skkn cấp tỉnh phân loại và phương pháp giải toán tính đơn điệu của hàm số cho học sinh lớp 12 trường thpt mường lát tỉnh thanh hóa

TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN “TÍNHĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” CHO HỌC SINH LỚP 12TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT, TỈNH THANH HÓA

Người thực hiện: Lại Văn Chung Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Môn Toán

THANH HÓA, NĂM 2024

TTNội dungTrang

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiếnkinh nghiệm.

32.3 Giải pháp phân loại và phương pháp giải toán tính

Dạng 1 Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên

cx d

,(ad bc-¹0)đơn điệu trên khoảng (p q; )

7

Dạng 9 Tính đơn điệu của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

15Dạng 10 Sử dụng tính đơn điệu vào bài toán

3.1 Kết luận 20

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong những năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạyhọc đã được các nhà trường, các cấp quản lý giáo dục đào tạo,các giáo viên quan tâm hơn và coi đó như là nội lực quan trọngcủa ngành cần phải được triệt để khai thác để nâng cao chấtlượng và hiệu quả giáo dục đào tạo Cụ thể đổi mới hình thức vàphương pháp dạy học nhằm phát huy tính chủ động, tích cực,sáng tạo Mục tiêu là học sinh biết vận dụng kiến thức, kỹ năngvào giải quyết các vấn đề đặt ra.Với các em học sinh lớp 12,trong quá trình học tập và tham gia các kì thi đánh giá thườngxuyên ở trường, các kì thi học sinh giỏi của Sở, các kì thi THPTquốc gia môn Toán, năm học 2023-2024 là kì thi Tốt nghiệpTHPT, đòi hỏi các em cần có nhiều kĩ năng và phản xạ nhanhnhạy để hoàn thành bài thi.

Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy có dạng toán tính đơnđiệu của hàm số rất hay có trong đề thi, các em gặp nhiều khókhăn khi làm các câu hỏi ở mức độ VD - VDC Với lí do trên, thiếtnghĩ để giúp các em học sinh rèn luyện được tư duy, kĩ năngphản xạ, để giải quyết các bài toán đó nhanh hơn tôi chọn và

nghiên cứu vấn đề: Phân loại và phương pháp giải toán“Tính đơn điệu của hàm số” cho học sinh lớp 12 TrườngTHPT Mường Lát, tỉnh Thanh Hóa.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đề tài nghiên cứu, phân loại các dạng toán ở mức độ Vân

dụng – Vận dụng cao trong chủ đề tính đơn điệu của hàm số,

và phương pháp giải cụ thể từng dạng toán đó.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Giáo viên áp dụng các giải pháp cho học sinh lớp 12 trườngTHPT Mường Lát.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Để thực hiện được đề tài này, cùng với sự giúp đỡ của cácđồng nghiệp và các học sinh trong trường Giáo viên đã sử dụngcác phương pháp sau:

môn Toán, đề SGK Toán 12, tìm hiểu các sách tham khảo.

sinh tại trường THPT Mường Lát

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận.

Nghị quyết Trung ương II khóa VIII tiếp tục khẳng định:"Phải bồi dưỡng phương pháp giáo dục đào tạo mới, khắc phụclối truyền thụ một chiều, rèn luyện tư duy sáng tạo cho ngườihọc Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phươngtiện hiện đại trong dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tựhọc, tự nghiên cứu của học sinh" Nghị quyết của BCH TW Đảngkhóa IX cũng nêu rõ: "Đổi mới phương pháp giảng dạy, phát huytư duy sáng tạo và năng lực tự đào sâu kiến thức của người học,coi trọng thực hành, thí nghiệm ngoài giờ lên lớp, giúp học sinhlàm chủ kiến thức, tránh việc nhồi nhét, học thuộc lòng".

Trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán ban hànhnăm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đề cao tính ứng dụngthiết thực, gắn kết với thực tế cuộc sống hay các môn học khác,đặc biệt là các môn STEM, bám sát xu hướng phát triển hiện đạicủa kinh tế, khoa học, xã hội và những vấn đề toàn cầu quantrọng (như biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tàichính ) Mục tiêu của chương trình là trang bị kiến thức, kỹnăng toán học cơ bản, thiết yếu, phát triển khả năng giải quyếtvấn đề tích hợp liên môn, tạo cơ hội để học sinh ứng dụng Toánhọc vào thực tiễn.

Ngày nay, ngoài việc nắm vững kiến thức, học sinh cònphải có khả năng giải quyết các bài toán thực tế liên quan Mặcdù giáo viên đã cố gắng lồng ghép bài tập thực tiễn vào bàigiảng, nhưng số lượng vẫn còn hạn chế.

Học sinh thường chỉ chú tâm đến các bài toán lý thuyết,các hình vẽ mà ít quan tâm đến ý nghĩa, quá trình mô hìnhhóa dẫn đến những con số, hình vẽ đó Học sinh chưa biết cáchxây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tế, khiến các emchưa nhận thấy sự thú vị và ý nghĩa thực tiễn của Toán học.Điều này dẫn đến sự thiếu hứng thú, khả năng vận dụng kiếnthức để giải toán và mô hình hóa các tình huống thực tế.

Nghị Quyết Trung Ương II Khóa VIII tiếp tục khẳng định:“Phải bồi dưỡng phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lốitruyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo củangười học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến vàphương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo đủ điềukiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu của học sinh” NghịQuyết của BCH TW Đảng khóa IX cũng đã nêu: “Đổi mới phương

pháp dạy học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạocủa người học, coi trọng thực hành, thực nghiệm ngoại khóa,làm chủ kiến thức, tránh nhồi nhét, học vẹt, học chay.”

Trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán banhành ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục vàĐào tạo có đưa ra quan điểm: “Chương trình môn Toán chútrọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế haycác môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáodục STEM, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế,khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tínhtoàn cầu (như biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tàichính…)” và mục tiêu: “Có những kiến thức, kĩ năng toán họcphổ thông, cơ bản, thiết yếu, phát triển khả năng giải quyết vấnđề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn khácnhư Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Tin học, Công nghệ… tạocơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng Toán học vào đờisống thực tế”

Mục tiêu của giáo dục hiện nay, ngoài việc học sinh có thểnắm được kiến thức bài học thì học sinh còn giải quyết đượcnhững bài toán thực tiễn có liên quan đến bài học Do đó, giáoviên đã lồng ghép các bài toán thực tế vào nội dung bài họcnhưng còn khá ít.

Học sinh thường chỉ chú ý đến các bài toán thuần túy, đếnnhững hình vẽ… mà ít quan tâm đến ý nghĩa, đến quá trình môtả dẫn tới những con số, hình vẽ, mô hình toán biểu diễn Họcsinh chưa biết cách mô hình hóa các bài toán thực tế, dẫn đếnhọc sinh chưa thấy rõ được những ý nghĩa, điều lý thú trongthực tế gắn liền với nội dung Toán học được học, từ đó giảm đisự ham muốn học tập, tìm tòi, vận dụng kiến thức vào giải toán,môn hình hóa toán học vào các tình huống thực tiễn.

Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung quan trọngtrong chương trình Giải tích lớp 12 Việc xác định đơn điệu củahàm số giúp học sinh khảo sát đồ thị, tìm cực trị từ đó giải cácbài toán liên quan Tuy nhiên, qua quá trình dạy học, nhiều họcsinh vẫn gặp khó khăn trong việc phân loại và áp dụng cácphương pháp giải bài tập về đơn điệu Do đó cần thiết phải:

Phân loại các dạng toán tính đơn điệu của hàm số thườnggặp cho học sinh lớp 12.

Đề xuất các phương pháp giải phù hợp cho từng dạngtoán.

Luyện tập và củng cố kỹ năng giải toán tính đơn điệu chohọc sinh.

2.2 Thực trạng vấn đề.

Trước khi thực hiện đề tài này, tôi nhận thấy học sinh còn engại khi gặp các bài toán "Tính đơn điệu" với hàm số chưa đượccho dưới dạng tường minh Các em thường lúng túng và thiếukỹ năng vận dụng kiến thức để giải quyết nhanh các dạng bàitập này.

Thống kê điểm khảo sát môn Toán của lớp 12A và 12Dtrước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Điểm môn Toán

Số lượng điểm giỏi > 8,0 là 16 %

Sáng kiến kinh nghiệm “Phân loại và phương pháp giảitoán “Tính đơn điệu của hàm số” cho học sinh lớp 12Trường THPT Mường Lát, tỉnh Thanh Hóa” sẽ khắc phục

những hạn chế trên bằng cách:

Hệ thống đầy đủ, chi tiết các dạng toán chủ đề "Tính đơnđiệu", cùng phương pháp tư duy và bước làm rõ ràng để tìm lờigiải.

Phân loại các bài tập một cách có hệ thống, giúp học sinhnắm vững nội dung và phân biệt rõ từng dạng.

Tạo nguồn tài liệu tham khảo và bài tập luyện tập phongphú cho học sinh.

2.3 Giải pháp phân loại và phương pháp giải toán Tínhđơn điệu của hàm số.

Bước 3:  Hàm số nghịch biến trên  Hàm số đồng biến trên Kết hợp kiến thức đã học ở lớp 10:

Bước 3:  Hàm số nghịch biến trên khoảng

 Hàm số đồng biến trên khoảng Bước 4: Từ điều kiện trên đưa về dạng

Suy ra giá trị cần tìm.

Câu hỏi minh họa.

Câu 1.(Mức độ 3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m để hàm số y x 3m3x24m3x m 4 đồng biến trên  ?

 

 

 p q;  y   0, x  p q;    

 

áa m·n¹

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán mf x , x 0;   m 6.

bài toán.

Dạng 2 Tìm tham số m

để hàm số dạng y ax 4bx2c đơn điệu trên khoảng  p q; 

Phương pháp giải toán:

Câu hỏi minh họa

Câu 1.(Mức độ 3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m trên khoản2019; 2019 để hàm số y x 4 2mx2 3m1 đồng biến trên khoảng 1 ; 2 ?

Lời giải

Xét hàm số y x 4 2mx2 3m1.Ta có y 4x3 4mx.

Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2  y  0, x 1; 2

Lại có m   2019; 2019 và m nguyên nên

Lời giải

Ta có: y 4m21x34mx4x m 21x2 m

.Hàm số ym21x42mx2m1

đồng biến trên khoảng

mxmxm

Suy ra a1;b5;c2 Vậy a b c 2.

Dạng 3 Tìm tham số m để hàm số phân thức

ax by

cx d

ad bcd

p qc

 

Hàm số nghịch biến trên (a b; )  y0,  x p q; 

ad bcd

p qc

 

Câu hỏi minh họa:

Câu 1 (Mức độ 3) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số

x m

x m

 

Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;    y0, x 2; 

mx m

 ,  x 2; 

1 02;

  

 đồng biến trên  ;0.

A m  2 B.m 2 C 2m1 D.

2 m 1

Lời giải

tf t

t m

Câu 1.(Mức độ 3) Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để

 m x x  .

Mà cosx1,  x , do đó m1.

Câu 2 (Mức độ 4) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số

x m

;2 \12

m   

 B m   1; 2 \  1 C

m  

x m

 trên 1;  \ 2 có  

xxf x

xf x

   

     

Dạng 5 Cho đồ thị hàm số f x( ) hoặc bảng xét dấu của hàm f x( ) Xét tính đơn điệu của hàm y f u x  .

Phương pháp giải toán:Bước 1 Tính yu f u  ( ).

Bước 2 Giải phương trình

0( ) 0

( ) 0

uf u

f u

 

bảng xét dấu của f x( ), suy ra nghiệm của f u( ) 0

Bước 3 Lập bảng biến thiên của yf u , suy ra kết quảtương ứng.

Câu hỏi minh họa:

Câu 1 (Mức độ 3) Cho hàm số yf x( ) Hàm số yf x( ) có đồthị như hình

   

Cách 2: Ta thấy f x( ) 0 với

   

xf xxxx

 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số yf x 22x

, sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “lẻ đổi, chẵn không” suy ra

Dạng 6 Cho đồ thị hàm số f x  hoặc bảng xét dấu của hàm số f x  Xét tính đơn điệu của hàm

đơn điệu của hàm số yf u x   h x .

Câu hỏi minh họa:

Câu 1 (Mức độ 3) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

xyf   x

Để hàm số nghịch biến thì1

4; 2 

Câu 2 (Mức độ 3) Cho hàm số y f x   có đạo hàm liên tục trên ¡. Đồ thị hàm số y f x   như hình vẽ

khoảng sau đây?

vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra

   

 

Vậy hàm sốg x đồng biến trên các khoảng 2;2 và 4; .

Dạng 7 Cho hàm số yf x  hoặc f x  Tìm tham số m

Câu hỏi minh họa:

Câu 1 (Mức độ 3) Cho hàm số y f x  , biết f x x3 3x1. Có

sao cho hàm số g x  f 2 x  1 m x  6 nghịch biến trên khoảng 2;3?

xh x

   



 

Từ BBT m h x    x 2;3  m2.

yêu cầu bài toán.

Câu 2 (Mức độ 3) Cho hàm số f x  có đạo hàm trên  là

   

mthuộc đoạn 10; 2021 để hàm số yf x 23x m  đồng biến trên khoảng 0; 2?

xx mx

      

   

 

   

   

 

Ta có g x  2x 3 0, x 0;2 g x  đồng biến trên 0; 2

- Căn cứ vào đồ thị (bảng biến thiên) xác định điều

- Thay t theo x, giải ra được điều kiện của x.

Câu hỏi minh họa:

Câu 1 (Mức độ 3) Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục

A. ;10 B

f x   f t  t

biến trên khoảng nào sau đây?

   

Kiến thức cần nhớ:

I ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1 Từ đồ thị hàm số yf x  ta suy ra đồ thị của hàm số y f x bằng cách :

2 Từ đồ thị hàm số yf x  ta suy ra đồ thị của hàm số yf x 

bằng cách :

trục Oy

II ĐIỀU KIỆN ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM y f x  TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN, NỬA KHOẢNG CHO TRƯỚC

 Hàm số y f x  đồng biến trên ;  khi và chỉ khi

  

  

 

 

 

 

 Câu hỏi điều kiện hàm số nghịch biến làm tương tự.

Câu hỏi minh họa:

Câu 1 (Mức độ 3) Cho hàm số yf x  có đồ thị như đường

trên khoảng nào dưới đây?

   



Đồ thị hàm số y x 3 3x22.

Từ đó ta suy ra đồ thị hàm số yx3 3x22.

biến trên khoảng 0;1.

Dạng 10 Sử dụng tính đơn điệu vào bài toán phương trình-bất phương trình

Một số kết quả chúng ta sẽ sử dụng :

1 Tính chất 1: Nếu hàm số yf x liên tục và đồng biến (hoặc

nghiệm

=> Tính chất này được áp dụng cho bài toán chứng minhphương trình có nghiệm duy nhất, hoặc giải phương trình cónghiệm duy nhất.

2 Tính chất 2: Nếu hàm số yf x  đồng biến (hoặc nghịch

  

f x g x , trong đó f x  và g x  khác tính đơn điệu.

Định lý 3: Nếu hàm số yf x( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f x( ) f y( ) x y và

f x f y  xy.

Câu hỏi minh họa:

Câu 1 (Mức độ 3) Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

Khi đó: f 6sinx8cosx f m m 1  6sinx8cosx m 2m (1)

Câu 2 (Mức độ 4) Tìm tham số thực m để phương trình:

Tính:

 

Bảng xét dấu

thì: 2m2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.

Hiệu quả về mặt kinh tế

- Do đây là sáng kiến về mặt khoa học giáo dục, được áp

dụng trong quá trình giảng dạy ở nhà trường nên không tínhđược hiệu quả về mặt kinh tế.

- Tôi hi vọng với sáng kiến này được sử dụng rộng rãi, làm

tài liệu tham khảo, tiết kiệm chi phí tài liệu cho học sinh và thầycô giáo.

Hiệu quả về mặt xã hội:

- Tại trường THPT Mường Lát, tỉnh Thanh Hóa, đề tài đã

được thầy Quách Hồng Ngọc áp dụng giảng dạy tại lớp 12A vàtôi áp dụng giảng dạy tại lớp 12D từ tháng 9 của năm học 2023-2024 Kết quả đạt được như sau:

- Trong các giờ học về chủ đề trên, học sinh đã tự tin, tư

duy linh hoạt hơn, không còn lúng túng và lo ngại các bài toándạng này Gặp các câu hỏi VD - VDC đã có nhiều học sinh thamgia làm việc để tìm ra đáp án Những học sinh trước đây khi gặpbài toán thực tế là bỏ qua, không đọc đề , thì giờ đã dần biếtcách làm được một số bài toán.

- Học sinh tham gia các tiết học sôi nổi, nhiệt tình và hào

hứng hơn Trong các tiết học, học sinh tự hoàn thành các bàitập, vì thế việc học tập của mỗi học sinh sẽ được chủ động,sáng tạo, tự giác hơn, qua đó giúp học sinh tự mình tích lũy lấykiến thức.

- Sau khi học chủ đề, các em có thêm kĩ năng giải toán bước

vào kì thi cuối cấp.

- Thống kê điểm thi cuối kì 2 môn Toán của lớp 12A và 12D

năm học 2023-2024 đạt kết quả cao (số lượng điểm giỏi > 8,0là 46 %):

Đề tài đã được áp dụng tại trường THPT Mường Lát tỉnhThanh Hóa, áp dụng dạy học cho học sinh lớp 12A và 12D đạtkết quả tốt Như vậy, với sáng kiến này mỗi giáo viên giảng dạytại các trường THPT nói chung, có thể dùng làm cơ sở để xâydựng hệ thống bài giảng, bài tập cho riêng mình sao cho phùhợp với trình độ của học sinh 12, qua đó học sinh vừa tiếp thukiến thức một cách chủ động, và có thể tự khai thác các tài liệutham khảo khác.

Nội dung này còn dành cho các thầy cô giáo sử dụng bồidưỡng học sinh giỏi lớp 12.

3.2 Kiến nghị.

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do kinh nghiệm còn hạnchế và thời gian có hạn, sáng kiến kinh nghiệm này không tránhkhỏi những thiếu sót nhất định Tôi rất mong nhận được nhữngđóng góp, góp ý quý báu từ các thầy cô giáo, cũng như từ cácđồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn

Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm mới vào thực tế giảngdạy đòi hỏi quá trình thực nghiệm và điều chỉnh kéo dài Trongkhuôn khổ thời gian hạn hẹp của đề tài này, khó có thể triểnkhai và đánh giá hiệu quả một cách toàn diện Vì vậy, tôi xinđược đưa ra một số kiến nghị sau:

Đối với nhà trường: Tạo điều kiện thuận lợi về thời gian,không gian và tổ chức các chuyên đề cấp trường để giáo viên cócơ hội áp dụng, thực nghiệm các sáng kiến kinh nghiệm mớitrong dạy học

Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo: Tổ chức các hội thảochuyên đề về phương pháp dạy học tích cực, trải nghiệm cho