện ta sẽ tính theo

Bài toán 11: Một nhà sản xuất bóng đèn với giá là 30USD, tại giá bán

này khách hàng sẽ mua 3000 bóng mỗi tháng Nhà sản xuất dự định tăng giá bánvà họ ước tính rằng cứ giá mà tăng lên 1USD thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100bóng Biết rằng nhà sản xuất bóng đèn với chi phí 18USD mỗi bóng Hỏi nhàsản xuất tăng giá bán là bao nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Gọi là giá bán mới

Với giá bán mới, lượng bóng đèn bán ra sẽ giảm Số bóng đèn bán hàng tháng theo giá mới là

Lợi nhuận mỗi bóng sẽ là

Lợi nhuận thu được hàng tháng là:

Ta có

Lập bảng biến thiên ta suy ra Vậy nhà sản xuất cần tăng 9USD.

Đáp án C.

Bài toán 12: Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản phẩm, biết

nhu cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là

bán của một sản phẩm Hãy xác định mức thuế cần định trên một đơn vị sảnphẩm sản xuất ra sao cho thu được lợi nhuận là cao nhất.

A B C D

* Nhận xét: Ta có thể tổng quát bài toán như sau:

Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầutrong một đơn vị thời gian là và hàm chi phí sản xuất trong một đơnvị thời gian là Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phảm của xínghiệp để thu được nhiều thuế nhất.

Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là

Ta có:

Lợi nhuận của xí nghiệp là:

Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức: để đạt giá trị lớn nhất.Do đó thuế thu được sẽ là: , từ đây ta xác định t để

Doanh thu mà danh nghiệp có được sẽ là

Suy ra lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sẽ là

Để công ty nộp thuế cao nhất trước hết lợi nhuận thu được của doanhnghiệp là cao nhất Khi đó ta cần :

Vậy thuế mà doanh nghiệp phải nộp là:

Theo yêu cầu đề bài ta có:

Với mức thuế (đơn vị tiền tệ) cho một đơn vị sản phẩm thì doanhnghiệp sẽ thu được lợi nhuận cao nhất là Đáp án C.

Nhận xét: Trong thực tế, tùy vào các mặt hàng sản xuất từ xuất khẩu đến

nhập khẩu mà có thể chịu các loại thuế khác nhau Trên đây chỉ là một tìnhhuống ta xét tương ứng với mức thuế cần định cho sản phẩm để đạt được lợinhận cao nhất.

3.5 Sử dụng GTLN - GTNN trong Đời sống và các lĩnh vực khác

Bài toán 13: Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được

cấy vào Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gianbởi quy luật (con vi khuẩn), trong đó là thời gian (đơn vịgiây) Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vikhuẩn tăng lên là lớn nhất?

Nhận xét: Tương tự như những bài toán trước, do đề bài đã mô hình hóa

bài toán dưới dạng hàm nên ta chỉ cần vân dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìmđược số lượng tăng nhanh nhất của vi khuẩn.

Đựa vào bảng biến thiên, ta kết luận

Bài toán 14: Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bởi công thức

với là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân( ) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết ápgiảm nhiều nhất và tính độ giảm?

Ta có bảng biến thiên sau:

Đáp án A.

Bài toán 15: Trong lĩnh vực thủy lợi,

cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nướcdạng “thủy động học” (Kí hiệu diện tích tiếtdiện ngang của mương là là độ dàiđường biên giới hạn của tiết diện này, - đặctrưng cho khả năng thấm nước của mương;

mương được gọi là có dạng thủy động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất).Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thủyđộng học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật).

Hướng dẫn giải.

Gọi lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương.

Theo đề bài ra ta có:

Xét hàm số Bài toán trở thành tìm Ta có:

Cho

Lập bảng biến thiên suy ra

Do đó mương có dạng thủy động học khi kích thước của mương là

Đáp án A.

III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Tôi tiến hành thực nghiệm tại trường THPT Lê Hồng Phong - TX BỉmSơn - Tỉnh Thanh Hóa

+ Lớp thực nghiệm: 43 HS lớp 12C6 (Kỳ I năm học 2023- 2024).+ Lớp đối chứng: 42 HS lớp 12C7 (Kỳ I năm học 2023- 2024).

Hai lớp đối chứng và thực nghiệm không có sự khác biệt nhau, về trình độnhận thức cũng như về nề nếp và ý thức học tập

Kết quả thực nghiệm được tổng hợp trong bảng dưới đây:

Mức độ nhận thứcLớp thực nghiệmLớp đối chứngSố lượngTỉ lệ %Số lượngTỉ lệ

Nhận xét: Tổng hợp số liệu điểm kiểm tra đối với hai lớp thực nghiệm và

lớp đối chứng (bảng trên) cho thấy ở lớp thực nghiệm số học sinh giỏi, khá cao