Những sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT -Nội dung: I-Định nghĩa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức: -Định nghĩa 1: Cho biểu thức fx,y,… xác định

NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

-Nội dung:

I-Định nghĩa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

-Định nghĩa 1:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn :

+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) M với M là hằng số

+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = M

-Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D ta nói N là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn :

+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)  với N là hằng số

+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = N

II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ

1) a2

 0 Tổng quát a2k

 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0 2) a2

 0 Tổng quát a2k

 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0 3) {a{  0 Đẳng thức xẩy ra khi a = 0

4) –{a{  a  {a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0

5) {a+b{  {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab  0

6) a2+b2

 2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b 7) ab ab

2 Với a,b  0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b

8) a  b , ab > 0 => a1 b1 Đẳng thức xẩy ra khi a= b

9)   2

a

b

b

a

Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b 10) a b a b





1

Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b 11) (am+bn)2

 (a2+b2)(m2+n2) Đẳng thức xẩy ra khi

n

b m

a

 (BĐT Bu nhi a côp xki)

III-Những sai lầm thương gặp trong giải toán cực trị:

1-sai lầm trong chứng minh ĐK 1:

VD 1 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 61 17







x x

Lời giải sai:

Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất

Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8  8

Min(x2- 6x +17) = 8 <=> x = 3 Vậy MaxP = 

8 1

x = 3

Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá

trị không đổi nên P có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất” mà chư đưa ra nhận xét tử và mẫu đều lànhững biểu thức có gioá trị dương

Ta đưa ra một phản ví dụ:

Xét biểu thức A =

4

1 2



x Với lập luận như trên: A =

4

1 2



x “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất”Nghĩa là A có giá trị lớn nhất

<=> x2 – 4 có giá trị nhỏ nhất Mà x2 – 4 có giá trị nhỏ nhất là -4 <=> x = 0 Nên A có giá trị lớn nhất là  41 <=> x =0 Điều này không đúng Vì  41 Không phải là giá trị lớn nhất của biểu thức A chẳng hạn với x =3 thì A = 51   41

Lời giải đúng: Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8  8 Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trị dương => P > 0 ,do đó P có giá trị lớn nhất <=> P1 Có gia 1trị nhỏ nhất <=> x2- 6x +17 có giá trị nhỏ nhất

VD 2 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x-1)2 + (x-3)2

Lời giải sai:ta có (x-1)2

 0(1) ; (x-3)2

0(2) Nên A có giá trị nhỏ nhất là 0.ta không thể kết luận như vậy vì không thể xẩy ra đẳng thức đồng thời của (1) và (2)

VD 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x y z y x z .Với x,y,z > 0

Lời giải sai:

Giả sử :xy z > 0 => x-z  0 => y(x-z)  z (x-z) => xy-yz+z2

 xz Chia hai vế cho số dương xz: Ta có :

x

z x

y z

x



 1(1) Mặt khác ,ta có   2

x

y y

x

(2).Cộng (1) với (2): y x  z y x z  3.Vậy Min A = 3 <=> x = y = z

Phân tích sai lầm :Khi hoán vị vòng quanh thì A trở thành y x z y x z Tức là biểu thức không đổi Điều đó cho phép tađược giả sử x làsố lớn nhất (hoặc là số nhỏ nhất),nhưng không cho phép giả sử x yz.Thật vậy sau khi chọn x là số lơn nhất (x y,xz) thì vai trò của y và

z lại không bình đẳng :giữ nguyên x thay y bỡi z thay z bỡi y ta được z x y z  x y,không bằng biểu thức A

(Ta đưa ra một ví dụ khác cho phép được giả sử x yz.Chẳng hạn :B = x2+

y2+z2+xy+xz+yz.Sau khi chọn x là số lớn nhất thì vai trò của y và z là bình đẳng :Giữ nguyên x thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta được : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, vẫn bằng B)

Cách giải đúng :

Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z:

A=z x y z  x y  3 3  3

x

z z

y y

x

Do đó min(z x y z  x y) = 3Khi và chỉ khi: y x z y x z,tức là x = y = z

Cách 2:Ta có x z  y z  x y = 































x

y x

z z

y x

y y

x

.Ta đã có :   2

y

x x

y

(Do x,y>0)Nên để chứng minh    3

x

z z

y

y

x

Chỉ cần chứng minh :    1

x

y x

z z

y

(1) (1) <=> xy+z2-yzxz(Nhân hai vế với số dương xz)

<=>xy+z2-yz-xz0

<=>y(x-z)-z(x-z) 0

<=>(x-z)(y-z) 0(2)

(2)đúng với giả thiết rằng zlà số nhỏ nhất trong ba số x,y,z do đó (1) đúng

Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của y x  z y x z

VD 3 :Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2 biết x+y =4

Lời giải sai:Ta có x2+y2

2xy

Do đó A có giá trị nhỏ nhất <=> x2+y2=2xy <=>x=y=2 Khi đó MinA = 22+22= 8

Phân tích sai lầm :Đáp số không sai tuy nhiên lập luận sai lầm Ta mới chứng minh f(x,y) 

g(x,y) Chứ chưa C/m được f(x,y) M Với M là hằng số

Ta đưa ra một ví dụ :Với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng :x2 4x-4 sẽ suy

ra :x2 nhỏ nhất <=> x2 = 4x-4<=> (x-2)2 = 0 <=> x=2 đi đến Min x2 = 4 <=> x=2

Dễ thấy kết quả đúng phải là minx2 = 0 Khi và chỉ khi x = 0

Cách giải đúng :Ta có x+y = 4 => x2+2xy+y2 = 16 (1)

Ta lại có (x-y)2

0 => x2-2xy +y2

0(2) Từ (1) và (2) : 2(x2+y2) 16 => x2+y28

Min A = 8 Khi và chỉ khi x= y= 2

2.Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:

VD1:Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x+ x

Lời giải sai:

A= x+ x = 14 14 212 14  41































x

Vậy MinA =  41

Phân tích sai lầm :

Sau khi chứng minh f(x) 

4

1

 ,chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) =  14 Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi x   21,vô lý

Lời giải đúng :Để tôn tại xphải có x 0

Do đó A= x+ x 0

MinA = 0 Khi và chỉ khi x = 0

VD2:Tìm giá trị lớn nhất của A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z 0 và x+y+z = 1

Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab  (a  b) 2:

4(x+y).z ( ) 2 1







 x y z

4(x+z).y ( ) 2 1







 x y z

4(z+y).x ( ) 2 1







 x y z

Nhân từng vế (do không âm)

64xyz(x+y)(y+z)(z+x) 1

Max A = 641

Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức Điều kiện































































0 , ,

1 0

0 , ,

z y x

z y x

z y x

z y x

y x z

x z y

z y x

Cách giải đúng :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm :

1= x+y+z  3 xyz (1)

2= (x+y)+(y+z)+(z+x)  3 3 (xy)(yz)(zx)(2)

Nhân từng vế (1) với (2) (do hai vế đều không âm ):

9

2















Max A =

3

1 3

2 3



















VD3:Tìm giá trị nhỏ nhất của A= xax xb với x > 0 ,a,b là các hằng số dương cho trước

Lời giải sai:Ta có x+a 2 ax(1)

x+b 2 bx(2)

Do đó :   

x

b x a

x 

ab x

bx

2



Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy ra A = 4 abKhi ở (1) và ở (2)xẩy ra dấu đẳng thức ,tức là x = a và x = b.Như vậy đòi hỏi a= b Nếu a b thì không có được A = 4 ab

Cách giải đúng :Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số :

x

ab x x

ab bx ax x x

b

x

a

x































Ta lại có : ab

x

ab

x  2 (bất đẳng thức côsi)

Nên A  2 abab ( a b) 2

x x

ab x b

















0 2

VD4:Tìm giá trị nhỏ nhất của A= 2x+3y biết 2x2+3y2 5

Lời giải sai:Gọi B= 2x2+3y2 ta có B5

Xét A+B = 2x+3y +2x2+3y2

= 2(x2+x)+3(y2+y)

=2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4

4

5



Ta lại có B5 nên -B -5

Cộng (1)với (2):A

4

25



2

1 4

25









Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ với x= y= - 21 ,chỉ có xảy ra dâu “=” ở (1),còn dấu “=” ở (2) không xảy ra Thật vậy với x = y =

-2

1

thì :

4

3 2

1 2

1 3 2



































Cách giải đúng:

Ta xét biểu thức phụ:A2 = (2x+3y)2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Ta có : A2 = (2x+3y)2 =          











 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

.

=(2+3)(2x2+3y2) 5  5 25

A2 = 25 <=>x y  xy

3

3 2

2

.Do A2  25 nên -5 A5 Min A = -5























5 3

y x

Max A = 5



















5 3

y x