skkn cấp tỉnh ứng dụng hàm số trong giải một số bài toán về phương trình bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG PHỔ THÔNG NGUYỄN MỘNG TUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người th

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NGUYỄN MỘNG TUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Trần Lương Hải

Chức vụ: Phó tổ trưởng chuyên môn

Đơn vị công tác: Trường PT Nguyễn Mộng Tuân

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học

Đông Sơn, tháng 5 năm 2024

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU……… …1

1 Lí do chọn đề tài……… …….…1

2 Mục đích nghiên cứu……….……… …….…1

3 Đối tượng nghiên cứu……… …….…2

4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

5 Những điểm mới của sáng kiến……… … 2

PHẦN II: NỘI DUNG……….….……… 2

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIẾN……….………

… 2

1.1 Cơ sở lí luận ……….………….…….2

1.2 Cơ sở thực tiễn… ……….……….… 3

2 NỘI DUNG BIỆN PHÁP THỰC HIỆN……….….………….4

2.1 Cơ sở lí thuyết……….….……….……….……….……… 4

2.2 Ứng dụng hàm số để giải phương trình, bất phương Trình……… 5

2.2.1 Ứng dụng hàm số để giải phương trình……… … 5

2.2.2 Ứng dụng hàm số để giải bất phương trình……….… 6

2.3 Bài tập vận dụng: ……….… ….……….……….… … 6

2.3.1 Ứng dụng hàm số để giải phương trình ……….… 6

2.3.2 Ứng dụng hàm số để giải và biện luận phương trình……….… 9

2.3.3 Ứng dụng hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thoả mãn điều kiện cho trước ……….… 12

2.4 Một số bài tập tự giải: ……….….……….… 18

3 KẾT QUẢ VÀ ỨNG DỤNG……….… ………20

3.1 Hiệu quả về mặt định tính……….… ……….…20

3.2 Hiệu quả về mặt định lượng……….… ………20

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….… ………21

PHỤ LỤC……….… ………….… ………… ………22

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình Toán học phổ thông, phương trình và bất phương trình ( PT

và BPT) là một phần kiến thức rất quan trọng, với lượng kiến thức lớn và xuyênsuốt chương trình Toán học bậc trung học phổ thông, từ PT, BPT Đại số lớp 10,

PT lượng giác lớp 11 cho đến PT, BPT mũ và lôgarit lớp 12 Các bài tập về PT vàBPT rất phong phú và đa dạng với nhiều dạng bài tập, nhiều mức độ khác nhau.Mỗi dạng lại có nhiều phương pháp giải khác nhau và luôn là thách thức, đồng thờicũng là sự sự kích thích tìm tòi sáng tạo, là nguồn cảm hứng lớn đối với học sinh

và cả các nhà nghiên cứu Toán học trên toàn thế giới

Như chúng ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình chiếm mộtlượng khá lớn trong chương trình Toán học phổ thông Tuy nhiên trong số các bàitập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương phápthông thường (trong phân phối chương trình), nhất là bậc trung học phổ thông hoặc

có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp

Trong khi đó giữa PT, BPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ với nhau vàkhi định nghĩa PT, BPT, người ta cũng dựa trên khái niệm hàm số Do đó, nếu tabiết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì chúng sẽ đơn giản hơn Tuy nhiênkhông phải bài toán nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng hàm số để giải

là rất lớn Chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Ứng dụng hàm

số trong giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình" với mong muốn

giúp các em học sinh THPT, đặc biệt là các em HS lớp 12 đang chuẩn bị bước vào

kì thi tốt nghiệp THPT năm 2024 này

Thực tế khi áp dụng đề tài này vào việc giảng dạy cho HS lớp 12 ở các lớp tôiđang giảng dạy đã mang lại được hiệu quả đáng kể không chỉ riêng đối với họcsinh có nguyện vọng thi Đại học mà còn gây hứng thú, kích sự say mê học Toáncủa cả các em chỉ có nguyện vọng thi Tốt nghiệp THPT

Dù dã cố gắng nhưng với cách nhìn chủ quan của cá nhân tôi chắc chắn khôngthể tránh khỏi thiếu sót Rất mong được sự góp ý chân thành của các em học sinh

và các bạn động nghiệp giúp tôi có cơ sở để hoàn thiện hơn cho đề tài của mình để

có thể áp dụng tốt hơn cho các khóa học sinh sau

2 Mục đích nghiên cứu:

Việc áp dụng đề tài SKKN "Ứng dụng hàm số trong giải một số bài toán về

phương trình, bất phương trình" nhằm đạt được một số mục đích sau đây:

- Trang bị cho học sinh một phương pháp giải PT, BPT mang lại hiệu quả rõ nét, giúp các em tự tin hơn trong việc tự học, tự rèn luyện kĩ năng giải PT, BPT

- Bồi dưỡng cho học sinh một phương pháp, kỹ năng giải toán, kĩ năng nhận biết một số bài toán giải PT, BPT có khả năng áp dụng hàm số để giải Qua đó học

sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.

3 Đối tượng nghiên cứu:

- Chủ thể nghiên cứu: Các dạng toán giải PT, BPT nằm trong chương trình

toán phổ thông bao gồm cả các phương trình chứa tham số mà nếu áp dụng phươngpháp giải trong phạm vi sách giáo khoa sẽ rất khó thậm chí không thể

giải được mà phải áp dụng hàm số để giải

- Khách thể nghiên cứu: 32 học sinh lớp 12A2 và 47 học sinh lớp 12A7

Trường PT Nguyễn Mộng Tuân

4 Phương pháp nghiên cứu:

Ở đề tài này, khi giảng dạy cho học sinh, tôi đã cung cấp cho học sinh lí thuyết

cơ bản về hàm số, đồ thị hàm số, sự tương giao của hai đồ thị Thông qua hệ thốngcác ví dụ cụ thể từ đễ đến khó, kết hợp với sử dụng hình ảnh sinh động trực quan

về đồ thị hàm số thông qua các phần mềm toán học Geogebra nhằm giúp cho họcsinh từ việc tiếp cận để thấy được ưu thế của việc sử sụng hàm số trong việc giải

PT và BPT, giải và biện luận PT và BPT chứa tham số dẫn đến việccác em mạnhdạn, tự tin áp dụng và tiến tới việc tìm tòi sáng tạo trong việc giải PT và BPT.Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp như sau:

+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu;

+ Phương pháp nghiên cứu quan sát các sản phẩm hoạt động của học sinh;+ Phương pháp thống kê xử lý số liệu

+ Phương pháp phân tích, tổng hợp

5 Những điểm mới của sáng kiến:

Sử dụng phần mềm Geogebra trực tiếp giảng dạy, giúp học sinh có cách nhìntrực quan về sự tương giao của hai đồ thị Qua đó giúp các em hiểu rõ bản chất củahàm số và ứng dụng của hàm số vào việc giải các bài toán về PT và BPT, gây hứngthú học tập cho các em, kích thích sự say mê, sáng tạo trong học tập

PHẦN II: NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIẾN

1.1 Cơ sở lí luận

Giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo củahọc sinh trong học tập, phù hợp với từng môn học, từng đối tượng học sinh; bồidưỡng cho học sinh khả năng tự học, vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn.Môn Toán là môn khoa học tự nhiên rất quan trọng, có liên quan đến nhiều mônhọc khác, tuy nhiên kiến thức toán chương trình THPT lại rất rộng và khó Muốnhọc tốt môn Toán, ngoài việc phải nắm được lí thuyết một cách có hệ thống, họcsinh còn phải biết biết vận dụng linh hoạt lí thuyết đó vào từng dạng bài tập cụ thể

Muốn vậy học sinh phải có kiến thức, có tư duy logic, học phải đi đôi với hành Trong chương trình sách giáo khoa cấp 3 chỉ nêu một số cách giải PT và BPTđơn giản, sự tương giao của hai đồ thị cũng chỉ trình bày ở mức độ đơn giản Trongkhi nhiều vài tập vận dụng cao về PT, BPT trong các đề thi tốt nghiệp TPHT, đềthi học sinh giỏi THPT lại có những bài tập không thể giải được bằng các phươngpháp thông thường mà đòi hỏi phải vận dụng kiến thức về hàm số.

Trên cơ sở đó, tôi tôi mạnh dạn đưa ra SKKN "Ứng dụng hàm số trong giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình" với mục đích giúp cho học

sinh THPT có thêm kiến thức, biết nhận dạng một số bài PT, BPT nói trên và ápdụng hàm số để giải được các PT, BPT cũng như các bài toán giải và biện luận PT,BPT chứa tham số đó Đồng thời có nguồn tài liệu bổ sung cho các đồng nghiệplàm tư liệu dạy học

1.2 Cơ sở thực tiễn

Năm học 2023 - 2024 tôi được nhà trường phân công giảng dạy môn Toán lớp12A2 có 32 học sinh và lớp 12A7 có 47 học sinh Qua thời gian dạy học tôi nhậnthấy khi giải một số PT, BPT trong sách giáo khoa thì đa phần các em giải được,nhưng khi giải một số bài toán vận dụng cao trong các đề thi tốt nghiệp THPT vàcác đề thi thử tốt nghiệp THPT của các trường thì các em đều không giải được Do

đó một số học sinh chỉ có nguyện vọng thi tốt nghiệp thì không có hứng thú vìvượt quá khả năng; Các em có nguyện vọng thi Đại học thì cảm thấy khó khăn vàmất rất nhiều thời gian tìm tòi, nghiên cứu tài liệu, các video bài giảng trên mạnginternet, tuy nhiên vẫn chưa thực sự hiểu và vận dụng tốt

Để có số liệu đánh giá đúng thực trạng và có cơ sở đánh giá tính hiệu quả củacác biện pháp thực hiện, đầu năm học tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để nắm rõđặc điểm tình hình học sinh cụ thể hơn

- Nội dung khảo sát:

+ Khảo sát về mức độ hứng thú trong học tập môn Toán đối với các bài toán

PT và BPT

+ Khảo sát về chất lượng học tập môn Toán đối với các bài toán PT và BPT

- Đối tượng khảo sát: 32 học sinh lớp 12A2 có lực học khá và 47 học sinh lớp

12A7 có lực học trung bình Trường PT Nguyễn Mộng Tuân

- Thời gian khảo sát: Đầu tháng 12 năm 2023.

- Đánh giá kết quả khảo sát:

+ Về hứng thú học tập, 3 mức độ: Hứng thú; Bình thường và Không hứng thú.+ Về chất lượng bộ môn với 4 mức độ: Tốt; Khá; Đạt; Chưa đạt

- Kết quả khảo sát trước khi áp dụng đề tài

+ K t qu kh o sát v h ng thú h c t p:ết quả khảo sát về hứng thú học tập: ả khảo sát về hứng thú học tập: ả khảo sát về hứng thú học tập: ề hứng thú học tập: ứng thú học tập: ọc tập: ập:

Nhận xét: Từ kết quả khảo sát cho thấy, đối với những bài toán trong chuyên đề

PT, BPT khi chưa nắm được phương pháp giải toán thì còn nhiều học sinh chưa cóhứng thú đối với Khi không có hứng thú học tập, các em mất tập trung, không tíchcực, chủ động trong học tập vì vậy mà kết quả học tập chưa cao, năng học tập cũngchưa được hình thành và phát triển

Như vậy, giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm kiến thức, phương pháp,

kỹ năng giải toán, kĩ năng nhận biết một số bài toán giải PT, BPT, hướng dẫn họcsinh áp dụng hàm số để giải được các dạng toán đó Từ đó học sinh có hứng thúhọc tập, tự tin học tập, nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo Trong năm học 2023 -

2024 tôi đã thực hiện các giải pháp sau đây

2 NỘI DUNG BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

2.1 Cơ sở lí thuyết

Tính chất 1: Cho phương trình: ( ) f x g x( )xác định trên tập D.

Nếu một trong hai hàm số f x( )hoặcg x( )là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàmhằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm

đó là duy nhất

Tính chất 2: Cho phương trình f x( )m xác định trên tập D.

Điều kiện cần và đủ để PT có nghiệm là m thuộc miền giá trị của hàm số f x( )

Tính chất 3: Cho phương trình f x( )m xác định trên tập D.

Nếu f x( )là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có không

quá một nghiệm

Tính chất 4: Cho bất phương trình: f x( )0 m ( hoặc f x( )0 m)

i) Nếu f x( )là hàm đơn điệu tăng trên tập D và tồn tại x0D sao có f x( )0 m thì tập nghiệm của bất PT là: T D( ;x0 ) hoặc T D  ( ; )x0 )

ii) Nếu f x( )là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0D sao có f x( )0 m thì

tập nghiệm của bất PT là: T D  ( ; )x0 (hoặc T D( ;x0 )).

Tính chất 5: Cho hàm số f x( ) xác định trên tập D

1 ( )f x m, x D min ( )

D

m f x Khi đó trên tập D, mọi điểm thuộc đồ thị

hàm số f x( ) đều nằm phía trên hoặc thuộc đường thẳng y m

2 ( )f x m, x D mmax ( )D f x Khi đó trên tập D, mọi điểm thuộc đồ thị

hàm số f x( ) đều nằm phía dưới hoặc thuộc đường thẳng y m

3 f x( )m có nghiệm x D  mDmax ( )f x Khi đó trên tập D, tồn tại ít nhất

một điểm thuộc đồ thị hàm số f x( ) nằm phía trên hoặc thuộc đường thẳng y m

4 f x( )m có nghiệm x D  mmin ( )D f x Khi đó trên tập D, tồn tại ít nhất

một điểm thuộc đồ thị HS f x( ) nằm phía dưới hoặc thuộc đường thẳng y m

5 Nếu f x( )là hàm số đơn điệu tăng trên D và tồn tại u, v D Khi đó:

Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng ( ) f x g x( ) (hoặc ( ) f u g u( ))

Bước 2: Xét hai hàm số yf x( ) và y g x ( ) trên D

* Tính f x'( ), xét dấu f x'( ), kết luận tính đơn điệu của HS yf x( ) trên D

* Tính g x'( ), xét dấu g x'( ), kết luận tính đơn điệu của HS y g x ( ) trên D

* Kết luận hai hàm số yf x y g x( );  ( ) đơn điệu ngược nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng

* Tìm x sao cho 0 f x( )0 g x( )0 (hoặc tìm u sao cho 0 f u( )0 g u( )0 )

Bước 3: Kết luận:

* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x = x o (hoặc u = u o rồi giải

phương trình u = u o)

* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

Dạng 2: PT đã cho biến đổi được về dạng ( )f u f v( ) trong đó u u x ( ), v v x ( )

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f (u) = f (v)

Bước 2: Xét hàm số y = f (x) trên D

* Tính f x'( ), xét dấu f x'( )

* Kết luận hàm số y f x( ) là hàm số đơn điệu trên D.

Bước 3: Kết luận:

* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u v , giải PT: u v

* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

2.2.2 Ứng dụng hàm số để giải bất phương trình

Phương pháp chung:

Dạng 1: BPT biến đổi về dạng ( )f x g x( ) (hoặc ( ) f u g u( )) trong đó u u x ( )

Bước 1: Biến đổi BPT đã cho về dạng ( ) f x g x( ) (hoặc ( ) f u g u( ))

Bước 2: Xét hai hàm số yf x y g x( );  ( ) trên D

* Tính f x'( ), xét dấu f x'( ), kết luận tính đơn điệu của hàm số yf x( ) trên D

* Tính g x'( ),xét dấu g x'( ), kết luận tính đơn điệu của hàm số y g x ( ) trên D

* Tìm x sao cho 0 f x( )0 g x( )0 (hoặc tìm u sao cho 0 f u( )0 g u( )0 )

* Nếu f x( ) đơn điệu tăng, g x( ) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho

Dạng 2: BPT biến đổi được về dạng ( )f u  f v( ) trong đó u u x v v x ( ),  ( )

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng ( ) f u  f v( )

Bước 2: Xét hàm số yf x( ) trên tập D

* Tính f x'( ), xét dấu f x'( ) Kết luận hàm số yf x( ) đơn điệu trên tập D

* Nếu f x đơn điệu tăng thì: ( )  f u  f v( ) u v x D , 

* Nếu f x đơn điệu giảm thì: ( )  f u  f v( ) u v x D , 

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho

dụng hàm số giải các phương trình này.

5 3 6

3 2

Mặt khác ta có: f  3 6 nên x = 3 là một nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Đặt t = x2  x5 với t e , thì phương trình trên trở thành: log2 3

Từ đó, vế trái của phương trình (2) là hàm nghịch biến  t e; vế phải là hằng số

Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

1 132

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

Lại có: f(3) 3 ; do đó, bất phương trình có nghiệm x thì x (3;)

Vậy tập nghiệm là: T 2;4 (3; ) 3;4

b) 4 2x 1 (x2  x1) x3 6x2 15x 14 (1)

TXĐ: D =  , BPT (1)  2x 1 (2 x 1)2 3 (x 2)33x 6

 2x 13 3 2x 1 ( x 2)33(x 2) (2)Xét hàm số: f x( )x33x là hàm số đồng biến trên 

Vậy nghiệm của bất phương trình là x 1 và  x 3

2.3.2 Ứng dụng hàm số để giải và biện luận phương trình

Bài 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:

Giải:

a 2 4 3

2

x

x  x  m (1)

Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phương pháp thông thường Tuy nhiên,

nếu giải bằng phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp Ta

sẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đồ thị hàm số y f x( ) và đường thẳng y m

Dựa vào bảng biến thiên ta có kết quả biện

luận sau:

Nếu 3

2

thị hàm số yf x( ) không có điểm chung

do đó phương trình (1) vô nghiệm

Minh họa bằng đồ thị

3 1

O

y

x

y = m m

3 2

-2 1

O y

x

y = m m

3 2

-2 1