Một số chuyên đề khảo sát hàm số bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 1

NGƯT ThS l i : HỒNH PHỊ C ác ch u yên đ ề 'i BáminTĐCTHi T H P T Q U Ố C G iA EB Th.s NHÀ GIÁO u TỦ LÊ H O À N H P H Ò CÁC CHUYÊN ĐÊ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA KHẢO SÁT HÀM SỐ N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q ưốc G IA HÀ N Ộ I LỜI N Ó I ĐẦU Các Km học sinh thân môn! Nhằm mục dích giúp bạn học sinh lỚỊ) 12 chuan bị thật tôl cho KY THI TRUNG HỌC R H ổ THÒNG QUỐC GIA dạt diếm khá, diổm cao dể trúng tuyến vào trường Cao dang, Đại học mà dã xác dịnh nghề nghiệp cho tưpng lai, theo định hướng mỏi Hộ sách gồm cuôn cho chuvên dề, dê em tiện dùng ôn luyện theo chư x „ \ {Xo} lim x„ = Xo, ta đểu cỏ lim f(x^ = L Định nghĩa tương tự cho giới hạn khác Định lý: Già sừ lim f (x) = A lim g(x) = B (A, B e R) X~>X^ x —*x„ Khi đó: lim ff(x) + g(x)] = A + B; lim [f(x) - g(x)J = A - B X -> X o ' x -> x „ lim Ịf(x).g(x)J = AB; Nếu B *->*■, lim g(x) = — B Giới hạn bên: Già sử hàm số f xác định khoảng (Xoi b) (Xo e R) Giới hạn bên phải: lim f(x) = L với dãy so (Xn) khoảng (Xo; b) mà lim x„ = Xo, ta đểu có X -^x J lim f(x„) = L Giả sử hàm số f xác định khoảng (a; Xo) (Xo e R) Giới hạn bên trái: lim f(x) = L với dãy số (Xn) khoảng (a; Xo) mà lim x„ = Xo, ta đểu có x-^xỏ‘ lỉm f(Xr) = L Định lý: Nếu lim f(x) = lim f(x) = L hàm số f có giới hạn điểm Xo x -> x ; x^x* lim f(x ) = L Bài tốn 1.1: Tính: X- X b) lim X->1 ( x - l) ( x - ) a) lirn 1x ; ^-4 x->V3l Giải a ) Tacó: lini (x ^ -4 )= lirnx^- lini = - = nên lirn x " -4 = - = X -> v b) Ta có: lim (x - x^) = - = X ->1 lim (2 x - l)(x ^ -3 ) = (2 - 1)(1 -3 ) = - ^ x^l nên lim x -x ( x - l X x '- ) = — = -2 x -> v Bài tốn 1.2: Tính; a) lim — x->(-.i)‘ X + x + b) lim X+ (x - )^ -x Giải a) Với X < -3, ta có: Vì x^^+l _ x^+l x^+4x + ~ x + 'x + x" +3 84 lim am - = —— = -4 < lim x->(-3)“ X +1 - x->(-3r X + -00, nên x ' +3 = + 00 lim x^(-3)- x'' + 4x 4-3 b) Vì lim -= +00 lim = ,1 ^ = ^/3 > , nên X“ (x _ 2Ý XA2 V -X V2 X+ lim>‘-^2 ( x - ) " ' \ - x + 00 Bài tốn 1.3: Tính giới hạn bên: a) l i m ^ ^ X- b) lim ^ ^ ^ ^ x -3 Giải a) Vì lim (2x + 1) = > 0, lim (x - 3) = X - > với X > nên: 1! 2x + l lim ——— = + 00 x->3* X - b) Vì lim (7x + 2) = 23 > 0, lim (x - 3) = X - < với X < nên: x->3" x-»3 7x + lim ——— = -00 x -3 Bài tốn 1.4: Có tôn tai lim^ - không ? X- Giải x -2 |xTa tính giới hạn bên: lim - -, lim X- > ‘->•2- X - I I Với X > 2, ta có X - = X - Do đó: lim ^ ^ = lim —— - = lim = x->2"^x —2 x->2*x —2 I I Với X < 2, ta có X - = - X X —2 —X Do đó: lim n "^ - l iIim m -= - = um lim (-1) = -1 x -2 >:~>2 x - 'í >2 Vì kết giới hạn bơn trái bên phải lại Xo = khác nên khơng tồn X - 2| lim ;->í x - Bài toán 1.5: Cho hàm số: f(x) = [x’ - x -f x < 4x^ - 29 X > Có tồn lim / (x) khơng ? •V>2 ' Giải 'Fa tính giới hạn bên: lim f(x) lim f'(x): X -> ’ Với X < f(x) \ >? x" - 2x t nôn lim f(x) = lim (x" - 2x t ) - t = \ »2 X>2 Với X > f(x) ■ 4x^ - 29 ncn lim f(x) - lim (4x^ - 29) - 32 - 29 = X >2 X -> 2' Vì lim f(x) = lim f(x) - ncn lim f(x) = \ >2 \ >2 N^2 Bài toán 1.6: Cho hàm số f(x) = 1' -2 ỊịỊ^ị X < x -1 x + + a < X < Tùy theo tham số a xét tồn giới hạn lim f ( x ) \ -> l Giải Với X < thi f(x) |x - lỊ ^ - ( x - 1) -1 nên lim f(x) = lim (-l) = -1 Với < X < f(x) = X t I a ncn lim F(x) = lim(x -f2-t-a) = 3-(-a X >1' X -> ' Ta có + a = -1 a = -4, đó; Khi a = -4 thi lim f(x) = -1 Khi a -4 không tồn lim f(x ) X ->1 X >1 BÀI T Ậ P Bài tập 1.1: Chứng minh không tồn tại: lim sin X * X—♦ + » IID -D S Lấy dãy x„ = n;:, X,, = + 2n7t có lim Xn = -t 00, lim X,, = +00 lim l’(x„) = lim f(x'n) = Bài tập 1.2: Tính: ^ i:„ V x - a) lim Tx->9 x - x 2x + b) lim ( x - ) ' ‘2 x - x-*\ HD-ĐS a) ^íx - ^ = lim - x -x ^-^’ x (V x + ) b) lim ^ x-»l (x -1 )^ x - 54 - 00 Bài tập 1.3: Cho hàm sổ f(x) = x '- x X < [Vx + + 4a X > Tìm a để hàm số có giới hạn x-> HD-ĐS lim f (x) = lim f(x ) 6 = + a < :í> a = — x->2" x->2* X+ + a Bài tập 1.4: Cho hàm sổ f(x) = x ' -8 k h i \ < x V x-3 Tùy theo tham số a xét tồn giới hạn lim f (x ) ,Zs - K h i a - 12(73 + 3) - lim f(x) = 12(73 + ) x->3 - Khi \ { Z + 3) - khơng tồn lim f ( x ) x-^3 ƠN KHỬ DẠNG vơĐỊNH HÀM số Phương pháp chung: Trước giải tốn tìm giới hạn thể thử X = Xo cho X ^ + o q X -oo theo yêu cầu để để xem xét giới hạn cần tìm có dạng vơ định không - Neu kết cho giá trị xác định, thức xác định, phân thức xác định, dùng định lý vể phép toán tổng, hiệu, thương để giải - Nếu mẫu thức tiến đến +00 -00 tử thức tiến đến sổ khác giới hạn cho - Nếu mẫu thức tiến đến tử thức tiến đến sổ khác giới hạn dạng +oohoặc -oo, tuỳ theo dấu thừa sổ, tử mẫu ' 00 00 - Nêu có dang vơ đinh —, —, OCỊ co-oo chon phương pháp tương ứng đê khử dạng vô định Chú ý: Thêm bớt đại lượng đơn giản nhai theo X sổ mà giới hạn giữ nguyên dạng vô định K dạng vô định — k h i x —>^Xo - Đối với hàm phân thức, ta phân tích tử thức mẫu thức thừa số dạng (x - Xo).g(x) rút gọn - Dổi với biểu thức chửa thức, ta nhân chia lượng liên hợp để khử căn, tạo thừa số (x - Xo) rút gọn - Đổi với biểu thức lượng giác, ta dùng công thức cộng, công thức nhân, công thức biển đổi để đưa định lý X-Í.0 = X Bài tốn 2.1: Tíiứi: a) lim X -27x b) lim V_k1 >^->0 b) lim 5x V ■Ự^ X— V x -1 Giải a) Dạng vơ định —, với , 0, ta có: 3X + - _ ^ _ 5x x + %Ý + 2ầJ ^ + T + \ 5[(ự3x + 8)' + 2ự3x + + ự3x + - 5x X V3X + - _ _ nên lim - = = — 5x 5(4+ + ) 20 -V x ( x - l) ( V x + l ) —^ = lim - [ , -1 (x - l) [ V ( x - lV + V ^ - l V x -+Vx' b) limx^l Vx +1 _ = limX ^l \Ị{2x - \ Ý - f V x - l Vx -f Vx^ ^ Bài toán 2.6: Tính: , V7 + X -I-V3-I-X - b) lim -3 J x-»l X - ằJx - + - X-t-1 a) lim -; -7^1 x ^ -4 x -i-3 Giải Ự x - - f x - - x + l_ ự x ^ + l - f x ^ - x _ V ^ + ^ ^ x'-4x-l-3 ~ ^ X X x’ -4x-l-3 x^-4x+ x"-4x-l-3 x (x -l) x - (x -l)(x -3 ) (x -l)(x -3 )Ự (x -2 )' - ự x - + -t- (x -3 )[V (x -2 )^ - V x - + Do đó; lim f(x ) = — + ^ —= -> —2 X — x -3 11 ,, _ ị / T + x + a/3 + X - ị ỉ T + x - ^|3 + x - b) f ( x ) = - x ^ -1 X -1 X -1 , Ml+X- Ta cóá: - -= x ’ -1 x -1 ( x ' - l ) ịỊil + x ỷ + ịh + x + { x ' + x + l)[ự(7 + x)^ + 2Ự t T V3 + X - _ x' -1 x -1 _ x +4 ” (x’ - ) ( V ^ X +2) " (x- + X + 1)(/3T x + 2) nên lim I (x) = — —+ 3.12 = — 3.4 Bài tốn 2.7: Tính: - cos X a) lim- ,^ 14-sinX - cosX b) lim^— —— -1- s i n x - c o s x x->0 Giải ( xV 2sin^~ , sin-^ l-c o sx I_ a) lim— — = Iim -^ = lim-} x->0 X 2 V ; , 2sin^ —-t-2sin —cos — l-fsinx-cosx 9 b) lim^ — = linỊ -— ^-^Ol-sinx-cosx ^->0 ^ - i X ~ X X sm - - - sin - cos — 2 X X sin ” -fC0S“1 2 ^0 +1 = -l lim x->0 X X 0-1 s in ^ -c o s ~ 2 Bài tốn 2.8: Tính; , , _ - V x '+ a) lim >‘^0 l- c o s x „ 1-V2X + -I- sinx b) lim — ^ v3x-f-4-2-x Giải l- V x '- f l - =x ■ ' a ,) - :: - = -l-c o s x 2sin^x(l + V2x^-fl) Do đó: 12 X-To l- c o s x = -l ^ X v sin x j 'l + V x ^ b) 1- V2x + +sinx I - V 2x + sinx yj3x + - - x X X -2 sinx^ 1+ -\/2x +1 Khử dạng vô định 00 — 00 X -2 - V2jr+T + sinX Do lim — , — -v3x + - - x V3x + - - x + y -1 -x VBx + + + X -1 = k h i X —> +00, X — ^-00 - Đối với hàm phân thức, ta chia tử thức mẫu thức cho luỹ thừa cao X, việc đặt thừa chung cho luỹ thừa cao đỏ: a „x "+ a iX '"-'+ + a , f(x) b„x" +b,x"-‘ + + b„ , Oo ^ 0, bo ^ m < n Kết quả: lim f (x) = • — m = n ± 00 m > n - Đối với biếu thức chứa căn, ta nhân chia lượng liên hiệp để khử thức, đưa dạng phân thức nêu: - ị = (A + B)(A - B) A^-B^ = (A- B)(A^ + AB + B^),A^ + B^ = (A + B)(A^ - AB + B^), Bài toán 2.9: Tính: , x ^ - x + 10 a) lim —r— -^ x ^ + x -3 b) lim x ‘‘ + x '- 5x +1 Giải J_ , ^ + ,^ _ _ x '- x + 10 ^ x ^ + x -3 , J _ ^ X2 X3 j^^+“ x ^ + x - ^ b) 10 x ' - x + 10 x ^ + x -1 5x^+1 2+ 15 X 5+ - x '" ^ - nên lim x '+ x '- 5x^+1 _ - = 13 Bài toán 2.10: Tính: , x ''+ x " + a) lim X ’ -1 x b) lin, x T;:; +^ 2x ^ - Giải x ^ + 5x^ + a) x ' - 15x 3x H - H : X _ x : , x'’ - x^ + b) Ta có: —■ r x^-7 x U 5x^ + • llt nên lim X -1 x = +00 15 x^ , 1- - + , ,,_ x ^ - x ^ + _ ^ x x"* nên lim - ——— = 2x - 2x' x^ Bài tốn 2.11: Tính: a) lim ^ I^ + b) lim 3x' - 2x - Giăi a) Với X > 0: yjx^ - X 1 + -^ V X X + =, V XX ; 1 X X a/ x “ - x +5 im im —nên lim —^ - — = lim 2x—3 x->+co 5 = XU1 — + - ^ = x 1— +- ^ J^ = lim V XX X X 1-'^ + Khử dạng 00- 00, O.oo: - Dặt nhãn tử chung luỹ thừa cao X - Quy đồng phân số - Nhân chia lượng liên hợp đế khử căn, - Chuyên dang — hoãc — biết 14 - ' X x^-5 3x ^ - -J l+ D ođó: lim = lim ý > < ^ x -5 X3 x- >+ với X nên: lim - — ì= ■-00 X-To x~>0 x->0 u x^/ b) Với moi X < 2, ta có: —^ ^ x -2 x+1 r-— = —; x ^ -4 x '- Vì lim(x + l) = > , lim ( x ^ - ) = x^ - < v i-2 < X < x->2 x->2“ nên: limI ;— r^ x->2 \ x - X = -CO Bài tốn 2.13: Tính: b) lim(v> Ix + X ■^/4 + X" ) a) lim (Vx^ + - x) X —>-00 X -> + M Giải a) Dạng vô định 00 - 00, lim (Vx^ +3 - x) = lim , -= ’‘-"^ V x ^ + + x b) Với X < -1, la có: x -4 x -4 Vx^ + x -V + x^ = Vx^ + x +-\/4 + x^ x -4 X x^ Do lim (-\/x^ + X - V4 + x ^ ) = x >-co 1-1 -Jl + V X rỉ Bài tốn 2.14: Tính: a) lim (x + 2) X -» + o o ’ m x -1 X->1[ l - x ' ' X +X \-x" Giải a) x->+oo lim (x + 2) y1-4 X' -I- X 15 Ị(x + 2)"(x - 1) ^ lim \ b) lim A>1V1 Ta có 11- m n n ( l, 1“ V m 1- X ; r - , _ n (1 + X + X ' + + x" ') -x X 1- -x " ( lim )-(, - n V = lim X +X >->y í,1+ 21 í, ì 1V xy L x j V J XV V >1 1- r 1+ X •+ + + + X-f 4' x" ' 1+ X -f + x" ' Do dó liiT -\ >1U - x " T ongtựlhì: lim V >1 I- X X + ) 1- X + X+ -f x" + X + + x" l-x j 1f + f ( n - l ) _ (n - l)n n N n- m- 1- Jf" - x" / -) n-1 Bài tốn 2.15: Tính: b) lim •>, sin(x’ - 4) ' X -8 71 a) lim X tan X V 2y Giải ' 71' 7l' n a) lim X tan X = lim X cot ' , l 2j V X- 71 lim cosị \ 71^ X/ • ^ ^ \ ? sin X- _ V V 2j J — = - Lx í ■ / ^ IX - x " - s i n ( x " - ) b) lim - -sin(x - ) = lim , , '>’ x - x -8 X -4 x +2 sin(.r"- ) lim = = '■>’ X- -f 2.V 4-4 V 12 BÀI T Ậ P Bài tập 2.1: 1inh; ' 16 X -4 b, ' >' ' 3- X ■ + ••• + 1- X -x " H D -Đ S x^+ 2x + x ' - ^ - nên lim x-^2 X - x+2 —8 (x —2)(x^ + 2x + 4) a) —5 = ^ (x -2 )(x + 2) X -4 b) x^+3V 3 -x ^ (x + V )(x ^ -x V + ) x ' + V3 -(X + V )(x -V ) -x ^ " =3 V3 ■ Bài tập 2.2: Tính: x" - a) lim xTi x - x^ + x^ - b) lim x“ i X "-1 H D -Đ S a) x" -1 /1-1 , ^^n-1 + x + lnên lim x" -1 X -1 = — + x-»l x -1 ” ■ fx ^ -l b) lim - = lim X -> x"^ —1 i ^ x '- l — X ^ -0 x '- l ; =n , Bài tập 2.3: Tính: a) lim xTõ* b) ,i x-í-o X X H D -Đ S X V x ^ + X -V x _ z = 00 a) lim -=+ +CO >^^0" X , Vl + x ự l + x - Vl + 4xV l + x - ị l ỉ + x +ịj\ + x -1 b ) X X _ — Vl + 4x - ự l + x - ,• Vl + x ự l + x - = v l + x - —^ - nên lim — Y V X -> V Bài tập 2.4: Tính: , 2x - s i n x a) lim « _ v n + x^ o‘ V ĩ^ cosx , v ĩ+ ta n x - v ĩ+ sin X b) lim -r x->0 H D -Đ S , x -s in x x -s in x x - s i n x _ /T a) lim , ■ — = lim ■" —— = lim -= V2 X x->0+ /T- X Vl - c o s x >‘^0* v s in ^ Í2sin' _ (1 )sinx ,^ Vl + tanx - l + sinx = lim - i b) lim X -+ x^(vl + ta n x + v l + sinx) , 17 Bài tập 2.5: Tính: Xy/x - a) lim X -X b) lim x-y-oo l _ x +2 IID -D S ^ x4 x - ^ V x ''-x a) lim —7 — = b) l i m = + 00 X - X + 1- 3x Bài tập 2.6: Tính; b) h m ^ y - 7— •'■ '•r l- x ^ VX ' +3x + VX -1 x-H-ty IID -D S a )(x ^ + 1) x"-l = (x + lX x ^ -x + 1) X -3x + b): 1-x^ Vx^+3x+4 3x ( x - l ) ( x + l) ÍÕ r- l) (x - ) ^ hoo (l-x )(l+ x + + x '‘) V x^+3x + Bài tập 2.7: Tính: a) lim tan X tan n X —> — b) lim - X sinx - S cosx 2cosx -1 H D-D S ^ 71 , , 71 71 a) Dặt t = — - x t h ì x = — - t, X > — < = > t^ 4 lim tan2x.tan( — - x) = lim C0t2t tant ■ í ĨTo '-»0 ^4 x -—> — X b) lim sinx - V3 cosx 2 cos X - S ' ÔN HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số Hên tục - Giả sử hàm số f xác định khoảng (a; h) Xo ^ (a; h) Hàm số f liên tục điểm Xo nếu: lim f(x) = f(Xo) x->x„ Hùm sổ không liên lục Xo gọi gián đoạn lại XoHàm sỗ f liên tục khoang K flién lục lại diêm thuộc tập hợp 18 Hàm sổ fliên lục Irên đoạn [a; b] (liên tục khoảng (a; b) lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b) x->a^ x^b“ - Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm sổ liên tục điếm hàm sổ liên tục điếm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu lại điếm phải khác 0) - Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên lục tập xác định cùa chúng Các hàm sổ lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục tập xác định chủng Bài toán 3.1; Xét liên tục hàm số: 'x “ - x + a) f(x ) = X- Xo = X í(x + l)^ k h ix < b )f(x )= [x^ + =2 tạ ix = x> Giải a) Ta có f(Xo) = f(2) = ^7 ^ ^_ X '-3 x + (x - l)(x -2 ) Với moi x ^ i a có: f(x) = - ^ = X - X- X- , Do lim f(x) = lim (x-1) = = f(2) x-*2 x->2 Vậy hàm số f liên tục điểm Xo = b ) T acó: lim f(x ) = lim (x +1)^ = x->0“ x^O'" lim f (x) = lim (x^ + 2) = lim f (x) x-»0^ x->0* x->0 Do không tồn lim f (x) nên hàm số gián đoạn X = x-»0 Bài toán 3.2: Chứng minh hàm số sau liên lục ừên tập xác định 'ỰỊ x - a) f(x) x ^ X- b) g(x) = V s-2 x ^ x = Giải a) Hàm số f xác định R Với X •v/ĩx- 2 f(x) = — - liên tuc X-2 19 Với X = f(2) = — lim f (x) = lim —3 x->2 “^2 x - 4x - = lim F' = = I = lim— 7= = = — ^— — z -(x - 2)[v i6 x ' + 2V4x + 4] ^ 2ự4x + = — = f(2) nên f liên tục Vậy hàm số liên tục R b) Hàm số g(x) = ^J8-2x^ xác định D = [-2; 2] Với Xo e (-2; 2) ta có: lim g(x) = J s - x ^ = f(Xp) Do hàm số f liên tục khoảng (-2; 2) lim ^(x) = = g ( - ) , lim g(x) = = g(2) Vậy hàm số g liên tục D = [-2; 2] Bài tốn 3.3: Tìm khoảng, nửa khoảng mà hàm số liên tục a) f(x) X + 3x + b) g(x) = V x + T - 2-v/x- 2x + l Giải a) Điều kiện x + l9 tO < » x íẾ -—, V ì f l hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục tập xác định D = (-oo; - —) u ; +oo) b) Điều kiện: x + > O v x > o x > nên D = [3; +oo) Vậy g liên tục D = [3; +oo) Bài tốn 3.4: Tìm điểm gián đoạn hàm số sin x a) f(x) = tanx 4- 2cotx b) g(x) = ^ sin X - v3 cosx Giái a) Hàm số y = tanx liên tục X — + kTĩ, k e z y = cotx liên tục X kn, k e z Do hàm số f(x) = tanx + 2cosx gián đoạn điểm ĩí , , , 71 , _ X = — + k 7ĩ, x = k7ix = k —, k e z 2 b) Hàm số g(x) gián đoạn điểm x: sinx - ^|2 cosx = ị- sinx - ^ cosx = 2 20 sin(x - —) = < = > x - ^ = k ĩ< = > x = ^ + kĩi, k e z 3 Bài tốn 3.5: Tìm giá trị tham số a để hàm số liên tục R í ỈZĨ xsin^ khix>0 6ax^ + X 5^0 a)f(x)=< b) g(x) ^ X a c o s í-5 khix< khix = Giải a) Với X > f(x) = xsin— liên tục X Với X < f(x) = acosx - liên tục Với X = f(0) = a.cosO - - a - lim f (x) = lim (a cos X - 5) = a - = f (0) x-»0" »->•0 x-^o X Vì f gián đoạn X = với a nên không tồn a để hàm số liên tục R Bài toán 3.6: Tuỳ theo tham số, xét liên tục hàm số: -v/x-1 ự ĩ-\ ax + b f(x) = x^ + x + x '-9 x > - < X f(x) = ^ —Ị —- liên tục ự ĩ-1 < f(x) = ax + b liên tục 21