Một số PT bậc cao được giải nhờ phương trình bậc 2,3

Một số lớp phương trình bậc cao giải nhờ phương trình bậc phương trình bậc Nguyễn Quản Bá Hồng Sinh viên khoa toán tin, Trường Khoa Học Tự Nhiên TP HCM Email: Nguyenquanbahong@gmail.com NE T 09.05.2015 Tóm tắt nội dung Lời giới thiệu THS Bài viết xoay quanh chủ đề sau: i Nhắc lại phương pháp giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc dạng tổng quát ii Tìm hiểu số dạng phương trình bậc 3, bậc có cách giải đặc biệt iii Xây dựng số "lớp" phương trình bậc cao giải nhờ phương trình bậc VIE TM A Có lẽ phần cảm thấy thích học toán Trung học sở phương trình (không phải viết viết phương trình nên nói đâu nhé) Có nhiều lý điều đó, để kể vài lý thử Lý thứ tiện: cần giấy, viết, làm phương trình lúc nơi rồi, có thêm máy Casio ngon - không hình học, mệt mỏi với việc phải mua thước mới, compas sau tuần học :[ Lý thứ hai nhiều lựa chọn, cấp chưa có thứ hấp dẫn số học, tổ hợp, phương trình hàm, có hình với đại số thôi, mà hình bạn biết đấy, chọn đại số, đại số chọn phương trình Lý (để bao biện lựa chọn tôi), vẻ đẹp đơn giản hình thức nó: cần dòng công thức đủ cho tất Thêm lý nữa, thương thầy cô, không muốn ngủ gật lớp làm thầy cô buồn, nên đành phải kiếm để làm học Ngoài môn toán môn khác cảm thấy tẻ nhạt, môn hình, cầm compas dễ bị phát Nên cuối cùng, đành chọn phương trình làm "công ăn chuyện làm" học lớp Và tìm niềm vui nho nhỏ chủ đề :) Nhưng Hôm nay, bắt đầu đánh dòng chữ Có lẽ trễ phải không? Một phần điều kiện cá nhân phần lại khoảng thời gian niềm tin vào niềm đam mê Điều thật ngu ngốc! Tôi hy vọng viết cột mốc, khởi đầu cho viết đời :) Về nội dung, viết bao gồm ghi chép nhỏ hồi lớp 9, bổ sung vào số kiến thức học Trung học phổ thông để hoàn thiện Nên bạn thấy viết hoàn toàn sơ cấp Chỉ đơn giản biến đổi tương đương, biệt thức Delta, có nghiệm, vô nghiệm, toàn viết Hoàn toàn thiết vắng có mặt công cụ mạnh mẽ Resultant, Discriminant, Galois resolvent, Tschirnhaus’s transformations, Bring and Jerrard’s transformations, Hy vọng bạn thích viết LATEX Sơ lược nội dung viết VIE TM A THS NE T Tiếp theo, bỏ qua suy nghĩ cá nhân nhằng nhịt Tôi giới thiệu chung viết Trước hết thứ chung chung định nghĩa phương trình, lịch sử phát triển phương trình toán học, nhà toán học có công, Nhưng khoan, nghĩ lại! Điều không cần thiết Vì bạn yêu toán, hẳn bạn thích đọc lịch sử toán học Việc nhân loại giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc nào, lâu, hẳn rõ ràng Và tên tuổi gắn liền với lịch sử khởi tạo, phát triển đối tượng Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano, Lodovico Ferrari, Niel Henrik Abel, Évariste Galois, lại rõ ràng nữa! Cho nên: nên bỏ qua yếu tố mang tính sử thi bắt tay vào viết Có số điểm sau: Bài viết trình bày theo mạch ý tưởng Nhiều thứ đơn giản - hiển nhiên trình bày, lặp lặp lại để kết nối phần với nhằm tránh "Tại lại nghĩ vậy" Bài viết hoàn chỉnh Bài viết thiên tính lý thuyết kỹ thuật Sẽ ví dụ cụ thể để minh họa cho phần trình bày Bởi "lớp" hàm đa thức viết phụ thuộc vào tham số, nên việc tự cho ví dụ dễ dàng Hơn nữa, cho lớp hàm đa thức bậc n rộng so với dạng đa thức bậc n rồi, cho ví dụ có số cụ thể làm yếu tiêu đề viết nhiều phải không? :p Một điều khác Điều kiện cần - điều kiện đủ không trình bày rạch song song với viết Vì tương đương phép biến đổi đại số đa thức không làm ảnh hưởng tới điều cho lắm, nữa, mục đích phần tìm, xây dựng, nên cho cần chiều đủ, phần lại xin nhờ bạn đọc kiểm tra lại giúp Cuối cùng, lý thời gian hạn chế kiến thức, nên viết tránh khỏi sai sót (chắc nhiều) Mọi ý kiến đóng góp xin gửi đến hộp thư Nguyenquanbahong@gmail.com Remark: Bài viết xin lược bỏ lý thuyết phương trình bậc quen thuộc (thật để số mục với số bậc cho đẹp ) Sau đây, bắt tay vào phương trình bậc cho nóng Phương trình bậc Phần chủ yếu đề cập tới phương trình bậc với hệ số trường R Lưu ý tính chất phần mở rộng qua trường số C Xét phương trình bậc dạng tổng quát: a0 x3 + b0 x2 + c0 x + d0 = (1) Với a, b, c, d ∈ R a0 = Chúng ta chia vế phương trình cho a0 để thu dạng tắc: x3 + Ax2 + Bx + C = (2) 3.1 NE T Tiếp theo, nghiên cứu số dạng đặc biệt phương trình (2) Khi biết nghiệm Problem 1: Giải phương trình bậc biết nghiệm THS Phương trình bậc mà biết nghiệm chẳng qua phương trình bậc thôi, ta xử lý sau: Giả sử cách (bấm máy tính chẳng hạn), ta biết nghiệm x0 phương trình (2) Khi đó, sử dụng sơ đồ Horner quen thuộc để viết lại (2) thành: (x − x0 )[x2 + (x0 + A)x + (x20 + Ax0 + B)] = (3) TM A Ngoài nghiệm x = x0 , (2) có nghiệm phức nghiệm phương trình bậc 2: x2 + (x0 + A)x + (x20 + Ax0 + B) = (4) Xét phương trình (4) có ∆ = A2 − 4B − 3x20 − 2x0 : • Nếu A2 − 4B < 3x20 + 2x0 (4) vô nghiệm R, suy (2) có nghiệm x0 VIE • Nếu A2 − 4B = 3x20 + 2x0 (4) có nghiệm kép x1 = − A+x , suy (2) có nghiệm x0 , x1 = − A+x • Nếu A2 − 4B > 3x20 + 2x0 (4) có nghiệm x1,2 = 21 (−A − x0 ± suy (2) có đủ nghiệm thực x0, x1,2 = (−A − x0 ± A2 − 4B − 3x20 − 2x0 ), A2 − 4B − 3x20 − 2x0 ) Remark: Nghiệm x0 lúc dự đoán được, trường hợp tổng quát Cho nên, cần xét dạng phương trình mạnh Trước đến với công thức Cardano để giải phương trình bậc tổng quát, ta xét số toán thú vị sau liên quan đến phương trình bậc 3 3.2 Phương trình bậc có nghiệm bội Problem 2: Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm bội thực Trường hợp (2) có nghiệm thực bội a: f (x) = (x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2 x + a3 (5) Đồng hệ số (5) với (2): A = 3a, B = 3a2 , C = a3 Dễ dàng suy A = √ B = C (6) NE T Remark: Ta có điều kiện cần đủ để phương trình (2) có nghiệm thực bội là:   A = B = √ C 3  AC ≥ (7) ⇔ f (a) = f (a) = f (a) = (8) a3 + Aa2 + Ba + C = 3a2 + 2Aa + B = a = − A3 TM A ⇔ THS Một cách tiếp cận khác cho trường hợp sử dụng f (a) = f (a) = f (a) = 0, cho kết tương tự Trường hợp (2) có nghiệm kép a, nghiệm lại b: Ta có: Ta tìm mối quan hệ A, B, C thông qua (8) Xét phương trình bậc 2: 3a2 + 2Aa + B = (9) • Nếu A2 < 3B (9) vô nghiệm R VIE • Nếu A2 = 3B a = − A3 , mâu thuẫn với (8) • Nếu A2 > 3B (9) có nghiệm thực phân biệt a1,2 = −A ± √ A2 − 3B (rõ ràng nghiệm khác − A3 ) Thay nghiệm vào phương trình bậc a3 + Aa2 + Ba + C = Khi (8):   A2 > 3B     √ √ √ −A − A2 − 3B + A9 A + A2 − 3B + B3 −A − A2 − 3B + C = ⇔ 27    √ √ √   + A9 −A + A2 − 3B + B3 −A + A2 − 3B + C = 27 −A + A − 3B  A2 > 3B   √ 2 ⇔ A − AB + C + A2 − 3B 27 A − 29 B = 27  √  AB 2 2 27 A − + C − A − 3B 27 A − B = (10) Điều kiện (10) viết gọn lại thành A > 3B ∧ ((C = C1 ) ∨ (C = C2 )), với C1,2 = AB 2A3 − ± 27 A2 − 3B 2 A − B 27 (11) Dễ thấy C1 , C2 nghiệm phương trình bậc 2: 27C + 4A3 − 18AB C + 4B − A2 B = (12) Do đó, điều kiện (8) ⇔ A2 > 3B 27C + 4A3 − 18AB C + 4B − A2 B = (13) NE T Remark: (13) điều kiện để (2) có nghiệm kép thực Tuy (13) có dạng tương đối cồng kềnh, dễ sử dụng biết giá trị cụ thể A, B, C Ta nên quan tâm đến dạng yếu (13), lại có giá trị thực hành cao hơn: "Nếu A2 ≤ 3B (2) có nghiệm kép" Điều khiến ta không cần quan tâm đến hệ số tự do, thoải mái sáng tạo toán chứng minh phương trình bậc nghiệm bội cho riêng Problem : Với bất đẳng thức có dạng A2 ≤ 3B (14) 3.3 THS Chứng minh phương trình bậc x3 + Ax2 + Bx + C = có nghiệm kép Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm bội phức Phương trình bậc có nghiệm thực phân biệt TM A Sử dụng kết vừa thiết lập phần trước, ta tiếp tục xét toán sau hệ Problem 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm thực phân biệt Trong phần 3.2, ta tìm điều kiện để phương trình (2) có nghiệm bội Nên việc tìm điều kiện để (2) có nghiệm phân biệt đơn giản Có nhiều cách để xử lý điều Chẳng hạn: Solution 1: Điều kiện để (2) có nghiệm phân biệt tương đương với: • (2) có nghiệm thực nhất: Câu trả lời nằm mục 3.1 VIE • (2) có đủ nghiệm thực phân biệt: Phủ định điều kiện (7) (13) Solution 2: Sau cách nữa, mà từ cách này, thu số điều thú vị Chúng ta tập trung giải trường hợp thứ lời giải thứ nhất: Tìm điều kiện để (2) có nghiệm thực phân biệt: Về điều kiện để (2) có đủ nghiệm thực, tham khảo phần giải phương trình bậc tổng quát Giả sử (2) có đủ nghiệm thực Giả sử nghiệm m, n, p Ta tìm điều kiện để m, n, p phân biệt đôi với Xét biểu thức sau s = (m − n) (n − p) (p − m) (15) Muốn m, n, p phân biệt đôi cần s = Việc lại biểu diễn s theo hệ số A, B, C (2) Điều dễ dàng thực nhờ áp dụng hệ thức Viète cho (2): Dễ dàng thu được: s2 = (m − n)2 (n − p)2 (p − m)2 (16) = A2 B + 18ABC − 27C − 4B − 4A3 C Khi đó, điều kiện s = tương đương với: 27C + 4A3 − 18AB C + 4B − A2 B = cyc 3.4 chứng minh bất đẳng thức hoán có lợi nhiều phương pháp Chúng ta gặp lại đại lượng thể biểu diễn thông qua biểu NE T Remark: (17) phủ định điều kiện (7) ∧ (13) Đại lượng s đóng vai trò quan trọng vị Việc xét |s| , s2 giúp đối xứng hóa biểu thức cần xét, chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt phương pháp pqr phần sau More info Định lý: Mọi biểu thức hoán vị biến a, b, c có thức abc, a, ab, a2 b (17) cos 3x = m Problem : Tìm lớp phương trình bậc giải nhờ phương trình lượng giác cos 3x = m THS Phương trình lượng giác có đặc biệt? Xét phương trình bậc có dạng 4x3 − 3x = m (18) m ∈ R Chúng ta giải phương trình (18) trường hợp sau: TM A • |m| ≤ Đặt m = cos α giải x1 = cos α3 , x2,3 = cos α±2π • |m| > Với |x| ≤ |V T (18)| ≤ < m nên phương trình (18) vô nghiệm Nên |x| > Đặt x = 21 a + a1 m = 12 a3 + a13 suy m± m2 − 1, x = VIE a= m+ m2 − + m+ √ m2 − (19) Tiếp theo, ta chứng minh (18) có nghiệm trường hợp Giả sử (18)có nghiệm x0 x0 ∈ / [−1, 1] Do |x0 | > Khi (18) ⇔ 4x3 − 3x = 4x30 − 3x0 ⇔ (x − x0 ) (2x + x0 )2 + x20 − =0 (20) ⇔ x = x0 √ √ 3 Vậy (18) có nghiệm x = 12 m + m2 − + m − m2 − Remark: Trong lời giải trên, đại lượng a + a1 , an + a1n , 4x3 − 3x, có liên quan đến khái niệm định lý sau: Đa thức Chebyshev loại 1: đa thức xác định sau T0 (x) = 1, T1 (x) = x , ∀n > Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) (21) Đa thức Chebyshev loại 2: đa thức xác định sau U0 (x) = 0, U1 (x) = , ∀n > Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x) (22) Về tính chất đa thức Chebyshev, bạn tham khảo [7] Định lý: Với Tn (x) đa thức Chebyshev bậc n: Tn a a+ = an + an (23) f (x) = cos NE T Problem : Mở rộng cho phương trình cos 3f (x) = m Solution : Với |m| ≤ giải arccos m + k2π , k ∈ {0, ±1} g (x) = f (x) − cos phương trình giải Trường hợp |m| > tương tự sin 3x = m TM A 3.5 arccos m + k2π ∈ Sol∗ (2, 3) THS Nếu (24) (25) Problem :Tìm lớp phương trình bậc giải nhờ phương trình lượng giác 4x3 + 3x = m (26) VIE Giải phương trình 4x3 + 3x = m: Nếu x0 nghiệm (26) nghiệm VT(26) hàm đồng biến liên √ tục Đặt x = 12 a − a1 với a = m = 12 a3 − a13 suy a = m ± m2 + Vậy phương trình (26) có nghiệm x= √ m+ m2 + + m− √ m2 + (27) Remark: Tương tự phần trước, đại lượng a − a1 , an − a1n , 4x3 + 3x, có liên quan đến định lý sau đây: Định lý:Giả sử sin (2k + 1) = P2k+1 (sin t), P2k+1 (x) đa thức đại số bậc 2k + Ký hiệu Q2k+1 (x) đa thức đại số bậc 2k + sinh P2k+1 (x) cách giữ nguyên hệ số ứng với lũy thừa (mod4) đổi dấu hệ số ứng với lũy thừa (mod4) Khi đó: Q2k+1 a− a = a2k+1 − Problem : Mở rộng cho phương trình sin 3f (x) = m a2k+1 (28) 3.6 Phương trình bậc tổng quát Problem : Giải phương trình bậc dạng tổng quát Giải phương trình (2): Đặt x = y − A3 , (2) trở thành: A2 AB A3 −B y− C + − 3 27 y3 − Đặt p = A2 − B, q = C + AB − A3 27 − A3 AB A + +C − 27 3 (30) (29) trở thành 4t3 − 3t = m (31) √ √ √ 3 −A3 + 9AB + 27C 3q m= √ = 2p p (A2 − 3B) (32) THS √ q Suy (2) có nghiệm NE T x= p t, (29) Xét trường hợp sau: • Nếu A2 = 3B (29) có nghiệm y = • Nếu A2 > 3B Đặt y = =0 Nếu |m| ≤ Đặt m = cos α, theo phần trước (31) có nghiệm α α ± 2π , t2,3 = cos 3 TM A t1 = cos (33) Suy nghiệm (2) x= A2 − 3B cos VIE t= 2 d+ d3 + d = d3 (34) √ √ 3 −A3 + 9AB + 27C (A2 − 3B) k ∈ {0, ±2} , α = arccos Nếu |m| > Đặt m = α + kπ A − 3 (35) (31) có nghiệm m+ m2 + + m− m2 + (36) Suy (2) có nghiệm x= A2 − 3B • Nếu A2 < 3B Đặt y = m2 + + m+ m− √ √ 3 −A3 + 9AB + 27C m= (A2 − 3B) −p t m2 + − A (37) (38) (29) trở thành 4t3 + 3t = m (39) Theo phần, phương trình (39) có nghiệm t= 3 m2 − + m+ m− m2 − (40) Suy (2) có nghiệm x= 3 A2 − 3B m2 − + m+ m− m2 − − A (41) Giải biện luận phương trình bậc dạng tổng quát hoàn tất Problem : Giải phương trình bậc C 3.7 Công thức Cardano NE T Sau lời giải khác cho phương trình bậc dạng tổng quát Cho phương trình (2) Gán x := x − A3 , x3 + px + q = A3 AB , q = A3 − +C 27 Tìm u, v cho q = u3 + v , p = −3uv Khi đó: THS p=B− x3 + u3 + v − 3uvx = (42) (43) (44) Có x = −u − v nghiệm phương trình bậc x2 − (u + v) x + u2 + v − uv = (45) TM A Có u3 , v nghiệm phương trình bậc p3 =0 27 X − qX − • Nếu ∆ = q2 + p2 27 (46) ≥ giải q2 p2 + + 27 q − − 3 q − + q2 p2 + 27 (47) VIE x = −u − v = Đây công thức Cardano Với phương trình (45), có ∆ = −3(u − v)2 , nên (45) có nghiệm thực u = v (cũng suy cho trường hợp nghiệm phức) Vậy với u = v (44) có nghiệm thực −2u, u, u với u nghiệm kép (45) Với u = v (44) có nghiệm (47) • Nếu ∆ < Đặt x = −4p 3q cos 3t = (48) −4p p Có 3q ∆ muốn giải phương trình công cụ viết này, cần [2A (x) P (x) + B (x) ± D (x)] ∈ Sol (2, 3) 42 (203) 11.4 cos nx = m sin nx = m Các phương trình lượng giác giúp tìm nhiều lớp phương trình bậc cao giải Trước hết nhắc lại số công cụ cần thiết Đa thức Chebyshev loại 1: đa thức xác định sau T0 (x) = 1, T1 (x) = x , ∀n > Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) (204) Đa thức Chebyshev loại 2: đa thức xác định sau U0 (x) = 0, U1 (x) = , ∀n > Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x) NE T (205) Ngoài đa thức trên, sử dụng đa thức sau T0∗ (x) = 2, T1∗ (x) = x , ∀n > ∗ ∗ Tn+1 (x) = xTn∗ (x) − Tn−1 (x) (206) U0∗ (x) = 1, U1∗ (x) = x , ∀n > ∗ ∗ Un+1 (x) (x) = xUn∗ (x) − Un−1 (207) THS Các đa thức xác định đẳng thức x = xn + 1 , Un∗ x + n x x = xn+1 − xn+1 TM A Tn∗ x + : x− x (208) Ta có mối quan hệ đa thức với đa thức Chebyshev Tn (x) = Tn∗ (2x) , Un (x) = Un∗ (2x) (209) VIE Problem : Chứng minh công thức Problem : Sử dụng công thức để tìm hiểu lớp phương trình giải Về tính tối ưu đa thức Chebyshev có định lý sau Chebyshev’s theorem: For fixed n ≥ 1, the polynomial 2−n+1 Tn (x) is the unique monic nth - degree polynomial satisfying max −1≤x≤1 2−n+1 T (x) ≤ max |P (x)| −1≤x≤1 (210) for any other monic nth - degree polynomial P (x) 11.5 Một số công thức lượng giác có liên quan Sau số công thức lượng giác mà sưu tầm [5] Sau thấy nó, bạn hiểu lại liệt kê 43 cos 4x = 8cos4 x − 8cos2 x + cos 5x = 16cos5 x − 20cos3 x + cos x cos 6x = 32cos6 x − 48cos4 x + 18cos2 x − cos 7x = 64cos7 x − 112cos5 x + 56cos3 x − cos x cos4 x = 18 cos 4x + 21 cos 2x + 38 cos5 x = 16 cos 5x + 16 cos 2x + 85 cos x 15 cos6 x = 32 cos 6x + 16 cos 4x + 32 cos 2x + 16 sin4 x = 81 cos 4x − 12 cos 2x + 38 sin5 x = 16 sin 5x − 16 sin 3x + 58 sin x 15 cos 6x + 16 cos 4x − 32 cos 2x + 16 sin6 x = − 32 cos2n+1 x = 2n sin x = n−1 22n−1 sin2n+1 x = k=0 n 22n (−1)n 22n−1 2n k k=0 n−1 2n + k k (−1) k=0 (−1)n 22n−1 n cos (n − k) x + (−1)k k=0 22n 2n n cos (2n − 2k + 1) x 2n k cos (n − k) x + 22n THS cos2n x = NE T Tổng quát hơn, ta có công thức sau (211) 2n + k (212) 2n n sin (2n − 2k + 1) x + 22n 2n n Các phương trình lượng giác có liên quan VIE 11.6 TM A Remark : Từ công thức trên, bạn thấy phương trình nào? Hãy phát triển ý tưởng Và Problem : Từ công thức lượng giác trên, xây dựng lớp phương trình đại số giải Problem : Hãy nghiên cứu vấn đề tương tự cho hàm tan x, cot x Phần đề cập tới toán sau Giải phương trình lượng giác f (nx) = g (mx) (213) với m, n∈ N∗ , f, g ∈ {sin, cos, tan, cot} Problem : Tìm lớp phương trình bậc cao giải nhờ phương trình lượng giác Problem : Mở rộng dạng phương trình lượng giác dạng tổng quát tìm hiểu lớp phương trình bậc cao giải nhờ phương trình lượng giác 11.7 Phân loại bậc cao dựa vào số bậc Công việc phân loại lúc mang tính tương đối Việc phân loại phần Để phân loại kiện, cần trả lời câu hỏi: Tiêu chuần phân loại gì? Phân loại thuận lợi gì? Các trường hợp đặc biệt? Sau đây, phân loại phương trình bậc cao dựa vào số bậc (tiêu chí tôi) sau: 44 Bậc số nguyên tố Bậc hợp số Bậc số chẵn Bậc số lẻ Bậc số lũy thừa Như vậy, phân loại tất số nguyên dương vào loại tương ứng Công việc thật đơn giản dường chẳng có ý nghĩa Nhưng có đấy, sau cách phân loại hoạt động? Phương trình bậc cao có bậc số hợp số: Đối với phương trình này, ý tưởng mà ta nghĩ đến hàm số hợp - sử dụng hàm số hợp để khai thác lớp phương trình giải Cụ thể, với f, g hàm đa thức với hệ số trường Thì phương trình NE T g ◦ f (x) = giải nhờ giải phương trình g (x) = 0, f (x) = (214) (215) THS Đó bước hình thành ý tưởng, ý đến bậc phương trình g ◦ f (x) = Phương trình có bậc deg f deg g, hợp số Tổng quát hơn, với phương trình bậc n, xét số nguyên dương n Giả sử n có phân tích thừa số nguyên tố có dạng k pai i n= (216) i=1 TM A pi số nguyên tố Khi đó, ta có lớp phương trình bậc n giải được xây dựng sau Gọi f1 , f2 , , fm hàm đa thức tùy ý mà tập hợp bậc hàm trùng với tập p1 , , p1 , p2 , , p2 , , pk , , pk a1 s Khi xét phương trình a2 s ak s fσ(1) ◦ fσ(2) ◦ ◦ fσ(m) = VIE (217) (218) với σ hoán vị Phương giải nhờ giải phương trình fi (x) = Remark : Với n = 2a 3b ta có lớp phương trình bậc n giải nhờ phương trình bậc phương trình bậc theo nghĩa tên viết Các hàm fi trên, có bậc không vượt phương trình hàm hợp giải mà không cần thêm điều kiện Còn ∃fi : deg fi ≥ cần điều kiện fi ∈ Sol (2, 3) Phương trình bậc cao có bậc số nguyên tố: Đối với phương trình này, hẳn đặc ân lớn lao mà phương trình bậc hợp số có Cho nên, viết này, phần phương trình có bậc nguyên tố có ý tưởng Vai trò làm gạch để xây dựng lớp phương trình khác Hy vọng bạn tìm ý tưởng khác đặc biệt dành cho loại phương trình 45 Phương trình bậc cao có bậc số chẵn: Đầu tiên, số chẵn số đương nhiên hợp số, nên thừa hưởng số tính chất từ phần phương trình bậc hợp số Đặc biệt, với loại phương trình này, bạn bỏ qua lớp phương trình trùng phương, bội phương, nói chung có số để khai thác Tuy nhiên, phương trình bậc chẵn, ý tưởng sử dụng phương trình cos 2kx = m, cosh 2kx = m, sin 2kx = m, sinh 2kx = m (219) lại trở thành phần ý tưởng phương trình trùng phương, bội phương Cho nên, việc sử dụng phương trình lượng giác để khai thác phương trình bậc lẻ chiếm ưu Remark : Còn ý tưởng sử dụng hệ phương trình để khai thác trường hợp sao? NE T Phương trình bậc cao có bậc số lẻ: Đối với số lẻ, thân chứa gần toàn số nguyên tố (chỉ trừ số 2) nên thiệt thòi phương trình bậc chẵn nhiều ý tưởng Tuy nhiên, nhận xét phần trước, việc sử dụng phương trình lượng giác để khai thác lại chiếm nhiều ưu điểm loại phương trình có bậc lẻ TM A THS Phương trình bậc cao có bậc số lũy thừa: Bậc số lũy thừa n = mk hiển nhiên hợp số, thừa hưởng số tính chất phần Ngoài ra, có số ý tưởng đặc biệt Sử dụng hệ phương trình hoán vị Xét hệ phương trình hoán vị   ax1 = Pm (x2 )     ax = P (x ) m (220)      ax = P (x ) m k VIE Pm (x) đa thức bậc m Để giải hệ trên, cần số điều kiện định Problem : Hãy tìm hiểu ý tưởng sử dụng hệ phương trình hoán vị để khai thác lớp phương trình có bậc số lũy thừa Remark : Với n số phương, ta có ý tưởng sử dụng hệ phương trình đối xứng biến để khai thác Điều thực cho phương trình bậc phương trình bậc Nếu không sử dụng hệ phương trình hoán vị, tổng quát hơn, ta có Sử dụng hệ phương trình k ẩn Xét hệ phương trình k ẩn   ax1 = P1 (x2 )     ax = P (x ) 2 (221)      ax = P (x ) k k Pi đa thức bậc m Problem : Tìm trường hợp hệ số mà hệ giải Problem : Tìm lớp phương trình bậc cao giải nhờ hệ trường hợp vừa tìm Remark : Vấn đề vấn đề thú vị, phương trình có bậc số lũy thừa sở hữu đặc ân Phải không? 46 11.8 Sử dụng số phức 11.9 NE T Sau ý tưởng khác, thay tìm nghiệm dạng x, ta tìm nghiệm phương trình dạng a + bi Thay vào phương trình, ta thu hệ phương trình ẩn a, b Hãy thử giải phương trình trường hợp tổng quát Nếu không giải trường hợp tổng quát, tìm điều kiện để hệ phương trình giải tìm lớp phương trình giải tương ứng Remark : Với b = hệ có nghiệm, ta thu nghiệm thực phương trình Nếu hệ phương trình có nghiệm (a, b) , b = ta thu nghiệm phức phương trình Nhìn chung, cách làm hiệu với phương trình bậc chẵn (vô nghiệm thực) phương trình bậc lẻ Vì phương trình bậc lẻ có nghiệm thực nên ứng với trường hợp b = hệ trở thành phương trình ban đầu Problem : Hãy phát triển ý tưởng sử dụng số phức để giải phương trình Và tìm hiểu lớp phương trình giải nhờ phương pháp Problems are coming VIE TM A THS Problem : Khảo sát hàm đa thức bậc n Problem : Biện luận số nghiệm phương trình bậc n thông qua hệ số Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc n có nghiệm bội Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc n có nghiệm phân biệt Problem : Khảo sát nghiệm âm, nghiệm dương phương trình bậc n thông qua hệ số Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc n có số nghiệm tạo thành cấp số cộng Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc n có số nghiệm tạo thành cấp số nhân Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc n có nghiệm thực số: i nguyên dương ii nguyên iii hữu tỷ iv vô tỷ Problem : Tìm hiểu lớp phương trình giải nhờ phương trình tan nx = m, nx = m, cot nx = m, coth nx = m Problem : Mở rộng tất tính chất phần cho trường C Problem : Mở rộng tất tính chất phần cho trường khác Problem : Tìm hiểu lớp phương trình (nói chung) giải nhờ lớp phương trình phần Problem : Giải phương trình dạng aP (x) + bQ2 (x) + cP (x) Q (x) = (222) Problem : Giải phương trình dạng aP (x) + bP (x) Q (x) + cP (x) Q2 (x) + dQ3 (x) = (223) Problem : Một cách tổng quát: Với P (x)solvable ∈ R [x] đa thức thuộc tập hợp tất lớp phương trình bậc cao giải viết Gọi hệ số đa thức lần 47 lượt an , an−1 , , a0 Hãy giải phương trình n f i (x) g n−i (x) = (224) i=0 Problem : Sử dụng công thức nội suy đa thức Abel, Taylor, Lagrange, Taylor Gontcharov, Hermite, Newton để nghiên cứu lớp phương trình bậc cao giải dựa vào công thức 12 Một số kiến thức sử dụng Bài viết có sử dụng số kiến thức sau: xi ∈ A [x], với A trường, có nghiệm x0 NE T n Lược đồ Horner: Giả sử f (x) = n−1 f (x) = (x − x0 ) bi xi (225) m THS bn−1 = an , bk = x0 bk+1 + ak+1 , k = 0, n − dư số r = x0 b0 + a0 Định lý phân tích đa thức: Mọi đa thức f (x) ∈ R [x] có bậc n có hệ số an = phân tích (duy nhất) thành nhân tử s x2 + bk x + ck (x − di ) f (x) = an i=1 (226) k=1 TM A với di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, m, n∈ N∗ Biên nghiệm: n Mọi nghiệm x0 P (x) = xi thỏa bất đẳng thức max |ak | |x0 | ≤ + 1≤k≤n m VIE Nếu am hệ số âm P (x) + (227) |an | B an cận nghiệm dương đa thức cho, B giá trị lớn modulo hệ số âm n Quy tắc dấu Descartes: Giả sử N số không điểm dương đa thức f (x) = xi W số lần đổi dấu dãy hệ số Khi W ≥ N W − N số chẵn Problem : Với kiến thức trên, bạn tìm lớp phương trình giải được? Final problem: Mở rộng tập Sol (2, 3) , Sol∗ (2, 3) On some classes of polynomial equations which can solved due to equation degree and equation degree Version 1.0 48 Tài liệu [1] Mathscope.org, Chuyên đề phương trình hệ phương trình, 2012 [2] Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển toán 9, NXB Giáo Dục, 2006 [3] Nguyễn Tài Chung, Chuyên khảo phương trình hàm, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Nguyễn Tài Chung, Chuyên khảo đa thức, NXB ĐHQG Hà Nội [5] Trần Phương, Phương trình lượng giác, NXB ĐHQG Hà Nội, 2010 .NE T [6] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Đăng Phất, Phương trình bất phương trình số vấn đề liên quan, (tài liệu bồi dưỡng hè 2010), TP HCM, 8.2010 [7] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục, 2003 [8] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Tài liệu chuyên toán đại số 10, NXB Giáo dục Việt Nam THS [9] Hà Văn Chương, Tuyển chọn giải hệ phương trình phương trình không mẫu mực, NXB ĐHQG Hà Nội, 2011 [10] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Ngọc, Chuyên đề đa thức đối xứng áp dụng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009 TM A [11] Victor V Prasolov, Polynomial, Springer VIE [12] Răzvan Gelca, Titu Andreescu, Putnam and beyond, Springer 49 Mục lục Lời giới thiệu Sơ lược nội dung viết 3 10 10 12 12 12 12 15 15 16 17 18 20 20 21 21 21 22 22 22 24 24 24 25 25 25 25 Phương trình bậc 6.1 Khi biết nghiệm 6.2 = 2.3 = 3.2 6.3 Phương trình bậc hệ số phản hồi 27 27 27 27 NE T Phương trình bậc 3.1 Khi biết nghiệm 3.2 Phương trình bậc có nghiệm bội 3.3 Phương trình bậc có nghiệm thực phân biệt 3.4 cos 3x = m 3.5 sin 3x = m 3.6 Phương trình bậc tổng quát 3.7 Công thức Cardano 3.8 Thêm nghiệm để giải phương trình 3.9 Problems are coming VIE TM A THS Phương trình bậc 4.1 Khi biết nghiệm 4.2 Phương trình trùng phương 4.3 Quy phương trình bậc 4.4 Một kết tương tự 4.5 Phương trình có hệ số phản hồi 4.6 Dạng tổng bình phương 4.7 Quy hệ phương trình đối xứng 4.8 Quy hệ phương trình giải 4.9 cos 4x = m 4.10 sin 4x = m 4.11 Phương trình x4 = ax2 + bx + c, b2 = (a + 2) (c + 1) 4.12 Phương trình x4 = ax2 + bx + c 4.13 Giải phương trình bậc tổng quát 4.14 Một cách khác giải phương trình bậc tổng quát 4.15 Thêm nghiệm để giải phương trình 4.16 Problems are coming Phương trình bậc 5.1 Khi biết nghiệm 5.2 Sử dụng phương trình bậc có Delta 5.3 cos 5x = m 5.4 sin 5x = m 5.5 Thêm nghiệm để giải phương trình 5.6 Problems are coming bình 50 phương x2 + ax + b1 x2 + ax + b2 x2 + ax + b3 = g x2 + ax x + xz + a1 x + xz + a2 x + xz + a3 = g x + xz x3 + ax2 + bx + c1 x3 + ax2 + bx + c2 = g x3 + ax2 + bx x2 + ax + xb + c1 x2 + ax + xb + c2 = g x2 + ax + xb x + xa + xb2 + c1 x + xa + xb2 + c2 = g x + xa + xb2 Sử dụng phương trình bậc có Delta bình phương cos 6x = m sin 6x = m Dạng tổng bình phương Thêm nghiệm để giải phương trình Problems are coming 27 27 28 28 28 28 28 28 28 29 29 30 30 30 30 30 30 30 Phương trình bậc 8.1 Khi biết nghiệm 8.2 = 23 = 2.4 = 4.2 32 32 32 phương (x + ) = m, a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = a7 + a8 i=1 x2 + ax + b1 x2 + ax + b2 x2 + ax + b3 x2 + ax + b4 = g x2 + ax x4 + ax3 + bx2 + cx + d1 x4 + ax3 + bx2 + cx + d2 = g x4 + ax3 + bx2 + cx x + xa + b1 x + xa + b2 x + xa + b3 x + xa + b4 = g x + xa x3 + ax2 + bx + xc + d1 x3 + ax2 + bx + xc + d2 = g x3 + ax2 + bx + xc b c b c b c 2 x + ax + x + x2 + d1 x + ax + x + x2 + d2 = g x + ax + x + x2 x + xa + xb2 + xc3 + d1 x + xa + xb2 + xc3 + d2 = g x + xa + xb2 + xc3 Phương trình hệ số phản hồi Sử dụng phương trình bậc có Delta bình phương cos 8x = m sin 8x = m Dạng tổng bình phương Quy hệ phương trình hoán vị Quy giải Thêm nghiệm để giải phương trình Problems are coming VIE 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 TM A 8.3 bình THS Phương trình bậc 7.1 Khi biết nghiệm 7.2 Sử dụng phương trình bậc có Delta 7.3 cos 7x = m 7.4 sin 7x = m 7.5 Thêm nghiệm để giải phương trình 7.6 Problems are coming NE T 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 Phương trình bậc 9.1 Khi biết nghiệm 9.2 = 3.3 9.3 Quy hệ phương trình đối xứng 9.4 Quy hệ phương trình giải 51 32 32 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 35 36 36 37 37 37 37 37 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 x3 + ax2 + bx + c1 x3 + ax2 + bx + c2 x3 + ax2 + bx + c3 = g x3 + ax2 + bx x2 + ax + xb + c1 x2 + ax + xb + c2 x2 + ax + xb + c3 = g x2 + ax + xb x + xa + xb2 + c1 x + xa + xb2 + c2 x + xa + xb2 + c3 = g x + xa + xb2 Sử dụng phương trình bậc có Delta bình phương cos 9x = m sin 9x = m Thêm nghiệm để giải phương trình Problems are coming 37 38 38 38 38 38 38 38 10 Pre - Generalization 40 11 Generalization 11.1 Notation 11.2 Bridge connections 11.3 Sử dụng phương trình bậc có Delta dạng bình phương 11.4 cos nx = m sin nx = m 11.5 Một số công thức lượng giác có liên quan 11.6 Các phương trình lượng giác có liên quan 11.7 Phân loại bậc cao dựa vào số bậc 11.8 Sử dụng số phức 11.9 Problems are coming 40 40 41 42 43 43 44 44 47 47 VIE TM A 12 Một số kiến thức sử dụng THS NE T 52 48 [...]... lớp phương trình bậc 6 giải được nhờ phương trình trên Tiếp theo, 6 = 3(2) xét phương trình có dạng x6 + ax4 + bx2 + c = 0 (148) 6.3 THS Problem : Giải phương trình trên Tìm hiểu các lớp phương trình bậc 6 giải được nhờ phương trình trên Problem : Tìm hiểu các phương trình (nói chung) giải được nhờ các phương trình trên Phương trình bậc 6 hệ số phản hồi TM A Xét dạng chính tắc với các hệ số thỏa mãn... : Giải phương trình trên Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình này Sử dụng phương trình bậc 2 có Delta bình phương 6.10 cos 6x = m VIE Problem : Sử dụng ý tưởng phương trình bậc 2 có Delta bình phương để tìm hiểu các lớp phương trình bậc 6 nào giải được Problem : Biểu diễn cos 6x thành đa thức của cos x Problem : Giải phương trình bậc 6 vừa thu được Problem : Tìm các lớp phương trình. .. Problem : Giải phương trình trên Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên 33 (167) 8.10 Phương trình hệ số phản hồi Xét phương trình x8 + Ax7 + Bx6 + Cx5 + Dx4 + Ex3 + F x2 + Gx + H = 0 thỏa mãn H= G A F 2 B = = E 3 C E 4 C (168) (169) Problem : Giải phương trình trên Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên Sử dụng phương trình bậc 2 có... thu được một phương trình bậc 8 Điều đó xảy ra do 8 = 23 ? Phương trình tương ứng sẽ giải được khi hệ phương trình này giải được Vậy công việc chính của ta trong phần này là Problem : Tìm điều kiện của các hệ số để hệ phương trình trên giải được Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ hệ phương trình hoán vị trên Remark : Chúng ta sẽ xem xét một vài ý tưởng giúp hệ hoán vị trên giải được. .. Giải phương trình bậc 4 vừa thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình cos 4x = m và cosh 4x = m 4.10 sin 4x = m Problem : Biểu diễn sin 4x thành đa thức của sin x Problem : Giải phương trình bậc 4 vừa thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình sin 4x = m và sinh 4x = m 20 4.11 Phương trình x4 = ax2 + bx + c, b2 = 4 (a + 2) (c + 1) Problem : Giải. .. Problem : Giải phương trình bậc 7 vừa thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình sin 7x = m và sinh 7x = m Thêm nghiệm để giải phương trình Problem : Thêm một nghiệm để giải phương trình Problem : Thêm nhiều nghiệm để giải phương trình 7.6 VIE Go on next section? Problems are coming Problem : Khảo sát hàm đa thức bậc 7 Problem : Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 7 thông... của phương trình bậc 6 thông qua các hệ số của nó Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 6 có một số nghiệm tạo thành cấp số cộng Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 6 có một số nghiệm tạo thành cấp số nhân Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 6 có các nghiệm thực là các số: i nguyên dương ii nguyên iii hữu tỷ iv vô tỷ Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương. .. : Giải phương trình bậc 5 vừa thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình sin 5x = m và sinh 5x = m Thêm nghiệm để giải phương trình Problem : Thêm một nghiệm để giải phương trình Problem : Thêm nhiều nghiệm để giải phương trình Go on next section? 5.6 Problems are coming Problem Problem Problem Problem : : : : Khảo sát hàm đa thức bậc 5 Biện luận số nghiệm của phương trình. .. của phương trình bậc 8 thông qua các hệ số của nó Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 8 có một số nghiệm tạo thành cấp số cộng Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 8 có một số nghiệm tạo thành cấp số nhân Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 8 có các nghiệm thực là các số: i nguyên dương ii nguyên iii hữu tỷ iv vô tỷ Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương. .. và quay lại phần 6 7.2 Sử dụng phương trình bậc 2 có Delta bình phương 7.3 NE T Problem : Sử dụng ý tưởng phương trình bậc 2 có Delta bình phương để tìm hiểu các lớp phương trình bậc 7 nào giải được cos 7x = m 7.4 THS Problem : Biểu diễn cos 7x thành đa thức của cos x Problem : Giải phương trình bậc 7 vừa thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình cos 7x = m và cosh 7x = ... 6.3 THS Problem : Giải phương trình Tìm hiểu lớp phương trình bậc giải nhờ phương trình Problem : Tìm hiểu phương trình (nói chung) giải nhờ phương trình Phương trình bậc hệ số phản hồi TM A Xét... đề sử dụng phương trình bậc phương trình bậc để giải lớp phương trình bậc cao Hơn nữa, tập số {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} bao gồm loại số: số chẵn, số lẻ, số nguyên tố, hợp số, số lũy thừa, số - lịch... lớp phương trình giải nhờ phương trình Sử dụng phương trình bậc có Delta bình phương NE T 8.11 Problem : Sử dụng ý tưởng phương trình bậc có Delta bình phương để tìm hiểu lớp phương trình bậc giải