Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân tích phân *Tóm tắt công thức: Tích phân sơ cÊp dx x C x 1 ( 1) 1 x dx Tích phân hàm hợp du u C x e dx e x a dx x e du e ax C (0 a 1) ln a u a du cos x.dx sin x C s.inx.dx cos x C dx cos x dx sin x du ln u C u u C dx u 1 ( 1) 1 u du dx ln x C x Ghi chó u C au C ln a ax b a ln ax b C ax b dx e C a cos ax b dx a sin ax b C s.in ax b du a cos ax b C dx cos2 ax b a tg ax b C e ax b cosu.du sin u C dx sinu.du cos u C sin ax b a cot gx C du dx cos u tgu C x a ln x x a C du sin u cot gu C tgx C 2 cot gx C Các phương pháp tính tích phân 9.1 Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối b f ( x) dx a Phương pháp: - Giải phương trình f(x) = lấy nghiệm thuộc (a;b) x1,x2, xn - Chia khoảng tích phân bỏ dấu giá trị tuyệt đối x1 b x2 b f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a a x1 xn Bµi : TÝnh tích phân : 1 x x dx c) I = x x dx 0 1 Bµi : Tính tích phân với m số : a) I = x x dx b) J = 2 a) I = x m x dx b) J = x a 1.x a dx Bài : Tính tích phân : TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung – trêng thpt xu©n giang 2 3 a) I Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm – tÝch ph©n sin x dx b) J c) K sin x cosx dx cosx dx 9.2 Tích phân hữu tỷ 9.2.1 Hàm đa thức Phương pháp: - Sử dụng đẳng thức đưa tích phân x dx - Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa tích phân u du n ax b dx Đặt u = ax+b ax b x dx Đặt u = ax n k mk k b Bài 1: Tính tích ph©n : 1 n a) I = 1 x dx b) J = x 1 x dx 20 c) I = x1 x dx 0 9.2.2 Hàm phân thức P( x) Q( x) dx Trong P(x), Q(x) đa thức: Phương pháp đổi biến loại kn x dx n ax n b Đặt u= ax b 2ax b dx ax ĐỈt u= ax bx c bx c dx d ax b ax b = a ax b a ln ax b C Phương pháp đổi biến loại b dx a mx n 2 R Đặt mx+n = Rtant , t ; Bài 1: Tính tích ph©n sau: dx a) I = x 1 Bài 2: Tính tích phân sau: b) J = dx 3x c) L = dx c) C = x 1 x x 3x dx b) B = a) A = x 1 0 Bài : Tính nguyên hàm sau: x 1 x 2x dx a) A= dx b) B = x 16 x x 3x dx x x x dx 1 TR£N CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân dx ax bx c Phương pháp: *Nếu mẫu có nghiệm phân tích mẫu số dạng tích nhân tử bậc 1 dx 1 dx a x x1 x x2 a x2 x1 x x2 x x1 Tích phân dạng I = 1 dx VD1: TÝnh: I = dx ln x 2 ln x 3 ln x x 3 x 5x 0 * Nếu mấu số vô nghiệm ta biến đổi tích phân I dạng sau du I= đặt u = m tant với t ; u m 2 du =m( 1+ tan t).dt m 1 tan t dt 1 dt t C Khi ®ã : I = 2 m (1 tan t ) m m VD2: (Đổi biến số theo tant) Giải dx 2 (1 x ) TÝnh I tan t , t ; 2 th× dx (1 tan t )dt ; x tan t §Ỉt x Ta cã: I 3 x t 0; x 1 t dt 1 sin 2t cos t dt (1 cos t ) dt ( t ) 2 0 tan t 0 0 Bµi : TÝnh: dx dx b) B = 3x x x 10 Bài : Tính tích phân sau: 1 dx dx a) A = b) B = c) C = x x 0 a) A = x dx d) D = x x 1 x dx x 1 (mx n).dx ax bx c Ph¬ng ph¸p : * NÕu mÉu cã nghiƯm dïng hƯ sè bất định ể tách (mx n).dx (mx n)dx A B ax2 bx c a x x1 x x2 a x x2 x x1 dx * NÕu mÉu v« nghiệm ta tiến hành biến đổi sau (2ax b) 2ax b dx dx dx I = ax bx c ax bx c ax bx c Tích phân dạng I= TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân Bài : Tính tích phân sau (ĐHSP TPHCM 2000) 1 x 11 x7 dx b) J = dx a) I = x 5x x 6x Bµi : Tính tích phân sau (ĐHYHN 2000) 4x dx x 3x Bµi : Tính tích phân sau: 1 1 2x 3x 5x 4x dx b) J = dx c) K = dx d ) L = dx a) I = x 1 x x 1 x x 1 x Bài : Tính tích phân sau: 1 x x 10 x x 3x 10 x dx dx B dx a) A b) c) C = 0 x x 0 x x 2x I = Tích phân với mẫu đa thức bậc lớn Phương pháp : Biến đổi mẫu số dạng tích nhân tử bậc bậc sau sử dụng phương pháp hệ số bất dịnh để chuyển tích phân dạng Nhân, chia, cộng, trừ thêm vào tử để làm xuất thừa số mẫu, sau ó giản ước để giảm bậc, Nhân, chia, cộng, trừ thêm vào tử để tạo đạo hàm mẫu, nhằm đặt mẫu t (đổi biến) *Một số dạng hệ số bất ịnh thường dùng: p ( x)dx p ( x).dx a1 x b1 a x b2 a n bn q ( x) A1 A2 An p( x) * a1 x b1 a x b2 a n x bn a x b1 a x b2 a n x bn p ( x) A B C * 3 ax b ax b ax b ax b p( x) A Bx C 2 ax b mx nx p ax b mx nx p p ( x) A Bx C Dx E * 2 ax b mx nx p ax b (mx nx p) mx nx p * p ( x) A B Cx D ax b mx nx p (ax b) ax b mx nx p Tìm số A , B, C , D ,E cách cân hƯ sè cđa c¸c l thõa cïng bËc ë tư dx Adx Bx n1 dx *Tích phân dạng: đưa vÒ n x x a x xn a * Bµi : Tính nguyên hàm sau: x 14 dx a) I x x 4x x2 b) I dx x 5x 8x TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân 2x x d) L dx dx x 3x x 1 3x 3x 3x x x dx e) E f) F = x 3x dx x x4 x3 x2 x dx dx g) G = h) H= x(1 x) x x Bài 2: Tính tích phân sau: 1 xdx dx dx a) A = b) B = c) C = 2 2x 1 x 4x x 3x c) k d) D = dx e) E= x x 1 2 g) G = xx dx h) H = 1 xdx x x2 1 xx f) F = 3dx 1 x dx i) I = 1 x 1 dx Bài : Tính nguyên hàm sau: x2 1 A= dx x x ( x x 1) n Tích phân dạng dx xa xa đưa đặt u = k 2 xb x b x b x b x 1 dx x 2 dx 0 x 4 0 x x 2 VD1: x a dx x b n k VD2: x 1 x 2 x 1 x2 0 x 1 1 x2 x 1 x 1 đặt u = x2 3 x 2 81 24 x 4 x x dx 2 x x x x dx x 2 x x x 3 x 1 ĐỈt u = 5 x 2 2 x 2 3 x 2 x2 Tích phân dạng : VD3: I = x 1005 dx m2 1 x x 2007 dx 1 x m 1 x2 ®a vỊ 1 x 1003 x2 1 x xdx 1 x m xdx 2 1 x ặt u = đặt u = x2 x2 x2 xdx 1 du = 2 1 x 1 x x2 1 1003 u1004 x = u = 0, x = u = I = u du 2 20 2008 TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân 9.2.3 Một số toán tích phân hữu tỷ có cách giải đặc biệt Bài tập : Tính tích phân sau : A= 2 x 1 dx x4 B= 2 x 1 dx x4 C= 1 2 x 1 dx x x2 D= Hướng dẫn: Chia c¶ tử mẫu cho x2 sau đặt ẩn phụ t = x b Tổng quát : a E= xdx x8 x2 dx x4 x2 1 x x2 1 dx x kx F= dx G= x 1 x4 dx H = x6 dx x 1 I = x dx x6 K = x5 x x8 dx 9.3 tích phân vô tỷ Để tính tích phân vô tỷ ta phải biến đổi để làm thức Các phương pháp thường sử dụng: Đặt biến số thức Viết biểu thức dạng bình phương Làm biểu thức phương pháp lượng giác hoá *Các trường hợp riêng : nhiều toán chứa tam thức bậc giải theo phương pháp chung phức tạp, với toán cụ thể ta có số cách làm riêng dx a) Dạng biến đổi tam thức bậc tổng hiệu bình phương sau ax bx c dùng công thức tích phân Ax B dx Biến đổi thành tích phân cho tích phân có tử đạo b) Dạng ax bx c hµm cđa tam thøc bậc hai mẫu tích phân có tử h»ng sè Ax B dx c) D¹ng tách thành tổng hai tích phân, tích phân có tư lµ x ax bx c x mét tÝch ph©n có tử số Chú ý: Cách giải đặt t toàn thức cách giải trọng tâm cần ý Thông thường cách giải thường bậc lẻ biểu thức bậc chẵn I Nhận dạng đổi biến số loại dx 1) Nếu tích phân R ax b dx hc , §Ỉt ax+b = Rsint R ax b 2) Nếu tích phân dx x e R 3) NÕu tÝch ph©n cã chøa biến đổi thành x2 a2 e e x dx x x đặt e R a ®Ỉt x = hc ®Ỉt u = sin t e x R = Rtant xa xa TR£N CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân a cho ba trường hợp trªn) cos t ax a b a b cos t đặt x 2 b x ( đặt x = a.cost, x = a.cotgt, x = 4)NÕu tÝch ph©n cã chøa 5) NÕu tÝch ph©n cã chøa a ln x ab ab cos t đặt ln x 2 x b ln x ab ab a ex cos t đặt e x x 2 be 6) NÕu tÝch ph©n cã chøa e x 7) Nếu tích phân x ln 8) Nếu tích phân x dx x R2 dx đặt ln x R tan t đưa xdx x đặt x R R tan t x2 R2 x2 R2 II Nhận dạng đổi biến số loại dx xdx dx 1) Nếu tích phân ; ; ; x a xdx; đặt u = a x a x ax x ax dx xdx dx 2) Nếu tích phân ; ; ; x a xdx; đặt u = a x ax ax x ax xdx x3 dx dx 3) NÕu tích phân ; ; ; x a x dx; x3 a x dx th× 2 ax ax x ax a x2 đặt u = 4) Nếu tích phân ax đặt u = 3 ; ; x ; a e x dx; ax ; ; ; x ax ; x a x dx; x5 a x3 dx th× xdx ax x3 dx ; x a x dx; x 3 a x dx th× ax ; x a x dx; x5 a x3 dx th× x ; a e x dx; nhân thêm bớt ex dx x ax x dx ax x dx ax dx x ax a x3 7) Nếu tích phân đặt u = ; ax dx a x2 6) Nếu tích phân đặt u = x dx 5) Nếu tích phân đặt u = x dx dx a ex , u = ae dx ae a ex dx a ln xdx dx a ln dx ; ; ; ; th× x ln x a x x x a ln x a ln x , u = a ln x 8) Nếu tích phân đặt u = TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang 9) Nếu tích phân đặt u = ln xdx x ln x a a ln x , u = ; Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm – tÝch ph©n ln x a ln xdx ln xdx ln x a ln xdx ; ; ; th× x x x a ln x a ln x x a x dx đặt t = x a x 10)NÕu tÝch ph©n biến đổi thành 2 2 a x x a x dx dx 11) Nếu tích phân biến đổi thành xb x a x a x b x a xa xb đặt u = xa dx 12) Nếu tích phân đặt u = x a x b x a x b dx VD1: (§ỉi biÕn sè theo sint) TÝnh I x 3x dx LG: Đặt : x sint ; t ; dx cost.dt ; 3x sin2 t cost ; x t 0;x 1t 3 2 3 2 3 Khi ®ã: I sin t cos t dt sin t dt ( cos t ) dt t sin t 30 30 30 3 0 VD2: TÝnh: ln12 I1 e x 3.dx ln I2 dx x 2x LG: Đặt t e x 3.dx e x t ; e x dx 2tdt dx 3 2tdt 2tdt ; x ln t 1; x ln12 t ex t 3 2t dt dt Hướng dẫn: Đặt t 3tgu , dt dt I TÝnh I1 2 t 3 1 t 3 t 3 dt dx Ta biến đổi I2 = đặt t=x-1+ x x ta cã I2= ln x x x t ( x 1) I TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân Bài : Tính tích phân sau : A= x x dx x B= x dx C= x x dx ;C 15 15 Bµi : Tính tích phân sau : Đ/S: B A= dx x B= x2 1 dx C= x x2 x dx x2 ln ; C ln 12 Bài : Tính tích phân sau : §/S: A A= ;B 3 x dx B= x2 141 ;C §/S: A 20 x 1 dx 3x C= xdx 2x Bµi : Tính tích phân sau: ln dx xdx dx A= B= C= x 1 2 x ex 1 1 1 Bµi : Tính nguyên hàm sau: dx x 1 dx A= dx B = C = 1 x 1 2x 2x x2 x 1 Bµi : TÝnh tích phân sau: 2 A= x dx x2 a B= x 2 a x dx 2 x x dx 1 x dx D= C= E= x 1.dx F= x 1.dx G= x x x dx Bµi : Tính tích phân sau: ln x dx dx dx e x dx A= B= C= D= x 1 x 1 x 1 1 ex 1 x x 9.4 tích phân lượng giác * Cần nhớ công thức lượng giác * Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa tích phân đa thức, tích phân hữu tỷ *Biến tích thành tổng *Phân tích thừa số để khử mẫu *Hạ bậc *Một số dạng đổi biến thường gặp: TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân f sin x cos x.dx đặt t = sinx b) f cos x sin x.dx ®Ỉt t = cosx c) f tan x dx đặt t = tanx a) d) f sin 2k x, cos n x dx , với k, n N đặt t = tan I Nhận dạng đổi biến số loại 1: dx 1) Nếu tích phân 2 đưa vÒ a sin x b 2cos x a x dx b đặt tanx = tant 2 a tan x b cos x dx v× cËn cđa tÝch phân nên rút cos2x sin2x tích 2 x 3cos x phân không xác định phải tách sau Chú ý: sin 4 dx dx dx dx dx 0 sin x 3cos x 0 sin x 3cos x sin x 3cos x 0 cos x ta n x sin x 3cot x dx cos x ta n 2 x3 đặt tanx = tant dx sin x 3cot 2 x đặt cotx = tant cos xdx b đặt sinx = tant 2 sin x b a sin xdx b 3) NÕu tÝch phân đặt cosx = tant 2 a co s x b a sin x cosx dx sin x cosx dx 4) Nếu tích phân đưa ®Ỉt sinx - cosx = asint a sin x a sin x cosx 2)Nếu tích phân a 5) Nếu tích phân sin x cosx dx a sin x ®a vỊ sin x cosx dx a sin x cosx II Nhận dạng đổi biến số loại 2: sin xcosxdx 1) Nếu tích phân 2 a sin x b cos x ®Ỉt sinx + cosx = asint sin xcosxdx a sin x b 2cos x a sin x b cos x hc u= a sin x b cos x cos xdx cos xdx 2) NÕu tÝch ph©n ; đặt u = asinx + b, u = a sin x b a sin x b a sin x b sin xdx sin xdx 3) Nếu tích phân ; ; đặt u = aco s x b ; u = aco s x b aco s x b aco s x b dx dx 4) Nếu tích phân đưa đặt u = a + bcotx a sin x b sin xcosx a b cot x sin x đặt u = TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 10 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang e) I10 dx x3 dx k) I11 x x2 1 Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân x Bài 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n: 2 sin x cos xdx a) I1 e) I5 cos x sin x b) I c) I x2 d) I /2 xdx f) I6 4 x dx x2 x sin xdx sin x /4 x 1 dx 3x g) I7 cos x sin x dx sin x cos xdx sin x sin x Bµi 4: Tính tích phân sau: x sin x dx a) I1= cos x x sin x dx cos x b) I2 = 2 sin x c) I3= sin x cos x dx d) I4= 2 cos x sin x cos x f) I6 = ln ( x e) I5= x cos xdx x )dx 1 3 100 sin x sin x sin 3xdx g) I7 = dx h) I8 = cos x dx Lời giảI đáp số Bài 1: a) I1 x3 ( x 1)5 dx x 1 t6 t - 0; dt = 4x3 dx=> I1 t dt 4 Đặt t = x4 - => 1 1 24 e ln x ( ln x ) dx c) I2 = x Đặt t = + ln2x => dt = 2lnx => I2 2 t dt x e t dx vµ x t 16 TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 25 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích ph©n 1 cos3 x 19 e) I3 dx Đặt t = sin x => I3 (t t )dt = 10 sin x h) I4 cos x BiÕn ®ỉi I = dx dx cos x sin x 2 Đặt t=sinxthì I4 dt t t 1 ln t 1 2 2 = ln 2 1 x2 1 x dx Đặt u = x + => du 1 dx b) I5 dx BiÕn ®ỉi I5 x x x2 x 1 x => I5 /3 tan xdx cos x cos x sin x d) I6 du u 5/ 2) ln 2 u 2 u 2 2 ln (5 2)(2 2 /3 + BiÕn ®ỉi: I6 tan xdx dx cos x(1 tan x ) => Đặt u = tanx ta cã I6 udu 1 u u ln u ln( 1) 1 x2 g) I7 = dx Chia tử mẫu f(x) cho x2 ta biến đổi I7 dạng: x 10 I7 = 10 1 dt x2 dx Đặt t=x- ta có I7= đặt t= tan u ta cã I7= x t 2 x2 x Bµi 2: a) I1 x dx x2 ,x > Biến đổi I1 dạng: I1 dx x x 1 x 2 dx x2 1 x , Đặt u 1 du dx x x TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 26 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang 1/ x 2 1 u 2 ®ỉi cËn /6 => I1 => I1 1/ Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ị: nguyên hàm tích phân 1 2 x du u2 , Đặt u = sint => t /6 dt t / 12 /4 1 1 x t (1 t )dt t dx Đặt t x I 4 41 t t dt 2 1 t 1 t t x 1 0 b) I3 t3 t2 dt t ln(1 t ) 4 2 3 0 1 t 1 dt dt 2ln Đặt t = tanu=> 1 t 1 t2 0 2 => I3 ln ln 3 1 x c) I4 dx Đặt x = sint => I4 =12 x /2 /4 du x dx d) I5 Đặt x = 2cost => I x2 a a2 x2 I cos /3 /4 dx f) I g) I7 /2 x a tan t I tdt t sin 2t 3 dt 3 a tan t 2a /4 (1 cos 2t )dt /4 2 (2t sin 2t ) 8a 4a 2x đặt x2 /4 x 3tan => I6 /6 /4 d d (sin ) cos sin (1 sin )sin /6 Lại đặt: v = sin 2/2 => I7 1/ h) I8 3 v 1 1 1 dv ln 2 v 1 v v 1 v 2 2 ln( 3) 3 x 3 x cot dx Dùng phép đặt: x = 3cos2 x 3 x 4 I8 2.3 cot sin 2 d = - 12 cos d 2 = sin 2 2 TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 27 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân dx Đặt x=1+2sin2 dx sin cos d ( x 1)(3 x) i) I9 Khi ®ã I9 sin cos d = 2 4 sin cos 2 6 e) I10 Đặt x -> I10 = cos t x x 1 dx t 4 dt 12 k) I11 x3 dx 1 x -> I11 Đặt x= tan tan tan d d 2 2 tan tan 1 tan tan = sin cos sin cos d = cos cos d cos cos 2 cos = 4 = 16 Bµi 3: sin x cos xdx a) I1 Đặt u= 4cos x 9sin x u2= cos x sin x cos x sin x udu = 5sinxcosxdx I1 udu u u Tổng quát: Để tÝnh I= sin x cos xdx a cos x b sin x a cos2 x b sin2 x Ta đặt: u= b) I Đặt u = xdx x2 víi a,b 4 x biÕn ®æi I xdx x 1 x 2 x suy u x u 2u x xdx u u du xdx u u du TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 28 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang u c) I 1u u u du I2 2u 2 u4 u2 u5 I3 u du 3 15 d) I 2 e) I5 /2 dt t 3 ln t 2 t t 3 dx x2 x 1 = I ln 10 dx (x ) 3 x x ta cã I5= ln 2 Đặt t = x+ f) I6 46 15 cos xdx Ta đặt t = sin x sin x sin x I4 x 1 d x §Ỉt u= 3 x 3x Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tÝch ph©n sin xdx sin x §Ỉt u ta n x u2 dx du 1 2u 2du I6 2 2 (1 u ) u u (1 u )2 0 du du 0 (1 u )2 1 u du 2 1 u 1 u 2 1 du 2 1 u 2 /4 p dng phương pháp giải loại đặt u = tant=> I6 = 2 dt 2 /4 g) I7 cos x sin x dx sin x /4 BiÕn ®ỉi I7 cos xsinx (sin x cos x )2 dx Đặt =sinx + cosx => du =(cosx-sin x)dx => du ln u u 1 u2 Bài 4: Tính tích phân: 1 ln (vì đặt u+ u ) 1 TR£N CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 29 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xu©n giang x sin x dx cos x HD: đặt x= -t I x sin x dx cos x HD: đặt x= -t I a) I1= b) I2 = Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích ph©n ln 2 2 sin x c) I3= sin x cos x dx , I4= cos x sin x cos x dx HD:trong tích phân I3 đặt x= d) I6 = ln ( x 2 t ta I3=I4 ta cã I3+I4= dx , I3=I4= x )dx 1 XÐt hµm sè f(x) = ln x x x TXĐ thoả mÃn x + x x => x R Trªn R: f(-x) = ln x x => f(x) = -f(-x) = ln(x + - x )= ln1 = ln x x ln x x 1 ln x x ln x x V× ln x x ln x x = ln x x x x 2 2 3 VËy f(x) hàm số lẻ áp dụng kết phÇn lý thuyÕt: a f ( x)dx I =0 a 3 e) TÝnh I7 = sin x sin x sin 3xdx XÐt hµm sè y = f(x) = sinx sin2x sin3x 2a ThÊy f(x) liªn tơc / [0; ] => ¸p dơng kÕt qu¶ a f ( x)dx ( f ( x) f (2a x))dx 3 / => I7 = (sin x sin x sin 3x six sin x sin 3x)dx = 0 100 f) TÝnh I8 = cos x dx XÐt hµm sè y = f(x) = cos x sin x f(x) tuần hoàn với chu kú , liªn tơc trªn R VËy I8 100 cos x dx = 100 sin x dx 100 cos t = 200 TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 30 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân Một số tập rèn luyện thêm: Bài 1: Tính tích phân: e 1) x /2 dx cos 2) ln x /4 x3 0 x8 dx /2 5) 7) ln 16sin 4) 25sin x 16cos x dx x dx 8) 2x 1 2x2 0 x e 1 0 e x e x dx Bài 2: Tính tích phân sau: cos(4 x 10) )dx 3 ( x x 5)dx 5) dx 2 x2 x 3x I2 dx x 1 6) x x 11 dx 5x 2 7) 3) cos x dx ln 2) dx x 25cos x 13 10sin x cos x 6) 9) 1) /2 sin x cos x.dx ln x.dx 3) x3 x 0 x dx 9) 10) (x dx 3x 2) 2 x 1 x x 12 dx x x 10 dx x2 2x J 11) x2 1 1 x4 x2 dx 2 8) I dx 3 x Bài 3: Tính tích phân sau: x 3x dx x2 x 12) x2 1 ( x2 3x 1)( x2 x 1) 4) 1) 2 (3x 2)( x 1) dx 8) dx x x 1 2) 3) x x dx dx 1 1 x xdx 1 5) I x 1 10) 11) 15) x x 1 16) x dx I 1 x x2 1 dx I dx ( x 1).dx x 1 17) dx 1 x 1 x2 1 x 1 2 x x x2 1 1 12) x3 1 2 x.dx 2x dx x dx 4) 9) 14) x x 1.dx 18) I x dx x x2 1 TR£N CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 31 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xu©n giang 6) 7) dx 13) x x2 x Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân 7/3 x x dx 19) x 1 dx 3x dx x2 Bài 4: Tính tích phân sau: 1) x dx; 6) 4 2) x x dx 7) a 3) 11) 4x dx x 12) a x dx 8) 2 x a x dx; 1 4) x x dx 9) 10) 3 x dx 1 x 5 x e ln x 1 x ln x dx ln x 1 x ln x dx e2 8) ln x e x ln x dx x ln 6) ln dx ln e x 2e x ln x ln x 1 ex dx 1 ex xdx x x2 1 dx 14) x ln e sin x cosxdx 15) ln 16) e cosx sin xdx ln 17) e sin(ln x) dx x (e ln 18) /2 12) 11) ln 10) 9) ln dx 1 e ln 13) e 13) dx 5) dx x 1 4) 1 x4 Bµi 5: TÝnh tích phân sau: e ln x ln x dx 1) 7) 1 x e x dx a2 x dx 3) 2 1 2) x a 5) a 7x dx 1 x sin x cos x) cos x dx dx 1 ex dx ex e2x e x 1 dx e x dx (e x 1) e2x ex e2x 1 ex dx dx ln 19) ln TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 32 e x 1.e x dx Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân Bài 6: Tính tích phân sau: e 1) x cos xdx 0 x (e xe dx 12) 23) 2 7) 5)dx 27) ln x2 x e 17) dx 28) 1 8) x3 1 1 x ln xdx 18) dx e x ln xdx x 26) (tan x tan x 1)e x dx e (ln x x )e ( x cosx)sinxdx x )e x dx x ln( x 16) e 25) 1)e x dx (x 24) ln(1 x) dx x 15) x)dx 2 x x e dx e x sin xdx (x 14) 6) ln x dx x ln( x x 1 1 x ln x.dx e x cos xdx 22) 13) x 2e x 0 ( x 2) dx 21) x ln xdx e 5) 2 x 4) x 1)dx e 11) 3) 2x 1 x sin xdx x 1)e x dx 2 2) (4 x 20) x ln xdx 9) 10) x 1 2x e x dx x2 x x2 e x dx e x ln( x 1)dx ln x dx x2 19) Bài 7: Tính tích phân sau: /4 1) /2 2) 3) sin 2 11) 0 sin x cos x dx xdx /6 sin xdx 12) xdx 13) /2 sin x cos x 4sin x cos x(sin dx x cos x)dx sin x cos /2 sin 20) 21) /4 4) /2 sin 5xdx x dx 22) n/2 cos x sin x cos x dx sin x dx 3cos x sin x dx 4 23) sin x 1 sin x cos x TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 33 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang /4 5) /2 cos xdx 14) 0 /4 6) 4sin x dx cos x /2 tan xdx 15) 2 7) sin x dx 16) Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ị: nguyên hàm tích phân sin x dx cos x /2 24) sin x cos x dx sin x /4 /3 25) /2 27) ( x 1) sin x dx sin x cos xdx /4 17) 2sin x dx sin x sin x cos x 18) x 1 1 x dx 2x 4) sin x cos x dx 5x 29) sin x cos x x 12011 dx 0 x 22015 10) x4 sin x cos x 17) dx x 12) x dx 19) 1 x x ( x 1) dx 20) 5) 1 6) 8) 13) dx 5 x x 14) x 12011 dx 0 x 22013 x 12011 dx 0 x 22014 15) x x dx 22) 1 dx x 2 x 1x 2 16) 21) x 1 x dx 7) 2dx x5 4 x2 1 x 3 dx x 1 x dx 2x 4x 10 x 1 dx 18) x3 x dx 11) dx x5 1 x 2x 4x x2 9) dx sin x cos x dx cos x 2 3) 19) sin x cos x Bài 8: Tính tích ph©n sau: x7 1) 2 x8 x dx 2) /2 sin x sin x 3cos x sin x 28) /2 10) 9) dx cos x cos x /4 x 26) dx cos x sin x sin xdx /4 8) tgx x5 2x3 x2 1 dx xdx 2 x 2 x 23) x x dx dx x 2 x 1x 2 TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 34 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: 1) y x ; y 0; x 1; x 2) y x x; y x 3) y x x 3; x 0; x 4) y ln x; y 0; x e y x( x 1)( x 2); y 5) 6) y e x ; y e x ; x 1; ;x Bµi 10: TÝnh diƯn tích hình phẳng giới hạn đường: 7) y cos x; x 1) §êng cong y x x , trơc Ox vµ ®êng th¼ng x = 2) y 3) y xe x ; y 0; x 0; x 4) y e x ; y e x ; x 5) y 6) y e 1 x; y 1 e x x 7) y x x x 6; y ln x ; x=1; x = e x 3 x ; x 0; y x 1 x ln ( x 1) Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y ; x2 trục tung, trục hoành đường thẳng x e ( ĐS: S =1/6 ) Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ; y x x x vµ tiÕp tuyÕn với đường cong x = Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1) y x x vµ y ( x 1) 2) y x tiếp tuyến với đồ thị hàm y x A(1;2) Bài 14: Cho hµm sè y x x m 1) Chøng minh đồ thị hàm số có cực trị Tìm m để điểm cực trị thuộc Ox 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tun vu«ng gãc víi d : y x 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , trục hoành hai đường thẳng x 0; x TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 35 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân Bài 15: Xét hình D giới hạn y x vµ y 2(1 x) 1) TÝnh diƯn tÝch h×nh D 2) Quay hình D quanh Ox Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành Đề tuyển sinh /4 2sin x dx sin x (§HkB03) x dx x 1 1 (§HkA04) ln( x x)dx e ln /2 13 (§HkB05) x (§HkB04) sin x sin x dx 3cos x (§HkB05) dx (§HkA06) 15 1 x x (§HkB06) 12 x cos x)dx(C§SPHT 02) 14 2x dx (C§SP NT02) 16 (C§HV04) x dx 18 20 (CSM1 04) tgx cos x cos x x sin x dx 25 cos x /4 ln x dx x3 1 1 x ln xdx x (C§KTKTHD02) (C§DD 04) x dx (C§SP HP04) dx (C§SP BN04) (C§SP HN04) x 1 24 dx x2 1 (C§SP NB04) xtg x dx 26 x 1 2 (C§SP BP 04) x5 2x3 dx 22 x 27 (C§SPHT 02) 21 ( x 1)e x dx xdx e (C§KTTV03) /4 1 23 cos 0 /3 (C§SPVP02) e x x dx x sin x sin x sin 3x dx /2 19 (§HkD06) 17 cos x) cos x dx (§HkD05) sin x 10 ( x 2)e x dx (e /2 dx 2e x cos x(sin ln x ln x dx x (§HkB03) x dx cos x 4sin x ln /2 sin x 11 (§HkD04) sin x cos x dx cos x /2 e /2 2 /2 x dx 1 e x (C§SP KT 04) (C§SP HN 04) 28 1 x dx x (CĐSP HN 04) TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 36 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang 29 ( x x )dx (C§GT 04) 30 3 31 2dx x5 4 1 33 x4 1 37 /2 39 32 (4 x x 1)e x dx dx (C§ KTKT 04) 34 43 dx 5x (C§ A04) 38 (C§KTKT 04) x x dx (C§ §N 04) 40 42 sin x dx (C§TCKT 04) 2004 sin x cos 2004 x 44 (C§ A05) 46 sin x 3cos x dx xdx (x 1) 4sin x dx cos x x3 dx x 1 x 3 1 (C§CN 04) (C§LT 04) (C§ YT NA04) (C§ XD 05) /2 x x dx (C§GT 05) 48 /4 x 1x dx (C§KTKT 05) 50 1 7/3 dx 2x x 1 dx 3x /2 x e 3x sin x dx (C§KTKT 05) 0 (C§SP HCM05) 52 ln x dx x2 /2 (C§SP VL 05) 54 /3 sin xdx sin x cos x cos 2sin x dx sin x (C§TH 05) e x (C§SP ST 05) 56 (C§CT 05) cos x dx sin x (C§BT 05) x sin xdx sin x cos x (C§SP ST 05) 2 /4 e 57 (C§TB 04) 3 x x dx 55 ln(1 x) dx x 53 C§HC 04) /2 2004 51 x dx 49 x /2 sin x dx cos x 47 (C§ KTKT CN04) 1 45 x dx 36 /2 x 41 (C§GT 04) (C§LK 04) (C§GT 04) xdx 2 x 2 x 2x x 2e x 0 ( x 2) dx (C§GT 04) x 1 35 Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân x ln x dx (C§ VL 05) 58 (C§CN 05) x3 2x 4x dx 59 x2 x cos x dx (C§SPHN 05) 60 xdx (x 1) (CĐTC 05) TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 37 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang /2 e 61 dx 1 x ln x /4 63 dx (sin x cos x) cos x (C§SP VP 05) 62 (C§ §N05) 64 (C§ YTTH 05) 66 x (1 tgx tg ) sin xdx (C§SP QN 05) ln(1 x) 1 x dx (C§CKLK 06) ( x 1) cos x dx 1 e 83 ( (C§HP 06) 72 (C§TCKT 06) 74 (§HNV 06) 76 dx ex cos x dx 5sin x cos x x 3 dx x 1 x x3 ) ln x dx x (C§SP QB06) 78 x3 0 x dx 2x x(e x 1)dx (C§SP TN06) 80 x ln e sin x cos x dx sin x /4 (C§ YT 06) (C§QT KD 06) cos x sin x dx (C§SP HD06) (C§ §D 06) 4sin x dx cos x (C§SP QN 06) x dx cos x (C§SP TV06) (C§ BT 06) x x x dx 84 x dx ln 86 88 (C§SP TG06) (C§BK 06) e x dx (e x 1) n/2 cos x sin x cos x dx 90 x x dx 2x e x 1 cos x dx (sin x cos x 3)3 82 dx 92 x2 1 x ln x.dx x2 x e dx e 93 (C§CN 06) 0 91 )dx cos x dx ln (C§NL 06) /4 1 89 (C§SP QB 05) x dx x /2 e2x /4 dx 0 87 x ln(1 x /4 85 ( x 1) /2 x ln( x 5)dx /2 81 /2 xdx 0 x ln 79 0 77 (C§SP QN05) 70 /4 75 x dx 73 (C§SP KT05) 68 71 2x x2 x 69 x e x x e dx /4 4sin x dx cos x 0 67 ln 65 Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân 94 dx xx TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân kẻ lười biếng 38 Giáo viên: nguyễn bá trung trường thpt xuân giang ln 95 x 2x e 1.e dx 96 x sin x dx ln e3 /2 ln x dx 97 x ln x 98 (2 x 1) cos 100 ( x 1) sin x dx e 10 dx 5 x x 102 x e ln x dx ln x tg x 0 cos x dx x ln xdx 103 x dx /2 dx 2 x x 101 99 Mobile: 012469.15999 CHUYÊN Đề: nguyên hàm tích phân (ĐHkD07) 104 sin x dx 4 105 (§HkB08) sin x sin x cos x ( §HkA08 ) 105 ln x dx x ( §HkD08 ) TRÊN CON ĐƯờng vinh quang dấu chân cđa kỴ lêi biÕng 39