Chuyên đề hệ phương trình đối xứng loại 1 và 2

Chuyện đề hệ phương trình

CHUYÊN ĐỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:

f(x, y) = 0 g(x, y) = 0

ìïï íï

f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)

ìïï íï ïî

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P

iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y

Chú ý:

i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP

ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv

iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

3 3

ïí

GIẢI

Đặt S= +x y, P =xy, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:

2

2

30 P

90

S

ìïï =

ïî

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình xy(x3 3y) 2

-ïï

GIẢI

Đặt t = - y, S= +x t, P = xt, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

2 2

2 2

ìïï + + + = ïïï

íï

ïïïî

GIẢI

Điều kiện x¹ 0,y¹ 0.

ïç + ÷+ç + ÷=

ïí

ïç + ÷÷+ç + ÷÷=

ïçè ÷ø çè ÷ø ïî

=çç + ÷÷÷+çç + ÷÷÷ =çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³

2

ïç + ÷+ç + ÷= ï

ïî

1

x

y

ïïïî

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

2 2

x y 4 (2)

ïïí

GIẢI

Điều kiện x,y³ 0 Đặt t = xy ³ 0, ta có:

2

xy= và (2)t Þ x+ =y 16 2t- . Thế vào (1), ta được:

2

t - 32t+128= -8 t Û t =4 Suy ra:

II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P (*)

iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

ïïí

GIẢI

Điều kiện x,y³ 0 ta có:

Đặt S= x+ y³ 0,P = xy ³ 0, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:

2

Từ điều kiện S³ 0,P ³ 0,S2 ³ 4P ta có 0 m 1

4

Ví dụ 2 Tìm điều kiện m để hệ phương trình x2 y xy2 m

ïï

GIẢI

Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: S P m

ì + = ïï

Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2- mt+3m 9- =0

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm

2

2

-ê

Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình x 4 y 1 4

ïí

ï + =

GIẢI

Đặt u= x- 4³ 0,v= y 1- ³ 0 hệ trở thành:

2 2

21 3m

2

ì + = ï

Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t2 4t 21 3m 0

2

Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm

13 2

0

ì

ï

Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình

2 2

ïí

GIẢI

2 2

ì

Đặt u=(x+2)2 ³ 0,v=(y+2)2³ 0 Hệ phương trình trở thành:

Điều kiện

2

ìï ³

íï

ïïî

BÀI TẬP

Giải các hệ phương trình sau

1 x2 y2 xy 5

ïï

íï + + =

2

ïí

3 x3 y 3 2xy 2

ïï

íï + =

4

3 3

ïí

5 x2 y2 2xy 5

ïï

íï + + =

6

2 2

2 2

1

xy 1

x y

ïïï

íï

ïïïî

Đáp số:

ïïí

8

ïï

íï

ïïî

(chú ý điều kiện x, y > 0) Đáp số: x 4 x 9

ïïí

10 Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình

ïí

HƯỚNG DẪN GIẢI

Hệ phương trình

-ï

ïî

ï

ïî

Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:

2

-ê

Đổi vai trò x, y, z ta được 8 8

x,y,z

11

ìï æ ö æ ö

ïç ÷+ç ÷ =

ïç ÷÷ ç ÷÷

ïï + =

ïïî

Đáp số:

1 x 2 1 y 2

ìïï = ïï íï

ïïî

12

sin (x y)

2 2

p +

ïí

ïî

HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1:

sin (x y)

2 2

p +

î

Z

2

2 2

2

1

ì

(1)

é + =

ê

Þ ê + = ±ê thế vào (2) để giải

Cách 2:

Đặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành:

sinS

2 2

S

p

î

Z

Từ điều kiện S2³ 4P ta suy ra kết quả tương tự

Hệ có 4 nghiệm phân biệt

Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu

1 Tìm m để hệ phương trình

ïí

HƯỚNG DẪN GIẢI

Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:

+ m = – 3:

+ m = 21:

Vậy m = 21

2 Tìm m để hệ phương trình: x2 xy 2y m 1

ïï

ïî có nghiệm thực x > 0, y > 0.

HƯỚNG DẪN GIẢI

î

ì >

ïï

4

3 Tìm m để hệ phương trình x y m

ïïí

HƯỚNG DẪN GIẢI

3

ìï

Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình 2 m2 m

3

Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm

2

ì

Vậy m= Ú £0 1 m£ 4

4 Tìm m để hệ phương trình

2 2

2

ïí

HƯỚNG DẪN GIẢI

Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( )2

5 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình x2 y 2 2m 12

-ïï

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt S= +x y, P =xy, điều kiện S2 ³ 4P

3

2

-ï

ï

toancapba.com

CHUYÊN ĐỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) II

1 Dạng 1: ìïï

íï

ïî

f(x, y) = 0

f(y, x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia) Phương pháp giải chung

Cách giải 1

Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

3 3

ïïí

Giải

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

x - y +3x- 3y= Û0 (x- y)(x +y +xy+3)= 0

Û - êêëççè + ÷÷ø + + úúû= Û = Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được:

3

x + = Ûx 0 x=0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 0

ïï

íï =

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1)

ïïí

ïïî

Giải

Điều kiện:

2 3

2

ìïï - £ £

ïï

íï

ïïî

Trừ (1) và (2) ta được:

Thay x = y vào (1), ta được:

2x+ +3 4 x- = Û4 x+ +7 2 (2x+3)(4 x)- =16

ïï

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11 x

9

ìïï =

ïïî

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

3 3

ïïí

ïïî

Giải

Trừ và cộng (1) với (2), ta được:

ì

+

2 2

ïî

Cách 3 Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1)

ïïí

ïïî

Giải

Điều kiện:

2

2

ìïï - £ £

ïï

íï

ïïî

Trừ (1) và (2) ta được:

2x+ -3 4 x- = 2y+ -3 4 y- (3)

2

ë û, ta có:

2

ç

Thay x = y vào (1), ta được:

2x+ +3 4 x- = Û4 x+ +7 2 (2x+3)(4 x)- =16

2 2x2 5x 12 9 x x 3 x 11

9

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11 x

9

ìïï =

ïïî

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

3 3

ïïí

Giải

Xét hàm số f(t)=t3+2t Þ f (t)/ =3t2+ >2 0, t" Î ¡

Hệ phương trình trở thành f(x) y (1)

f(y) x (2)

ïï

+ Nếu x> Þy f(x)>f(y)Þ y> (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).x

+ Nếu x< Þy f(x)<f(y)Þ y< (mâu thuẩn).x

Suy ra x = y, thế vào hệ ta được x3+ = Ûx 0 x=0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 0

ïï

íï =

Chú ý:

Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1 Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!

Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003) Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

3x

y

3y

x

ïï ïí

ïïî

Giải

Nhận xét từ hệ phương trình ta có x 0

ì >

ïï

íï >

ïî Biến đổi:

2

2

2 2

y

3y

x

ïïî Trừ (1) và (2) ta được:

(x- y)(3xy+ +x y)= Û0 x=y (3xy+ + >x y 0) Với x= y : (1)Û 3x3- x2- 2= 0Û (x 1)(3x- 2+2x+2) = Û0 x=1 Vậy hệ có 1 nghiệm x 1

ïï

íï =

2 Dạng 2: ìïï

íï

ïî

f(x, y) = 0

g(x, y) = 0 , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng

Phương pháp giải chung

Cách giải 1

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

2

ìïï = -ïïí

ïïî

Giải

Điều kiện: x¹ 0, y¹ 0 Ta có:

ç

+ Với y = x: (2) Û x2- 1= Û0 x= ± 1

x

= - : (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 x 1

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x)=f(y) Û x= với hàm f đơn điệu.y

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình x2 y cosx cosy (1)

x y 3y 18 0 (2)

-ïï

Giải

Tách biến phương trình (1), ta được:

(1) Û x- cosx= -y cosy (3)

Xét hàm số f(t)= -t cost Þ f (t)/ = +1 sint>0, t" Î ¡

Suy ra (3)Û f(x)= f(y) Û x= y

Thay x = y vào (2), ta được:

x - 3x 18- = Û0 (x- 3)(x +3x+6) = Û0 x=3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 3

ïï

íï =

Chú ý:

Cách giải sau đây sai:

2

ìïï = -ïïí

ïïî

Giải

Điều kiện: x¹ 0, y¹ 0.

Xét hàm số f(t) t 1, t \ {0} f (t)/ 1 12 0, t \ {0}

Suy ra (1)Û f(x)= f(y)Û x= !y

Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0)

BÀI TẬP

Giải các hệ phương trình sau

1)

2

2

ïïí

2)

2

2

ïïí

3 x

y 2

ìïï =

ïïí

ïï

íï =

ïïí

ïï

íï =

ïïí

6)

3

3

ïïí

2

3

x 3

y

ìïï + =

ïïï

íï

ïïïî

Đáp số: x 1

ïï

íï =

2 2

1

y 1

x

ïïï íï

ïïïî

Đáp số: x 1

ïï

íï =

9)

ïïí

ïï

íï =

10)

3 2

3 2

ïïí

11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003)

3

2y x 1 (2)

ìïï = -ïïí

ïïî

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x¹ 0, y¹ 0

2

- ±

x

Xét hàm số f(x) x4 x 2 f (x)/ 4x3 1 0 x 31.

4

æ ö- ÷

Cách khác:

+ Với x < Þ1 x+ > Þ2 0 x4+ + > x 2 0

+ Với x ³ 1Þ x4³ x ³ - xÞ x4+ + > x 2 0

Suy ra (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

12) x siny (1)

y sinx (2)

ïï

íï =

ïî

Hướng dẫn giải

Trừ (1) và (2) ta được:

x- y=siny- sinx Û x+sinx= +y siny (3)

Xét hàm số f(t)= +t sintÞ f (t)/ = +1 cost³ 0, t" Î ¡

(3) Û f(x)= f(y)Û x=yÞ (1) Û x- sinx= 0 (4)

Xét hàm số g(x)= -x sinxÞ g (x)/ = -1 cosx³ 0, x" Î ¡ Þ (4) có không quá 1 nghiệm

Do g(0)= Þ0 (4) Û x= Vậy hệ có 1 nghiệm 0 x 0

ïï

íï =