Đang tải... (xem toàn văn)
ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại kiểu I có nghiệm Phương pháp giải chung:.. i Bước 1: ðặt ñiều kiện nếu có..[r]
(1)ThS ðoàn Vương Nguyên CHUYÊN ðỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: f(x, y) = , ñó g(x, y) = f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x) Phương pháp giải chung: i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có) ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện S, P và S2 ≥ 4P iii) Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Vi–et ñảo tìm x, y Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP ii) đôi ta phải ựặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv iii) Có hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau ñặt ẩn phụ x y + xy2 = 30 Ví dụ Giải hệ phương trình x + y = 35 GIẢI ðặt S = x + y, P = xy , ñiều kiện S ≥ 4P Hệ phương trình trở thành: 30 SP = 30 S = x + y = x = x = P = S ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∨ S(S2 − 3P) = 35 90 P = xy = y = y = S S − S = 35 xy(x − y) = −2 Ví dụ Giải hệ phương trình x − y = GIẢI ðặt t = −y, S = x + t, P = xt , ñiều kiện S ≥ 4P Hệ phương trình trở thành: xt(x + t) = SP = S = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x + t3 = S3 − 3SP = P = t = y = −1 x + y + + = x y Ví dụ Giải hệ phương trình 1 x + y + + = x y GIẢI Trang Lop10.com (2) ThS ðoàn Vương Nguyên ðiều kiện x ≠ 0, y ≠ x + + y + = x y Hệ phương trình tương ñương với: 2 x + + y + = x y 1 1 1 ðặt S = x + + y + , P = x + y + , S2 ≥ 4P ta có: x y x y x + + y + = S = S = x y ⇔ ⇔ ⇔ S2 − 2P = P = x + y + = x y x + y + =2 x = x ⇔ y = =2 y x + y2 + 2xy = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình x + y = (2) GIẢI ðiều kiện x, y ≥ ðặt t = xy ≥ , ta có: xy = t2 và (2) ⇒ x + y = 16 − 2t Thế vào (1), ta ñược: t2 − 32t + 128 = − t ⇔ t = Suy ra: xy = 16 x = ⇔ x + y = y = II ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có) ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện S, P và S2 ≥ 4P (*) iii) Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ ñiều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v Ví dụ (trích ñề thi ðH khối D – 2004) Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực: x + y = x x + y y = − 3m GIẢI Trang Lop10.com (3) ThS ðoàn Vương Nguyên ðiều kiện x, y ≥ ta có: x + y = x + y = ⇔ x x + y y = − 3m ( x)3 + ( y)3 = − 3m ðặt S = x + y ≥ 0, P = xy ≥ , S ≥ 4P Hệ phương trình trở thành: S = S = ⇔ S − 3SP = − 3m P = m Từ ñiều kiện S ≥ 0, P ≥ 0, S2 ≥ 4P ta có ≤ m ≤ x + y + xy = m Ví dụ Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình có nghiệm thực x y + xy2 = 3m − GIẢI x + y + xy = m (x + y) + xy = m ⇔ x y + xy2 = 3m − xy(x + y) = 3m − S + P = m ðặt S = x + y, P = xy, S2 ≥ 4P Hệ phương trình trở thành: SP = 3m − Suy S và P là nghiệm phương trình t2 − mt + 3m − = S = S = m − ⇒ ∨ P = m − P = 32 ≥ 4(m − 3) 21 Từ ñiều kiện ta suy hệ có nghiệm ⇔ ⇔m≤ ∨ m ≥ +2 (m − 3) ≥ 12 x − + y − = Ví dụ Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình có nghiệm x + y = 3m GIẢI ðặt u = x − ≥ 0, v = y − ≥ hệ trở thành: u + v = u + v = ⇔ 21 − 3m u2 + v2 = 3m − uv = 21 − 3m Suy u, v là nghiệm (không âm) t2 − 4t + = (*) Hệ có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm không âm 3m − 13 ∆/ ≥ ≥0 13 ⇔ S ≥ ⇔ ⇔ ≤ m ≤ 21 − 3m ≥0 P≥0 Trang Lop10.com (4) ThS ðoàn Vương Nguyên x + y2 + 4x + 4y = 10 Ví dụ Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình có nghiệm thực xy(x + 4)(y + 4) = m GIẢI 2 x + y + 4x + 4y = 10 (x + 4x) + (y2 + 4y) = 10 ⇔ xy(x + 4)(y + 4) = m (x + 4x)(y2 + 4y) = m 2 ðặt u = (x + 2) ≥ 0, v = (y + 2) ≥ Hệ phương trình trở thành: u + v = 10 S = 10 (S = u + v, P = uv) ⇔ uv − 4(u + v) = m − 16 P = m + 24 S2 ≥ 4P ðiều kiện S ≥ ⇔ −24 ≤ m ≤ P ≥ BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau x + y + xy = x = x = đáp số: ∨ x + y2 + xy = y = y = x + xy + y2 = x = −1 x = x = − đáp số: ∨ ∨ y = −1 y = − y = 2x + xy + 2y = −3 x + y + 2xy = x = x = đáp số: ∨ x + y = y = y = x − y = x = −1 x = đáp số: ∨ xy(x − y) = y = −2 y = − 37 x = + 37 x − y + 2xy = x = x = −1 x = 4 đáp số: ∨ ∨ ∨ x + y + xy = y = y = −2 − − 37 − + 37 y = y = (x + y)(1 + ) = xy đáp số: 2 (x + y )(1 + 2 ) = 49 xy x = −1 − + x = −1 x= x = ∨ ∨ ∨ 2 y = − y = + y = −1 y = −1 Trang Lop10.com (5) ThS ðoàn Vương Nguyên x = x = x y + y x = 30 đáp số: ∨ x x + y y = 35 y = y = x y + = +1 x = x = y (chú ý ựiều kiện x, y > 0) đáp số: ∨ x xy y = y = x xy + y xy = 78 2 3 x = x = 64 2(x + y) = x y + xy đáp số: ∨ x + y = y = 64 y = 2 x + y + z2 = 8 10 Cho x, y, z là nghiệm hệ phương trình Chứng minh − ≤ x, y, z ≤ xy + yz + zx = 3 HƯỚNG DẪN GIẢI x + y2 = − z2 (x + y)2 − 2xy = − z2 Hệ phương trình ⇔ ⇔ xy + z(x + y) = xy + z(x + y) = (x + y)2 − 2[4 − z(x + y)] = − z2 (x + y)2 + 2z(x + y) + (z2 − 16) = ⇔ ⇔ xy + z(x + y) = xy + z(x + y) = x + y = − z x + y = −4 − z ⇔ ∨ xy = (z − 2)2 xy = (z + 2)2 Do x, y, z là nghiệm hệ nên: (4 − z)2 ≥ 4(z − 2)2 8 (x + y) ≥ 4xy ⇔ ⇔− ≤z≤ 2 3 (−4 − z) ≥ 4(z + 2) 8 ðổi vai trò x, y, z ta ñược − ≤ x, y, z ≤ 3 x y 1 x = + = 11 16 đáp số: 16 y = x + y = sin π (x + y) =1 12 2(x + y2 ) = HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: (1) 2sin π(x + y) = sin π(x + y) = x + y ∈ Z ⇔ ⇔ 2 2 2(x + y ) = 2(x + y ) = 2(x + y ) = (2) 2 x ≤ ≤x≤ − 2⇒ 2 ⇒ − ≤ x+y ≤ (2) ⇔ x + y2 = ⇒ 2 ≤y≤ y ≤ − 2 x + y = vào (2) ñể giải (1) ⇒ x + y = ±1 ( ) Trang Lop10.com (6) ThS ðoàn Vương Nguyên Cách 2: ðặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành: 2sin Sπ = S ∈ Z ⇔ 2(S2 − 2P) = 4P = 2S2 − Từ ñiều kiện S ≥ 4P ta suy kết tương tự x = x = − x = x = − ∨ ∨ ∨ Hệ có nghiệm phân biệt y = y = − y = − y = Tìm ñiều kiện m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu x + xy + y2 = m + Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm thực 2x + xy + 2y = m HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm suy x = y, hệ trở thành: m = −3 3x = m + 3x − = m ⇔ ⇒ m = 21 x + 4x = m x + 4x = 3x − x + xy + y2 = (x + y)2 − xy = + m = – 3: ⇔ 2(x + y) + xy = −3 2(x + y) + xy = −3 x + y = x + y = −2 x = x = − x = −1 (loại) ⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨ xy = −3 xy = y = − y = y = −1 2 x + xy + y = 27 (x + y) − xy = 27 + m = 21: ⇔ 2x + xy + 2y = 21 2(x + y) + xy = 21 x + y = −8 x + y = x = (nhận) ⇔ ∨ ⇔ xy = 37 xy = y = Vậy m = 21 x + xy + y = m + Tìm m ñể hệ phương trình: có nghiệm thực x > 0, y > x y + xy2 = m HƯỚNG DẪN GIẢI x + xy + y = m + (x + y) + xy = m + x + y = x + y = m ⇔ ⇔ ∨ 2 x y + xy = m xy(x + y) = m xy = m xy = m > Hệ có nghiệm thực dương ⇔ ⇔ < m ≤ ∨m ≥ 2 ≥ 4m ∨ m ≥ 4 Vậy < m ≤ Trang ∨ m ≥ Lop10.com (7) ThS ðoàn Vương Nguyên x + y = m Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm thực x + y − xy = m HƯỚNG DẪN GIẢI x + y = m x + y = m x + y = m ⇔ ⇔ x + y − xy = m x + y − xy = m xy = m − m m −m Suy x, y là nghiệm (không âm) phương trình t2 − mt + = (*) m2 − 4m ≤ ∆/ ≥ m = Hệ có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm không âm ⇔ S ≥ ⇔ m ≥ ⇔ 1≤m≤4 P ≥ m − m ≥ Vậy m = ∨ ≤ m ≤ x + y2 = 2(1 + m) Tìm m ñể hệ phương trình có ñúng nghiệm thực phân biệt (x + y)2 = HƯỚNG DẪN GIẢI x + y2 = 2(1 + m) (x + y)2 − 2xy = 2(1 + m) xy = − m xy = − m ⇔ ⇔ ∨ 2 (x + y) = (x + y) = x + y = x + y = −2 ( ) Hệ có ñúng nghiệm thực phân biệt ( ±2 ) = 4(1 − m) ⇔ m = x + y = 2m − Cho x, y là nghiệm hệ phương trình Tìm m ñể P = xy nhỏ x + y2 = m2 + 2m − HƯỚNG DẪN GIẢI ðặt S = x + y, P = xy , ñiều kiện S2 ≥ 4P x + y = 2m − S = 2m − ⇔ x + y2 = m2 + 2m − S − 2P = m2 + 2m − S = 2m − S = 2m − ⇔ ⇔ (2m − 1)2 − 2P = m2 + 2m − P = m2 − 3m + 4− 4+ ≤m≤ 2 4− 4+ Xét hàm số f(m) = m2 − 3m + 2, ≤m≤ 2 − 11 − 4− + 2 = Ta có f(m) = f , ∀m ∈ ; 2 Từ ñiều kiện suy (2m − 1)2 ≥ 6m2 − 12m + ⇔ Vậy P = 11 − 4− ⇔m= Trang Lop10.com (8)