Hệ phương trình đối xứng loại 1 (Phần 1)

HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I -phần Biên soạn: Phạm Thị Hải Yến I Định nghĩa  Hệ phương trình hai ẩn x y gọi hệ phương trình đối xứng loại I ta thay đổi vai trò x y phương trình hệ không thay đổi II Phƣơng pháp giải S  x  y (điều kiện: S  4P  ) Đưa hệ cho hệ theo S P  P  xy  Đặt:   Giải hệ này, tìm nghiệm (So ; Po) hệ  x, y nghiệm phương trình: X2 – SoX + Po =  Biện luận hệ  Hệ cho vô nghiệm hệ chứa S, P vô nghiệm có nghiệm (S,P) không thỏa mãn S  4P   Hệ cho có nghiệm hệ chứa S, P có nghiệm thỏa mãn S  4P  - Ứng với nghiệm (So;Po) thỏa mãn So2  4Po2  hệ cho có nghiệm phân biệt là:    x  So  So2  Po     y  S  S  4P o o o     x  12  S     y  12  S    4P  o So2  Po o So2 o - Ứng với nghiệm (So;Po) thỏa mãn So2  4Po2  hệ cho có nghiệm là:  x; y    So So  ;   2 Chú ý - Hệ ph ơn trình ối xứng loại I có nghiệm (xo ; yo) cũn có n h ệm (yo ; xo) Vì hệ có nghiệm xo = yo - Trong nhiều tr ờng hợp, hệ ph ơn trình ban ầu dạng hệ ối xứng loại I nh n thôn qua phép ặt ẩn phụ thích hợp, toán trở dạn ối xứng loại I quen thuộc Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  x  y  xy  a   x  y  xy   x  y   xy   17  b    x  y  xy   2  x  x2  y  y  c   x  y     x y n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Giải  x  y  xy  a   x  y  xy   x  t  xt  Đặt t = –y ta hpt:   x  t  xt  x  t  S điều kiện S  4P  Ta hpt:  xt  P Đặt  S  (tm)  P   S  3P   S  3P  S  3S  10        S  P  P   S P   S  S  5     ( L)   P  S  ta có P  x  t   x, t nghiệm phương trình X2 – 2X + =   xt  x  (1)  X   x  t     y  1  Với  (1) Vậy nghiệm hệ (x ; y) = (2 ; –1) 3   x  y   xy   17 b    x  y  xy  x  y  S điều kiện S  4P  ,  xy  P Đặt  Thay vào hệ ta được:  S  P  z   S  3SP  P  17    P  zS  S  P   S  3S   S     S 3  17 18S  90 S  108    P   S  P   S S  (tm)  P    S   ( L)   P  n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! S  ta có P   Với  x  y    xy  2,  x, y nghiệm phương trình X – 3X + = (3)  x   X 1 y  (3)     X   x     y  Vậy hệ cho có nghiệm là: (1 ; 2), (2 ; 1)  2 x   y  9  x y2  c   x  y     x y x   y  Điều kiện:   u  x  x Đặt:  v  y  y   u  điều kiện   v   u  v 2  2uv  13 uv  u  v      Thay vào hpt ta được:  u  v  u  v  5,  u  v    u, v nghiệm phương trình X – 5X + = (4)  u    X   v  (4)     X   u    v  u  ta có: v   Với   3  x      x  x   y   x  3x       y  y   3  y     x  y     y  n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! u  ta có: v   Với   x     y   x   2    x  x  x       x   y    y  y     y   y     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:  3   3   3   3  ;1 ,  ;1 , 1;  , 1;           Ví dụ Giải hệ phương trình:  2 3 2  x  y   x  y   b  2 x    x y   x   y  y  x   y a   x  1  y  x    y Giải a Ta thấy y = không thỏa mãn pt (1) nên hệ cho Do hệ cho  x2   y  yx4    x    y  x     y    x2  u  u  v  2 Đặt:  ta có hệ:   u, v nghiệm pt: X – 2X + = y uv  1, v  y  x   Ta có: X  X    X   u  v   x    x2   y y  3 x y  3 x y        x  2 x  y  x 1   x x  x      y  Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (1 ; 2), (–2 ; 5) b Điều kiện: x  y  , n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Khi ta có: 1 2   2 3 3 2 2  x  y    x  y    x  y   x  y  x  y      2 x    x  y   x  y    x y x y     u  2 u  x  y  x y Đặt:  v  x  y ,  u  v  Ta hpt:  u  v   u, v  u  v  u  v      u  v   2uv  uv  nghiệm pt: X2 – 3X + =  u    X   v  u  2   Ta có: X  X     (vì u  )  u  v  X 1   v    x  y  x  x  y  u  x y   Với  ta có:  x  y  v    y   x  y   Vậy hệ có nghiệm là: (x ; y) = (1;0) Ví dụ (Học viện Công nghệ bưu viễn thông – 1997) Giải hệ phương trình:  x  3x  y  ( x  1)  12   x  y  x   Giải  x  3x  y  ( x  1)  12  3x  y  ( x  x)  12  Ta có:   x  y  x    x  x  3x  y  u  x  x Đặt  v  x  y , thay vào hệ phương trình ta được: n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng!  v   v   v  8v  12  uv  12  u     v      v  u  v  u   v u   v    u  2  x    x   y  x  x  v      x  2     Với  ta có:   u  3x  y   3x  y    x  2   y   x    x  2   y  2 x  x  v      x  3    x  3  Với  ta có:   u  3x  y   3x  y    y  11    Vậy hệ cho có nghiệm là:  2; 2  ,  3;  11     , 1;  ,  2;6    2 7 x  y  xy ( x  y )  2 x  xy  y  x  3 Ví dụ Giải hệ phương trình:  Giải 7 x3  y  xy ( x  y)  8 x3  y  12 xy  x y  x3    2 2 x  xy  y  x  2 x  y  x  xy  x  (2 x)3  (2 y  x)3   2 x  (2 y  x)  x(2 y  x)   u  v3  u  x  u  v   3uv  u  v    ta hpt:  v  y  x , u  v  uv  u  v  uv   Đặt:  S  u  v điều kiện: S  4P, ta lại hpt:  P  uv Đặt:   S  3SP  P  S 1   S  P   S  3S  3S   P   P  S    (tm)  S   S  3  S  3  n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng!  u   uv  P  v   Với  ta có:  u  v   u  S    v  u  2 x  x    v  2 y  x   y     x  u  x         v  2 y  x  y      Vậy hệ cho có nghiệm là: 1;1 ,  ;    Ví dụ Cho hệ phương trình sau:  x  y  xy  m  2  x  y  m a Giải hệ phương trình với m = b Xác định m để hệ cho có nghiệm Giải x  y  S điều kiện S  4P  0,  xy  P Đặt  S  P  m P  m  S  S  2P  m  S  2S  3m  Thay vào hệ ta được:  a Với m = 5: S  (tm)  P  P   S   Ta có hpt:     S  5  S  2S  15   ( L)   P  10 S  ta có P   Với  x  y    xy  2  x, y nghiệm phương trình X – 3X + = (*)  x   X 1 y  (*)     X   x     y  n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Vậy hệ có nghiệm là: (1 ; 2) ; (2 ; 1) P  m  S b Để hệ ban đầu có nghiệm hpt:   S  2S  3m  phải có nghiệm (S ; P) thỏa mãn: S  4P   Phương trình: S  2S  3m  (1) có nghiệm     3m   m   (*)  Điều kiện: S  4P  P  m  S P  m  S   2  S  2S  3m  S  3m  2S o Từ hpt  Ta có: S  4P   3m  2S   m  S   S  o Với m   m  S  1  3m  1 pt (1) có nghiệm:   S  1  3m  m m    S  1  3m 1   m 1  1 Do hệ ban đầu có nghiệm     S  1  3m   m   3m   m    2  Với m   m bpt  3m    vô nghiệm (vì VT  VP  )  Với m   bpt m m2 3m     3m    m    m  8(tm(*)) KL: Vậy với  m  hệ phương trình cho có nghiệm Ví dụ Cho hệ phương trình sau: a  x  y   z  a  2  x  y  z (tron ó (x; y; z) l n h ệm hệ) Định a để hệ có nghiệm Giải Ta nhận thấy hệ này, vai trò x y Nên gọi (xo ; yo ; zo) nghiệm hệ (yo ; xo ; zo) nghiệm hệ  Do đó, để hệ có nghiệm (xo ; yo ; zo) điều kiện cần xo = yo 2axo  zo  a  zo  a  2axo  2 2 xo  zo 2 xo  2axo  a  (*) Thế vào hệ cho ta được:  Vì nghiệm xo phải nên pt (*) phải có nghiệm nhất: n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! a     a  2a     a  2  Thử lại: z  - Nếu a = ta có hpt:  2 x  y  z  x yz0 Do a = thỏa mãn - Nếu a = –2 ta có hệ: x       x  y   z  2  z  2   x  y   z  2   x  y      y 1  2 2 x  y    x  y x  y  z   x   y           z  2,     Đây nghiệm hệ nên a = –2 thỏa mãn điều kiện KL: Vậy với a = , a = –2 hệ có nghiệm Ví dụ Cho (x ; y; z) nghiệm hệ phương trình:  x2  y  z    xy  yz  xz  Chứng minh rằng:   x, y, z  Giải  Ta coi z tham số, giải hệ phương trình với ẩn x; y  x  y   xy  z   x2  y  z      xy  yz  xz   xy  z  x  y   x  y  S điều kiện S  4P  0,  xy  P Đặt  S  2P  z  Thay vào hệ ta được:   P  zS   S  zS  z  16   S  z   16    P   zS  P   zS    S   z    P   z   S  z       P   zS   S  4  z    P   z    S   z  P   z    Với  n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Ta có: S  4P     z    z     3z  8z  2  z   3z     z   S  4  z  Với   P   z   Ta có: S  4P    4  z    z     3z  8z  2  z   3z      z    Kết hợp hai trường hợp ta thấy: hệ có nghiệm (x ; y) z    ;   3 8  Mặt khác, vai trò x, y, z hệ nên coi x y tham số thay     cho z trường hợp ta nhận được: x    ;  y    ;   3  3 8 8 8 Vậy (x; y ; z) nghiệm hệ   x; y; z  (đpcm) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Giải hệ phương trình sau:  x  xy  y   xy  x  y  1)   xy  x  y  11 3)  2  x y  xy  30 2   x y  xy  30 5)  3   x  y  35  x  y  xy  7 2)  2  x  y  3x  3y  16  x  y  13 4)  3( x  y )  xy   x y  y x  6)  2   x y  xy  20 Đáp số: 1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),(3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 4) (3; 2),(2;3),(2  10 10 10 10 ; 2  ),(2  ; 2  ) 2 2 5) (2;3);(3;2) n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! 6) (1;4),(4;1) ay  x  y  a  Bài Tìm a để hệ  2  x y  xy  a có nghiệm Đáp số: a  2 n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! [...]...6) (1; 4),(4 ;1) ay  x  y  a  1 Bài 2 Tìm a để hệ  2 2  x y  xy  a có nghiệm duy nhất Đáp số: a  2 n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ăn ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.9 61 hoặc gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân ... y  3x  3y  16  x  y  13 4)  3( x  y )  xy   x y  y x  6)  2   x y  xy  20 Đáp số: 1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),(3;2), (1 10 ;1 10 ), (1 10 ;1 10 ) 3) (1; 5),(5 ;1) ,(2;3),(3;2)...  S   S  o Với m   m  S  1  3m  1 pt (1) có nghiệm:   S  1  3m  m m    S  1  3m 1   m 1  1 Do hệ ban đầu có nghiệm     S  1  3m   m   3m   m   ... x  y      Vậy hệ cho có nghiệm là: 1; 1 ,  ;    Ví dụ Cho hệ phương trình sau:  x  y  xy  m  2  x  y  m a Giải hệ phương trình với m = b Xác định m để hệ cho có nghiệm Giải