(SKKN mới NHẤT) SKKN một số ứng dụng của định lý lagrange và định lý rolle

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ĐỊNH LÝ ROLLE Tác giả: Lê Anh Tuấn Điện thoại: 0913389665 Email: leanhtuancvp@gmail.com Mã sáng kiến: 61 Vĩnh Phúc, tháng 10 năm 2018 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Mô tả sáng kiến Bố cục PHẦN B- NỘI DUNG I Một số vấn đề lý thuyết liên quan Định lý Rolle……………………………………………………………………… Định lý Lagrange II Một số ứng dụng định lý Lagrange định lý Rolle Giải phương trình …………………………………………… Chứng minh tồn nghiệm phương trình 10 Chứng minh bất đẳng thức………………………………………… 22 Tìm giới hạn dãy số…………………………………………………………………… 29 III Một số tập vận dụng 37 C PHẦN KẾT LUẬN 39 Kiến nghị, đề xuất việc triển khai áp dụng đề tài………………………………… 39 Đánh giá lợi ích thu áp dụng đề tài, sáng kiến …………………… 39 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến ………… 39 Tài liệu tham khảo 40 download by : skknchat@gmail.com PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Định lý Lagrange định lý quan trọng phép tính vi phân, mở rộng định lý Rolle Trong sách giáo khoa giải tích lớp 12, định lý thừa nhận phép chứng minh vượt ngồi chương trình phổ thơng Ứng dụng định lý Lagrange quan trọng việc xây dựng lý thuyết giải số dạng toán chương trình giải tích trường THPT Báo cáo kết nghiên cứu này, tơi trình bày phép chứng minh định lý Lagrange ứng dụng định lý Lagrange định lý Rolle để giải số dạng tốn thường gặp kì thi THPTquốc gia kì thi chọn học sinh giỏi bậc trung học phổ thơng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài "Một số ứng dụng định lý Lagrange định lý Rolle" tác giả chọn viết nhằm giới thiệu với thầy cô em học sinh kinh nghiệm phương pháp giảng dạy định lý Lagrange chương trình tốn THPT, qua nhấn mạnh tầm quan trọng qua ứng dụng, đặc biệt tốn lấy từ kì thi Olimpic toán năm gần Đề tài coi chuyên đề để giảng dạy nâng cao cho học sinh THPT bồi dưỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn Tác giải mong nhận góp ý trao đổi thầy giáo, bạn đồng nghiệp để chuyên đề sâu sắc hoàn thiện Hy vọng đề tài góp phần nhỏ để việc giảng dạy phần giải tích đạt hiệu Phương pháp nghiên cứu Đề tài sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp nghiên cứu chủ yếu sau: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu định lý Lagrange định lý Rolle, đặc biệt từ tạp chí ngồi nước; tài liệu từ Internet - Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh giỏi toán) download by : skknchat@gmail.com - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Giả thuyết khoa học Nếu học sinh học chuyên sâu theo chuyên đề phát triển lực tư Tốn học, đặc biệt có phương pháp để giải tốn giải tích Đây phần cịn khó với học sinh trường THPT Mô tả sáng kiến 5.1 Tên sáng kiến: Một số ứng dụng định lý Lagrange định lý Rolle 5.2 Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Lê Anh Tuấn - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0913389665 Email: leanhtuancvp@gmail.com 5.3 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lê Anh Tuấn 5.4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dùng để dạy cho học sinh lớp ôn thi THPTquốc gia mức vận dụng cao bồi dưỡng đội tuyển HSG mơn Tốn tham dự kì thi HSG tỉnh, HSG Quốc gia 5.5 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10/2018 5.6 Mô tả chất sáng kiến: Bố cục Bản sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần chính: A- ĐẶT VẤN ĐỀ B- NỘI DUNG I Một số vấn đề lý thuyết liên quan II Một số ứng dụng định lý Lagrange định lý Rolle Giải phương trình Chứng minh tồn nghiệm phương trình Chứng minh bất đẳng thức download by : skknchat@gmail.com Tìm giới hạn dãy số III Một số tập vận dụng C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1.Kiến nghị, đề xuất việc triển khai áp dụng đề tài, sáng kiến 2.Đánh giá lợi ích thu áp dụng đề tài, sáng kiến 3.Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến download by : skknchat@gmail.com PHẦN B NỘI DUNG I Một số vấn đề lý thuyết liên quan Định lý Rolle Cho hàm số xác định đoạn 1/ liên tục đoạn 2/ có đạo hàm khoảng thoả mãn điều kiện sau: 3/ Khi tồn điểm c thuộc khoảng cho Chứng minh Nếu định lý hiển nhiên đúng, Ta cần chứng minh định lý trường hợp ; trường hợp , ta lập luận tương tự trường hợp Vì theo giả thiết đoạn liên tục đoạn Do cho Với nên nên có giá trị dương lớn đạt giá trị lớn điểm Chọn ta có ta ln có Hệ Nếu hàm số nguyên dương lớn 1) Hệ Nếu hàm số Vậy có đạo hàm có có đạo hàm có nhiều nghiệm và có n nghiệm (n số nghiệm vô nghiệm download by : skknchat@gmail.com Hệ Nếu có đạo hàm ngun dương) có nhiều n nghiệm (n số có nhiều nghiệm Định lý Lagrange Cho hàm số xác định đoạn thỏa mãn điều kiện sau: 1) liên tục đoạn 2) có đạo hàm khoảng Khi tồn điểm c thuộc khoảng cho Chứng minh Giả sử đồ thị hàm số đoạn vẽ) , hồnh độ Với cắt cung điểm cung , đường thẳng song song với , dây Đường thẳng AB có phương trình điểm N trục (hình có điểm H , với hệ số góc Ta có Xét hàm số 1) Hàm số đoạn ta nhận thấy : liên tục đoạn hiệu hàm số liên tục đa thức 2) Hàm số 3) Khi có đạo hàm khoảng , đạo hàm N M trùng với A download by : skknchat@gmail.com Tương tự ta có , suy Như định lý Rolle đoạn thoả mãn giả thiết Do tồn điểm cho , ta có điều phải chứng minh Nhận xét - Định lý khẳng định tồn cho mà khơng khẳng định tính điểm c - Ta thấy hệ số góc tiếp tuyến điểm thị thuộc cung đồ hệ số góc đường thẳng AB, ý nghĩa hình học định lý chứng tỏ cung đồ thị hàm số tồn điểm C cho tiếp tuyến với đồ thị điểm song song ( trùng) với đường thẳng AB II Một số ứng dụng định lý Lagrange định lý Rolle Giải phương trình Bài tốn 1.1 Giải phương trình Lời giải Ta có (1) Xét hàm số , dễ thấy hàm số đồng biến tổng hai hàm số đồng biến Khi (2) trở thành (3) Xét hàm số trình , ta thấy phương có khơng q nghiệm phân biệt Bởi giả sử phương trình có nghiệm , theo định lý Roll thoả mãn suy phương trình download by : skknchat@gmail.com có nghiệm phân biệt  phương trình phương trình có nghiệm , tức có nghiệm (điều vơ lý) Vậy phương trình có nhiều nghiệm, dễ thấy thoả mãn phương trình (3) có nghiệm Suy phương trình (1) có nghiệm Bài tốn 1.2 Giải phương trình: Lời giải Phương trình cho tương đương Xét hàm số Ta có , suy có nhiều nghiệm, suy Mà phương trình có nhiều nghiệm có hai nghiêm Bài tốn 1.3 Giải phương trình Lời giải Ta thấy Gọi (1) nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình cho Khi Xét hàm số Vì , ta có hàm liên tục Roll tồn có đạo hàm khoảng cho Vậy phương trình (1) có hai nghiệm   Bài tương tự Giải phương trình: Bài tốn 1.4 Giải phương trình: download by : skknchat@gmail.com , nên theo định lí Lời giải Đặt (1) trở thành: Xét hàm số Suy Ta có có nghiệm nhất, suy có nhiều hai nghiệm Do có nhiều ba nghiệm Mặt khác dễ thấy , có ba nghiệm Vậy nghiệm phương trình (1) là: Chứng minh tồn nghiệm phương trình Bài tốn 2.1 Chứng minh phương trình ln có nghiệm với số thực a, b, c Lời giải Xét hàm số Ta có Do , suy điều phải chứng minh Qua lời giải ta thấy sức mạnh định lý Rolle việc chứng minh phương trình có nghiệm Có thể mơ tả nội dung phương pháp toán tổng quát sau: Bài toán: Cho hàm số liên tục , chứng minh phương trình có nghiệm thuộc Phương pháp giải: - Xét hàm số nguyên hàm hàm 10 download by : skknchat@gmail.com Lời giải Xét hàm số nghịch biến Áp dụng kết 3.8 ta Suy , ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.8.2 Cho số ngun dương k, tính (trong [x] số nguyên lớn không vượt x) Lời giải Xét hàm số , ta có nghịch biến Suy Do Định lí Lagrange cịn sử dụng để giải số toán bất đẳng thức đối xứng, với mục đích làm giảm số biến Nếu cần chứng minh bất đẳng thức đối xứng n biến thấy ta xét đa thức có n nghiệm, có n – nghiệm Viète ta đưa chứng minh bất đẳng thức đối xứng với Bài toán 3.9 Cho ba số Ta thỏa mãn , dựa vào định lí biến Chứng minh Lời giải Xét hàm số 27 download by : skknchat@gmail.com Theo định lí Lagrange tồn cho: , tức là hai nghiệm phương trình Ta có ; Do đó, từ ta suy Bài tốn chứng minh hồn tồn Bài tốn 3.10 Cho số thực không âm a, b, c, d Chứng minh Lời giải Xét hàm số Đặt Ta có , theo định lí Rolle suy (nếu a = b a nghiệm f’(x)) Suy tồn có ba nghiệm thỏa mãn Suy 28 download by : skknchat@gmail.com Dễ thấy Do Đẳng thức xảy Bài tốn 3.11 Cho bốn số thực khơng âm a ,b,c,d thoả mãn điều kiện Chứng minh Lời giải Đặt Theo định lý Viét đảo, bốn số thực không âm a,b,c,d nghiệm đa thức Do theo định lý Rolle, đa thức khơng âm có ba nghiệm thực ta có: ; ; Như điều kiện ban đầu toán trở thành (1) Và bất đẳng thức phải chứng minh trở thành 29 download by : skknchat@gmail.com (2) Từ (1) suy ba số phải có số giả sử số Từ (1) rút Khơng tính tổng quát, theo vào (2) ta Bất đẳng thức (3) đúng, (2) chứng minh Dấu xảy Tìm giới hạn dãy số Định lí Lagrange sử dụng để giải số toán vế giới hạn dãy số, với dãy lặp xác định , tức dãy xác định hàm số dãy số xác định nghiệm phương trình dạng , nói chung hàm số có đạo hàm đơn điệu tập xác định chúng, đạo hàm chúng ước lượng bất đẳng thức (bị chặn) Do tìm giới hạn a, ta so sánh hiệu với ước lượng xn Bài toán 4.1 Cho dãy số thực Chứng minh dãy số Lời giải Dễ thấy xác định bởi: có giới hạn tìm giới hạn Xét hàm số , ta có 30 download by : skknchat@gmail.com Nếu có giới hạn giới hạn nghiệm lớn phương trình Ta có: Đặt , theo định lý Lagrange tồn Mà thỏa mãn: nên theo ngun lí kẹp Bài tốn 4.2 Cho dãy số thực Chứng minh dãy số xác định bởi: hội tụ Lời giải Xét hàm số liên tục Xét hàm , ta có đồng biến nghiệm Mặt khác nên phương trình nên có Tiếp theo ta chứng minh Thật vây, theo định lí Lagrange, tồn cho: 31 download by : skknchat@gmail.com Suy Dễ thấy nên theo ngun lí kẹp (đpcm) Nhận xét Trong tốn việc tìm nghiệm cụ thể phương trình khơng thiết phải thực hiện, mà cần phương trình có nghiệm Về phương pháp giải hai ví dụ xây dựng nguyên lí ánh xạ co với dãy số có cơng thức truy hồi dạng hàm khả vi thỏa mãn Bài toán giải theo ý tưởng nói chung hầu hết tốn có giả thiết thỏa mãn u cầu chứng minh hội tụ theo cách Ta phát biểu thành mệnh đề tổng quát sau: Cho dãy số thực xác định bởi: Có hai tình xảy Nếu hàm số có đạo hàm khoảng D chứa a có giới hạn hữu hạn n tiến dần đến dương vô (Chứng minh tương tự hai tốn trên) Nếu hàm số có đạo hàm khoảng D chứa a, tiến dần đến dương vô n tiến dần đến dương vô Thật vậy, xét hai trường hợp sau: 32 download by : skknchat@gmail.com Trường hợp 1: Nếu phương trình dụng định lý Lagrange tồn có nghiệm Áp cho Trường hợp 2: Nếu phương trình f(x)=x vơ nghiệm, ta có f(x)-x > xD f(x)-x < xD suy tăng giảm Nếu có giới hạn giới hạn nghiệm phương trình f(x) = x, Bài toán 4.3 Cho số thực a dãy số thực (xn) xác định bởi: Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn Xét hàm Mà , suy Bài toán 4.4 Cho dãy Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn Lời giải Dễ thấy với Ta có Do Xét hàm số nên 33 download by : skknchat@gmail.com với Nhận xét giới hạn dãy nghiệm phương trình Dễ thấy , ta chứng minh nghiệm phương trình Thật vậy, xét hàm hàm g(x) nghịch biến Từ với Vậy Do có nghiệm Bài toán 4.5 (HSG Quốc gia năm 2008) Cho dãy số Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn Lời giải Bài có bẫy nhỏ công thức truy hồi cho liên hệ không thực thuật giải dạng cho nên Để xử lý điều ta có cách đánh sau: Bằng quy nạp dễ chứng minh Xét hàm số với , với Vậy , ta có với , với Đến kĩ thuật sử dụng định lý Lagrange có khác chút Theo định lí lagrange với tồn cho: Vậy Từ (1) Từ đó, theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy hội tụ 34 nghiệm phương trình download by : skknchat@gmail.com Giải phương trình ta Vậy =1 Nhận xét Mấu chốt toán đánh giá (1) sử dụng thêm tiêu chuẩn Cauchy Tất nhiên khơng cần sử dụng tiêu chuẩn Cauchy mà đưa hai dãy , sau đưa việc áp dụng định lý Lagrange quen thuộc cho hai dãy Bài toán 4.6 (HSG Quốc gia năm 1999) Cho dãy Tìm c để với , dãy Lời giải Giả sử xác định với n tồn số cần tìm Điều kiện cần: Với để tồn Điều kiện đủ: Ta chứng minh với Thật vậy, dễ thấy với Dễ chứng minh Ta có phải có dãy với xác định với n tồn xác định Xét hàm số Với Suy Do dãy hội tụ Bài tốn 4.7 (THTT 2010) Cho a số thực thỏa mãn 35 Xét dãy download by : skknchat@gmail.com Chứng minh dãy hội tụ Hướng dẫn: Ta có với n Xét hàm số Ta có * Vì f(1)>1; f(2)