Giới hạn và Đạo hàm riêng Ứng dụng bài toán cực trị và tích phân suy rộng

Giới hạn Trong toán học, giới hạn của một hàm số là một khái niệm cơ bản trong vi tích phân và giải tích liên quan đến hành vi của hàm số đó gần một giá trị nhất định.. Cụ thể, nhiều địn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

───────*───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH BS6002

GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM RIÊNG

ỨNG DỤNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Bùi Tấn Dũng - 2022600778

Nguyễn Tiến Đạt - 2022606649 Nguyễn Thành Đạt - 2022607446 Nguyễn Tiến Dũng - 2022601433

Vũ Đức Dũng - 2022600700 Nguyễn Văn Duy - 2022603480 Phạm Đức Duy - 2022602556

Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Thị Quỳnh

Hà Nam, tháng 2 năm 2023

MỤC LỤC

BẢNG TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ LÀM VIỆC NHÓM 2

I PHẦN MỞ ĐẦU 4

1 Lời mở đầu 4

2 Giới thiệu về giới hạn và đạo hàm riêng 4

1.1 Giới hạn 4

1.2 Đạo hàm riêng 4

3 Giới thiệu về cực trị hàm nhiều biến và tích phân suy rộng 5

2.1 Cực trị hàm nhiều biến và tích phân suy rộng 5

2.2 Cực trị hàm nhiều biến 5

2.3 Tích phân suy rộng 5

II PHẦN NỘI DUNG 6

1 Giới hạn 6

1.1 Khái niệm giới hạn hàm số 6

1.2 Bài tập minh họa 10

2 Đạo hàm riêng 12

2.1 Khái niệm 12

2.2 Đạo hàm riêng cấp cao 12

2.3 Bài tập minh họa 13

II ỨNG DỤNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG 16

1 Ứng dụng bài toán cực trị 16

2 Ứng dụng bài toán tích phân suy rộng 17

III PHẦN KẾT LUẬN 20

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

BẢNG TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ LÀM VIỆC NHÓM

Tên thành viên Phân công nhiệm vụ

2022600700 Soạn thảo Word chính

Nguyễn Văn Duy

Đưa ra

ý kiến

và ýtưởnglàmbài

Giao tiếp

và phốihợp tốt vớithành viênkhác cùnggiải quyếtvấn đềchung

Tổchứcvàhướngdẫn cảnhóm

Hoànthànhcôngviệc hiệuquả

Tổng điểm được đánh giá

để mọi người thấy được một phần ứng dụng của Giải tích vào các lĩnh vực của đời sống.

2 Giới thiệu về giới hạn và đạo hàm riêng

1.1 Giới hạn

Trong toán học, giới hạn của một hàm số là một khái niệm cơ bản trong vi tích phân

và giải tích liên quan đến hành vi của hàm số đó gần một giá trị nhất định

Định nghĩa chính quy, xuất hiện từ đầu thế kỷ thứ 19, được trình bày ở dưới Không chính thức, một hàm số f gán một giá trị đầu ra f(x) cho mỗi giá trị đầu vào x Ta nói hàm số có giới hạn L tại giá trị a: nghĩa là f(x) tiến càng ngày càng gần L khi x tiến càng gần a Cụ thể hơn, với bất kỳ giá trị đầu vào nào đủ gần với a, kết quả nhận được phải gần tùy ý đến L Ngược lại, ta nói giới hạn không tồn tại

Khái niệm về giới hạn có nhiều ứng dụng trong giải tích hiện đại Cụ thể, nhiều địnhnghĩa của tính liên tục sử dụng giới hạn: một hàm số gọi là liên tục nếu tất cả giới hạn của nó bằng với giá trị của nó Giới hạn cũng xuất hiện trong định nghĩa của đạo hàm: trong giải tích một biến, đạo hàm là giá trị giới hàm của độ dốc của đường cát tuyến với đồ thị của một hàm số

1.2 Đạo hàm riêng

Trong toán học, đạo hàm riêng của một hàm số đa biến là đạo hàm theo một biến, các biến khác được xem như là hằng số (khác với đạo hàm toàn phần, khi tất cả các biến đều biến thiên) Đạo hàm riêng được sử dụng trong giải tích vector và hình học vi phân

Đạo hàm riêng của f đối với biến x được ký hiệu khác nhau bởi:

Ký hiệu của đạo hàm riêng là ∂ Ký hiệu này được giới thiệu bởi Adrien-Marie Legendre và được chấp nhận rộng rãi sau khi nó được giới thiệu lại bởi Carl Gustav Jacob Jacobi.

3 Giới thiệu về cực trị hàm nhiều biến và tích phân suy rộng

2.1 Cực trị hàm nhiều biến và tích phân suy rộng

Cực trị hàm nhiều biến và tích phân suy rộng là hai trong những phần kiến thức trọng tâm và quan trọng trong môn học Giải tích, những ứng dụng kiến thức từ cực trị hàm nhiều biến và tích phân suy rộng cũng vô cùng được chú tâm, ứng dụng nhiều và phổ biến trên các lĩnh vực khác nhau

2.2 Cực trị hàm nhiều biến

Khi giải quyết những bài toán về kinh tế, người ta thường gặp các bài toán dạng xác định trị số tối ưu (nhỏ nhất hoặc lớn nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn như: năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí bé nhất ) Trong toán học, đó cũng chính là dạng bài toán tìm cực trị (cực tiểu / cực đại) của một hàm f(gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong không gian

II PHẦN NỘI DUNG

1 Giới hạn

1.1 Khái niệm giới hạn hàm số

Giới hạn là gì?

Khái niệm “Giới hạn” trong toán học được sử dụng để chỉ giá trị khi biến của một hàm

số hoặc dãy số tiến dần tới một giá trị xác định

Giới hạn hàm số là gì?

Giới hạn hàm số là một khái niệm cơ bản trong lĩnh vực vi tích phân và giải tích Khái niệm này liên quan mật thiết với hành vi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị xác định

Tính liên tục của giới hạn hàm số

Giữa giới hạn hàm số và khái niệm tính liên tục có mối liên hệ vô cùng chặt chẽ Tính liên tục là một khái niệm được sử dụng để chỉ những hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó khi biến số thay đổi Điều này đồng nghĩa với việc hàm số được biểu thị trên trục số sẽ không xuất hiện những điểm gián đoạn

Tính liên tục của một hàm số được xác định khi hàm số thỏa mãn điều kiện khi: Một hàm số f có nghĩa tại c và giá trị của hàm số khi biến số bằng c có giá trị bằng giới hạn của f khi x tiến dần tới giá trị c Phát biểu này có thể được trình bày bằng biểu thức sau:

Minh họa một hàm số liên tục và một hàm số không liên tục

1.1.a Giới hạn hữu hạn

1) Các giới hạn hữu hạn đặc biệt

x xlim x x , lim c cx x

là một hàng số

2) Giới hạn hữu hạn của một hàm số một biến

Cho một hàm số f có biến x a và L ∈ R Giới hạn của hàm số f khi x tiến dần tới a là L

sẽ được biểu diễn như sau:

x a

limf (x) L

Cho hàm số f biến x có giới hạn khi x tiến tới x0 là L và hàm số g biến x có giới hạn khi

x tiến tới x0 là M, ta sẽ có thể ứng dụng những công thức tính sau:

1.1.b Giới hạn vô cực của hàm số

1) Một số giới hạn vô cực đặc biệt

1.1.c Giới hạn của hàm số phân thức - Một số giới hạn đặc biệt

x 1

x 3x 2lim

Bài 2: Tính giới hạn A =  2 2 

Giải

x.sin x



cos x cos x x sin x



 hay vắn tắt là f (x , y )x' 0 0

Ta còn có thể ký hiệu đạo hàm riêng này bởi z (x , y )'x 0 0 hay 0 0

z (x , y ) x





2.2 Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng z'x và z'y

của hàm z f (x, y)  được gọi là đạo hàm riêng cấp 1.Đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm là đạo hàm riêng (cấp 1) của đạo hàm riêng cấp 1 của hàm đó Hàm 2 biến có bốn đạo hàm riêng cấp 2 sau:

2

2

2 ''

2 x

2 ''

2 y

2 ''

xy

2 ''

2.3 Bài tập minh họa

Bài 1: Tính đạo hàm riêng cấp hai của z(x, y) x 2  xy y 2

II ỨNG DỤNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1 Ứng dụng bài toán cực trị

Bài 1: Xưởng mộc Việt Bách

Xưởng mộc của anh Bách sản xuất bàn và ghế cao cấp, rồi đem bán chúng với giá lần lượt p1 = 1000, p2 = 600 (nghìn đồng) và hàm chi phí sản xuất là C = 3Q12 + 2Q1Q2 + Q2 (nghìn đồng) (Q1, Q2) lần lượt là số bàn và số ghế sản xuất) Hãy xác định cơ cấu sản xuất (Q1, Q2) giúp xưởng anh Bách để lợi nhuận xưởng thu được là tối đa (Anh Bách có nhiều khách hàng nên chắc chắn sẽ bán hết)

Bài 2: Đăng Quang Watch và chiến lược sản xuất Tết Nguyên Đán

Trong dịp Tết Nguyên Đán 2023, doanh nghiệp Đăng Quang Watch dự định sản xuất 10 000 chiếc đồng hồ gồm 2 loại đồng hồ cơ và đồng hồ điện tử Sản xuất đồng hồ

cơ với số lượng x (chiếc) với hàm chi phí là: Cx = 0,02x2+140 x +18600 (nghìn đồng ) Sản

xuất đồng hồ điện với số lượng y chiếc với hàm chi phí là: Cy = 0,03y2+144 y +10400

2 Ứng dụng bài toán tích phân suy rộng

* Ứng dụng của tích phân suy rộng hiện nay có rất nhiều ứng dụng như: Trong phươngdiện hình học tích phân suy rộng được dùng để tính diện tích miền, diện tích thể tích của vật thể tròn xoay (tạo bởi khi xoay miền giới hạn bởi quanh trục Ox) và công thức tích phân suy rộng có thể sử dụng trong việc tính diện tích hình thang cong (trong trường hợp không chặn cận trên) và 1 số ứng dụng khác

Bài 1: Tính diện tích miền D giới hạn bởi 2

1

dx S(D)

i) Một mặt, vì diện tích mặt là +∞, bạn cần một lượng vô hạn sơn để sơn nó

ii) Mặt khác, vì miền giới hạn bởi vật đó có thể tích hữu hạn, bạn có thể đổ đầy nó bằng một lượng hữu hạn sơn (ở đây là π đơn vị thể tích), và khi đó toàn bộ mặt trongcủa nó sẽ được sơn

* Công thức tích phân suy rộng có thể sử dụng trong việc tính diện tích hình thang cong trong trường hợp không chặn cận trên

Cho f(x) là hàm không âm Tính diện tích của miền giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), đường thẳng x=a và trục Ox

Mặc dù miền này có phạm vi (có thể) không bị chặn nhưng diện tích của nó có thể hữu hạn hoặc vô hạn Để tính diện tích này, trước hết, ta tính diện tích của miền bị giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), đường thẳng x = a, x = b (với a < b) và trục Ox Rõ ràng, diện tích này được tính bằng công thức tích phân xác định từ a đến b của f(x) (giả thiết cho hàm f(x) không âm nên ta có thể bỏ dấu trị tuyệt đối)

Nhận xét rằng, nếu cho các giá trị b khác nhau, với b càng tiến ra xa theo chiều dương của trục Ox thì kết quả tích phân thu được càng gần đúng với giá trị diện tích cần tìm.

Do đó, để thu được diện tích cần tính, ta cho b tiến tới dương vô cực, dẫn đến phép tính tìm giới hạn của tích phân khi b tiến đến dương vô cực Nếu giới hạn tồn tại và là

1 số hữu hạn, thì giới hạn đó chính là diện tích cần tìm Như vậy, diện tích (nếu có) chính là công thức tích phân suy rộng Trong trường hợp đó, tích phân được gọi là hội

tụ Ngược lại, tích phân suy rộng được gọi là phân kì

* Trong kinh tế, tích phân suy rộng được dùng trong bài toán giá trị tài sản tích lũy

Ví dụ bài toán kinh tế:

Giá trị hiện tại tích lũy A của dòng tiền liên tục chảy vào khoản đầu tư P đô la mỗi năm

từ bây giờ cho đến T năm trong tương lai được cho bởi:

T

kt 0

A Pe dt

 

, trong đó k là lãi suất, ghép lãi liên tục

Nếu dòng tiền sẽ tiếp tục vĩnh viễn (mãi mãi), thì hãy lấy giới hạn tại t tiến tới vô

cực và

kt 0

- Giới hạn của hàm số

Với các kiến thức trên giúp ta không chỉ giải quyết các dạng bài tập về giới hạn, đạo hàm riêng, ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến và tích phân suy rộng Chúng còn hữu ích trong việc rèn luyện tư duy còn có thể vận dụng trực tiếp vào ngành nghề sau này, đặc biệt là các sinh viên thuộc khối ngành kinh tế, kỹ thuật Các kiến thức này còn giúpchúng ta nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề của cuộc sống đặt ra nhằm hoàn thiện hơn cho việc hình thành nhân cách sau này để trở thành một công dân có ích trong xã hội

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Chúc Hoàng Nguyên (Chủ biên), 2014 Giáo trình Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục Việt Nam

[2] Nguyễn Đình Trí, 2010.Toán học cao cấp - Tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam

[3] Hệ thống học kết hợp trường Đại học Công Nghiệp Hà Nội

[4] Phạm Thị Mai Dung – Nguyễn Hữu Thành (2010), Giáo trình toán ứng dụng, ĐH Công nghiệp Dệt may Hà Nội

[5] https://blog.marathon.edu.vn/tich-phan-suy-rong/

[6] https://thosuaxe.info/gioi-han-ham-so/

[7] https://tailieu.vn/tag/ung-dung-cuc-tri-ham-nhieu-bien.html