SKKN: Giải phương trình bằng phương pháp lập hệ phương trình đối xứng loại II

Như chúng ta đã biết phương trình, hệ phương trình trong chương trình toán phổ thông có rất nhiều dạng và phương pháp giải khác nhau. Người giáo viên ngoài việc nắm được các dạng phương trình và cách giải chúng để hướng dẫn học sinh. Bài SKKN Toán Lập hệ phương trình đối xứng loại II, mời các bạn tham khảo.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT DƯƠNG QUẢNG HÀM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II” Họ tên giáo viên: Đào Thị Phương Liên Tổ : Toán - Tin Trường : THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 - 2013 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 ĐỀ TÀI : “GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II” PHẦN A: MỞ ĐẦU I.Lý chọn đề tài Trong trường THPT mơn Tốn mơn quan trọng Nó tiền đề việc giảng dạy học tập mơn khác như: Hóa học, Vật lý, Sinh học giúp phát triển tư cho học sinh, giúp em có khả phân tích, tổng hợp, so sánh, tưởng tượng, sáng tạo Như biết phương trình, hệ phương trình chương trình tốn phổ thơng có nhiều dạng phương pháp giải khác Người giáo viên việc nắm dạng phương trình cách giải chúng để hướng dẫn học sinh cần phải xây dựng lên đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy rèn luyện tư toán học cho học sinh khá, giỏi Bài viết đưa số quy trình xây dựng lên phương trình, hệ phương trình Qua quy trình tơi rút phương pháp giải cho dạng phương trình, hệ phương trình tương ứng Các quy trình xây dựng đề tốn trình bày thơng qua ví dụ, tốn đặt sau ví dụ Đa số tốn xây dựng có lời giải hướng dẫn Quan trọng số lưu ý sau lời giải giúp ta giải thích “Vì lại nghĩ lời giải này” Qua q trình cơng tác giảng dạy trường THPT tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân thầy, cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu tiếp cận giải Song địi hỏi người thầy cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 nhiều phương pháp cách giải qua tốn để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển tốn đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng II.Phạm vi đối tượng đề tài Việc đào tạo chất lượng học sinh ôn thi đại học cho khối 10, 11, 12 cần thiết Vì vậy, tơi mạnh dạn xây dựng SKKN “Giải phương trình phương pháp lập hệ phương trình đối xứng loại II” với mong muốn thầy, cô, đồng nghiệp tham khảo Những tốn có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện tư tốn học thường thử thách học sinh kỳ thi học sinh giỏi cấp, kỳ thi Olympic kỳ thi Đại học III Mục đích nghiên cứu Góp phần vào phương pháp giải phương trình bậc cao, phương trình vơ tỷ phương pháp lập hệ phương trình để giải chúng Phát triển tư lơgíc học sinh gặp phương trình với cách liên hệ giải hệ phương trình Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ cơng tác thân q trình tự nghiên cứu để áp dụng vào giảng dạy IV Nhiệm vụ nghiên cứu Xét số tập phương trình bậc cao, phương trình vơ tỉ giải cách đưa hệ phương trình đối xứng loại II gần đối xứng V Phương pháp nghiên cứu Phân tích, giải cụ thể đưa đến xây dựng tổng quát Từ đối chiếu rút kết luận VI.Điểm nghiên cứu Xây dựng số phương trình bậc cao, phương trình vơ tỉ sở hệ đối xứng loại II Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 PHẦN B : NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Định nghĩa hệ đối xứng loại II Hệ đối xứng loại II hệ phương trình gồm ẩn x, y cho đổi chỗ vai trị x y phương trình trở thành phương trình hệ Xét hệ phương trình đối xứng loại II  x   2  ay  b    y     ax  b (1) (2) Phương pháp giải hệ đối xứng loại II  Trừ vế hai phương trình biến đổi dạng phương x  y trình tích có dạng :(x-y).f(x,y)=0    f ( x, y)   Kết hợp phương trình tích với phương trình hệ để suy nghiệm hệ phương trình Như từ hệ đối xứng loại II có cách giải truyền thống ta xuất phát theo hướng sau để khai thác phương trình lập ngược lại có ln cách giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II gần đối xứng Từ (2) suy  ax  b   y   y    ax  b       y     ax  b  y   ax  b      Thay vào (1) ta Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013  a ax  b a   b   x         a ax  b a   b   x     (*) Đến cách chọn , , a, b ta xây dựng phương trình vô tỉ Cách giải phương trình dạng đặt y ax b (hoặc - ax b để đưa hệ đối xứng loại II đà biết cách giải Ta xây dựng số phương trình gii dùng phương pháp đưa hệ phương trình đối xứng loại II gần đối xứng II.Xây dựng phương trình giải cách lập hệ đối xứng loại II Ví dụ Xét hệ đối xứng loại hai 2  x   y  x     3x    y   x Ta có tốn sau Bài tốn (THTT, số 250, tháng 04/1998) Giải phương trình x + (2-3x2)2 = 2  x  y   x   y 1 Giải Đặt y = - 3x Ta có hệ   2  y   x  y   x   Lấy (1) trừ (2) ta y  x x  y    3x 3  x  y    y   x - y = (x2 - y2)   Với y = x, thay vào (1) ta 3x  x    x   1,   Với y  3  3x  3x  21 , thay vào (2) ta   3x  x  3x    x  3 Phương trình cho có bốn nghiệm x  1, x  , x   21  21 ,x  6 Lưu ý: Từ lời giải ta thấy phương trình bậc cao : x + (2-3x2)2 = Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 Nếu khai triển (2 - 3x 2)2 đưa phương trình cho phương trình bậc bốn, sau biến đổi thành phương trình tích (x + 1) (3x - 2) (9x2 - 3x - 5) = Vậy xây dựng toán, ta cố ý làm cho phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ phương pháp khai triển đưa phương trình bậc cao, sau phân tích đưa phương trình tích gặp nhiều khó khăn Ví dụ Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm số vơ tỉ 5x  x   x  x  Do ta xét  y  x   5x2    2x  5   1  x  y    Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình 8x – 5(5x2 – 1)2 = – Giải Đặt 2y = 5x2 – Khi  y  x   y  x  11    2 8 x  5.4 y   x  y  1  Lấy (1) trừ (2) theo vế ta y  x x  y  2(y – x) = (x – y )    y   5x  2   5( x  y )   2 Với y = x, thay vào (1) ta 5x  x    x  Với y = –  1 5x  , thay vào (1) ta 10 x  5  50  x   25 x  10 x   x  25 Phương trình cho có bốn nghiệm  1  , 5 Ví dụ Xét phương trình bậc ba x  3x    x3  x    x  x3  Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 6 y  x3   8x   Do ta xét   x     3 6 x  y      1296 x  216  8 x3    162 x  27  x3   3  Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình 162 x  27  8 x3   3 6 y  x3  6 y  x  1 Giải Đặt y  x  Ta có hệ   3 162 x  27  216 y 6 x  y    Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 6(y – x) = 8(x3 – y3)  (x – y) [8(x2 + xy + y2) + 6] = (3) Vì x + xy + y2 ≥ nên (x2 + xy + y2) + > Do từ (3) ta x = y Thay vào (1) ta x  8x   x3  3x   5  x3  3x  cos Sử dụng công thức cos  = cos3 (4)   – 3cos ta có 3 5 5 5 cos = 4cos3 18 – cos 18 17 17 17 cos = 4cos3 18 – cos 18 cos 7 7 7 = 4cos3 – cos 18 18 5 17 7 Vậy x = cos 18 , x = cos 18 , x = cos 18 tất nghiệm phương trình (4) tất nghiệm phương trình cho Lưu ý Phép đặt 6y = 8x3 + tìm sau: Ta đặt ay + b = 8x3 + (với a, b tìm sau) Khi từ PT cho có hệ 6 y  b  x   3 2 162 x  27  a y  3a by  3ab y  b Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 Cần chọn a b cho  a b    b  162 a 27  b   a   3a b  3ab  Vậy ta có phép đặt 6y = 8x3 + VÝ dô Cho  = 3,  = 2, a = 3, b = thay vµo (*) ta ®­ỵc  3x    3x  Ta có toán sau Bài toán (HSG Hồ Chí Minh năm học 2004-2005) Giải phương trình x 12 x x 8 Giải: Điều kiện x Phương trình viết lại (3x + 2)2 = 3x (1) Đặt 3y + = 3x  , suy (3y + 2)2 = 3x + KÕt hỵp víi (1) ta cã hÖ (3x  2)  y   (3 y  2)  3x  ( 2) (3) 8 §Ĩ x, y thỏa mÃn (1) (2) x y ≥ –3 LÊy (2) trõ (3) ta ®­ỵc 3(x – y) (3x + 3y + 4) = 3(y – x)  (x – y)(3x + 3y + 5) = x  y  y  x  3x  y   3 y  (3x  5)  Víi y = x, thay vào (2) ta x (3x + 2)2 = 3x +  9x2 + 9x – =   x    Với y = – (3x + 5), thay vào (2) ta (3x + 2)2 = –3x +  9x2 + 15x + = (thỏa mãn) (loại) Trường THPT Dương Quảng Hàm  5  21 x    5  21 x    Năm học 2012 – 2013 (thỏa mãn) (loại)   21 Các nghiệm phương trình cho x = x   Lưu ý Có phương pháp để tìm cách đặt 3y + = 3x  sau: Ta đặt my + n = 3x  , với m, n chọn sau cho hệ hai ẩn x, y thu hệ đối xứng loại hai Từ my + n = 3x  từ phương trình cho ta có hệ (my  n)  3x   9 x  12 x   3x  m y  2mny  n  3x   9 x  12 x   my  n Để hệ đối xứng lại hai m  m2 2mn  n     12 m n n  Ví dụ Cho  = 1,  = 1, a = , b = thay vào (*) ta x  x ( x  1)  2    2( x  1)   2 2 2 Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình 2x2 + 4x = x3 Ví dụ Cho  = 2,  = –1, a = 8000, b = thay vào (*) ta (2x – 1)2 = 4000 8000 x   4001 Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình x  x  1000 8000 x   1000 Nếu xét hệ Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013  x   3  ay  b   x     ax  b Từ phương trình ta y    ax  b  y  ax  b     Thay vào phương trình hệ (x   )  a ax  b a  b   Ví dụ Chọn  = 1,  = 1, a = 3, b = 5, ta (x +1)3 = 3 x   Ta có tốn sau Bài tốn (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình x3 + 3x2 - 3 x    x Giải Tập xác định Phương trình cho tương đương (x +1)3 = 3 x   Đặt y + = (1) x  Ta có hệ  x  13  y    y  13  x  (1) (2 ) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta (x + 1)3 – (y + 1)3 = - 3(x – y)  (x – y) [(x + 1)2 + (x + 1) (y + 1) + (y + 1)2 +3] =  x =y (do (x + 1)2 + (x + 1) (y + 1) + (y + 1)2  0) Thay vào (1) ta x  (x + 1)3 = 3x +  x3 + 3x2 – =    x  2 Phương trình cho có hai nghiệm x = x = –2 Ví dụ Cho  = 2,  = 0, a = 4004, b = – 2001 ta ( x )  20023 4004 x  2001  2001 10 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 Ta có tốn sau  x  2001  Bài tốn Giải phương trình    4004 x  2001  2002  III Xây dựng phương trình giải cách lập hệ “gần” đối xứng Ví dụ Ta xây dựng phương trình vơ tỉ có nghiệm theo ý x  3 muốn Xét x = Khi x     x     x  Ta mong muốn có phương trình chứa (ax + b)3 chứa cx  d , phương trình giải cách đưa hệ “gần” đối xứng (nghĩa trừ theo vế hai phương trình hệ ta có thừa số (x – y)) Vậy ta xét hệ ( y  5)  x  Không hệ đối xứng loại II  ( x  5)   x  y  giải hệ Nếu có phép đặt y   x  2, sau thay vào phương trình (2x – 5)3 = – x + 2y – ta 8x3 – 60x2 + 150x – 125 = – x + x2 52 Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình x   x3  60 x  151x  128 Giải Cách Tập xác định Phương trình viết lại x   (2 x  5)3  x  Đặt 2y – = x  Kết hợp với (1) ta có hệ (2 y  5)3  x   (2 x  5)3   x  y  ( 2) (3) Lấy (3) trừ (2) theo vế ta 11 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 (x – y) [(2x–5)2 + (2x –5) (2y– 5) + (2y– 5)2] = 2(y–x) (4) x  y   2 (2 x  5)  (2 x  5)(2 y  5)  (2 y  5)   0(5) Ta có (4)  y = x Thay vào (2) ta (2x – 5)3 = x –  8x3 – 60x2 + 149x – 123 =  (x – 3) (8x2 – 36x + 41) =  x = B  3B   nên (5) xảy Do A2 + AB + B2 =  A    2  Phương trình có nghiệm x =3 Do phương trình có nghiệm x = nên ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số sau: Cách Tập xác định Đặt y = x  Ta có hệ 8 x3  60 x  151x  128  y   x  y  Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta 8x3 – 60x2 + 152x – 128 = y3 + y + 8x3 – 60x2 + 150x – 125 + 2x – = y3 + y  (2x – 5)3 + (2x – 5) = y3 + y (*) Xét hàm số f(t) = t3 + t Vì f’(t) = 3t2 + > 0, t nên hàm f đồng biến Do (*) viết lại f(2x – 5) = f(y)  2x – = y Bởi (2x – 5) = x   (2x – 5)3 = x – 8x3 - 60x + 149x – 123 =  (x – 3) (8x2 – 36x + 41) =  x = Phương trình có nghiệm x = 12 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 Ví dụ 10 Xét phương trình bậc ba đó, chẳng hạn xét 4x3 + 3x = Phương trình tương đương 8x3 +6x =  8x3 = – 6x  2x =  6x Ta “lồng ghép” phương trình cuối vào hàm đơn điệu sau: (2x)3 + 2x =  x +4– 6x  8x3+8x – =  6x Ta toán sau Bài tốn 10 Giải phương trình 8x3 + 8x – =  6x Giải Tập xác định phương trình Cách Phương trình cho tương đương (2x)3 + 2x =  x + – 6x Xét hàm số f(t) = t3 + t, t  Vì f’(t) = 3t2 + > 0, t  nên hàm số f (t) đồng biến Mà PT (1) viết lại f (  x ) = f(2x) nên tương đương  x = 2x  8x3 + 6x =  4x3 + 3x = Vì hàm số g(x) = 4x3 + 3x có g’(x) = 12x2 + > 0, x  (2) nên PT (2) có khơng q nghiệm Xét 2=             Do đó, đặt    =  4      1      Ta có 2   1  1   1                   2       2 2 1 Vậy x            nghiệm PT (2) 2  2  nghiệm phương trình cho Cách 2: Phương trình viết lại (2 x )3   x  x  13 Trường THPT Dương Quảng Hàm Đặt 2y = Năm học 2012 – 2013  x Ta có hệ 8 y   x 8 y  6 x    3 8 x  x   y 8x  8 x  y  (a) (b) Lấy PT (b) trừ PT (a) theo vế ta 8(x3 – y3) = 2(y – x)  (x – y) [4(x2 + xy + y2) + 1] =  y = x Thay y = x vào (a) ta 8x3 = -6x +  4x3 + 3x = Đến làm giống cách Bài tốn 11 (Chọn đội tuyển TP Hồ Chí Minh dự thi quốc gia năm học 2002-2003) Giải phương trình 3x   x  36x  53x  25 Giải Tập xác định Phương trình viết lại 3 x   (2 x  3)3  x  (1) Đặt y   3x  Kết hợp với (1) ta có hệ ( y  3)  3x   ( x  3)  x  y  ( 2) (3) 3 Lấy (3) trừ (2) theo vế ta 2(x – y) [(2x – 3)2 + (2x – 3) (2y – 3) + (2y – 3)2] = 2(y – x) x  y  (4) (2 x  3)  (2 x  3)(2 y  3)  (2 y  3)   (5)  Ta có (4)  y = x Thay vào (2) ta (2x – 3)3 = 3x –  8x3 – 36x2 + 54x – 27 = 3x – x    x   x  20 x  11    x      14 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 B  3B   nên (5) xảy Do A + AB + B =  A    2  2 Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = 5 Bài tốn 12 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2006) Giải phương trình x   x3  x  Giải Tập xác định phương trình Đặt x   y Ta có hệ  8 x  x   y 8 x  x  y    6 x   y 8 y  x  (1) (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 8(x3 – y3) = 2(y-x)  (x – y) [4(x2 + xy+ y2) + 1] =  y = x Thay y = x vào (2) ta  8x3 – 6x =  4x3 – 3x = cos (3)   Sử dụng công thức cos  = cos3 - cos ta có    cos = cos3 - cos 7 7 7 cos = cos3 - cos , 5 5 5 cos = cos3 - cos Vậy x = cos 5 7  , x = cos , x = cos tất nghiệm phương trình (3) 9 tất nghiệm phương trình cho Lưu ý Ta cịn giải cách khác sau: Phương trình viết lại x   x   ( x )3 2 x 15 (3) Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 Xét hàm số f(t) = t3 + t,t Vì f’(t) = 3t2 + > 0, t nên hàm số f(t) đồng biến Mà PT (2) viết lại f ( x  1)  f (2 x) nên tương đương x   x  x3  x   x  x  Đến ta làm cách Bài tốn 13: Giải phương trình x  13 x   x   13 33 Ta thực nhóm sau  x    3x   4  Đặt  y    x  , chọn  ,  cho hệ thu giải (hệ gần đối xứng) Ta có Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với : mong muốn có nghiệm x=y , nên ta phải có  2        13 5    2   Ta chọn  Ta có lời giải sau: Với điều kiện x  1 3 Đặt 3x     y  3 ,  y    2 Ta có hệ phương trình sau :  x  3  y  x    x  y   x  y  5   2 y   x     Với x=y  x  15  97 Với x  y    x  11  73 16 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 15  97 11  73  Tập nghiệm phương trình  ,    IV.Bài tập tham khảo Giải phương trình sau: x2 -2x =2 x  2x2 -6x-1= x  8x3-4x-1 = x  7x2 -13x +8= 2x2 x(3x  3x  1) 8x2- 13x +7= 1   ( x  1)(2 x  1)  x  x  x3 -  x    x x2 81x   x  x  3x   x3  3x  x  37 x   x  26 x  0 3 17 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 V Kết sáng kiến kinh nghiệm Với phương pháp tổ chức cho học sinh tiếp nhận học cách chủ động, tích cực, tất em hứng thú học tập thực hăng hái làm tập giao nhà tương tự Phương pháp dạy học dựa vào nguyên tắc:  Đảm bảo tính khoa học xác  Đảm bảo tính lơgic  Đảm bảo tính sư phạm  Đảm bảo tính hiệu Khi trình bày tơi ý đến phương diện sau:  Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh  Phát huy lực tư toán học học sinh Qua thực tế giảng dạy lớp chuyên đề 10A4, 10A5, 10A6 Các em hào hứng sôi giải phương trình với cách đưa hệ Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh năm học 20112012 2012-2013 trước sau áp dụng sáng kiến sau: Tổng số học sinh Trước áp dụng SKKN Sau áp dụng SKKN Yếu Yêú TB Khá Giỏi 120 TB Khá Giỏi 60 Kém Số lượng 10 50 50 10 35 % 8,4 41,6 41,6 8,4 4,2 29,2 49,8 16,4 18 20 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 PHẦN C: KẾT LUẬN I.Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm Việc rèn luyện cho em lực tư độc lập sáng tạo, đặc biệt phương trình hệ phương trình áp dụng cho kỳ thi đại học thúc nghiên cứu để viết lên tài liệu, khiến tơi tâm huyết tìm hiểu nghiên cứu SKKN Qua năm giảng dạy trực tiếp, ôn luyện cho học sinh THPT để em áp dụng làm toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình đề thi đại học tơi thấy em thực có hứng thú Đây sáng kiến nhỏ nhằm góp phần vào chuyên đề bồi dưỡng học sinh phần phương trình hệ phương trình, từ xây dựng thêm tốn phương trình,hệ phương trình Đối với học sinh mong em quan tâm tìm đọc tài liệu nói phương trình hệ phương trình coi tư liệu để em gặp tốn khơng cịn bỡ ngỡ khó khăn q trình suy luận giải tốn Tơi viết lên SKKN với mong muốn làm hành trang cho trình giảng dạy trao đổi, giao lưu với q thầy, nhà trường II.Những học kinh nghiệm Nếu học sinh biết phương pháp có hiệu em tự tin giải toán dạng dạng tương tự Tuy nhiên tốn có nhiều cách giải , phương pháp giải dài phương pháp khác lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận phương pháp khác III.Khả ứng dụng triển khai sáng kiến Có thể áp dụng cho học sinh giỏi khối 10, 11, 12 luyện thi đại học lớp học chuyên đề khối A, A1 19 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 IV.Những kiến nghị đề xuất Nên giới thiệu cho học sinh phương pháp giải phương trình với cách giải đưa hệ đối xứng loại II, gần đối xứng loại II Trên phần tóm tắt báo cáo sáng kiến kinh nghiệm Rất mong thầy,cô đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN tơi hồn thiện thực tài liệu tham khảo Cuối xin cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu nhà trường, đồng nghiệp giúp đỡ tơi hồn thành SKKN 20 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 PHẦN D : TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập đề thi Olympic 30 – Mơn Tốn lần thứ V, Nhà xuất Giáo dục Tuyển tập đề thi Olympic 30 – Mơn Tốn lần thứ VII – 2002, Nhà xuất Giáo dục Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 250 – Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Văn Mậu, Một số toán chọn lọc phương trình,hệ phương trình, Nhà xuất Giáo dục – 2003 Phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán – Nhà xuất Giáo dục Tài liệu giải hệ phương trình phương trình Nguyễn Đức Tất – Phan Ngọc Thảo, Nhà xuất Giáo dục Một số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, số đề thi học sinh giỏi quốc gia 21 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 PHẦN E: MỤC LỤC Phần Nội dung Trang MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài A II Phạm vi đối tượng nghiên cứu III Mục đích nghiên cứu 2-3 IV Nhiệm vụ nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu VI.Điểm nghiên cứu NỘI DUNG I.Cơ sở lý luận II Xây dựng phương trình giải cách lập hệ đối xứng loại II B III Xây dựng phương trình giải cách lập hệ gần đối xứng 4-18 IV.Bài tập tham khảo V.Kết sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN I.Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm C II.Những học kinh nghiệm 19-20 III.Khả ứng dụng triển khai sáng kiến IV.Những kiến nghị đề xuất D TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 E MỤC LỤC 22 Văn Giang, ngày 22/4/2013 Người viết Đào Thị Phương Liên 22 Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 23 ... y phương trình trở thành phương trình hệ Xét hệ phương trình đối xứng loại II  x   2  ay  b    y     ax  b (1) (2) Phương pháp giải hệ đối xứng loại II  Trừ vế hai phương trình. .. gii cú th dựng phng pháp đưa hệ phương trình đối xứng loại II gần đối xứng II. Xây dựng phương trình giải cách lập hệ đối xứng loại II Ví dụ Xét hệ đối xứng loại hai 2  x   y  x     3x... cao, phương trình vơ tỉ sở hệ đối xứng loại II Trường THPT Dương Quảng Hàm Năm học 2012 – 2013 PHẦN B : NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Định nghĩa hệ đối xứng loại II Hệ đối xứng loại II hệ phương trình