Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng - GV. Ngô Minh Tuấn

Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” MỤC LỤCC LỤC LỤCC NỘI DUNG Mục lục 1,2 Ký hiệu viết tắt PHẦN MỞ ĐẦU 1/Lý chọn đề tài 2/Mục đích yêu cầu 3/Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 4/Nhiệm vụ nghiên cứu 5/Phương pháp nghiên cứu Gv: Ngơ Minh Tuấn Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I I.1 Tóm tắt giáo khoa phương pháp giải toán I.1.1 Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát I.1.2 Phương pháp giải chung I.1.3 Các ví dụ I.2 Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm I.2.1 Phương pháp giải chung I.2.2 Các ví dụ 7,8 I.3 Bài tập vận dụng 8,9,10,11,12 CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II II.1 Dạng 1: Phương pháp giải chung 13 II.1.1 Cách giải 13,14 II.1.2 Cách giải (nên dùng cách không giải được) 14,15 II.1.3 Cách Sử dụng hàm số đơn điệu để suy x = y 15 II.2 Dạng 2: Phương pháp giải chung 16 II.2.1 Cách giải 16,17 II.2.2 Cách giải (nên dùng cách không giải được) II.3 Bài tập vận dụng 17 17,18,19 CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN III.1 Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng khơng giải theo cách giải “quen thuộc” hệ phương trình đối xứng giải theo cách giải “quen thuộc” III.2 Dùng ẩn phụ để đưa phương trình hệ phương trình đối xứng III.3 Bài tập vận dụng bổ sung Gv: Ngơ Minh Tuấn 20,21,22 22,23,24 24 Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Những kết đạt 25 II Bài học kinh nghiệm 25 III Những kiến nghị đề xuất 25,26 KÝ HIỆU VIẾT TẮT ĐH-CĐ Đại học-cao đẳng HSG Học sinh giỏi KS Khảo sát THPT Trung học phổ thông Gv: Ngơ Minh Tuấn Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” PHẦN MỞ ĐẦU 1/ Lý chọn đề tài: Hệ phương trình dạng toán phổ biến đề thi tuyển sinh ĐHCĐ đề thi HSG cấp Đối với nhiều học sinh, toán giải hệ phương trình coi tốn khó, chí câu khó cấu trúc đề thi ĐH-CĐ Qua q trình giảng dạy học sinh ơn thi ĐH-CĐ bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình này, tơi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo kĩ giải hệ phương trình thơng thường ý tới số kĩ thường áp dụng giải “Hệ phương trình đối xứng” Trong viết tơi xin gọi hệ phương trình mà thuật giải khơng trình bày sách giáo khoa Gv: Ngơ Minh Tuấn Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” Bài viết chia làm ba phần: PHẦN MỞ ĐẦU: PHẦN NỘI DUNG: - Chương I: Hệ phương trình đối xứng loại I - Chương II: Hệ phương trình đối xứng loại II - Chương III: Hệ phương trình đối xứng số tốn có liên quan PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: Ở phần phần nội dung, mở đầu phần tóm tắt khái niệm hệ phương trình đối xứng Mục thứ hai số kĩ giải hệ phương trình đối xứng Các tốn đưa phần lớn tơi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, số tơi kì thi KS, …Lời giải tốn tơi ý đến cách đưa hệ không đối xứng dạng đối xứng quen thuộc mà không quan tâm đến kết cuối Cuối hệ thống tập để bạn đọc tham khảo Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH-CĐ ôn thi HSG cho học sinh khối 10,11, 12 Thời gian giảng dạy chuyên đề cho học sinh khối 12 ôn thi ĐH-CĐ buổi Mặc dù tâm huyết với chuyên đề, thời gian khả có hạn nên viết khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hoàn thiện trở thành tài liệu có ích giảng dạy học tập 2/ Mục đích u cầu: Thơng qua chun đề giúp học sinh hiểu sâu nắm phương pháp giải hệ phương trình đối xứng Từ nghiên cứu tìm tịi sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường THPT q trình ơn thi ĐH-CĐ thi HSG 3/ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Hệ phương trình đối xứng, chương trình tốn 10, 12 4/Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình đối xứng, đưa ví dụ minh hoạ cụ thể, dạng tập củng cố rèn luyện kỹ cho học sinh Gv: Ngơ Minh Tuấn Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” Tìm hiểu đề thi mà có dạng tập giải hệ phương trình đối xứng nhằm đưa phương pháp giải dạng tổng quát cho dạng tập thường gặp làm tài liệu bổ ích cho học sinh giáo viên tham khảo học tập 5/Phương pháp nghiên cứu: Thơng qua q trình giảng dạy chuyên đề bồi dưỡng HSG thân tìm hiểu tích lũy Thơng qua kiểm tra, kỳ thi chọn HSG hàng năm để rút kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh Thông qua tài liệu bồi dưỡng, tập nâng cao Gv: Ngơ Minh Tuấn Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I I.1 TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN I.1.1 Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:i xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:ng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:i (kiểu) I có dạng tổng quát:u) I có dại (kiểu) I có dạng tổng quát:ng tổng quát:ng quát: ìï f(x, y) = ïí ïï g(x, y) = , ỵ ìï f(x, y) = f(y, x) ïí ïï g(x, y) = g(y, x) ỵ I.1.2 Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S2 ³ 4P iii) Bước 3: Giải hệ tìm S, P dùng Vi–et đảo tìm x, y Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP ii) Đôi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv iii) Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau đặt ẩn phụ I.1.3 Các ví dụ: ìï x2y + xy2 = 30 Ví dụ Giải hệ phương trình ïíï x3 + y3 = 35 ïỵ GIẢI Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ìï SP = 30 ïí Û ïï S(S2 - 3P) = 35 ỵ ìï ïï P = 30 S ùớ 90ử ùù ổ ữ ỗ S ữ ùù Sỗ ữ= 35 ỗ Sứ ùợ ố ỡù S = ïí Û ïï P = ỵ ìï x + y = ïí Û ïï xy = ỵ ìï x = ìï x = ïí Ú ïí ïï y = ïï y = ỵ ỵ ìï xy(x - y) = - Ví dụ Giải hệ phương trình ïíï x3 - y3 = ïỵ GIẢI Đặt t = - y, S = x + t, P = xt , điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: Gv: Ngơ Minh Tuấn Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” ìï xt(x + t) = ïí Û ïï x3 + t3 = ỵ ìï SP = ïí Û ïï S3 - 3SP = ỵ ìï S = ïí Û ïï P = ỵ ìï x = ïí Û ïï t = ỵ ìï x = ïí ïï y = - ỵ ìï ïï x + y + + = ï x y Ví dụ Giải hệ phương trình ïíï ïï x2 + y2 + + = ïïỵ x2 y2 GIẢI Điều kiện x ¹ 0, y ¹ ìï ỉ ổ 1ử ỗ ùù ỗ x+ ữ + y+ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ= ç ç ïï è xø ỳ Hệ phương trình tương ng vi: ớù ổ 2 ổ 1ử ùù ỗx + ữ ữ ỗ ữ + ỗy + ữ = ùù ỗ ữ ố ữ ỗ xứ yứ ố ợỗ ổ 1ử ổ 1ử ổ 1ữ ửổ ữ y+ ữ x + ữỗ y + ữ,S2 4P ta cú: ữ+ ỗ ữ,P = ỗ ç ç ç Đặt S = çççx + ÷ ÷ ố ữ ỗ ỗ ỗ ố xứ yứ ố xữ øè ø ìï S = ïí Û ïï S2 - 2P = ỵ ì ïíï S = Û ïï P = ỵ ìï ï Ví dụ Giải hệ phương trình íï ïïỵ Điều kiện x, y ³ Đặt t = ỉ 1ư 1ư ç ïìï ỉ x+ ÷ + çy + ÷ ÷ ữ ỗ ùù ỗ ữ ữ= ỗ ố xứ ố yứ ùớ ỗ ùù ổ ửổ 1ử ữ ữ ỗ ỗ x+ ữ y+ ữ ùù ỗ ữỗ ữ= ỗ x ứố yứ ố ùợ ỗ x2 + y2 + 2xy = (1) x+ y=4 (2) ìï ïï x + = ï x Û í ïï ïï y + = y ïỵ ì ïíï x = ïï y = ỵ GIẢI xy ³ 0, ta có: xy = t2 (2) Þ x + y = 16 - 2t Thế vào (1), ta được: t2 - 32t + 128 = - t Û t = Suy ra: ìï xy = 16 ïí Û ïï x + y = ỵ ìï x = ïí ïï y = ỵ I.2 Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm : I.2.1 Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S2 ³ 4P (*) Gv: Ngô Minh Tuấn Tổ toán-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” iii) Bước 3: Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v I.2.2 Các ví dụ: Ví dụ (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: ìï x + y = ï í ïï x x + y y = - 3m ïỵ Điều kiện x, y ³ ta có: GIẢI ïì x + y = ïí Û ïï x x + y y = - 3m ỵï ïì x + y = ïí ïï ( x)3 + ( y)3 = - 3m ỵï Đặt S = x + y ³ 0,P = xy ³ 0, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïìï S = ïì S = Û ïí í ïï S - 3SP = - 3m ïï P = m ỵ ỵ Từ điều kiện S ³ 0,P ³ 0,S2 ³ 4P ta có £ m £ ìï x + y + xy = m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình ïíï x2y + xy2 = 3m - có nghiệm thực ïỵ GIẢI ìï x + y + xy = m ïí Û ïï x2y + xy2 = 3m - ỵ ì ïíï (x + y) + xy = m ïï xy(x + y) = 3m - ỵ ìï S + P = m Đặt S = x + y, P = xy, S ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïíï SP = 3m - ïỵ Suy S P nghiệm phương trình t2 - mt + 3m - = ìï S = ìï S = m - Þ ïí Ú ïí ïï P = m - ïï P = ỵ ỵ é32 ³ 4(m - 3) 21 ê Û Û m £ Ú m ³ + Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm ê(m - 3) ³ 12 ê ë ìï x - + y - = ï Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình íï có nghiệm ïỵ x + y = 3m Gv: Ngơ Minh Tuấn Tổ toán-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” GIẢI Đặt u = x - ³ 0,v = y - ³ hệ trở thành: ìï u + v = ïí Û ïï u2 + v2 = 3m - î Suy u, v nghiệm (không âm) t2 - 4t + Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm khơng âm ìï D ' ³ ïï Û ïí S ³ Û ïï ïïỵ P ³ ïìï u + v = ï í ïï uv = 21 - 3m ïỵ 21 - 3m = (*) ïìï 3m - 13 ³ ïï 13 Û £ m £ í ïï 21 - 3m ³ ïï ỵ ìï x2 + y2 + 4x + 4y = 10 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình ïíï xy(x + 4)(y + 4) = m có nghiệm thực ïỵ GIẢI ìï x2 + y2 + 4x + 4y = 10 ìï (x2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10 ïí Û ïí ïï xy(x + 4)(y + 4) = m ïï (x + 4x)(y2 + 4y) = m ỵ ỵ 2 Đặt u = (x + 2) ³ 0, v = (y + 2) ³ Hệ phương trình trở thành: ìï u + v = 10 ìï S = 10 ïí Û ïí ïï uv - 4(u + v) = m - 16 ïï P = m + 24 (S = u + v, P = uv) ỵ ỵ ìï S2 ³ 4P ïï Điều kiện ïíï S ³ Û - 24 £ m £ ïï P ³ ïỵ I.3 Bài tập vận dụng: BÀI TẬP Giải hệ phương trình sau ìï x + y + xy = ìï x = ìï x = ïí ï x2 + y2 + xy = Đáp số: ïíï y = Ú ïíï y = ïỵ ỵï ỵï 2 ìï x = - ìï x + xy + y = ïìï x = - ìïï x = ï ïí Úí ï 2x + xy + 2y = - Đáp số: íï y = - Ú íï ïỵ ïỵï y = - îïïï y = îï ìï x + y + 2xy = ìï x = ìï x = ïí ï x3 + y3 = Đáp số: ïíï y = Ú ïíï y = ỵï ỵï ỵï Gv: Ngơ Minh Tuấn 10 Tổ toán-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” ïì x + y = 2m - Cho x, y nghiệm hệ phương trình ïíï x2 + y2 = m2 + 2m - Tìm m để P = xy ïỵ nhỏ HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 ³ 4P ìï x + y = 2m - ïí Û ïï x2 + y2 = m2 + 2m - ỵ ìï S = 2m - ïí ïï S2 - 2P = m2 + 2m - ỵ ìï S = 2m - ï ïìï S = 2m - Û í Û íï 2 ïï (2m - 1) - 2P = m + 2m - ïï P = m2 - 3m + ỵ ïỵ Từ điều kiện suy (2m - 1)2 ³ 6m2 - 12m + Û 4- £ m£ 4- 4+ Xét hàm số f(m) = m2 - 3m + 2, £ m£ 2 ỉ4 - é4 - + ù 11- ÷ ú ÷ = , "m ẻ Ta cú minf(m) = f ỗỗỗỗ ÷ ê ; ú ÷ è ø ê ú ë û Vậy minP = Gv: Ngô Minh Tuấn 4+ 11 - 4- Û m= 14 Tổ toán-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II ì ï f(x, y) = II.1 Dạng 1: ïíï f(y, x) = (đổi vị trí x y cho phương trình trở thành ïỵ phương trình kia) Phương pháp giải chung: II.1.1 Cách giải 1: Trừ hai phương trình cho nhau, đưa phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) vào hai phương trình hệ ìï x3 + 2x = y (1) ï Ví dụ Giải hệ phương trình íï ïïỵ y + 2y = x (2) Giải Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: x3 - y3 + 3x - 3y = Û (x - y)(x2 + y2 + xy + 3) = éỉ ù y 3y2 ê ú= Û y = x ÷ Û (x - y) ờỗ x + + + ữ ç ú ÷ ç è 2ø ê ú ë û Thế y = x vào (1) (2) ta được: x3 + x = Û x = ìï x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ïíï y = ïỵ ìï 2x + + - y = (1) ï Ví dụ Giải hệ phương trình íï ïïỵ 2y + + - x = (2) Giải ìï ïï Điều kiện: ïíï ïï ïỵ £ x£ £ y£ Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được: ( 2x + - ) ( 2y + + Nhận thấy x  y  Gv: Ngô Minh Tuấn 4- y - ) - x = (*) x  y 4 khơng nghiệm phương trình (*) 15 Tổ toán-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” Khi ( * ) Û (2x + 3) - (2y + 3) 2x + + 2y + + (4 - y) - (4 - x) 4- y + 4- x =0 ỉ ữ ữ (x - y)ỗ + = x = y ỗ ữ ữ ỗ ố 2x + + 2y + 4- y + 4- x ø Thay x = y vào (1), ta được: 2x + + - x = Û x + + (2x + 3)(4 - x) = 16 ìï - x ³ 11 Û - 2x2 + 5x + 12 = - x Û ïí Û x = 3Ú x = (nhận) ïï 9x - 38x + 33 = ỵ ìï 11 ïìï x = ïïï x = Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt íï y = Ú íï 11 ïï y = ỵï ïỵ II.1.2 Cách giải (nên dùng cách không giải được) Cộng trừ hai phương trình đưa hệ phương trình tương đương gồm hai phương trình tích (thơng thường tương đương với hệ phương trình mới) ìï x3 = 2x + y (1) ï Ví dụ Giải hệ phương trình íï ïïỵ y = 2y + x (2) Giải Trừ cộng (1) với (2), ta được: ïìï x3 = 2x + y ïìï (x - y)(x2 + xy + y2 - 1) = Û í í ïï y = 2y + x ïï (x + y)(x2 - xy + y2 - 3) = îï îï ìï x - y = ïì x - y = ïìï x2 + xy + y2 = ïìï x + y = ï ï Û í Úí Úí Úí ïï x + y = ïï x2 - xy + y2 = ïï x2 + xy + y2 = ïï x2 - xy + y2 = ỵ ỵ ỵ ïỵ ïì x - y = ïì x = + ïíï x + y = Û ïíï x = ỵï ỵï ïìï x = ïìï x = - ïìï x - y = ïìï y = x Û Û Úí í í + íï 2 ïï x2 = ïï y = ïï y = - ïỵ x - xy + y = ỵ ỵï ỵï ïìï x + y = ïìï y = - x ïìï x = - ïìï x = Û Û Úí í í + íï ïï y = ïï y = - x + xy + y2 = ïï x2 = ỵ ỵ ỵï ỵ ìï x2 + xy + y2 = ìï xy = - ì ì ì ï ï ïï xy = - Û íïï x = Ú íïï x = - Û Û í í + íï 2 2 ïï x + y = ïï x + y = ïï y = - ïï y = ỵ ỵ ỵ ỵ ïỵï x - xy + y = Gv: Ngô Minh Tuấn 16 Tổ toán-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt: ìï x = ìï x = ìï x = - ìï x = ï ïí Ú ïí Ú ïí Úí ïï x = ïï y = ïï y = - ïï y = ỵ ỵ ỵ ỵï ïìï x = Úí ïïï y = ỵ 3 II.1.3 Cách Sử dụng hàm số đơn điệu để suy x = y ìï ï Ví dụ Giải hệ phương trình íï ïïỵ 2x + + - y = (1) 2y + + - x = (2) Giải ìï ïï Điều kiện: ïíï ïï ïỵ £ x£ £ x£ Trừ (1) (2) ta được: - y (3) é ù - ; 4ú, ta có: Xét hàm số f(t) = 2t + - - t, t Ỵ ê ê ë ú û ỉ 1 f / (x) = + > 0, " t ẻ ỗ - ; 4ữ ữ ỗ ữị (3) f(x) = f(y) x = y ỗ ố ứ 2t + - t 2x + - - x = 2y + - Thay x = y vào (1), ta được: 2x + + - x = Û x + + (2x + 3)(4 - x) = 16 Û - 2x2 + 5x + 12 = - x Û x = Ú x = 11 (nhận) ìï 11 ìï x = ïï x = Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt ïíï y = Ú íïï 11 ïỵ ïï y = ïỵ ìï x3 + 2x = y ï Ví dụ Giải hệ phương trình íï ïïỵ y + 2y = x Giải Xét hàm số f(t) = t3 + 2t Þ f / (t) = 3t2 + > 0, " t Ỵ ¡ ìï f(x) = y (1) Hệ phương trình trở thành ïíï f(y) = x (2) ùợ + Nu x > y ị f(x) > f(y) Þ y > x (do (1) (2) dẫn đến mâu thuẩn) + Nếu x < y Þ f(x) < f(y) Þ y < x (mâu thuẩn) Suy x = y, vào hệ ta x3 + x = Û x = Gv: Ngơ Minh Tuấn 17 Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” Vậy hệ có nghiệm ïìï x = í ïï y = ỵ Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách Nếu giải không nghĩ đến cách 3, khơng giải quay trở đề tìm điều kiện xác giải lại cách ìï ïï 3x = x + ï y2 Ví dụ (trích đề thi ĐH khối B – 2003) Giải hệ phương trình: ïíï ïï 3y = y + ïï ỵ x2 Giải ìï x > Nhận xét từ hệ phương trình ta có ïíï y > Biến đổi: ïỵ ìï ïï 3x = x + ìï 3xy2 = x2 + (1) ïï y Û íï í ïï ïï 3yx2 = y2 + (2) y +2 ïỵ ïï 3y = ïỵ x2 Trừ (1) (2) ta được: (x - y)(3xy + x + y) = Û x = y (3xy + x + y > 0) Với x = y : (1) Û 3x3 - x2 - = Û (x - 1)(3x2 + 2x + 2) = Û x = ì ï x =1 Vậy hệ có nghiệm ïíï y = ïỵ ì ï f(x, y) = II.2 Dạng 2: ïíï g(x, y) = , có phương trình đối xứng ïỵ Phương pháp giải chung II.2.1 Cách giải 1: Đưa phương trình đối xứng dạng tích, giải y theo x vào phương trình cịn lại ìï ïï x - = y - (1) x y Ví dụ Giải hệ phương trình íï ïï 2x2 - xy - = (2) ùợ iu kin: x 0, y Ta có: Gv: Ngơ Minh Tuấn Giải 18 Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xng ổ 1ử (1) (x - y)ỗ 1+ ữ = y = xy =- ữ ỗ ữ ỗ xy ứ x ố + Vi y = x: (2) Û x2 - = Û x = ±1 + Với y = - : (2) vơ nghiệm x ìï x = ìï x = - Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt ïíï y = Ú ïíï y = - ỵï ỵï II.2.2 Cách giải (nên dùng cách khơng giải được) Đưa phương trình đối xứng dạng f(x) = f(y) Û x = y với hàm f đơn điệu ìï x - y = cosx - cosy (1) ï Ví dụ Giải hệ phương trình íï (2) ïỵ x y - 3y - 18 = Giải Tách biến phương trình (1), ta được: (1) Û x - cosx = y - cosy (3) Xét hàm số f(t) = t - cost Þ f / (t) = + sint > 0, " t Ỵ ¡ Suy (3) Û f(x) = f(y) Û x = y Thay x = y vào (2), ta được: x3 - 3x - 18 = Û (x - 3)(x2 + 3x + 6) = Û x = ïì x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ïíï y = ïỵ Chú ý: ìï ïï x - = y - (1) x y Cách giải sau sai: íï ïï 2x - xy - = (2) ùợ iu kin: x 0, y Gii 1 , t ẻ Ă \ {0} Þ f / (t) = + > 0, " t Ỵ ¡ \ {0} t t2 Suy (1) Û f(x) = f(y) Û x = y ! Xét hàm số f(t) = t - Sai hàm số f(t) đơn điệu khoảng rời (cụ thể f(–1) = f(1) = 0) II.3 Bài tập vận dụng: BÀI TẬP Giải hệ phương trình sau Gv: Ngơ Minh Tuấn 19 Tổ tốn-tin trường THPT Võ Thị Sáu Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” ìï x2 - 3y + = ï 1) íï Đáp số: ïïỵ y - 3x + = ìï x = ìï x = ïí Ú ïí ïï y = ïï y = ỵ ỵ ïìï ìï x2 + xy = x + 2y x= ì ï x = ï ï 2) íï Đáp số: ïíï y = Ú íïï ïïỵ y + xy = y + 2x ïỵ ïï y = ïỵ ìï x + + y - = ïì x = ï 3) íï Đáp số: ïíï y = ïïỵ y + + x - = ïỵ ìï x + + y - = ïì x = ï 4) íï Đáp số: ïíï y = ïïỵ y + + x - = ïỵ ìï x + + - y = ïì x = ïì x = - ï 5) íï Đáp số: ïíï y = Ú ïíï y = - ïïỵ y + + - x = ỵï ỵï ìï x3 = x + 2y ïìï x = ïìï x = ïìï x = - ï Úí 6) íï Đáp số: íï y = Ú íï ïï y = - y = y + 2x y = ïïỵ ïïỵ ỵï ïỵ ìï ìï ïï 2x + y = ïï 2x = y + ì x = ï ï ï x y 7) ïíï Đáp số: ïíï y = 8) íï Đáp số: ïï 2y + x = ïï 2y2 = x + îï ïïî ïïî y2 x ìï x2y - = y2 ïìï x = ï í 9) íï Đáp số: ïï y = ïïỵ xy - = x ỵ ìï x3 - x2 + x + = 2y ïìï x = ïìï x = - ï Úí í 10) íï Đáp số: ï ïï y = - y = y y + y + = 2x ïïỵ ỵï ỵ ìï ïï x - = y - (1) x y 11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003) íï ïï 2y = x + (2) ïỵ ïìï x = í ïï y = ỵ Hướng dẫn giải Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ ỉ x- y 1ö (1) Û x - y + = (x - y) ỗ 1+ ữ = x = yy =- ữ ỗ ữ ỗ xy è xy ø x + Với x = y : + Với y = - (2) Û x = Ú x = - 1± : (2) Û x4 + x + = x Xét hàm số f(x) = x4 + x + Þ f / (x) = 4x3 + = Û x = Gv: Ngô Minh Tuấn 20 - Tổ toán-tin trường THPT Võ Thị Sáu