Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình và hệ bất phương trình

Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH,BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ,HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Biên soạn: Trịnh Xn Tình Phần I: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Phương pháp 1:Phương pháp giải dạng bản: g  x  0 1/ f  x  g  x    f  x  g  x  2/ f  x   g  x   h  x  Bình phương hai vế 1-(ĐHQGHN KD-1997) 16x  17 8x  23 2-(ĐH Cảnh sát -1999) x  x  11 31 3-(HVNHHCM-1999)  x  4x  2x 4-(ĐH Thương mại-1999) Giải biện luận pt: m  x  3x  x 5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: 5x   6-(ĐGKTQD-2000) 3x   x  mx  2x  x  0 x  x  1  x  x   2 x 7-(ĐHSP HN) x   2x   3x  3x   2x   x  8-(HVHCQ-1999) 9-(HVNH-1998) 10-(ĐH Ngoại thương-1999)  x  x2   x  x 1 Phương pháp 2: phương pháp đặt ẩn phụ: I-Đặt ẩn phụ đưa pt pt theo ần phụ: Dạng 1: Pt dạng: Cách giải: Đặt 2 ax  bx  c  px  qx  r a b  p q t  px  qx  r ĐK t 0 2-(ĐH Ngoại ngữ -1998)  x     x  3 x  3x  x    x  1  x  5x  6 3-(ĐH Cần thơ-1999) (x  1)(2  x) 1  2x  2x 1-(ĐH Ngoại thương-2000) 4- 4x  10x  5 2x  5x  5- 18x  18x  3 9x  9x  3x  21x  18  x  7x  2 Dạng 2: Pt Dạng: P(x)  Q(x)   P(x).Q(x) 0   0  P  x  0 Cách giải: * Nếu P  x  0  pt   Q  x  0 Q x * Nếu P  x  0 chia hai vế cho P  x  sau đặt t  P x 6- 1-(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 2- x  3x  3 x    t 0 x   m x  2 x  3- x  5 x    Dạng 3: Pt Dạng :   P  x   Q  x      P x  Q x 2 P  x  Q  x    0   2 0    t  P  x   Q  x   t P  x   Q  x  2 P  x  Q  x  1-(ĐHQGHN-2000) 1 x  x2  x  1 x 2-(HVKTQS-1999) 3x   x  4x   3x  5x  Cách giải: Đặt 3-(Bộ quốc phòng-2002) 2x   x  3x  2x  5x   16 4- 4x   2x  6x  8x  10x   16 x   x  2 x   2x  Dạng 4: Pt Dạng: a  cx  b  cx  d  a  cx   b  cx  n Trong a, b,c,d, n số , c  0,d 0 Cách giải: Đặt t  a  cx  b  cx ( a  b  t   a  b  5-(CĐSPHN-2001) 1-(ĐH Mỏ-2001) 2- x   x 2  3x  x  x   x    x    x  3 3-(ĐHSP Vinh-2000) Cho pt: x 1   x  a/ Giải pt m 2 4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt  x  1   x  m b/Tìm gt m để pt có nghiệm  x   x  (1  x)(8  x) a a/Gpt a 3 b/Tìm gt a để pt có nghiệm 5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm gt m để pt có nghiệm x    x  (x  1)(3  x) m 6-(ĐH Ngoại ngữ-2001) x    x  (x  1)(4  x) 5 x  a  b  2a x  b  x  a  b  2a x  b cx  m Trong a, b,c, m số a 0 Cách giải : Đặt t  x  b ĐK: t 0 đưa pt dạng: t  a  t  a c(t  b)  m Dạng 5: Pt dạng: 1-(ĐHSP Vinh-2000) x  1 x   2-(HV BCVT-2000) x2 x  1 3-(ĐHCĐ KD-2005) x  4 x   x 1  x   x 1  x 2 x  1 x  x   56- x  x  2 x   x 1  4-(ĐH Thuỷ sản -2001) x   x  1 Xét pt: x 6 x   x  x   x m x 3 x 5 a/ Giải pt m 23 b/ Tìm gt m để pt có nghiệm II-Sử dụng ẩn phụ đưa pt ẩn phụ ,cịn ẩn ban đầu coi tham số: 1- 6x  10x    4x  1 6x  6x  0 2-(ĐH Dược-1999)  x  3 10  x x  x  12   x  x  2x  x  2x  3-(ĐH Dược-1997) 4-  4x  1 x  2x  2x  5-   x  x  x  x  3x  6-(ĐHQG-HVNH KA-2001) x  3x  (x  3) x  III-Sử dụng ẩn phụ đưa hệ pt: Dạng 1: Pt Dạng: x n  a b n bx  a  x n  by  a 0 Cách giải: Đặt y  bx  a ta có hệ:  n  y  bx  a 0 1-(ĐHXD-DH Huế-1998) x   x 1 2- x  x  5 3- x  2002 2002x  2001  2001 0 4- (ĐH Dược-1996) x  2 2x  Dạng 2: Pt Dạng: ax  b r  ux  v   dx  e a, u, r 0 Và u ar  d, v br  e uy  v r  ux  v   dx  e Cách giải: Đặt uy  v  ax  b ta có hệ:  ax  b  uy  v  1-(ĐHCĐ KD-2006) 2x   x  3x  0 23- 3x   4x  13x  2x  15 32x  32x  20 45- x   x  x   x  4x  6x  3  x  x n a  f x  m b  f x c Dạng 3: PT Dạng:     u  v c n m Cách giải: Đặt u  a  f  x  , v  b  f  x  ta có hệ:  n m u  v a  b 1-(ĐHTCKT-2000)  x 1  x  2- x  34  x  1 3- x   x  3 4- 97  x  x 5 5- 18  x  x  3 n Phương pháp 3: Nhân lượng liên hợp: Dạng 1: Pt Dạng: f  x   a  f  x  b Cách giải: 1-  f  x   a  f  x  b Nhân lượng liên hợp vế trái ta có hệ:   f  x   a  f  x  a b 4x  5x   4x  5x  3 3- 3- (ĐH Ngoại thương-1999 ) 2-  x  x2  3x  5x   3x  5x  2  x  x 1 x  3x   x  3x  3 1  1 5-(HVKTQS-2001) x 4  x 2 x 2  x Dạng 2: Pt Dạng: f  x   g  x  m  f  x   g  x   x 3 1-(HVBCVT-2001) 4x   3x   2-(HVKTQS-2001) 3(2  x  2) 2x  x  4-(ĐH Thương mại-1998) Phương pháp 4:Phương pháp đánh giá: 1- x    x  x  6x  11 3-(ĐHQGHN-Ngân hàng KD-2000) 4-(ĐH Nông nghiệp-1999) x  x   x  x  x  x  4x   4x  1 x  2x   x  2 2- Phương pháp 5:Phương pháp đk cần đủ: 1-Tìm m để pt sau có nghiệm nhất: x   x m x    x m x   x  x   x m 2- Tìm m để pt sau có nghiệm 3- Tìm m để pt sau có nghiệm Phương pháp 6: Phương pháp hàm số (Sử dụng đạo hàm) 1-(ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm : m    x   x  2  x   x   x 2- - Tìm m để pt sau có nghiệm : 1*/  x mx  m  2*/ x 1  (ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: x  1  x  18  3x 2m  x   m x  2 x  4-(ĐHCĐKB-2007) CMR m  pt sau có 2nghiệm pb: x  2x   m(x  2) 5- 1*/ 2*/ x  x   x   x  16 14 3*/ x   x  4x  2x   x  4  x 6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m để pt sau có nghiệm: x  2x   x  2x  m Phần II: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Phương pháp 1: Phương pháp giải dạng bản: 1/  g(x)   f (x) 0  f (x)  g(x)    g(x) 0   f (x)  g (x) 3/ f (x)  g(x)  h(x) 1-(ĐHQG-1997) 2-(ĐHTCKT Tphcm-1999) 3-(ĐH Luật 1998) 4-(ĐH Mỏ-2000) 5-(ĐH Ngoại ngữ) 6-(ĐHCĐKA-2005) 7-(ĐH Ngoai thương-2000) 8-(ĐH Thuỷ lợi -2000) 9-(ĐH An ninh -1999) 10-(ĐHBK -1999) 11-(ĐHCĐ KA-2004) g(x)   2/ f (x)  g(x)  f (x) 0  f (x)  g (x) Bình phương hai vế bpt  x  6x    2x 2x  8  x x  2x    x (x  1)(4  x)  x  x 5  x 4  x 3 5x   x   2x  x   2x    x x    x   2x 5x   4x  3 x x 1   x  2(x  16) 7 x  x  x x Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương f (x) 0 g(x) f (x) 0 2/ g(x) 1/ Lưu ý: 1*/ f (x)  f (x)    g(x)  g(x)  f (x)  f (x)    g(x)  g(x)  B   A  B A 1  B 2*/ 51  2x  x 1-(ĐHTCKT-1998) 1 1 x 3-(ĐH Ngoại ngữ -1998)   4x 3 x B   A 0  A  B B  A 1   hay B A 0 2-(ĐHXD)  3x  x   2 x 4-(ĐHSP)  x  4x  2 x Phương pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp: x2 1-(ĐHSP Vinh-2001) 1 1 x   x  2-(ĐH Mỏ-1999) 34(x  1)  (2x  10)(1  Phương pháp 3:Xác định nhân tử chung hai vế: 1-(ĐH An ninh -1998) x2  x   x2 2-(ĐHBK-2000) 2x 3   2x  x  21  2x )  2x   x  4x  x  3x   x  6x   2x  9x  3-(ĐH Dược -2000) x  8x  15  x  2x  15  4x  18x  18 4-(ĐH Kiến trúc -2001) x  4x   2x  3x  x  Phương pháp 4: Đặt ẩn phụ: 1-(ĐH Văn hoá) 5x  10x  7  x  2x 2-(ĐH Dân lập phương đông -2000) 2x  4x  3  2x  x  3-(HV Quan hệ qt-2000) (x  1)(x  4)  x  5x  28 4-(ĐH Y-2001) 2x  x  5x   10x  15 5-(HVNH HCM-1999) x(x  4)  x  4x  (x  2)  3 x  2x  7 2x x x  2x  2 2x x 6-ĐH Thái nguyên -2000) 7-(ĐH Thuỷ lợi) 8-(HV Ngân hàng 1999) x 2 x  1 x x  3 9- Cho bpt:  (4  x)(2  x) x  2x  a  18 a/ Giải bpt a 6 b/Tìm a để bpt nghiệm x    2; 4 10-Xác định m để bpt sau thoả mãn đoạn : (4  x)(6  x) x  2x  m   4;6 Phương pháp 5: Phương pháp hàm số: 1-(ĐH An ninh-2000) 7x   7x   49x  7x  42  181  14x x  x   x  7x  35  2x 2- x   x   x  7x  10   2x 4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/ 4x   16  4x m 3- b/ Phần III: 2x  m  x HỆ PHƯƠNG TRÌNH A- số hệ pt bậc hai I-hệ pt đối xứng loại 1*/ Định nghĩa: f (x; y) 0 Trong f (x; y) f (y; x),g(x; y) g(y; x)  g(x; y)   Đặt S x  y, P  xy ĐK: S2 4P 2*/ Cách giải: Dạng 1: Giải phương trình  x  y  xy 11 1-(ĐHQG-2000)  22 x  y  3(x  y)  28   x  y  xy 11 3-(ĐHGTVT-2000)  4-(ĐHSP-2000) x y  y x  30  1  x  y   5  x y 5- (ĐH Ngoại thương-1997)  x  y2    x y2  x y  y x 30   x x  y y 35  x  y  xy 7  4 2  x  y  x y 21 9  x  y  xy 3  x  y 5 6-(ĐH Ngoại thương -1998)  7-(ĐHCĐKA-2006)  2  x  x y  y 13  x   y  4 Dạng 2: Tìm ĐK để hệ có nghiệm:  x  y 1 1-(ĐHCĐKD-2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm:   x x  y y 1  3m  x  y  xy a 2Tìm a để hệ sau có nghiệm:  2  x  y a  x  y  x  y 8 3-Cho hệ pt:   xy(x  1)(y  1) m a/ Giải hệ m 12 b/ Tìm m để hệ có nghiệm  x  xy  y m  4-Cho hệ pt:  2  x y  y x m a/ Giải hệ m=-2 b/ Tìm m để hệ có nghiệm  x; y  thoả mãn x  0, y   x  y 2(1  m) 5- Tìm m để hệ có hai nghiệm:   x  y  4 1  x   y  5  x y 6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm:   x   y3  15m  10  x3 y3 Dạng 3: Tìm ĐK để hệ có nghiệm  x  y  xy m  1-(HHVKTQS-2000) Tìm m để hệ sau có nghiệm  2  x y  y x m   x  xy  y 2m  2-(ĐHQGHN-1999) Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất:   xy(x  y) m  m  x y  y x 2(m  1) 3- Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất:  2xy  x  y 2(m  2) Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số : Nếu ba số x, y, z thoả mãn x  y  z nghiệm pt: t  pt  qt  r 0 1-Giải hệ pt sau :  x  y  z 1  a/  xy  yz  zx   3  x  y  z 1 p, xy  yz  zx q, xyz r chúng  x  y  z 1  2 b/  x  y  z 1  3  x  y  z 1   x  y  z 9  c/  xy  yz  zx 27 1 1    1  x y z  x  y  z 8 2- Cho hệ pt:  Giả sử hệ có nghiệm  xy  yz  zx 4 8 CMR: x, y, z  3 II-Hệ phương trình đối xứng loại 10 f (x; y) 0 : f (x; y) g(y; x),f (y; x) g(x; y)  g(x; y)   f (x; y)  g(x; y) 0 (x  y)h(x; y) 0  2*/ Cách giải: Hệ pt   f (x; y) 0 f (x; y) 0  x  y 0 h(x; y) 0  hay  f (x; y) 0 f (x; y) 0 1*/ Định nghĩa Dạng 1: Giải phương trình: y  x  3y   x 1-(ĐHQGHN-1997)   y  3x 4 x y   2x    y x 3-(ĐHQGHN-1999)  2y    x y  5-(ĐH Văn hoá-2001)    x 3x  8y 2-(ĐHQGHN-1998)   y 3y  8x  x  2y 4-(ĐH Thái nguyên-2001)   y  2x  7x  y  x    y 4 6-(ĐH Huế-1997)  y    x 4 7y  x   Dạng 2:Tìm đk để hệ có nghiệm:  x   y   m 1-(ĐHSP Tphcm-2001) Tìm m để hệ có nghiệm:   y   x   m 2x  y  m 2- Tìm m để hệ có nghiệm:  2y  x  m Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm 11 0 x 0 y2  x  1  y  a 1-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất:  (y  1) x  a  xy  x m(y  1) 2- Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất:   xy  y m(x  1)  x  y axy  3- Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất:   y  x axy  III - Hệ phương trình đẳng cấp: */ Hệ pt gọi đẳng cấp pt hệ có dạng */ Cách giải: Đặt x  ty */ Lưu ý: Nếu (a; b) nghiệm hệ Dạng 1: Giải phương trình: ax  bxy  cy d (b;a) nghiệm pt 2x  3xy  y 12 1-(ĐHPĐ-2000)  2-(ĐHSP Tphcm-2000) 2  x  xy  3y 11  x y  xy 30 3-(ĐH Mỏ-1998)  3  x  y 35  x  2xy  3y 9  2 2x  2xy  y 2 Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm, có nghiệm 3x  2xy  y 11 1-(ĐHQG HCM-1998) Tìm m để hệ sau có nghiệm :  2  x  2xy  3y 17  m  x  2xy  3y 8 2-(ĐHAnninh2000)Tìm ađể hệ có nghiệm:  2 2x  4xy  5y a  4a  4a  12  105  x  mxy  y m  3m  3-Tìm m để hệ sau có nghệm diuy nhất:  2  x  2xy  my m  4m  B- Một số phương pháp giải hệ pt : Phương pháp 1:Phương pháp thế:  x  y m  1-(ĐHSP Quy nhơn -1999) Cho hệ pt:  2  x y  y x 2m  m  12 1/ Giải hệ m 3 2/Tìm m để hệ có nghiệm  x  y  x  y 2  x  y  x  y 2-(ĐHCĐKB-2002)  3-(HVQY-2001)  2 2  x  y  x  y   x  y  x  y 4  x  y 1 4-(ĐH Huế-1997) Tìm k để hệ sau có nghiệm:   x  y k  x  my m 5-(ĐH Thương mại-2000) Cho hệ pt:  2  x  y  x 0 a GiảI hệ m 1 b Biện luận số nghiệm pt c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt (x1; y1 );(x ; y ) tìm m để : A (x  x1 )  (y  y1 ) đạt giá tri lớn  x  y 1 m 6-(SP TPHCM-1999) Tìm để hệ sau có nghiệm phân biệt:  3  x  y m(x  y) Phương pháp 2: phương pháp biến đổi tương đương:  xy  3x  2y 16 1-(ĐHGTVT TPHCM-1999)  HD:nhân pt đầu với vàcộng với pt sau x  y  2x  4y  33   x  y  z 7  x  xy  y 1   2 2-(ĐHThương mại-1997)  y  yz  z 4 3-(ĐHBKHN-1995)  x  y  z 21 z  zx  x 9    xz  y  y  xy 6x 4-(ĐHSPHN-2000)  2 1  x y 5x HD:chia hai vế của2pt cho x2 Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ:   xy  1-(ĐH Ngoại ngữ-1999)   xy   x 16  y y  x  x x ( y )  ( y ) 12 2-(ĐH Cơng đồn-2000)  (xy)  xy 6  13  x y   1  x xy (x  0, y  0) 3-(ĐH Hàng hải-1999)  y   x xy  y xy 78  x   y  3 4-(ĐH Thuỷ sản-2000)   x y   y x   y   x  6 Phần:IV HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A- Hệ bpt ẩn số: f1  x   0(1) (I) Gọi S1 ,S2 Lần lượt tập nghiệm (1)&(2)  f (x)  0(2) S tập nghiệm (I)  S S1  S2 Tìm m để hệ sau có nghiệm:  x  (m  2)x  2m  1-(HVQH Quốc tế-1997)   x  (m  7)x  7m   x  2x   m 0  x  (m  2)x  2m 0 2-(ĐH Thương mại-1997)  3-  2  x  (2m  1)x  m  m 0  x  (m  3)x  3m 0  x  2mx  4-(ĐH Thuỷ lợi-1998)   x   m 2m  x  3x  0 5-(ĐH Thương mại-1998)   x  3x x  m  15m 0 Cho hệ: m để hệ sau vô nghiệm:  x  0  x  6x  0  x  7x   1-  2-  3-  2 2 (m  x )(x  m)  x  2(m  1)x  m     m x    (3m  2)x Tìm Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: 14  x  3x  0  x  2x  a 0 1-  2-  2 x  6x  m(6  m)    x  4x  6a 0  x  (2m  1)x  m  m  0 3-   x  5x   B- Hệ bpt hai ẩn số: Tìm a để hệ sau có nghiệm:  x  y 2 1-(ĐHGTVT-2001)   x  y  2x(y  1)  a 2 3-  x  y  2x 2 2-   x  y  a 0 4x  3y  0  2  x  y a Tìm a để hệ có nghiệm nhất:  x  y  2x 1 1-   x  y  a 0  x  y  2xy  m 1 2-   x  y 1 Phú xuyên ngày 15 tháng 07 năm 2007 trịnh xuân tình 15