skkn cấp tỉnh phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

Vìvậy trong dạy học cần tích cực rèn luyện và phát triển kỹ năng, năng lực tự họccho học sinh để các em tự chiếm lĩnh kiến thức, kỹ năng, qua đó phát triển đượcnăng lực giải quyết vấn đề

MỤC LỤC

1 Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung 2

2.1 Cơ sở lý luận 3

2.2 Thực trạng trước khi áp dụng đề tài 3

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề 3

2.3.1.Tìm GTLN,GTNN của hàm số dựa vào bảng BT và đồ thị của hàm số 3

2.3.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số yf x  dựa vào bảng BT và đồ thị của hàm số đạo hàm 7

2.3.3 Ứng dụng GTLN,GTNN của hàm số trong bài toán bất phương trình, tính đơn điệu của hàm số 15

2.3.4 Thông qua các bài toán thực tế, tìm GTLN, GTNN 17

2.4 Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm 20

3 Kết luận, kiến nghị 20

3.1 Kết luận 20

3.2 Kiến nghị 20

Tài liệu tham khảo 21

Hiện nay khoa học kỹ thuật, công nghệ thông tin phát triển nhanh như vũbão, phong phú và đa dạng nên để bắt kịp với thời đại, ngoài việc học ở trường,

ở lớp, ở sách giáo khoa đòi hỏi học sinh phải tự học, tự nghiên cứu, tự rèn luyệnbản thân thật nhiều qua sách vở, qua báo đài, tivi, qua mạng internet, qua thực tếcuộc sống…mới đáp ứng nhu cầu thực tế, yêu cầu của xã hội đòi hỏi con ngườiphải hội nhập, có kỹ năng và làm việc tốt Do đó chỉ có thông qua tự học mớiphát triển được tư duy sáng tạo, năng lực, cách giải quyết các vấn đề thực tế Vìvậy trong dạy học cần tích cực rèn luyện và phát triển kỹ năng, năng lực tự họccho học sinh để các em tự chiếm lĩnh kiến thức, kỹ năng, qua đó phát triển đượcnăng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua các bài toán thực tế, cũng nhưcác vấn đề nảy sinh khác

Trong chương trình toán phổ thông, các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của hàm số là bài toán dành nhiều sự quan tâm của giáo viên và họcsinh bởi tính hấp dẫn của nó, bởi nó được áp dụng nhiều trong thực tế Bên cạnh

đó chủ đề này vốn rất đa dạng, phong phú đầy đủ các mức độ khác nhau, xuấthiện nhiều trong các kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, thi đánh giá năng lực, đánh giá

tư duy, thi học sinh giỏi các cấp… Để học sinh nắm vững kiến thức, giải thànhthạo các dạng toán này và vận dụng vào các tình huống thực tế thì nhất thiết cần

và đủ học sinh phải tự học, tự nghiên cứu

Từ những lý do như trên, tôi chọn nghiên cứu xây dựng đề tài: “Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ

đề “ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng, rèn luyện tư duy sáng tạo khi giảimột số bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.bằng phương pháp chiều biếnthiên và đồ thị hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này chủ yếu xoay quanhcác dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể giải được bằng ítnhất một trong hai cách là phương pháp chiều biến thiên và phương pháp đồ thị

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng các phương pháp sauđây:

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp khảo sát thực tiễn

Phương pháp phân tích

Phương pháp tổng hợp

Phương pháp khái quát hóa

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

2.NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phươngpháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trởthành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán

Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nângcao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao)

Chuyên đề này, đa phần các ví dụ minh họa được trình bày dưới dạng câuhỏi trắc nghiệm nhằm giúp học sinh được tiếp cận với hình thức thi tốt nghiệpTHPT quen thuộc

- Theo từ điển Tiếng Việt: “Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo cho conngười khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”

Vì thế để nâng cao phát triển năng lực giải quyết vấn đề , người giáo viêncần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng

- Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích ( bao gồm các công

cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

- Đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hóa được cho vấn đề tương

nâng cao năng lực tự học và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinhgóp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông trung học là hếtsức quan trọng, nhằm thực hiện tốt chương trình giáo dục phổ thông tổng thể2018.

“Học đi đôi với hành” Ứng dụng lý thuyết vào thực tiễn là một mẹo vô

cùng quan trọng giúp học sinh cải thiện khả năng tự học của mình Hãy vậndụng những gì các em đã học được và các tình huống thực tế, điều này giúp họcsinh nắm vững kiến thức, hiểu bản chất của vấn đề, nắm được nội dung chắcchắn và có thể xử lý các tình huống mới phát sinh

2.2.Thực trạng trước khi áp dụng đề tài

- Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị kiến thức, bài tập minh họa.

- Nhiều học sinh đã quên kiến thức cơ bản khi bài toán cho bảng biến thiên,

hoặc đồ thị hàm số , không biết vận dụng các kiến thức về: chiều biến thiên, đồthị

- Đa số học sinh e ngại khi làm quen với các bài toán có yêu cầu liên quan tới đồ

thị đạo hàm và bài toán thực tế với các học sinh không giỏi

2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số

Đây là dạng toán xuất hiện nhiều trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT hiện

nay, là dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đơn giản sau khi học xong

lý thuyết giúp các em học sinh nhận biết, đọc được giá GTLN, GTNN thông quabảng biến thiên và đồ thị của hàm số

Loại 1: Cho bảng biến thiên của hàm số yf x 

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x  liên tục trên 3; 2 và có bảng biến thiên như sau.Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trênđoạn 1; 2 Tính M m

A 3 B 2 C 1 D 4. 2

Hướng dẫn giải

Từ kiến thức lý thuyết học sinh đã học, mong đợi học sinh dễ dàng giải được:

Trên đoạn 1; 2 ta có giá trị lớn nhất M 3 khi x 1 và giá trị nhỏnhất m 0 khi x 0.Khi đó M m   3 0 3 Chọn A.

Nhận xét: Trong ví dụ 1, ta thay đổi giả thiết thì có một câu hỏi mới, thay đổi

Nhận xét: Ta có thể thay đổi bài toán bằng cách thay đổi giả thiết hoặc kết luận

để phát triển thành các câu hỏi mới, tập cho học sinh biết cách làm này từ những bài tập đã cho để học sinh hiểu bản chất các bài toán đầy đủ hơn.

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên trên 5;7 như sau

Nhận xét: Thông qua ví dụ này, GV giúp HS chú ý.Trên nửa khoảng a b;  hoặc

trên khoảng a b;  hàm số có thể không tồn tại GTLN, GTNN.

Loại 2: Cho đồ thị hàm số yf x 

Giáo viên cần hướng dẫn chi tiết cho học sinh đọc giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số thông qua đồ thị của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn 1;3 và có đồ thị như hình vẽbên Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trênđoạn 1;3 Giá trị của M m bằng

Dựa và đồ thị suy ra M f  3 3; mf  2 2 Vậy M m 5 Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ

bên Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số yf x  trênđoạn 2; 2

A m5;M 1 B m2;M 2

C m1;M 0 D m5;M 0. 2

Hướng dẫn giải

Với bài này, cho học sinh nhận xét hàm số liên tục trê 2;2 nên hàm số

tồn tại GTLN, GTNN, GV cho học sinh xác định điểm thấp nhất của đồ thị,

điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn 2;2 Nhìn vào đồ thị ta thấy:

Những em học cơ bản không chắc chắn thường chọn nhầm đáp án B

Nhận xét: Muốn có câu hỏi khó hơn chút, GV hướng dẫn HS Từ giả thiết bài

toán, chỉ cần hỏi tìm khoảng cách lớn nhất (hoặc khoảng cách bé nhất) giữa

điểm cao nhất và thấp nhất của đồ thị hàm số trên đoạn 2;2

2.3.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x( )khi cho bảng biến thiên hoặc đồ thì của hàm số yf x'( )

Đây là bài toán xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệpTHPT những

năm gần đây Giáo viên cần rèn luyện kỹ năng cho học sinh dạng toán này

Dựa vào BBT suy ra hàm số yf x( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; 2 tại

1

x  Chọn C

Nhận xét: Khi đã tìm được hàm số yf x( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng

0; 2 tại x 1 GV hướng dẫn, tập cho HS phát triển thêm bài toán với một yêu

cầu mới từ bài toán đã cho

Với bài toán này, giáo viên cho học sinh nêu quy trình giải

+ Tìm các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm yf x'( )với trục hoành

+ Xác định dấu của yf x'( )

+ Lập bảng biến thiên của hàm số yf x( )

+ Từ bảng biến thiên của hàm số yf x( ) suy ra giá tri x 0 2, rồi tính2

0 2 0 2023

x  x  Chọn đáp án đúng A

Từ ví dụ 2,GV hướng dẫn học sinh phát triển, khai thác bài toán theo các hướng

khác nhau với mức độ cao hơn Chẳng hạn các ví dụ sau ( từ ví dụ 3 đến 10)

Ví dụ 3: Cho hàm số f x  có đồ thị của hàm số yf x  như hình vẽ

Biết f  0  f  1  2f  2 f  4  f  3

Giá trị nhỏ nhất m, giá trị lớn nhất M của hàm số f x  trên đoạn 0;4 là

A mf  4 ,M f  1 B mf  4 ,M f  2

C mf  1 ,M f  2 D mf  0 ,M f  2  2

2020 3

, với x   3 ; 3

Ta có g x x2 1 f x ; g x 0  f x x2  1

0 3

x x

Nhận xét: Để có nhiều bài toán mới khác nhau, ta chỉ cần thay đổi hàm liên kết

hoặc thay đồ thị của hàm số yf x  Đây là việc làm cần thiết để giúp HS

sáng tạo ra các bài toán khác, hoặc khi gặp các bài toán khác tương tự thì

nhanh chóng giải được

hàm số yf x  như hình vẽ bên Tìm tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

0 0

x x

     

2;2 2;2

max f x f 4 ; min f x f 1



Chọn C

Ví dụ 7: Cho hàm số y=f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ

Hàm số g ( x )=f(x2−1) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [−1 ;√2] tại điểm nào sau đây?

A x=± 1 B x=0 C x=√2 D x=−1  7

x x

Ta có bảng xét dấu và biến thiên của g x 

Từ bảng ta có GTLN của hàm số g x f x 21 trên 1; 2 tại điểm x 0

Cách 2: Hình vẽ đã cho là đồ thị của hàm số bậc ba.

Vậy hàm số g x( )f x( 21) đạt GTLN trên đoạn 1; 2 tại điểm x 0

Nhận xét: Để có nhiều bài toán mới khác nhau, ta chỉ cần thay đổi đồ thị của

hàm số yf x  hoặc đồ thị hàm số yf x  hoặc thay đổi hàm số ẩn với ẩn

Bài toán 1 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình f x m ( , ) 0có

nghiệm (nghiệm đúng với mọi ) x K ?

I

min f x h m

Bài toán 2: Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b

Bước 1: Đưa bất phương trình f x¢ ³( ) 0 (hoặc f x¢ £ ( ) 0), " Îx ( ; )a b

về dạng ( )g x ³ h m( ) (hoặc ( )g x £ h m( )), " Îx ( ; )a b .

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) g x trên ( ; ) a b

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các

giá trị cần tìm của tham số m.

Ví dụ 1 :Tìm m để bất phương trình 2x1m x( 1)nghiệm đúng với mọi

 1;0

x   ?

A m 1 B

1 2

m 

C

2 3

m 

D

3 2

x

m x

- +

-100

0 0

+ ∞ 20

0 -∞

G(x) G'(x) x

Tôi xác định rằng, các bài toán gần gũi thiết thực với cuộc sống gây sự tò

mò và hứng thú cho học sinh góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề

Sau đây là những bài toán liên quan y học, sản xuất kinh doanh, xây dựng và

vật lý học

Ví dụ 1: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức

2

( ) 0,024 (30 )

G x  x  x , trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao

huyết áp (x được tính bằng mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao

huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất

A 20mg B 0,5mg C 2,8mg D 15mg. 7 .

Hướng dẫn giải

GV giúp HS quy bài toán lạ về quen, thực chất đây là bài toán tìm giá trị

nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng Mong đợi HS giải được

số của biến x, Tìm giá trị của x để hàm Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân

được xác định bởi công thức G x( ) 0,024 (30 x2  x) đạt GTLN

Ví dụ 2: Một nhà máy sản xuất bóng đèn trang trí với chi phí sản xuất 12 USD

mỗi bóng đèn Nếu giá bán mỗi bóng đèn là 20 USD thì nhà máy dự tính bán

được 2000 bóng mỗi tháng Nếu cứ tăng giá bán mỗi bóng đèn lên 1 USD thì số

bóng đèn bán được mỗi tháng giảm đi 100 bóng đèn Để nhà máy có lợi nhuận

lớn nhất giá bán mỗi bóng đèn là

A 26 USD B 27 USD C 22 USD D 24 USD. 6 .

Hướng dẫn giải

Giả sử giá bán tăng thêm x USD x   *thì số lượng bóng đèn bán giảm

100.x Khi đó số bóng đèn bán được 2000 100x và số tiền lãi khi bán một bóng

đèn là 20 x 12 x 8 Do vậy lợi nhuận thu được là

L       Dấu bằng xãy ra khi x x 6

Vậy lợi nhuận lớn nhất bằng 19600 USDkhi giá bán môi bóng đèn là 26 USD

Nhận xét: Ở bài này, ta giả sử gíá bán tăng thêm x USD x   *thì ta suy ra

1 Giá bán mới là 20 x

2 Số bóng đèn bán trong một tháng giảm đi 100.x bóng đèn

Học sinh cần hiểu bài toán thực tế:

1 số tiền lãi khi bán một bóng đèn là 20 x 12 x 8

2 Lợi nhuận thu được bằng số tiên lãi mỗi bóng nhân với số bóng bán được.

Thông qua bài toán này, giúp các em HS biết được cách tích lợi nhuận

trong sản xuất, kinh doanh sao cho để thu lợi nhuận lớn nhất.

Tương tự ví dụ 2, ta có bài toán trong kinh doanh xe gắn máy Future Fi

Ví dụ 3: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại.

Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon da

Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 và bán ra với giá là 31triệu đồng.

Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600

chiếc Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách

này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng

mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng 200 chiếc Vậy

doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm

giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất. 8

Hướng dẫn giải

+) Gọi x đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá; 0 x 4

Khi đó: Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là 31  x 27  4 x

+) Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là 600 200x

Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là

Ví dụ 4: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng Inox có nắp

đậy với thể tích là k m3k 0 Chi phí mỗi m đáy là 2 600 nghìn đồng, mỗi m2

nắp là 200 nghìn đồng và mỗi m mặt bên là 2 400 nghìn đồng Hỏi ông An cần

chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất ? (Biết bề dày

k



32

k

32

3 2

k r





Vậy với bán kính đáy là

3 2

k r

3 Giúp các em HS tính toán sao cho chi phí sản xuất ít nhất trong quá

trình sản xuất kinh doanh.

Các bài toán tích hợp

Ví dụ 1: Trong dịp kỷ niệm 92 năm ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh,

đoàn trường THPT -PTT đã tổ chức cho cán bộ đoàn tham gia buổi trải nghiệm

thực tế tại Khu di tích Lam Kinh Để có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan

dã ngoại, đoàn đã dựng trên mặt đất phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ 1 tấm bạt hình

chữ nhật chiều dài 12m, chiều rộng 6m bằng cách gấp: Gập đôi tấm bạt lại theo

đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều

dài còn lại sát đất và cách nhau một khoảng Phải gập thế nào để khoảng không

gian phía trong lều lớn nhất. 6

Hướng dẫn giải

Bước 1: Toán học hóa

Từ tấm bạt hình chữ nhật ta gập và dựng lều như hình vẽ

6m 12m

Giả sử lăng trụ trại được dựng lên như hình vẽ sau