CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI ITÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I.. iii Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ... Điều kiện tham số để
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0 g(x, y) = 0, trong đó
f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2
S 4P iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm
x, y
Chú ý:
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv
iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
3 3
30 35
x y xy
GIẢI
Đặt S x y, Pxy, điều kiện 2
S 4P Hệ phương trình trở thành:
2
2
30 30
90 ( 3 ) 35 35
P
S
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 3( 3 ) 2
2
GIẢI
Đặt t y S, x t P, xt, điều kiện 2
4
S P Hệ phương trình trở thành:
( ) 2 2
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
Trang 2
GIẢI
Điều kiện x0,y0
2
1 1
4
8
2
4
4
4
P
1 2
1
2
x
x x
y y
y
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
GIẢI
Điều kiện x y, 0 Đặt t xy 0, ta có:
2
xy t và (2) x y 16 2 t
Thế vào (1), ta được:
2
32 128 8 4
Suy ra:
16 4
8 4
II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2
S 4P (*)
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :
1
1 3
Trang 3
Điều kiện x y, 0 ta có:
1 3 ( ) ( ) 1 3
Đặt S x y 0,P xy 0, S2 4 P Hệ phương trình trở thành:
2
3 1 3
Từ điều kiện S 0,P0,S2 4P ta có 0 1
4
m
Ví dụ 2 Tìm điều kiện m để hệ phương trình
3 9
x y xy m có nghiệm thực
GIẢI
( ) ( ) 3 9
3 9
Đặt S = x + y, P = xy, 2
4
S P Hệ phương trình trở thành:
3 9
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2
3 9 0
3 3
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 2 3 4
m
Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 4 1 4
3
GIẢI
Đặt u x 4 0,v y 1 0 hệ trở thành:
2 2
4 4
21 3
2
m uv
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3
2
Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm
Trang 4/ 0 3 13
0 13 2
0 0
2
m
m P
Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10 ( 4)( 4)
GIẢI
2 2
( 2) 0, ( 2) 0
4( ) 16 24
Điều kiện
2
4
0 24 1 0
P
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1
2 2
5
7
2 1
2
3
2 2 3
8
0 2
4
3 3
7 ( ) 2
2 1
7
1 37 1 37
1 2 1 37 1 37
Trang 5
6
2 2
2 2
1 ( )(1 ) 5
1 ( )(1 ) 49
xy
x y
.Đs:
7 3 5 7 3 5
2 2 7 3 5 7 3 5
35
9 4
8
7 1 78
(chú ý điều kiện x, y > 0) Đáp số: 4 9
9 4
3 3
6
64 8
10 Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
8 4
Chứng minh 8 , , 8
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình
8 ( ) 2 8 ( ) 4 ( ) 4
( ) 2[4 ( )] 8
( ) 4
( ) 2 ( ) ( 16) 0
( ) 4
( 2) ( 2)
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
2
Đổi vai trò x, y, z ta được 8 , , 8
11
1
Đáp số:
1 2 1 2
x y
12
sin ( )
2 2
x y
Trang 6HƯỚNG DẪN GIẢI
Cách 1:
sin ( )
2 2
2
2 2
2
1
0 (1)
1
x y thế vào (2) để giải
Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành:
sin
2 2
Từ điều kiện S2 4P ta suy ra kết quả tương tự
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu
1 Tìm m để hệ phương trình
6
2 2
x xy y m có nghiệm thực duy nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
21
m
+ m = – 3:
3 ( ) 3 2( ) 3 2( ) 3
+ m = 21:
27 ( ) 27
2 2 21 2( ) 21
Trang 78 6 3
Vậy m = 21
2 Tìm m để hệ phương trình:
1
x y xy m có nghiệm thực x > 0, y > 0
HƯỚNG DẪN GIẢI
1 ( ) 1
( )
1
1
4
1 4 4
m
4
m m
3 Tìm m để hệ phương trình
có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
3
3
Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình
2 2
0 3
Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm
2
0 4 0
0
1 4
m
m
Vậy m 0 1 m 4
4 Tìm m để hệ phương trình
2 2
2
x y có đúng 2 nghiệm thực phân biệt
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi 2
m m
5 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình
2 1
2 3
nhất
Trang 8HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt S x y P, xy, điều kiện 2
4
2
3
2
Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,
Trang 9CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
1 Dạng 1:
f(x,y) = 0 f(y,x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương
trình kia)
Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
3
3
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được : x3 y3 3x3y 0 (xy x)( 2 y2xy 3) 0
3
Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được : x3 x 0 x 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 0
0
x
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 2 3 4 4 (1)
2 3 4 4 (2)
Điều kiện:
3
4 2
3
4 2
x x
Trừ (1) và (2) ta được:
2 3 2 3 4 4
Thay x = y vào (1), ta được : 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x3)(4x) 16
9
9 38 33 0
x
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
11
9
x x
y
y
Trang 10
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải đƣợc)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới)
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
3
3
Trừ và cộng (1) với (2), ta được :
0 0
1 1
+
2 2
1
2 3
xy
Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt:
Cách 3 Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình 2 3 4 4 (1)
2 3 4 4 (2)
Điều kiện:
3
4 2
3
4 2
x x
Trừ (1) và (2) ta được : 2x 3 4 x 2y 3 4 y (3)
2
2
Trang 112x 3 4 x 4 x 7 2 (2x3)(4x) 16
2 2 2 5 12 9 3 11
9
x x x x x (nhận)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
11
9
x x
y
y
Ví dụ 5 Giải hệ phương trình
3
3
2 2
( ) 2 ( )3 2 0,
Hệ phương trình trở thành ( ) (1)
( ) (2)
+ Nếu x y f x( ) f y( ) y x(do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn)
+ Nếu x y f x( ) f y( ) y x(mâu thuẩn)
Suy ra x = y, thế vào hệ ta được x3 x 0 x 0
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0
0
x
Chú ý:
Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1 Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!
Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003) Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2 3
2 3
x x y y y x
Nhận xét từ hệ phương trình ta có 0
0
x
y Biến đổi:
2
2 2 2
2 2 2
2
2
3
3 2 (1)
3 2 (2) 2
3
x
x
y
y
y
x
Trừ (1) và (2) ta được : (xy)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0)
Với x y: (1)3x3 x2 2 0(x1)(3x2 2x2) 0 x 1
Trang 12Vậy hệ có 1 nghiệm 1
1
x
2 Dạng 2:
f(x,y) = 0 g(x,y) = 0, trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
2
1 1
(1)
2 1 0 (2)
Điều kiện: x0, y0 Ta có:
+ Với y = x: (2)x2 1 0 x 1
+ Với y 1
x: (2) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 1
1 1
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Đưa phương trình đối xứng về dạng f x( ) f y( ) x y với hàm f đơn điệu
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 2 cos cos (1)
3 18 0 (2)
Tách biến phương trình (1), ta được : (1) x cosx y cosy (3)
( ) cos ( ) 1 sin 0,
Suy ra (3) f x( ) f y( ) x y
3 18 0 ( 3)( 3 6) 0 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 3
3
x
Chú ý:
Cách giải sau đây sai:
2
1 1
(1)
2 1 0 (2)
Điều kiện: x0, y0
Trang 13Xét hàm số /
2
( ) , \ {0} ( ) 1 0, \ {0}
Suy ra (1) f x( ) f y( ) x y!
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0)
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1)
2
2
1 2
y y 2)
2
2
2 2
y xy y x Đáp số:
3
2
x
x
y
y
1 7 4
8
x
y 4)
1 2 3
1 2 3
3
x
3 2 3
1 2
4 4
2
x
7)
3
3
2 2
2
2
1 2
1 2
y
x
1
x
9)
2
2
3 2
3 2
x
y
1
x
3 2
3 2
1 2
1 2
1 1
11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003)
3
1 1
(1)
2 1 (2)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x0, y0
(1) 0 ( ) 1 1 0 1
2
x x
Trang 14+ Với y 1: (2) x4 x 2 0.
x
3
1 ( ) 2 ( ) 4 1 0
4
Cách khác:
+ Với x 1 x 2 0 x4 x 2 0
+ Với x 1 x4 x x x4 x 2 0
Suy ra (2) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt
1 5 1 5
1 1 5 1 5
x y
12) sin (1)
sin (2)
Hướng dẫn giải
Trừ (1) và (2) ta được : x y sinysinx x sinx y sin (3).y
( ) sin ( ) 1 cos 0,
(3) f x( ) f y( ) x y (1) x sinx0 (4)
( ) sin ( ) 1 cos 0,
Do g(0) 0 (4) x 0 Vậy hệ có 1 nghiệm 0
0
x
Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,