Sáng kiến “Phân loại và phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” giúp học sinh có kỹ năng phân tích tổng hợp trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiên trong bài toán. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến trên.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I - Lời nói đầu Dạng tốn"Giải tốn cách lập phương trình"ở trương trình đại số lớp lớp trường Trung học sơ sở dạng tốn tương đối khó học sinh.Do đặc trưng loại tốn thường loại tốn có đề lời văn thường xen trộn nhiều ngơn ngữ (ngơn ngữ thơng thường ngơn ngữ tốn học,vật lý).Hầu hết tốn có kiện ràng buộc nhau,ẩn ý dạng lời văn buộc học sinh phải suy luận tốt tìm tương quan đại lương mà thưc chất vấn đề khoa học giải tốn phương trình Trong phân phối trương trình tốn học trườnh Trung học sở đến lớp hoc sinh học khái niệm phương trình phép biến đổi tương đương phương trình Nhưng việc giải phương trình có chương trình tốn học từ lớp 1với mức yêu cầu tuỳ theo đối tượng học sinh lớp 1và phương trình cho dạng: Điền số thích hợp vào trống: -3=8 lớp nâng lên dạng: x+5-3=12 lớp 4,5,6 cho dạng phức tạp hơn: X : = 10 : 6x + = 16 (x + 12) =75 lớp 7,8,9 mối liên hệ trên,bài tốn cịn có dạng lời văn có kiện kèm theo.Vì muốn giải tốn học sinh phải có suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình (hệ phương trình) Một đặc thù riêng loại toán hầu hết toán gắn liền với nội dung thưc tế Chính mà việc chọn ẩn số thường số liệu có liên quan đến thực tế.Do giải tốn hoc sinh thường mắc sai lầm thoát ly thực tế dẫn đến quên đữ kiện ẩn.học sinh không khai thác hết mối liên hệ ràng buộc thực tế… Từ lý mà học sinh ngại làm loại tốn này.Mặt khác trình giảng dạy lực,trình độ giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán,chưa khái quát cách giải cho dạng Kỹ phân tích tổng hợp học sinh cịn yếu q trình đặt ẩn số, mối liên hệ kiên tronh toán dẫn đến lúng túng tronh việc giải loại tốn Chính vậy,muốn giải tốn cách lập phương trình hay hệ phương trình quan trọng phải biết diễn đạt mối liên hệ thành mối quan hệ toán học.Do nhiệm vụ người thầy giáo giải tập cho học sinh mà vấn đề đặt người thầy phải dạy hoc sinh cách giải tập.Do đó,khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này,giáo viên phải dựa số quy tắc chung Yêu cầu giải toán,quy tắc gải toán cách lập phương trình, phân loại dạng tốn dựa vào trình biến thiên đại lượng( tăng ,giảm ,thêm, bớt) làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình dễ dàng.Đây bước quan trọng khó khăn học sinh Trong thời gian giản dạy trường Trung học sở,qua học hỏi kinh nghiệm thầy giáo lớp trước đồng nghiệp với mong muốn trao đổi đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy dạng toán "Giải toán băng cách lập phương trình" Do trình độ cịn hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi sai sót.Rất mong đồng nghiêp góp ý cho thân tơi rút kinh nhgiệm giảng áp dụng II -Yêu cầu giải toán I - Các bước giải tốn cách lập phương trình Một phương pháp hướng dẫn học sinh giải loại toán dựa vào quy tắc chung Giải toán cách lập phương trình Nội dung quy tắc gồm bước: Bước1 : Lập phương trình (gồm cơng việc) -Chọn ẩn số, ý ghi rõ đơn vị đặt đIễu kiện cho ẩn -Dùng ẩn số số biết,đã cho toán đễ biểu thị số liệu khác có tên liên quan,diễn giải phận hình thành phương trình (hệ phương trình) Bước :Giải phương trình (hệ phương trình) Tuỳ thuộc vào dạng phương trìnhg mà chọn cách giảỉ cho thích hợp ngắn gọn Bước : Nhận định kết ,thử lại trả lời -Chú ý so sánh vớ điều kiện đặt cho ổn thoả xem có thích hợp khơng.Sau trả lời kết quả(có kèm theo dơn vị) Mặc dù có quy tắc xong người giáo viên trình hướng dẫn giải loại toán cần cho học sinh vận dụng theo sát u cầu gải tốn nói chung II - Yêu cầu giải toán -Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm sai sót măc dù nhỏ Muốn cho học sinh không mắc sai phạm giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề tốn q trình giải khơng sai sót kiến thức,phương pháp suy luận,kỹ tính tốn,ký hiệu, kiều kiện tốn (Bài 11,SGK,đề số 8) Ví dụ : Dường sơng từ thành phố A đến thành phố B ngắn dương 10 Km.Để từ A đến B,một ca nô hết 20 phút,một ô tô hết 2giờ Biết vận tốc ca nô vân tốc ô tô 17 km/h.Tính vận tốc ca nơ *Hướng dẫn cho học sinh : Ta biểu thị đại lương biết chưa biết bảng để tranh nhầm lẫn đaị lượng Vận tốc (Km/h) Thời gian(h) Quãng đường(Km) Ca nơ x 1/3 1/3 x Ơ tơ X + 17 2(x+17) Vì bảng ta chọn ẩn trình bày lời giải sau: Gọi vân tốc ca nô x (km/h) x>0 Vận tốc ô tô x+17(km/h) Đường sông từ Ađến B dàI 1/3 km Đường từ Ađến B dài 2(x + 17) (km) Theo ta có phương trình : 2(x + 17) -3 1/3 =10 Giả phương trình ta có x = 18 X=18thoả mãn đIều kiện x>0 vận tốc ca nô 18 km/h - Yêu cầu2 : Lời giải phải đủ xác,chú ý điêu kiện ẩn Muốn học sinh không sai phạm sai lầm lấy nghiệm phù hợp ẩn.Giáo viên phải giúp học sinh kết hợp điều kiện để loại nghiệm không phù hợp giải phương trình Ví dụ : (SGK Đề số 9) Hai cạnh hình chữ nhật cm.Diện tích 40 cm2.Tính cạnh hình chữ nhật Chú ý: Khi giải loai tốn phải ý đIều kiện độ dài hình học luôn số dương Gọi môt cạnh hình chữ nhật x (cm) (x>0) Thì cạnh (x+6) (cm) Ta có phương trình ; x(x+6)=40 hay x2+6x -40=0 Giải phương trình ;x1=4 ; x2=-10 Giáo viên giúp học sinh từ điêu kiện để loại nghiệm x2chỉ lấy nghiệm x1=4 chiều rộnghình chữ nhật : 4cm Chiếu dài hình chữ nhật : 4+6=10cm nhgiệm x1=-10có giá trị tuyệt đối chiều dài hình chữ nhật,hoc sinh dễ mắc sai sót coi kết tốn 3- u cầu 3:Lời giải phải dủ mang tính tồn diện Hướng dẫn học sinh khơng đọc bỏ sót chi tiết nào,không thừa không thiếu Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đầy đủ chưa? Kết toán đại diên phù hợp với chung.Nếu thay đổ điều kiện toán rơi vào trường hợp đặc biệt kết ln ln Ví dụ 3:(Bài ơn luyện tốn 9-NXB Hà Nội ) Một tam giác có chiều cao 3/4 cạng đáy Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm 2dm diện tích tăng thêm 12dm2.Tính chiều cao cạnh đáy Lưu ý học sinh :Dù có thay đổi chiều cao,cạnh đáy tam giác diện tích(S) ln tính theo cơng thức: S=1/2 (cạnh dãy x chiều cao) Từ đó, gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu)là xdm (x>0) Thì chiều cao 3/4x(lúc đầu) S lúc đầu 1/2x 3/4x S lúc sau 1/2 (x-2).(3/4x+3) 20 45 80 125 Theo ta có phương trình: 5, 5, 5, 5, 2 Giải phương trình ta x=20 thoả mãn diều kiện chiều cao tam giác : 3/4 20= 15dm 4- Yêu cầu 4: Lời giải toán phải đơn giản Bài giải phải đảm bảo ba yêu cầu trên.Khơng sai sót có lập luận mang tính tồn diện phù hợp với kiến thức ,trình độ đại đa học sinh hiểu làm Ví dụ 4:(bài tốn cổ) Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi có gà chó? Với tốn giải sau: Gọi số gà x (x>0;x N) số chó 36 - x Gà có chân số chân gà 2x chân Chó có chân số chân chó (36-x) chân Theo ra,ta có phương trình :2x + 4( 36 - x) = 100 (1) Giải phương trình x=22 gà có 22 số chó 36-22=14 Giải tốn ngắn gọn dễ hiểu Nhưng học sinh giải theo cách dùng ẩn (x,y) tốn trở nên khó hiểu phức tạp Hoặc gọi số chân gà x số chân chó 100-x x 100 x phương trình (2) 36 : Rõ ràng phương trình (1) đơn giản phương trình (2).Do cần lưu ý học sinh chọn cách đơn giản dễ hiểu phù hợp với trình độ hoc sinh 5- Yêu cầu : Lời giải phải trình bày khoa học lưu ý mối liên hệ bước giải tốn lơgic chặt chẽ với nhau,các bước sau phải suy từ bước trước kiểm nghiệm, chứng minh ,hoăc điều đủ biết từ trước Ví dụ :(Tốn phát triển đại9) Tìm số tự nhiên có chữ số,biết đem số chia cho tổng chữ số gọi dư 3,cịn đem số chia cho tích chữ số thương chia dư Bài tốn u cầu tìm số có chữ số ab Trước giải cần lưu ý học sinh điều kiện chữ số.Chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị có điều kiện khác : 0Gọi chữ số hàng chục x chữ số hàng đơn vị y (0 x ; y 9) Số cho 10x+y Theo đề ta có hệ phương trình 10x+y=4(x+y)+3 10x+y=3xy+5 Giải hệ ta x1=1/2; x2=2 x1=1/2 không phù hợp với điều kiện loại x2=2 y=3 Vậy số phải tìm 23 Yêu cầu : Lời giải toán rõ ràng đầy đủ (có nên thử lại) Lưu ý đến việc giải bước lập luận ,tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau,kết phải Muốn cần rèn luyện cho học sinh sau giải xong cần thử lại kết tìm nghiệm tốn ,tránh bỏ sót,nhất phương trình bậc hai,hệ phương trình Ví dụ 6:(Tốn phát triển đại 9) Độ dài cạnh huyền tam giác vng 25,cịn độ dài cạnh vng góc 35 Tìm độ dài cạnh góc vng tam giác ? Hướng dẫn ;Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác x,y (x,y>0) Ta có hệ phương trình x+y=35 (1) 2 x +y =25 =625 (2) Rút y từ phương trình (1) thay vào phương trình (2)ta có phương trình x2-35x+330=0 Giải phương trình (2) ta x1=20, x2=15 Đến hoc sinh hay hoang mang kết (thực chất tốn tam giác vng là1) khơng biết lấy kết ? Giáo viên cần xây dựng cho học sinh thói quen đối chiếu kết với điều kiện đầu đảm bảo nghiệm hợp lý.Một tốn khơng thiết phải có kết kiểm chứng lại vịêc thử lại tất kết với yêu cầu toán II: phân loại toán giải tốn cách lập phương trình giai đoạn giải toán I Phân loại tốn giải cách lập phương trìnhvà hệ phương trình Trong 74 tập sách lớp lớp 9,Giải tốn băng cách lập phương trình hệ phương trình có phân loại sau Loại tốn chuyển động Loại tốn có liên quan đến số học Loại toán suất loa động(Tỷ số %) Loại tốn cơng việc làm chung,làm riêng( toán quy đơn vị) Loại toán tỷ lệ chia phần(thêm,bớt,tăng,giảm,tổng hiệu,hệ số chúng) Loại tốn có liên quan hình học Loại tốn có chứa tham số Loại tốn có nơi dung vật lý II Các giai đoạn giải toán cách lập phương trình hệ phương trình I Phần giai đoạn; Với toán bậc 1ấn số :là dạng tốn sau dựng phương trình,biến đổi tương đương dạng ax+b =0 (a 0) Với tốn giải tốn băng phương trình bậc dạng tốn sau xây dựng phương trình,biến đổi tương đương dạng nguyên (như mẫu số ) có dạng ax+by=c a,x+b,y=c, Trong a,b.a,,b, khơng đồng thời Để đảm bảo yêu cầu giải toán bước quy tắc giải tốn cách lập phương trrình (hệ phương trình) phần trình bày giải tốn loại chia thành giai đoạn cụ thể rõ quy tắc giải tốn cách lập phương trình(hệ phương trình) *Giai đoạn : Đoc kỹ đề viết giả thiết kết luận toán giúp học sinh hiểu toán cho điều kiện gì? cần tìm gì?(có thể mơ tả hình vẽ khơng) *Giai đoạn :Nêu rõ vấn đề liên quan để lập phương trình.Tức chọn ẩn số cho phù hợp,điều kiện cho ẩn số thoả mãn *Giai đoạn : Lập phương trình ,dựa vào quan hệ ẩn số đại lượng biết ,dựa vào công thức ,tính chất để xây dựng phương trình dạng biết,đã giải *Giai đoạn : Giải phương trình bước (2)vận dụng kỹ giải phương trình biết để tìm nghiệm phương trình *Giai đoạn : Nghiên cứu nghiệm phương trình để xác định lời giải toán.Tức xét nghiệm phương trình với điều kiện đặt tốn,với thực tiễn xem có phù hợp khơng *Giai đoạn : Trả lời toán,kết luận nghiệm toán xem có nghiệm sau thử lại *Giai đoạn : Phân tích biện luận giải.Phần thường mở rộng cho học sinh tương đối giỏi sau diễn giải xong để gợi ý cho học sinh biến đỏi tóan co thành khác,ta - Giữ nguyên ẩn số ,thay đỏi yếu tố khác (dữ liệu giả thiết) - Giữ nguyên kiện,thay đổi yếu tố khá.(ẩn số giả thiết) nhằm phát triển tư toán học cho học sinh - Giải tốn cách tìm cách giải hay Ví dụ minh họa cho giai đoạn giải toán cách lập phương trình Ví dụ (bài tập đại số 8) Tổng số bâừng 90.Số gấp đơi số kia.Tìm số Hướng dẫn giải Giai đoạn 1: Giả thiết : Số thứ +số thứ hai=90 Số thứ =2 lần số thứ hai Kết luận: Tìm số thứ nhất,số thứ hai Giai đoạn : Thường điều chưa biếtđược gọi ẩn số số thứ số thứ hai chưa biết nên coi hai số(hoặc hai số ) Cụ thể: Gọi số thứ x số thứ hai 90-x(hoặc số thứ y)thì x+y=90 Giai đoạn : Lập phương trình Vì số thứ gấp đơi số thứ hai.Do mối quan hệ số thứ hai lần số thứ hai Ta có phương trình x=2.(90-x) (1) Hoặc x=2.y x+y=90 (2) Giai đoạn : Giải phương trình Tiếp theo cách lập phương trình dẫn đến giải ơphương trình bậc (1) hệ phương trình (2) Giải (1)ta x=60 Gải (2) ta x=60,y=30 Giai đoạn : đối chiếu nghiệm giải với điều kiện xem có thoả mãn hay không x=60 => số thứ hai 30 Thử lại : Số thứ :60 Số thứ hai: 30 Số thứ lần số thứ hai (60=2.30) Giai đoạn : Trả lời đáp số Vậy số thứ là60 Số thứ hai 30 Giai đoạn : khai thác toán -Hướng cho học sinh cách giải khác -Chọn ẩn số khác - Chọn cách giải ngắn hay nhất,dễ giải - Có thể từ tốn xây dựng hoạc giải toán tương tự cách + Thay số liệu nguyên lời văn kiện + Thay lời văn kiện + Thay kết luận thành giả thiết ngược lại III : Kết luận Trong q trình giảng dạy tơi tìm tòi ,học hỏi qua tài liệu đồng nghiệp mà đúc rút đươc kinh nhgiệm chưa có gọi sáng kiến đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế mong đóng góp ý kiến ban giám khảo bạn đồng nghiệp để làm kinh nhgiệm quý báu cho thân công tác giảng dạy Thái thụy ngày 12 tháng 11 năm 2005 Tác Giả Giang Văn Nghiêm ... cầu toán II: phân loại toán giải tốn cách lập phương trình giai đoạn giải toán I Phân loại tốn giải cách lập phương trìnhvà hệ phương trình Trong 74 tập sách lớp lớp 9 ,Giải tốn băng cách lập phương. .. cầu giải toán bước quy tắc giải tốn cách lập phương trrình (hệ phương trình) phần trình bày giải tốn loại chia thành giai đoạn cụ thể rõ quy tắc giải tốn cách lập phương trình (hệ phương trình) ... giải toán I - Các bước giải tốn cách lập phương trình Một phương pháp hướng dẫn học sinh giải loại toán dựa vào quy tắc chung Giải toán cách lập phương trình Nội dung quy tắc gồm bước: Bước1 : Lập