(SKKN mới NHẤT) ứng dụng của định lý lagrange và định lý rolle

Chương 1: ÁP DỤNG HÀM SỐ NGƯỢC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I Một số kiến thức chuẩn bị: Định nghĩa hàm số ngược: Cho hàm số f: (với D, D’  ) Nếu f song ánh tồn hàm số ngược f : Cách tìm hàm số ngược: - Tìm miền xác định f đề chưa cho - Tìm miền giá trị f - Chứng minh f : song ánh Khi f có hàm số ngược f : Trong thực hành, để tìm hàm số ngược hàm số f(x) ta giải phương trình y = f(x) với ẩn x, ta x = g(y), sau đổi vai trị x y Ví dụ:[4] Tìm hàm ngược hàm số f(x) = Trước hết ta giải phương trình với ẩn x y = với x Ta có xy + y = x -1  x(1-y) = y +  x = Như hàm số ngược hàm số cho (x) = -1 Tính chất: - Hàm số g hàm ngược f f hàm ngược g - Hàm ngược (nếu có) hàm số - Hàm ngược đơn ánh - Mọi hàm số đơn ánh có hàm ngược Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt có hàm số ngược Đồ thị hàm số ngược: Nếu hàm số g(x) hàm ngược hàm số f(x) hai đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ I thứ III II Nội dung: TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ví dụ mở đầu:[5] Giải phương trình (1) Giải: Hầu hết sách toán sơ cấp giải sau Đặt Vậy ta có hệ phương trình Lấy (2) – (3) ta x3 – y3 = 2(y – x)  (x – y)( x2 + xy + y2 +2 ) =   x=y Thay vào (2) ta x3 +1 = 2x  ( x – 1)(x2 +x – 1) =  Vậy phương trình cho có nghiệm: x = 1, Nhận xét: (1)  Dễ thấy y = f(x) = y = g(x) = hàm ngược nhau, hay g(x) = (x) Do (3)  f(x) = (x) Ta xét phương trình dạng Phương trình dạng f(x) = (x) (*) Tính chất: Xét f(x) hàm đồng biến, phương trình f(x) = (x) f(x) = x Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử x < f(x) = (x) Vì f(x) đồng biến ⇒ f(x) < f( (x)) = x < f(x) (mâu thuẫn) Giả sử x > f(x) = (x) ⇒ f(x) > f( (x)) = x > f(x) (mâu thuẫn) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Vậy f(x) = x Điều kiện đủ: Vì f(x) = x nên A(x,f(x)) thuộc đường thẳng (d) : y = x Do điểm đối xứng A qua đường thẳng (d) A Suy A thuộc đồ thị hàm số y = (x) ⇒ f(x) = (x) Trở lại ví dụ mở đầu, (4) có dạng f(x) = biến (x), f(x) =  hàm đồng Do (4)  f(x) = x  =x  x3 – 2x +1 = Vậy với hàm f(x) đồng biến cụ thể ta phương trình cụ thể mà ta gọi phương trình chứa hai hàm ngược Khi gặp phương trình vậy, ta tìm cách biến đổi dạng Xét số ví dụ sau: Ví dụ 1: [1] Giải phương trình (8cos3x + 1)3 = 162cosx – 27 (1) Giải: (1)  Đặt 2cosx = t, t [ -2,2] Phương trình (2) trở thành Hàm số y = f(t) = Do (3) Vậy (1) đồng biến có hàm số ngược y =  f(t) =  f(t) = t   (3) (t) với f(t) đồng biến =t  t3 – 3t +1=  (2cosx)3 – 3(2cosx) +1 =  8cos3x – 6cosx +1 =  2(4cos3x – 3cosx) +1 =  2cos3x +1 =  cos3x = TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Ở ví dụ trên, phương trình gốc Từ phương trình ta thay t = 2cosx biến đổi phương trình ban đầu  Tổng quát: Có thể tổng quát lên dạng (f(x))n + b = a > 0, n số tự nhiên lẻ Đặt y = f(x), y  D’ (D’ miền giá trị f(x)) Khi (**)  Xét g(y) = (**), a Ta có g’(y) =  D’ ≥ 0, ⇒ g(y) đồng biến D’ Do g(y) có hàm số ngược Vậy (**)   yn – ay + b = (4) Tuy nhiên, việc giải phương trình (4) không đơn giản Người ta thường cho n = Nhận xét: Ở (**), ta thay số b biểu thức theo x giải Ví dụ 2:[8] Giải phương trình sau 7x2 – 13x + = 2x2 (1) Giải: Nhận xét phương trình chưa có dạng trên, biến đổi để đưa dạng Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x ta : Đặt (2) = t, t  * Khi (2) viết lại: 8t3 – 13t2 + 7t =  (2t – 1)3 – (t2 – t – 1) = (3) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Đặt y = 2t – 1, y  -1 (3) viết lại y3 – (t2 – t – 1) =  (4) Hàm số f(y) = hàm đồng biến \{-1} có hàm ngược Do (4)  f(y) =  f(y) = y  =y  8t3 – 13t2 + 3t + =  (t – 1)(8t2 – 5t + 2) =   Suy Thử lại ta thấy ba nghiệm thỏa phương trình (1) Vậy phương trình có ba nghiệm x = ; x = Ở phổ thơng cịn có hai hàm ngược mà ta thường gặp hàm mũ hàm logarit Ví dụ 3:[1] Giải phương trình sau ln(sinx + ) = esinx – (1) Giải: Điều kiện: sinx + >  sinx > –  sinx ≠ –1 x≠ Đặt sinx = t, –1 < t ≤ Khi (1) trở thành ln(t+1) = et –1 (2) Hàm f(t) = ln(t+1) đồng biến (–1,1] có hàm ngược = et –1 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  f(t) =  f(t) = t  ln(t+1) = t  ln(t+1) – t = Xét hàm số g(t) = ln(t+1) – t, t Do (2) (– 1,1] Ta có g’(t) = BBT T g’(t) g(t) –1 + 0 – Theo BBT ta suy phương trình có nghiệm t = Do (1)  sinx =  x = kπ , (k ) Vậy phương trình có nghiệm x = kπ , (k ) (– 1,1] Nhận xét: Ở ví dụ ta áp dụng phương trình (*) cho f(t) = ln(t+1) hàm đồng biến tập xác định Nhưng phương trình khó tí thực phép đổi biến t = sinx Ví dụ 4:[5] Giải phương trình sau: Giải: ĐK: 6x – >  x > Đặt y = x – 1, y > Khi (1) trở thành  Hàm f(y) = (2) hàm đồng biến Do (2)  f(y) =  có hàm ngược =  f(y) = y =y  =x–1 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  Xét hàm số g(x) = , x Ta có g’(x) = g’’(x) = >0 x Suy g’(x) hàm đồng biến Theo định lý Rolle phương trình g(x) = có khơng q nghiệm Mặt khác dễ thấy x = x = hai nghiệm g(x) Vậy phương trình có nghiệm x = x = Nhận xét: Ở ví dụ ta cịn áp dụng thêm định lí Rolle để giải Ta xét phương pháp chương sau! Tổng quát: Tất phương trình ví dụ có dạng g hàm đồng biến tập xác định nó, a > Chú ý: Tất phương trình có cách giải khác mà khơng cần dùng tính chất hàm số ngược Và phương pháp dùng tính chất hàm số ngược có hạn chế khơng áp dụng cho phương trình dạng (f(x))n + b = a với n chẵn Ví dụ:[5] Giải phương trình Giải: Cách 1: ĐK: x ≥ -5 (1)  Đặt = t, t ≥ Khi ta có hệ Lấy (2) – (3) ⇒ t2 – x2 – x + t =  (t – x)(t + x + 1) =  TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  + TH1 t = x ⇒   + TH2 t = –x – ⇒ Thử lại ta thấy nghiệm thỏa phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm Cách 2: ĐK: x+5=  x + = x4 – 2x2.5 + 52  52 – (2x2 + 1).5 + x4 – x = (4) 2 Đặt = t Khi (4) viết lại t – (2x + 1)t + x – x = (1)   So với điều kiện ta hai nghiệm phương trình cho Cách thay đổi vai trị số ẩn Do cách gọi phương pháp số biến thiên Đây phương pháp độc đáo thú vị III Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: [8] 4x2 + 7x + = x3 + 3x2 - = – 3x (đề thi Olympic 30-4, lần thứ 15-2009) [1]x3 + ( – a2)a = [5] [5]sax+b = c logs(dx + e) + với a (-2,2) d = ac + , e = bc + d = ac + , e = bc + , s>1 Chương 2: ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ĐỊNH LÝ ROLLE TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I Một số kiến thức chuẩn bị: Định lý Lagrange: Cho hàm số f(x) xác định liên tục [a,b], khả vi (a,b) Khi tồn c cho f’(c) = (a,b) Ý nghĩa hình học định lý: B f(b) f(a) A O a M c Cho cung nối hai điểm A, B có tính chất: - Cung liền từ A đến B - Cung trơn (có tiếp tuyến) điểm cung trừ A, B tồn điểm M cung khác A, B cho tiếp tuyến M với cung AB song song với AB b Một số hệ quả: Hệ 1: (Định lý Rolle) Cho hàm số f(x) xác định, liên tục [a,b], khả vi (a,b) f(a) = f(b) Thế tồn c (a,b) cho f’(c) = Hệ 2: Cho hàm f(x) liên tục [a,b] có đạo hàm (a,b) Nếu phương trình f’(x) = có n nghiệm (a,b) phương trình f(x) = có khơng q (n+1) nghiệm khoảng II Nội dung: Ứng dụng định lý Lagrange chứng minh tồn nghiệm phương trình: a Phương pháp chung: Từ định lý Lagrange, f(a) = f(b) tồn c (a,b) cho f’(c) = =  f’(x) = có nghiệm thuộc (a,b) Như vậy, để chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm (a,b) cách sử dụng định lý Lagrange điều quan trọng nhận nguyên hàm f(x) Cụ thể ta thực theo bước sau: Bước 1: Xác định hàm số F(x) khả vi liên tục [a,b] thỏa mãn i F’(x) = f(x), tức F(x) = ii F(b) – F(a) = TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bước 2: Khi tồn x0 (a,b) cho  f(x0) =  phương trình f(x) = có nghiệm x0 b Một số ví dụ: Ví dụ 1:[2] (a,b) Chứng minh phương trình a22x + b2x + c = (1) ln Giả sử có nghiệm Giải: Đặt 2x = t, t> Ta at2 + bt + c = Xét hàm số F(t) = khả vi liên tục (0,+∞) thỏa mãn i) F’(t) = at2 + bt + c ii) F(1) – F(0) = Khi tồn t0 (0,1) cho F’(t0) = =0  at02 + bt0 + c =  phương trình at2 + bt + c = có nghiệm t0 (0,1) Với t0 (0,1) ta có 2x = t0  x = log2t0 Tức phương trình (1) ln có nghiệm Ví dụ 2:[2] Chứng minh phương trình alg 2x + blgx + c Giả sử = (1) ln có nghiệm Giải: ĐK: x > Đặt lgx = t, ta at2 + bt + c = Xét hàm số F(t) = khả vi liên tục , thỏa mãn i) F’(t) = at2002 + bt2001 + ct2000 = t2000(at2 + bt +c) ii) F(1) – F(0) = Khi tồn t0 (0,1) cho F’(t0) =  t02000(at02 + bt0 + c) =  at02 + bt0 + c = Do phương trình at2 +bt +c = có nghiệm t0 =0 (0,1) 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Xét hàm số g(x) = xcosx, x Ta có g’(x) = cosx – xsinx (2π,3π) Phương trình g’(x) = có nghiệm x g(2π).g (2π,3π) ta có (vì < 0) Hàm số g(x) đồng biến (2π,x0) nghịch biến (x0, 3π) Hơn ta có g(2π) = 2π > g( )=- < nên phương trình f’(x) = có nghiệm ( ) Theo định lý Rolle suy f(x) có khơng q nghiệm ( Mặt khác, ta có f( ) = lg( ) > 0, , f( Suy phương trình f(x) = có nghiệm thuộc thuộc ) ) = lg( ) > nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc (2π,3π) Ví dụ 7:[3] Cho p(x) đa thức bậc n ( ) với hệ số thực Biết p(x) khơng có nghiệm thực Chứng minh đa thức q(x) = p(x) + ap’(x) + a2p’’(x) + … + anp(n)(x) với a  , n  khơng có nghiệm thực Giải: * Với a = 0: hiển nhiên * Với a ≠ 0: Do p(x) đa thức bậc n ( ) với hệ số thực p(x) khơng có nghiệm thực nên n chẵn Suy q(x) đa thức bậc chẵn với hệ số thực Giả sử q(x) có nghiệm thực m ⇒ q(x) = (x – m)r(x), với r(x) đa thức bậc lẻ với hệ số thực ⇒ r(x) có nghiệm thực t ⇒ q(x) có nghiệm thực m t * Nếu m = t ⇒ q(x) = (x – m) h(x), với h(x) đa thức bậc n – Ta có q’(x) = 2(x – m)h(x) + (x – m)2h’(x) Khi q’(x) có nghiệm x = m ⇒ q(x) – aq’(x) có nghiệm x = m Mặt khác q(x) – aq’(x) = -a Suy p(x) có nghiệm x = m = p(x) , trái với giả thiết 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com * Nếu m < t Do a nên ta xét hàm số g(x) = aq(x) g(m) = g(t) = Theo định lý Rolle, Mặt khác g’(x) = [aq’(x) – q(x)] = - p(x) g(x) liên tục [m,t] Do – p(c) =  p(c) = hay c nghiệm p(x), trái giả thiết Vậy q(x) khơng có nghiệm thực * Một số kết thu từ tốn: + Từ tính liên tục p(x) q(x), ta có p(x) vơ nghiệm  p(x) giữ nguyên dấu  ⇒ q(x) giữ nguyên dấu  Mặt khác Do p(x) > q(x) > p(x) < q(x) < + Với giả thiết p(x) >  , cho a =1, ta phải chứng minh p(x) + p’(x) + p’’(x) (n) + … + p (x) >  + Cho p(x) = x + a1x3 + b1x2 + c1x + d1 với a1, b1, c1, d1 thuộc  Khi p(x) > 0,  F(x) = p(x) + p’(x) + p’’(x) + p’’’(x) + p(4)(x) >  Trên số toán vận dụng định lý Lagrange để chứng minh tồn nghiệm phương trình Ta nhận thấy việc vận dụng định lý Lagrange có ưu định vấn đề chứng minh tồn nghiệm, có nghiệm nhất, ước lượng số nghiệm phương trình Điều vơ quan trọng việc giải phương trình mà chúng tơi đề cập sau Ứng dụng định lý Lagrange giải phương trình mũ – logarit: Phương trình mũ phương trình logarit loại phương trình quan trọng khó, thường xuất kì thi tuyển sinh, chúng tơi giới thiệu đến bạn công cụ tương đối hiệu để giải tốn phương trình mũ phương trình logarit, sử dụng định lý Lagrange định lý Rolle Ví dụ 1:[3] Cho số thực dương a, b, c, b > a f(x) hàm số xác định Chứng minh nghiệm phương trình (a + c)f(x) + bf(x) = af(x) + (b + c)f(x) (1) có nghiệm phương trình f(x) = f(x) = Giải: Giả sử x0 nghiệm phương trình (1), nghĩa  Xét hàm số g(t) = ,t Ta có g(t) liên tục [a,b] khả vi (a,b), g(a) = g(b) Theo định lý Rolle, tồn m (a,b) cho g’(m) =  = 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com   (đpcm) Ví dụ 2: Giải phương trình: ax + bx = (a + b – 2)x + , với a, b (1) Giải: Ta có ax + bx = (a + b – 2)x +  ax + bx - (a + b – 2)x – = Xét hàm số f(x) = ax + bx - (a + b – 2)x – liên tục, khả vi Ta có f’(x) = axlna + bxlnb – (a + b – 2) f’’(x) = axln2a + bxln2b > Theo định lý Rolle, phương trình f(x) = có khơng q nghiệm Dễ thấy x = 0, x = hai nghiệm phương trình Vậy (1) có nghiệm x = x = Tổng quát: Ta có phương trình sau: Việc giải phương trình hồn tồn tương tự ví dụ Ví dụ 3: Giải phương trình a x + bx = , với a, b Giải: Ta có ax + bx = Xét hàm số f(x) = Ta có f’(x) = f’’(x) =  liên tục, khả vi , > 0, Theo định lý Rolle phương trình f(x) = có khơng q nghiệm Dễ thấy x = x = nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = Tổng quát: Từ ví dụ ta có dạng tổng qt sau: 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ví dụ 4: Giải phương trình ax + bx = cx + dx với a + b = c + d, a, b, c, d > Giải: Vì a +b = c + d nên khơng tính tổng qt, ta giả sử a > c d > b Khi a – c = d – b = m >  Ta có ax + bx = cx + dx  ax – cx = dx - bx  (c + m)x – cx = (b + m)x – bx Điều kiện cần: Giả sử y nghiệm phương trình ⇒(c + m)y – cy = (b + m)y – by Xét hàm số f(t) = (t + m )y – ty , t  Khi f(t) liên tục [1,+ ), khả vi (1, + ) Do y nghiệm phương trình nên ta có f(c) = f(b) Giả sử b > c Theo định lý Rolle, tồn x0 (b,c) cho f’(x0) =  y[(x0 + m )y – – x0y – 1] =   Điều kiện đủ: Dễ thấy x = 0, x = nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = Ví dụ 5:[2] Giải phương trình (1 + x)(2 + 4x) = 3.4x Giải: Ta có (1 + x)(2 + 4x) = 3.4x  Xét hàm số f(x) = Ta có f’(x) = liên tục khả vi , f’(x) =  6.ln4.4x = (2 + 4x)2 Đây phương trình bậc ẩn 4x nên có khơng q nghiệm Do theo hệ 2, phương trình f(x) = có khơng q nghiệm Mặt khác, dễ thấy x = 0, x = , x = nghiệm phương trình f(x) = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x = x = 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  Tổng quát: Ta tổng qt ví dụ lên tốn sau: “Cho a,b,c,d  thỏa a(b + 1) = d, (a + 1)(b + c) = dc, (a + )(b + )=d Giải phương trình sau (a + f(x))(b + cf(x)) = d.cf(x) ” Ví dụ 6:[2] Giải phương trình log2(x + 1) + log3(2x + 1) – 2x = Giải: ĐK: Xét hàm số f(x) = log2(x + 1) + log3(2x + 1) – 2x liên tục khả vi Ta có f’(x) = f’’(x) = < 0, Theo định lý Rolle f(x) có khơng q nghiệm Dễ thấy x = x = nghiệm f(x) Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = Tổng qt: Ví dụ tổng quát lên sau: “ Giải phương trình Cách giải tương tự ví dụ Ví dụ 7:[3] Giải phương trình Giải: Điều kiện cần: Giả sử y nghiệm phương trình cho ⇒ Xét hàm số f(t) = với t > Ta có f(t) liên tục, khả vi [1,+ ) Do y nghiệm phương trình nên f(2) = f(3) Theo định lý Rolle, tồn c (2,3) cho f’(c) = ”   Ta giải (*): 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Với y > 1, ta có < y < 1, ta có = y, ta có = y, ta có Vậy có y = thỏa (*) Điều kiện đủ: Dễ thấy x = x = nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = Tổng quát: “Giải phương trình với a + b = c + d f(x) hàm số xác định ” Kết hợp ví dụ ví dụ giải tốn Ví dụ 8:[2] Giải phương trình 3x = + x + log3(1 + 2x) (1) Giải: ĐK: x > (1)  3x + x = + 2x + log3(1 + 2x) (2) Xét hàm số f(t) = t + log3t, t > hàm đồng biến Khi (2) viết lại f(3x) = f(2x + 1)  3x = 2x +  3x - 2x - = (3) Giải (3): Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bernulli, dễ dàng suy phương trình có nghiệm x = x = Cách 2: Xét hàm số g(x) = 3x - 2x – hàm liên tục khả vi Mặt khác g’(x) = 3x ln3 – , g’’(x) = 3x ln23 > Theo định lý Rolle suy g(x) có khơng q nghiệm Nhận thấy x = 0, x = nghiệm g(x) Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = * Nhận xét: Ví dụ giải cách áp dụng tính chất hàm số ngược (đã trình bày chương trước) Thơng qua việc giải ví dụ trên, ta giải phương trình tổng quát sau: 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com sax+b = c logs(dx + e) + d = ac + , e = bc + III Bài tập đề nghị: 1.[2] Giả sử Chứng minh phương trình a.log22x + b.log2x + c = ln có nghiệm thuộc khoảng (1,2) 2.[3] Cho a,b,c ,n * cho c = Chứng minh phương trình 3a.sinnx + 2b.cosnx + c.cosx = có nghiệm thuộc 3.[6] Tồn hay khơng số thực a,b,c để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: = a.e3x + b.e2x + c.ex – e-x x+ 4.[2] Giải phương trình a b 5.[2] Giải phương trình sau: a 2009sinx – 2008sinx = sinx b (1 + sinx)(2 + 4sinx) = 3.4sinx 6.[2] Giải phương trình x = 7.[2] Giải phương trình 3x+1 – 2x.3x = 8.[2] Giải phương trình : a b 9.[6] Giải phương trình: a log2(cosx + 1) = 2cosx 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com b log2[3log2(3x – 1) – 1] = x c 2009x + 2007x = 4014x + 10.[3] Giải phương trình log2003(20032|sinx| + 4|cosx| - 4) = 11 Giải phương trình với a + b = c + d f(x) hàm số xác định  12 Giải phương trình (a + f(x))(b + cf(x)) = d.cf(x) Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ROLLE 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Trong chương này, giới thiệu sơ qua với bạn số ứng dụng khác định lý Lagrange định lý Rolle I Ứng dụng giải bất phương trình: Phương pháp: Trước hết ta tìm nghiệm f(x) = D Quá trình tìm nghiệm vận dụng định lý Lagrange hệ định lý Giả sử nghiệm phương trình f(x) = D x1, x2, …, xn (n) giả sử x1 < x2 < … < xn Dựa vào tính liên tục f(x) D để suy dấu f(x) khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn mà f(x) khơng có nghiệm Bằng cách kiểm tra dấu f(x) điểm cụ thể khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn kể Nếu điểm mà f(x) có dấu dương (hay âm) tồn khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn tương ứng f(x) có dấu dương (hay âm) Ví dụ : Giải bất phương trình 3x + 5x < 6x + (1) Giải: (1)  3x + 5x – 6x – < Xét hàm số f(x) = 3x + 5x – 6x – với x  Ta có f’(x) = 3xln3 + 5xln5 – f’’(x) = 3xln23 + 5xln25 > x   Suy f’(x) đồng biến  Theo định lý Rolle, phương trình f(x) = có khơng q nghiệm Dễ thấy x = x = nghiệm phương trình f(x) = Vậy phương trình f(x) = có nghiệm x = x = Mặt khác, f(x) liên tục   f(x) liên tục (-,0), (0,1), (1, +) Và khoảng f(x) giữ nguyên dấu Ta lại có f(-1) = f( ) = >0 Ta có bảng xét dấu: x - f(x) + 0 Kết luận: Nghiệm (1) x  (0,1) + + Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta thấy việc giải bất phương trình việc sử dụng định lý Lagrange hệ liên quan mật thiết đến việc giải phương trình phương pháp Như việc thay đổi dấu “=” dấu “, , >, 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ta có g’(t) = + >0 t > Theo bổ đề, ta có (II)  Vậy nghiệm hệ (I)   III Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức: Phương pháp: Giả sử bất đẳng thức A  (I) (hoặc A  0) cần chứng minh mà đại lượng tham gia vào bất đẳng thức (I) cần đánh giá có liên quan đến giá trị f(a), f(b), f(c),… hàm số f(x) xác định, khả vi tập D  , a, b, c, …  D đoạn [a,b], [b,c], [a,c], … bao hàm D Khi đó, theo định lý Lagrange tồn c  [a,b], c2  [b,c], c3  [c,a], … để f’(c1) = , f’(c2) = , f(c3) = , … Nhờ biểu diễn ta chuyển việc đánh giá f(a), f(b), f(c), … đánh giá f’(c 1), f’(c2), f’(c3),… thường đơn giản so với f(a), f(b), f(c),… Ví dụ: Cho hàm số f(x) xác định liên tục [ ], khả vi ( ),  , , f’(x) đồng biến ( ) Chứng minh a,b,c [ ], a  b  c ta có f(a)(bc) + f(b)(c-a) + f(c)(a-b)  Giải: Bất đẳng thức (1) hiển nhiên trở thành đẳng thức số a,b,c có số Do vậy, khơng giảm tính tổng qt ta giả sử a > b > c a, b, c [ ] (1)  f(a)(b-c) + f(b)[(c-b)+(b-a)] + f(c)(a-b)   [f(a) – f(b)](b – c)  [f(b) – f(c)](a – b)  (2) (do a > b > c) Bất đẳng thức (2) gợi ý cho ta dùng định lý Lagrange Thật vậy, áp dụng định lý Lagrange cho hàm f(x) [c,b] [b,a] tồn t  (c,b) t2  (b,a) để f’(t1) = , f’(t2) = Hiển nhiên t1 < t2 theo giả thiết tốn ta có f’(t2) > f’(t1) Do (2) chứng minh  (1) chứng minh Nhận xét: 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com + Nếu f(x) nghịch biến bất đẳng thức đổi chiều + Nếu ta chọn f(x) giá trị a,b,c thích hợp ta bất đẳng thức mà việc chứng minh phương pháp đại số không đơn giản IV.Bài tập đề nghị: Giải bất phương trình sau: a) 3x + 5x  2.4x b) c) với x > 0, Giải hệ phương trình sau: tham số dương a) b) Chứng minh rằng: a) sinx > b) sinx  Cho a,b,c,r,s thỏa a > b > c > 0, r > s > Chứng minh bất đẳng thức sau: ar.bs + br.cs + cr.as > as.br + bs.cr + cs.ar Cho a,b,c,d số dương Chứng minh Chứng minh < b < a Cho  p < q < r < t  Chứng minh Cho a,b,c,d > Chứng minh Biết phương trình x3 + ax2 + bx + c = (*) có nghiệm phân biệt (a,b,c  ) Chứng minh |27c + 2a3 – 9ab| < 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 10 Cho đa thức p(x) = a0 + a1x + … + anxn,  , thực phân biệt Chứng minh ak-1ak+1 < ak2 , 11 Chứng minh (n  2, n  ) có n nghiệm n > ta có phương pháp sử dụng định lý Lagrange KẾT LUẬN CHUNG Đề tài giới thiệu đến bạn hai phương pháp giải phương trình, áp dụng tính chất hàm số ngược định lý Lagrange, định lý Rolle Đồng thời đề tài giới thiệu sơ qua số ứng dụng khác định lý Lagrange định lý Rolle Chúng tơi trình bày cụ thể phương pháp, ví dụ minh họa tổng quát số toán Từ dạng tổng quát này, bạn cho cụ thể hàm số thích hợp có tập thú vị Tuy nhiên, kiến thức cịn hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận nhận xét, đóng góp bạn đọc nội dung đề tài 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (chủ biên), Tốn nâng cao giải tích hàm số 12, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2000 [2] Lê Hồng Đức (chủ biên), Phương pháp giải toán đại số - Tập [3] Tạ Minh Đức, Ứng dụng định lý Lagrange vào giải toán THPT [4] Phạm Phu – Hàn Hải Liên – Ngô Long Hậu, Sổ tay tự ôn luyện thi Đại học – Cao đẳng đại số, NXB Đại học Sư phạm, 2003 26 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com [5] Trần Phương – Lê Hồng Đức, Tuyển tập chuyên đề thi đại học mơn Tốn: Đại số sơ cấp, NXB Hà Nội, 2004 [6] Nguyễn Bá Thủy, Định lý Rolle ứng dụng [7] Tuyển tập 45 năm toán học tuổi trẻ [8] Các trang web: - http://www.diendantoanhoc - http://kinhhoa.violet.vn - http://www.maths.com - http://www.vnmath.com 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... bạn số ứng dụng khác định lý Lagrange định lý Rolle I Ứng dụng giải bất phương trình: Phương pháp: Trước hết ta tìm nghiệm f(x) = D Q trình tìm nghiệm vận dụng định lý Lagrange hệ định lý Giả... 3,4,5 ta thấy việc vận dụng định lý Lagrange lúc tiến hành trực tiếp, mà phải qua phép biến đổi cho phù hợp, ta vận dụng định lý Lagrange hay hệ (định lý Rolle) tùy thuộc vào biến đổi Để kết thúc... Chương 2: ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ĐỊNH LÝ ROLLE TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I Một số kiến thức chuẩn bị: Định lý Lagrange: Cho hàm số f(x) xác định liên