skkn cấp tỉnh sử dụng giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán thực tế dưới dạng bài tập trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ, DƯỚI DẠNG BÀI TẬP TR

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ,

DƯỚI DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Người thực hiện: Lê Thị Thúy Hằng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2024

MỤC LỤC

I ĐẶT VẤN ĐỀ 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3

1 Tên sáng kiến kinh nghiệm 3

2 Thực trạng giải pháp đã biết 3

3 Nội dung đề tài 4

3.1 Cơ sở lý thuyết 4

3.2 Sử dụng GTLN - GTNN vào giải bài toán Hình học 5

3.3 Sử dụng GTLN - GTNN vào giải bài toán Vật lý 9

3.4 Sử dụng GTLN-GTNN vào giải bài toán kinh tế 13

3.5 Sử dụng GTLN - GTNN trong Đời sống và các lĩnh vực khác 15

III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 định hướng: “Giáo dục toán học góp phần hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực Toán học, biểu hiện tập trung của năng lực tính toán với các thành phần sau: Tư duy và lập luận toán học, mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, sử dụng công cụ và phương tiện học toán, phát triển kiến thức kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn Giáo dục toán học tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với thực tiễn”

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, do đó lý thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu chúng ta đều tìm thấy ứng dụng của nó trong thực tế cuộc sống Có rất nhiều bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất như làm thế nào để giảm chi phí sản xuất xuống thấp nhất, mà lợi nhuận đạt được là cao nhất, các bài toán về vận tốc Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy tại trường THPT Lê Hồng Phong tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp cận, lựa chọn kiến thức để giải quyết các bài toán đó Chính vì vậy tôi viết

sáng kiến “Sử dụng Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán thực tế, dưới dạng bài tập trắc nghiệm” Trong phạm vi sáng kiến của

mình, tôi đề cập tới áp dụng các kiến thức về đạo hàm để giải các bài toán về vận tốc, diện tích, thể tích, và các bài toán kinh tế

Tôi hi vọng rằng, với đề tài này sẽ giúp ích phần nào cho học sinh trường THPT Lê Hồng Phong có thêm tài liệu tham khảo để nghiên cứu, học tập, các thầy cô đồng nghiệp có thêm tài liệu để tham khảo, giảng dạy có hiệu quả

2 Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2022 – 2023 và học kỳ I năm học 2023 - 2024

- Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán thực tế, dưới dạng bài tập trắc nghiệm

- Khách thể: Học sinh lớp 12 trường THPT Lê Hồng Phong - TX Bỉm Sơn

- Thanh Hóa

- Tài liệu sử dụng cho học sinh và giáo viên trường THPT Lê Hồng Phong

- TX Bỉm sơn - Thanh Hóa

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Tên sáng kiến kinh nghiệm

Sử dụng Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải quyết các bài toán thực tế, dưới dạng bài tập trắc nghiệm

2 Thực trạng giải pháp đã biết

Thông qua việc trực tiếp giảng dạy tại trường THPT Lê Hồng Phong và trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tôi nhận thấy các em còn hạn chế trong việc giải những bài toán thực tế, đặc biệt là việc lựa chọn kiến thức liên quan

Các kiến thức về bài toán thực tế thông qua bài toán tìm Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số được sử dụng rất ít, chủ yếu chỉ được giới thiệu qua cho học sinh tự nghiên cứu (như bài toán vận tốc tức thời, cường độ dòng điện tức thời ) Các phương pháp giải quyết những bài toán thực tế ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cũng không nhiều, chưa phát huy hết tính sáng tạo trong việc giải các dạng toán này

Xuất phát từ thực trạng đó tôi thiết nghĩ cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết các tình huống thực tiễn liên quan đến việc ứng dụng Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tôi đã tiến hành tổng hợp kết quả kiểm tra Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số của học sinh các lớp 12C6, 12C7 Trường THPT Lê Hồng Phong - TX Bỉm Sơn - Thanh Hóa sau khi kết thúc Chương I - Giải tích 12 - học

kỳ I năm học 2023 - 2024 theo bảng sau:

Lớp Số HS 0 1 2 3 4 Điểm số 5 6 7 8 9 10 trên TB Điểm

Dựa vào bảng số liệu trên tôi nhận thấy, kết quả đạt được của học sinh hai lớp là chưa cao Điểm số mà các em học sinh đạt được chủ yếu là điểm yếu, điểm trung bình và khá giỏi rất ít và không có học sinh đạt điểm 10 tối đa Điều

đó chứng tỏ phần đông các học sinh còn chưa hiểu rõ bản chất của phần kiến thức về giải bài toán thực tế Đây là thực trạng rất cần được khắc phục ở các khóa học sau

Do đây là phần nội dung kiến thức không mới nhưng ít được nghiên cứu, nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi chọn nghiên cứu nội dung này nhằm: tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, giúp các em hiểu sâu hơn và có kỹ năng tốt để giải bài toán thực tế thông qua việc giải bài toán Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số dưới dạng bài tập trắc nghiệm nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay mắc mỗi khi gặp phải dạng bài tập này, với mong muốn nâng dần chất lượng dạy và học cho các em học sinh trường THPT Lê Hồng Phong

Các kiến thức về bài toán thực tế mà sử dụng Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số là cơ sở để đưa đến cho các em học sinh một phương pháp

nghiên cứu mới Để đạt được mục đích trên, trong quá trình giảng dạy trên lớp,

tôi tập trung giải quyết những vấn đề sau:

+ Trình bày tổng quan về phương pháp tìm Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải các bài toán thực tế Đây cũng là nền tảng kiến thức để các em khái quát hóa, mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn

+ Các bài tập có hướng dẫn giải, một số bài toán thực tế, ứng dụng Giá trị

lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.

+ Thực nghiệm sư phạm

3 Nội dung đề tài

3.1 Cơ sở lý thuyết

a) Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số xác định trong khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng)

trị lớn nhất của hàm số trên khoảng K Kí hiệu:

trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K Kí hiệu:

b) Phương pháp tìm GTLN, GTNN.

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K:

Phương pháp: Lập bảng biến thiên trên khoảng K, rồi nhìn trên đó để kết

luận max, min

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên trên khoảng đó và kết luận.

Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì ta có các

bước làm sau:

1 Tính đạo hàm của hàm số đã cho

2 Tìm các điểm trên đoạn , tại đó hoặc không xác định

4 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên (ở mục a)

Khi đó:

Chú ý:

1 Hàm số liên tục trên đoạn thì hàm số f(x) luôn tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tất cả các giá trị trung gian nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn đó

2 Nếu đề bài không cho rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số trên khoảng, đoạn nào cón nghĩa là ta tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định của hàm số đó

h h

x

x

3 Tính đạo hàm Nếu

4 Tính đạo hàm Nếu

3.2 Sử dụng GTLN - GTNN vào giải bài toán Hình học

Bài toán 1: Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật

(không nắp) bằng tôn thể tích Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh , chiều cao Để làm chiếc thùng, bác thợ phải cắt một miếng tôn như hình vẽ Tìm để bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất

A B C D

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có thể tích hình hộp là:

Diện tích toàn phần là:

Lập bảng biến thiên ta thấy khi thì S đạt giá trị nhỏ nhất

Vậy để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì bác thợ xây phải cắt một miếng tôn

có đáy là hình vuông cạnh

Bài toán 2: Một khúc gỗ có dạng hình

khối nón có bán kính đáy bằng , chiều cao

Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó

thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như

hình vẽ Gọi là thể tích lớn nhất của khúc gỗ

hình trụ sau khi chế tác Tính

A B

Hướng dẫn giải

Chọn D

Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là ,

Ta có:

Thể tích khối trụ:

,

Khi đó ta có thể suy ra được với thì V đạt giá trị lớn nhất bằng

Bài toán 3: Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình

và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình Biết

cạnh hình vuông bằng , Tìm để

hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Chọn B

2-x x

h h'

A B

O S

H x

Å

O

Å

M Å

D

Å

A Å

C

Dấu xảy ra khi

Bài toán 4: Người ta thiết kế một thùng chứa

hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định Biết

rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng

bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để

làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn

vị diện tích) Gọi chiều cao của thùng là và bán

kính đáy là Tính tỉ số sao cho chi phí vật liệu

sản xuất thùng là nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

Chọn D

Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là và giá cho mỗi đơn vị diện tích bằng

Diện tích mặt đáy

Suy ra giá vật liệu để làm hình trụ là

Bài toán 5: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính , người thợ

thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện

A B C D

Hướng dẫn giải

Chọn B

Giả sử là chiều cao hình trụ (xem

hình vẽ)

Bán kính của khối trụ là Thể tích

R x

x

O

Xét hàm số , có

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ

3.3 Sử dụng GTLN - GTNN vào giải bài toán Vật lý

Bài toán 6: Một chất điểm chuyển động theo quy luật

Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi

t bằng bao nhiêu?

Giải:

Ta có:

BBT

Vậy vận tốc của chuyển động đạt GTLN khi t=1 Chọn D

Bài toán 7: Một nguồn điện với suất điện động

E và điện trở r được nối với một biến trở R như hình

vẽ Với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt

trên toàn mạch sẽ đạt cực đại?

*Phân tích:

- Để làm được dạng toán này, trước tiên ta cần có kiến thức về dòng điện

1 chiều đã được học ở lớp dưới: Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ là

và đồng thời cường độ dòng điện trong mạch sẽ là

- Đến đây ta thấy P có thể tính theo R và r Và do đó ta có thể vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P

Hướng dẫn giải

Theo công thức công suất tỏa nhiệt ta có: với

Xét hàm số , với R > 0

Ta tìm

Lập bảng biến thiên, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Nhận xét: Ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy để giải nhanh bài toán như sau:

Ta có:

Do

Bài toán 8: Hai con tàu A và B

đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau

5 hải lý Đồng thời cả hai tàu cùng khởi

hành, tàu A chạy về hướng Nam với 6

hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện

tại của tàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ

Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất?

Phân tích: Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có thể gọi t là thời gian

mà sau khi xuất phát 2 tàu cách nhau một khoảng d

- Khi đó, Trong đó, AA1 chính là quãng đường của tàu A đi được Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 5 hải lý theo đường vĩ tuyến, nên ta có thể tính

- Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và

thời gian là:

Hướng dẫn giải

Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d Khi đó, tàu A đang ở vị trí A1 và tàu B đang ở vị trí B1 như hình vẽ

Ta có

Với BB1 là quãng đường tàu B đi được

Và AA1 là quãng đường tàu A đi được

Bài toán trở thành tìm

Ta có:

Lập bảng biến thiên ta thấy:

Chú ý: Ta có thêm một cách tìm như sau:

(hoặc sử dụng cực trị của Parabol).

Đáp án A.

Bài toán 9: Một kho hàng được đặt tại ví trí A trên bến cảng cần được

chuyển tới kho C trên một đảo, biết rằng khoảng cách ngắn nhất từ kho C đến bờ biển AB bằng độ dài và khoảng cách giữa 2 điểm là

Chi phí để vận chuyển toàn bộ kho hàng bằng đường bộ là 300.000 đồng/km, trong khi đó chi phí vận chuyển hàng bằng đường thủy là 500.000 đồng/km Hỏi phải chọn điểm trung chuyển hàng D (giữa đường bộ và đường thủy) cách kho A một khoảng bằng bao nhiêu thì tổng chi phí vận chuyển hàng từ kho A đến kho C là ít nhất?

Hướng dẫn giải

Chọn C

Chi phí vận chuyển hàng là :

3.4 Sử dụng GTLN-GTNN vào giải bài toán kinh tế

Bài toán 10: Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho ra

một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai

với thiết kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ,

bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để

đựng kem dưỡng da như hình vẽ Theo dự kiến, nhà sản

xuất có dự định để khối cầu có bán kính là

Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất ( với mục đích thu hút khách hàng)

Phân tích:

Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa quả cầu như hình vẽ bên Gọi lần lượt là chiều cao và bán kính của hình trụ.

Ta thấy rằng thể tích của khối trụ sẽ là (phụ thuộc theo hai biến

và

Ta lại có mối liên hệ giữa chúng là Để thuận tiện ta sẽ tính theo

Hướng dẫn giải

Ta có Lại có

Bài toán trở thành tìm

Lập bảng biến thiên ta có:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Bài toán 11: Một nhà sản xuất bóng đèn với giá là 30USD, tại giá bán

này khách hàng sẽ mua 3000 bóng mỗi tháng Nhà sản xuất dự định tăng giá bán

và họ ước tính rằng cứ giá mà tăng lên 1USD thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 bóng Biết rằng nhà sản xuất bóng đèn với chi phí 18USD mỗi bóng Hỏi nhà sản xuất tăng giá bán là bao nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Gọi là giá bán mới

Với giá bán mới, lượng bóng đèn bán ra sẽ giảm

Số bóng đèn bán hàng tháng theo giá mới là

Lợi nhuận mỗi bóng sẽ là

Lợi nhuận thu được hàng tháng là:

Ta có

Lập bảng biến thiên ta suy ra

Vậy nhà sản xuất cần tăng 9USD

Đáp án C.

Bài toán 12: Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản phẩm, biết

nhu cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là

bán của một sản phẩm Hãy xác định mức thuế cần định trên một đơn vị sản phẩm sản xuất ra sao cho thu được lợi nhuận là cao nhất

A B C D

* Nhận xét: Ta có thể tổng quát bài toán như sau:

Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị thời gian là và hàm chi phí sản xuất trong một đơn

vị thời gian là Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phảm của xí nghiệp để thu được nhiều thuế nhất.

Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là

Ta có:

Lợi nhuận của xí nghiệp là:

Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức: để đạt giá trị lớn nhất.

Do đó thuế thu được sẽ là: , từ đây ta xác định t để

Hướng dẫn giải

Gọi là số sản phẩm mà doanh nghiệp cần sản xuất

Khi ấy ta có

Gọi là mức thuế cần định trên một đơn vị sản phẩm sao cho thuế thu được là cao nhất Ta có thuế mà doanh nghiệp phải nộp là

Doanh thu mà danh nghiệp có được sẽ là

Suy ra lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sẽ là