4 Phương trình bậc
8.15 Quy về hệ phương trình hoán vị
Xét hệ phương trình ax=y2+by+c ay=z2+bz+c az =x2+bx+c (170) Dễ thấy tự hệ phương trình hoán vị 3 biến nói trên, nếu rút 2 biến bất kỳ về biến còn lại thì ta sẽ thu được một phương trình bậc 8. Điều đó xảy ra do8 = 23 ?.
Phương trình tương ứng sẽ giải được khi hệ phương trình này giải được. Vậy công việc chính của ta trong phần này là
Problem : Tìm điều kiện của các hệ số để hệ phương trình trên giải được.
Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ hệ phương trình hoán vị trên. Remark :
? Chúng ta sẽ xem xét một vài ý tưởng giúp hệ hoán vị trên giải được như sau
Nếu trong 3 biến x, y, zcó 2 biến bằng nhau thì phương trình bậc 2 tương ứng với 2 biến đó giải
được, nên hệ trên cũng giải được. Giả sử trong tất cả các nghiệm của hệ hoán vị trên, không có nghiệm nào mà có 2 phần tử bằng nhau. Khi đó, trừ tương ứng vế theo vế các phương trình và nhân lại, được
(x−y) (y−z) (z−x)a3−(b+y+z) (b+z+x) (b+x+y)= 0 (171) do (x−y) (y−z) (z−x)6= 0 nên
a3= (b+y+z) (b+z+x) (b+x+y) (172) Tuy nhiên đến đây, ta lại thu được một phương trình khá rắc rối. Rắc rối ở chỗ nếu quy 3 biến về biến thì phương trình này là một phương trình bậc 8. Khó lòng để giải được. Cho nên, có một ý tưởng ở đây là làm cho phương trình trên vô nghiệm!
Vô nghiệm bằng cách nào? 8 là số chẵn, nên ta sẽ nghĩ tới các thứ liên quan đến từ không âm
hay vô nghiệm như tổng các bình phương, sử dụng các bất đẳng thức,... Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức. Cụ thể:
Trường hợp a >0:dựa vào các phương trình của hệ ban đầu, ta có đánh giá cơ bản
x= 1 a y 2+by+c= 1 a y+ b 2 2 +4c−b 2 4a ≥ 4c−b2 4a (173)
tương tự, thu được
x, y, z≥ 4c−b
2
4a (174)
Tiếp theo, sử dụng phương trình trên. Chúng ta cần các nhân tử ở vế phải là các số dương
b+ 2.4c−b
2
4a >0 (175)
hay 2ab+ 4c > b2. Với điều kiện này, ta có cả 2 vế của phương trình trên đều là các số dương. Tiếp theo, ta cần vế phải lớn hơn hẳn vế trái để phương trình vô nghiệm
V F ≥ 2ab+ 4c−b2 2a 3 > a3=V T (176) tương đương 2ab+ 4c >2a2+b2 (177) Do đó, với các điều kiện vừa thiết lập thì hệ phương trình hoán vị trên giải được.
Trường hợp a <0hoàn toàn tương tự.
? Hãy tìm các ý tưởng khác để hệ trên giải được.