Skkn nhìn nhận bài toán phương trình và bất phương trình thông qua định lý lagrange

T SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI NHÌN NHẬN BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THÔNG QUA ĐỊNH LÝ LAGRANGE Người thực hiện Lê Thị Hương[.]

T SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI NHÌN NHẬN BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƠNG QUA ĐỊNH LÝ LAGRANGE Người thực hiện: Lê Thị Hương Chức vụ: Giáo viên Trường THPT Triệu Sơn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2022 skkn MỤC LỤC NỘI DUNG Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3.Các SKKN áp dụng để giải vấn đề 2.3.1.Ứng dụng định lý Lagrange để giải phương trình 2.3.2.Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình 3.Hiệu SKKN hoạt động dạy học, với thân, đồng nghiệp nhà trường 12 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 13 Kết luận 14 Kiến nghị 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO skkn MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình giảng dạy mơn Tốn học bậc trung học phổ thơng tốn phương trình bất phương trình chiếm vị trí quan trọng, xuyên suốt chương trình ba khối lớp Bên cạnh phong phú dạng tốn, từ phương trình, bất phương trình lớp 10, phương trình lượng giác lớp 11 đến phương trình, bất phương trình mũ, logarit lớp 12 Phương pháp để giải dạng tốn phong phú Đã có nhiều ý tưởng độc đáo bất ngờ phát để giải tốn phương trình, bất phương trình tạo nên hấp dẫn tốn học người học người dạy Như ta biết phương trình, bất phương trình xây dựng sở khái niệm hàm số, mà phương pháp giải khơng thể thiếu chúng dạng tốn sử dụng đạo hàm giải toán Cách sử dụng đạo hàm giải toán xuất nhiều tài liệu,từ chuyên đề hàm số đến chuyên đề bất phương trình đề thi đại học, thi học sinh giỏi cấp nhiên chưa toàn diện Hệ thống tập chun đề chưa hồn chỉnh, cịn rời rạc;việc khai thác khắc sâu ý tưởng giải cịn chưa triệt để.Điều gây khó khăn cho học sinh việc hình thành cho phương pháp giải hồn chỉnh dạng tốn phương trình bất phương trình Xuất phát từ thực tế cần có hệ thống tập theo chun đề hồn chỉnh để giải dạng tốn phương trình bất phương trình tơi tập hợp, bổ sung xếp toán dạng theo hệ thống rõ ràng; tạo skkn thuận lợi cho người học ghi nhớ vận dụng để giải tập tương tự Qua thực tế giảng dạy, cách làm thu kết đáng ghi nhận nên viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: ‘’Nhìn nhận tốn phương trinh bất phương trình thơng qua định lý Lagrange’’ Tơi mong nhận góp ý, bổ sung thêm bạn đồng nghiệp để đề tài hồn thiện hơn; góp phần giúp giáo viên học sinh tiến tới “chân thiện mỹ” Tốn học 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm việc giải tốn bất phương trình bất đẳng thức Từ đạt kết cao q trình học tốn nói chung giải phương trình bất phương trình nói riêng 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Các dạng tốn phương trình,bất phương trình chương trình tốn phổ thơng đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, kỳ thi chọn học sinh giỏi -Phạm vi nghiên cứu: Phân loại dạng toán thường gặp phương pháp giải loại 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu sử dụng phương pháp sau - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát: Công việc dạy – học giáo viên học sinh - Phương pháp đàm thoại vấn: Lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp - Phương pháp thực nghiệm skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN: Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn Tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng Muốn học tốt mơn tốn học sinh cần phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư lơgic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn có hệ thống chương trình phổ thơng, liên hệ logic mảng kiến thức chương trình phổ thơng Vận dụng lí thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 nêu số cách giải bât phương trình, bất đẳng thức cách đơn giản Việc sử dụng đạo hàm dừng lại toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số, ứng dụng đạo hàm việc giải toán sơ cấp chưa sử dụng nhiều học sinh vận dụng hạn chế chưa linh hoạt, song đề thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi gần việc giải tốn có ứng dụng đạo hàm nhiều Đặc biệt ứng dụng đạo hàm để giải tốn phương trình, bất phương trình, giúp cho học sinh giải số toán đơn giản 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Qua thực tiễn học tập giảng dạy, thân nhận thấy ứng dụng đạo hàm giải toán cấp THPT đa dạng, đặc biệt giải skkn bất phương trình vơ tỉ, mũ, lơgarit…nhưng học sinh chưa sử dụng nhiều kiến thức để giải tốn - Đạo hàm phần kiến thức học sinh, gắn với toán học đại, học sinh bắt đầu làm quen cuối chương trình lớp 11 Trong từ cấp Trung học sở đến cấp THPT học sinh tiếp xúc với nhiều tốn giải bất phương trình bất đẳng thức …và quen sử dụng phương pháp giải toán đại số để giải - Số lượng tốn giải phương trình bất phương trình nêu xuất ngày nhiều đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, kỳ thi học sinh giỏi phương pháp giải chủ yếu dùng đạo hàm 2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Để giúp học sinh giải tốt phương trình kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng sử dụng tốt phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số học lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải Ở đây, tơi đề cập đến vài khía cạnh nhỏ việc giải phương trình bất phương trình phương pháp ứng dụng đạo hàm định lý lagrange để giải tốn:’’ Nhìn nhận tốn phương trình bất phương trình thơng qua định lý Lagrange’’ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE 2.3.1 Ứng dụng định lý Lagrange việc giải phương trình 2.3.1.1 Nội dung ứng dụng Nếu hàm liên tục đoạn tồn cho 2.3.1.2 Ví dụ minh hoạ skkn , có đạo hàm khoảng Ví dụ 1: Chứng minh với Phương trình có nghiệm thuộc khoảng Lời giải: Xét hàm số liên tục có đạo hàm Ta có Theo định lý Lagrange tồn mà Như nghiệm phương trình Ví dụ 2: Chứng minh phương trình bốn nghiệm phân biệt có Lời giải: Xét hàm số liên tục có đạo hàm Nhận thấy Do phương trình có nghiệm là: Áp dụng định lý Lagrange đoạn Xét đoạn tồn skkn tức với nghiệm phương trình Trong có nghiệm, làm tương tự với ba khoảng cịn lại ta thêm ba nghiệm Mặt khác khoảng tách rời nên phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt Ví dụ 3: Chứng ming với cho trước phương trình: ln có nghiệm Lời giải: Xét hàm số: Ta thấy liên tục có đạo hàm Mặt khác, Áp dụng định lý Lagrange tồn cho nghiệm phương trình cho 2.3.1.3: Bài tập vận dụng Bài 1: Cho thoả mãn Chứng minh phương trình Bài 2: Cho số thực ln có nghiệm thoả mãn skkn Chứng minh có nghiệm thuộc Bài 3: Chứng minh số thực với thoả mãn phương trình có nghiệm thuộc Bài 4: Chứng minh phương trình ln có nghiệm với với Bài 5: Chứng minh phương trình có nghiệm dương phương trình nghiệm dương có 2.3.2 Ứng dụng định lý Lagrange việc giải bất phương trình 2.3.2.1 Nội dung định lý Lagrange: Nếu hàm liên tục đoạn tồn Hệ 1: Nếu hàm số , có đạo hàm khoảng cho có đạo hàm số nguyên dương lớn 1) trên và có nghiệm ( có nghiệm Hệ 2: Nếu hàm số có đạo hàm có nhiều nghiệm Hệ 3: Nếu có đạo hàm số nguyên dương) skkn vơ nghiệm có nhiều có nhiều nghiệm ( nghiệm 2.3.2.2 Dạng tốn ứng dụng Cho hàm số thỏa mãn điều kiện định lý Lagrnge số điều kiện cho trước Chứng minh hệ thức 2.3.3.3 Cách giải - Bước 1: Chọn hàm số có liên hệ với , phù hợp với điều kiện toán thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange      - Bước 2: Áp dụng định lý Lagrange cho (tùy vào yêu cầu hệ thức cần chứng minh) - Bước 3: Từ biến đổi đưa hệ thức cần chứng minh 2.3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ Giải bất phương trình Lời giải Điều kiện trình trở thành Do Đặt , bất phương , vơ nghiệm, suy phương trình nghiệm, từ suy phương trình 10 skkn có nhiều có khơng q hai nghiệm phân biệt.Ta lại có nghiệm Do suy phương trình liên tục có hai nên liên tục khoảng giữ nguyên dấu khoảng Mà , ; Vậy nghiệm bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình Lời giải Tập xác định bất phương trình Đặt Bất phương trình trở thành Ta thấy suy , vơ nghiệm, suy có nhiều nghiệm, từ có khơng q hai nghiệm phân biệt 11 skkn Ta lại có , suy liên tục có hai nghiệm nên Do liên tục khoảng giữ nguyên dấu khoảng Ta có Vậy tập nghiệm bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình Lời giải Xét hàm số , bất phương trình cho có dạng Ta có từ suy phương trình liên tục nên có khơng hai nghiệm phân biệt Mà có hai nghiệm phân biệt liên tục khoảng giữ nguyên dấu khoảng Ta có 12 skkn Vậy nghiệm bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình có nghiệm (Radian) khơng? Tại sao? Lời giải: Bất phương trình tương đương với Xét hàm đoạn Ta có Dễ thấy (áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số cho 13 skkn đoạn ) , tồn Vậy (Radian) khơng phải nghiệm bất phương trình 2.3.2.5 Bài tập vận dụng Giải bất phương trình sau 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.4.1 Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng phương trình, bất phương trình nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa ứng dụng định lý Lagrange để học sinh có cơng cụ để giải toán Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập số đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập 2.4.2 Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2020-2021 2021-2022 Sau đưa chuyên đề vào thực tế giảng dạy lớp thu kết lần kiểm tra đánh sau 14 skkn Năm học 2020-2021: Thời gian kiểm Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu 40 14 13 (20%) (35%) (32,5%) (12,5%) 10 18 10 (25%) (45%) (25%) (5%) Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu 40 10 15 12 (25%) (35%) (30%) (10%) 12 18 (30%) (45%) (22,5%) (2,5%) tra Trước áp dụng chuyên đề Sau áp dụng 40 chuyên đề Năm học: 2021-2022 Thời gian kiểm tra Trước áp dụng chuyên đề Sau áp dụng chuyên đề 40 Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải tốn phương trình bất em hiểu chất vấn đề khơng tính rập khn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng sử dụng giải phương trình bất phương trình Đề tài nêu phương pháp chung cho dạng minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với 15 skkn mức độ khác để đối tượng học sinh tiếp cận cách thuận lợi Bên cạnh ứng dụng giải phương trình bất phương trình đạo hàm cịn có nhiều ứng dụng khác giải toán toán chứng minh bất đẳng thức, tốn tìm max,min tốn có tham số Chính ta mở rộng thêm chuyên đề ứng dụng đạo hàm Để việc sử dụng “Nhìn nhận tốn phương trình bất phương trình thơng qua định lý Lagrange ’’ có hiệu - Giáo viên phải hướng em xoáy sâu vào trọng tâm học tùy vào bài, nội dung mà áp dụng phương pháp giải cách phù hợp - Cần phải ý đến đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tịi, khám phá - Giáo viên cần chủ động khuyến khích em làm tốn áp dụng từ dể đến khó - Cho học sinh tự suy nghĩ đưa tập phương trình, bất phương trình phương pháp đạo hàm cơng cụ định lý qua giúp học sinh có hứng thú việc tìm tốn Tuy nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan chủ quan nên đề tài khơng tránh khỏi sai sót hạn chế định Rất mong nhận góp ý đồng nghiệp hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm để tơi hồn thiện nội dung góp phần tích cực vào giáo dục kiến thức cho học sinh Cuối xin cảm bạn đồng nghiệp đọc , góp ý để tơi hồn thiện chuyên đề 3.2 Đề xuất Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sử dụng định lý Lagrange vào việc giải phương trình bất 16 skkn phương trình ….Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo thể loại sách để học sinh có thêm nguồn tư liệu giải toán XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết: Tạ Ngọc Thanh Lê Thị Hương 17 skkn DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa: Đại số giải tích 10- 11-12 Các chuyên đề hàm số - Lê Hồng Đức Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn tốn – Trần Phương Phương pháp giải toán đại số - Lê Hồng Đức-Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc Đề thi học sinh giỏi số tỉnh Một số tư liệu mạng DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả:Lê Thị Hương Chức vụ đơn vị công tác:Giáo viên Trường THPT Triệu Sơn TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Tỉnh C 2013-2014 Tỉnh C 2018-2019 Nhìn nhận tốn bất đẳng thức “ Con mắt” lượng giác Ứng dụng định lý Rolle để giải phương trình hệ phương trình 18 skkn 19 skkn ... cập đến vài khía cạnh nhỏ việc giải phương trình bất phương trình phương pháp ứng dụng đạo hàm định lý lagrange để giải tốn:’’ Nhìn nhận tốn phương trình bất phương trình thơng qua định lý Lagrange? ??’... việc sử dụng ? ?Nhìn nhận tốn phương trình bất phương trình thơng qua định lý Lagrange ’’ có hiệu - Giáo viên phải hướng em xoáy sâu vào trọng tâm học tùy vào bài, nội dung mà áp dụng phương pháp... suy phương trình liên tục có hai nên liên tục khoảng giữ nguyên dấu khoảng Mà , ; Vậy nghiệm bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình Lời giải Tập xác định bất phương trình Đặt Bất phương