ThS ðồn Vương Ngun CHUN ðỀ toancapba.com HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) II f(x, y) = Dạng 1: (đổi vị trí x y cho phương trình trở thành phương trình kia) f(y, x) = Phương pháp giải chung Cách giải Trừ hai phương trình cho nhau, đưa phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) vào hai phương trình hệ x + 2x = y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình y + 2y = x (2) Giải Trừ (1) (2) vế theo vế ta ñược: x − y + 3x − 3y = ⇔ (x − y)(x2 + y2 + xy + 3) = y 3y2 ⇔ (x − y) x + + + = ⇔ y = x 2 Thế y = x vào (1) (2) ta ñược: x3 + x = ⇔ x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm y = 2x + + − y = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình 2y + + − x = (2) Giải − ≤ x ≤ ðiều kiện: − ≤ x ≤ Trừ (1) (2) ta ñược: (2x + 3) − (2y + 3) (4 − y) − (4 − x) 2x + − 2y + + − y − − x = ⇔ + =0 2x + + 2y + 4−y + 4−x = ⇔ x = y ⇔ (x − y) + 2x + + 2y + − y + − x Thay x = y vào (1), ta ñược: ( ) ( ) DeThiMau.vn 2x + + − x = ⇔ x + + (2x + 3)(4 − x) = 16 − x ≥ 11 ⇔ −2x + 5x + 12 = − x ⇔ ⇔ x = 3∨x = (nhận) 9x − 38x + 33 = 11 x = x = ∨ Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt y = 11 y = Cách giải (nên dùng cách không giải ñược) Cộng trừ hai phương trình ñưa hệ phương trình tương đương gồm hai phương trình tích (thơng thường tương đương với hệ phương trình mới) x = 2x + y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình y = 2y + x (2) Giải Trừ cộng (1) với (2), ta ñược: x = 2x + y (x − y)(x2 + xy + y2 − 1) = ⇔ y = 2y + x (x + y)(x − xy + y2 − 3) = x − y = x − y = x + xy + y2 = x + y = ⇔ ∨ ∨ ∨ x + y = x2 − xy + y2 = x2 + xy + y2 = x − xy + y2 = x − y = x = + ⇔ x + y = x = x = x = − x − y = y = x + ⇔ ⇔ ∨ 2 x − xy + y = x = y = y = − x + y = y = −x ⇔ x = −1 ∨ x = + ⇔ x + xy + y2 = x2 = y = y = −1 x + xy + y2 = xy = −1 x = x = −1 xy = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ∨ + 2 x − xy + y2 = x + y = x + y = y = −1 y = x = x = − x = x = −1 x = Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt: ∨ ∨ ∨ ∨ x = y = y = −1 y = y = − Cách Sử dụng hàm số ñơn ñiệu ñể suy x = y 2x + + − y = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình 2y + + − x = (2) Giải DeThiMau.vn − ≤ x ≤ ðiều kiện: − ≤ x ≤ Trừ (1) (2) ta ñược: 2x + − − x = 2y + − − y (3) Xét hàm số f(t) = 2t + − − t, t ∈ − ; , ta có: > 0, ∀t ∈ − ; ⇒ (3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y 2t + − t Thay x = y vào (1), ta ñược: f / (x) = + 2x + + − x = ⇔ x + + (2x + 3)(4 − x) = 16 ⇔ −2x2 + 5x + 12 = − x ⇔ x = ∨ x = 11 (nhận) 11 x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt ∨ y = 11 y = x + 2x = y Ví dụ Giải hệ phương trình y + 2y = x Giải Xét hàm số f(t) = t3 + 2t ⇒ f / (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ ℝ f(x) = y (1) Hệ phương trình trở thành f(y) = x (2) + Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ y > x (do (1) (2) dẫn ñến mâu thuẩn) + Nếu x < y ⇒ f(x) < f(y) ⇒ y < x (mâu thuẩn) Suy x = y, vào hệ ta ñược x + x = ⇔ x = x = Vậy hệ có nghiệm y = Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách Nếu giải khơng nghĩ đến cách 3, khơng giải quay trở đề tìm điều kiện xác giải lại cách 1! 3x = x + y2 Ví dụ (trích đề thi ðH khối B – 2003) Giải hệ phương trình: y2 + 3y = x2 Giải x > Nhận xét từ hệ phương trình ta có Biến đổi: y > DeThiMau.vn 3x = x + 3xy2 = x2 + (1) y ⇔ 3yx2 = y2 + (2) y +2 3y = x2 Trừ (1) (2) ta ñược: (x − y)(3xy + x + y) = ⇔ x = y (3xy + x + y > 0) Với x = y : (1) ⇔ 3x − x2 − = ⇔ (x − 1)(3x2 + 2x + 2) = ⇔ x = x = Vậy hệ có nghiệm y = f(x, y) = Dạng 2: , có phương trình đối xứng g(x, y) = Phương pháp giải chung Cách giải ðưa phương trình đối xứng dạng tích, giải y theo x vào phương trình lại x − = y − (1) Ví dụ Giải hệ phương trình x y 2x − xy − = (2) Giải ðiều kiện: x ≠ 0, y ≠ Ta có: (1) ⇔ (x − y) + = ⇔ y = x ∨ y = − xy x + Với y = x: (2) ⇔ x2 − = ⇔ x = ±1 + Với y = − : (2) vô nghiệm x x = x = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt ∨ y = y = −1 Cách giải (nên dùng cách khơng giải được) ðưa phương trình đối xứng dạng f(x) = f(y) ⇔ x = y với hàm f ñơn ñiệu x − y = cos x − cos y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình x y − 3y − 18 = (2) Giải Tách biến phương trình (1), ta ñược: (1) ⇔ x − cos x = y − cos y (3) Xét hàm số f(t) = t − cos t ⇒ f / (t) = + sin t > 0, ∀t ∈ ℝ Suy (3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y Thay x = y vào (2), ta ñược: DeThiMau.vn x − 3x − 18 = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm y = (x − 3)(x2 + 3x + 6) = ⇔ x = 3 Chú ý: x − = y − (1) Cách giải sau ñây sai: x y 2x − xy − = (2) Giải ðiều kiện: x ≠ 0, y ≠ 1 Xét hàm số f(t) = t − , t ∈ ℝ \ {0} ⇒ f / (t) = + > 0, ∀t ∈ ℝ \ {0} t t2 Suy (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y ! Sai hàm số f(t) ñơn ñiệu khoảng rời (cụ thể f(–1) = f(1) = 0) BÀI TẬP Giải hệ phương trình sau x2 − 3y + = 1) ðáp số: y − 3x + = 2) 3) 4) 5) 6) 7) 9) x = x = ∨ y = y = x2 + xy = x + 2y x= x = ðáp số: ∨ y + xy = y + 2x y = y = x + + y − = x = ðáp số: y + + x − = y = x + + y − = x = ðáp số: y + + x − = y = x + + − y = x = x = −2 ðáp số: ∨ y + + − x = y = y = −2 x = x + 2y ðáp số: x = ∨ x = ∨ x = − y = y + 2x y = y = y = − 2x + y = 2x x = x ðáp số: 8) y = 2y + x = 2y y x y − = y ðáp số: x = xy − = x2 y = 3 y ðáp số: =x+ x = y+ DeThiMau.vn x = y = x − x + x + = 2y x = x = −1 10) ðáp số: ∨ y − y2 + y + = 2x y = y = −1 x − = y − (1) 11) (trích đề thi ðH khối A – 2003) x y 2y = x + (2) Hướng dẫn giải ðiều kiện: x ≠ 0, y ≠ x−y (1) ⇔ x − y + = ⇔ (x − y) + = ⇔ x = y ∨ y = − xy xy x + Với x = y : (2) ⇔ x = ∨ x = + Với y = − −1 ± : (2) ⇔ x + x + = x Xét hàm số f(x) = x + x + ⇒ f / (x) = 4x + = ⇔ x = −1 f = − > 0, 4 Cách khác: −1 lim = +∞ ⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ x + x + = vô nghiệm x →±∞ + Với x < ⇒ x + > ⇒ x + x + > + Với x ≥ ⇒ x ≥ x ≥ −x ⇒ x + x + > Suy (2) vô nghiệm −1 + −1 − x = x = x = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt ∨ ∨ y = 5 − + − − y = y = x = sin y (1) 12) y = sin x (2) Hướng dẫn giải Trừ (1) (2) ta ñược: x − y = sin y − sin x ⇔ x + sin x = y + sin y (3) Xét hàm số f(t) = t + sin t ⇒ f / (t) = + cos t ≥ 0, ∀t ∈ ℝ (3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y ⇒ (1) ⇔ x − sin x = (4) Xét hàm số g(x) = x − sin x ⇒ g/ (x) = − cos x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ (4) có khơng q nghiệm x = Do g(0) = ⇒ (4) ⇔ x = Vậy hệ có nghiệm y = DeThiMau.vn ... Vậy hệ có nghiệm y = f(x, y) = Dạng 2: , có phương trình đối xứng g(x, y) = Phương pháp giải chung Cách giải ðưa phương trình ñối xứng dạng tích, giải y theo x vào phương trình. .. ∨ Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt y = 11 y = Cách giải (nên dùng cách khơng giải được) Cộng trừ hai phương trình đưa hệ phương trình tương đương gồm hai phương trình tích... ⇔ x = x = Vậy hệ có nghiệm y = Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách Nếu giải khơng nghĩ ñến cách 3, không giải ñược quay trở đề tìm điều kiện xác