Những sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

www.VIETMATHS.com NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT -Nội dung: I-Đònh nghóa giá trò lớn giá trò nhỏ biểu thức: -Đònh nghóa 1: Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh miền D ta nói M giá trò lớn f(x,y,…) D hai ĐK thoã mãn : +Với x,y,…thu6ọc D f(x,y,…) ≤ M với M số +Tồn x0,y0,…thuộc D cho f(x0,y0,…) = M -Đònh nghóa 2: Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh miền D ta nói N giá trò lớn f(x,y,…) D hai ĐK thoã mãn : +Với x,y,…thu6ọc D f(x,y,…) ≥ với N số +Tồn x0,y0,…thuộc D cho f(x0,y0,…) = N II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ 1) a2 ≥ Tổng quát a2k ≥ (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy a = 2) a2 ≤ Tổng quát a2k ≤ (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy a = 3) {a{ ≥ Đẳng thức xẩy a = 4) –{a{ ≤ a ≤ {a{ Đẳng thức xẩy a = 5) {a+b{ ≤ {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ab ≥ 6) a2+b2 ≥ 2ab Đẳng thức xẩy a = b a+b ≥ ab Với a,b ≥ 0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy a= b 7) 1 8) a ≥ b , ab > => ≤ Đẳng thức xẩy a= b a b a b + ≥ Với ab >0 Đẳng thức xẩy a= b 9) b a 1 10) + ≥ Với ab >0 Đẳng thức xẩy a= b a b a+b a b = (BĐT Bu nhi a côp xki) 11) (am+bn)2 ≤ (a2+b2)(m2+n2) Đẳng thức xẩy m n III-Những sai lầm thương gặp giải toán cực trò: 1-sai lầm chứng minh ĐK 1: VD1:Tìm giá trò lớn biểu thức P = x − x + 17 Lời giải sai: Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên P có giá trò lớn mẫu có giá trò nhỏ Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 ≥ Min(x2- 6x +17) = x = Vậy MaxP = ⇔ x = www.VIETMATHS.com Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên P có giá trò lớn mẫu có giá trò nhỏ nhất” mà chư đưa nhận xét tử mẫu lànhững biểu thức có gioá trò dương Ta đưa phản ví dụ: 1 Xét biểu thức A = Với lập luận trên: A = “Phân thức tử thức có giá trò x −4 x −4 không đổi nên A có giá trò lớn mẫu có giá trò nhỏ nhất”Nghóa A có giá trò lớn x2 – có giá trò nhỏ Mà x – có giá trò nhỏ -4 x = Nên A có giá trò 1 lớn − x =0 Điều không Vì − Không phải giá trò lớn 4 1 biểu thức A chẳng hạn với x =3 A = > − 2 ≥ Lời giải đúng: Ta có :x - 6x +17 = (x-3) +8 Tử mẫu P biểu thức có giá trò dương => P > ,do P có giá trò lớn Có gia 1trò nhỏ x 2- 6x +17 có giá P trò nhỏ VD2: Tìm giá trò nhỏ A = (x-1)2 + (x-3)2 Lời giải sai:ta có (x-1)2 ≥ 0(1) ; (x-3)2 ≥ 0(2) Nên A có giá trò nhỏ 0.ta kết luận xẩy đẳng thức đồng thời (1) (2) x y z VD3: Tìm giá trò nhỏ A= + + Với x,y,z > y z x Lời giải sai: Giả sử :x ≥ y ≥ z > => x-z ≥ => y(x-z) ≥ z (x-z) => xy-yz+z2 ≥ xz x y x y z Chia hai vế cho số dương xz: Ta có : − + ≥ 1(1) Mặt khác ,ta có + ≥ (2).Cộng (1) y x z x x x y z với (2): + + ≥ 3.Vậy Min A = x = y = z y z x x y z Phân tích sai lầm :Khi hoán vò vòng quanh A trở thành + + Tức biểu thức không y z x đổi Điều cho phép tược giả sử x làsố lớn (hoặc số nhỏ nhất),nhưng không cho phép giả sử x ≥ y ≥ z.Thật sau chọn x số lơn (x ≥ y,x ≥ z) vai trò y z x z y lại không bình đẳng :giữ nguyên x thay y bỡi z thay z bỡi y ta + + ,không z y x biểu thức A (Ta đưa ví dụ khác cho phép giả sử x ≥ y ≥ z.Chẳng hạn :B = x2+ y2+z2+xy+xz+yz.Sau chọn x số lớn vai trò y z bình đẳng :Giữ nguyên x thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, B) Cách giải : Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z: x z y x y z ≥ 33 = A= + + z y x y z x www.VIETMATHS.com x z y x y z Do min( + + ) = 3Khi khi: = = ,tức x = y = z z y x y z x x z y y x  x y  y z y + + =  +  +  + −  Ta có : + ≥ (Do x,y>0)Nên để Cách 2:Ta có z y x x y  y x  z x x x y z y z y chứng minh + + ≥ Chỉ cần chứng minh : + − ≥ (1) y z x z x x (1) xy+z -yz ≥ xz(Nhân hai vế với số dương xz) xy+z2-yz-xz ≥ y(x-z)-z(x-z) ≥ (x-z)(y-z) ≥ 0(2) (2)đúng với giả thiết zlà số nhỏ ba số x,y,z (1) x y z Từ tìm giá trò nhỏ + + y z x 2 VD3:Tìm giá trò nhỏ A = x +y biết x+y =4 Lời giải sai:Ta có x2+y2 ≥ 2xy Do A có giá trò nhỏ x2+y2=2xy x=y=2 Khi MinA = 22+22= Phân tích sai lầm :Đáp số không sai nhiên lập luận sai lầm Ta chứng minh f(x,y) ≥ g(x,y) Chứ chưa C/m f(x,y) ≥ M Với M số Ta đưa ví dụ :Với lập luận từ bất đẳng thức :x ≥ 4x-4 suy :x2 nhỏ x2 = 4x-4 (x-2)2 = x=2 đến Min x2 = x=2 Dễ thấy kết phải minx2 = Khi x = Cách giải :Ta có x+y = => x2+2xy+y2 = 16 (1) Ta lại có (x-y)2 ≥ => x2-2xy +y2 ≥ 0(2) Từ (1) (2) : 2(x2+y2) ≥ 16 => x2+y2 ≥ Min A = Khi x= y= 2.Sai lầm chứng minh điều kiện 2: VD1:Tìm giá trò nhỏ A= x+ x Lời giải sai: 1  1 1  x + x + − = x + A= x+ x =     − ≥− 4  2 4  Vậy MinA = − Phân tích sai lầm : 1 Sau chứng minh f(x) ≥ − ,chưa trường hợp xảy f(x) = − Xảy dấu 4 x = − ,vô lý Lời giải :Để tôn x phải có x ≥ Do A= x+ x ≥ MinA = Khi x = VD2:Tìm giá trò lớn A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z ≥ x+y+z = Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab ≤ (a + b) : www.VIETMATHS.com 4(x+y).z ≤ ( x + y + z ) = 4(x+z).y ≤ ( x + y + z ) = 4(z+y).x ≤ ( x + y + z ) = Nhân vế (do không âm) 64xyz(x+y)(y+z)(z+x) ≤ 1 Max A = 64 Phân tích sai lầm :Sai lầm chỗ chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Điều kiện  x+ y = z  y+z = x x = y = z =   để A =  z + x = y ⇔  x + y + z = Mâu thuẫn 64 x + y + z =  x, y , z ≥    x, y, z ≥ Cách giải :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm : 1= x+y+z ≥ xyz (1) 2= (x+y)+(y+z)+(z+x) ≥ 33 ( x + y )( y + z )( z + x) (2) Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm ):  2 2≥ A ⇒ A ≤   9 3 2 Max A =   ⇔ x = y = z = 3 VD3:Tìm giá trò nhỏ A= ( x + a )( x + b ) x với x > ,a,b số dương cho trước Lời giải sai:Ta có x+a ≥ ax (1) x+b ≥ bx (2) ( x + a )( x + b ) ax bx Do : ≥ = ab MinA = ab ⇔ x = a = b x x Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy A = ab Khi (1) (2)xẩy dấu đẳng thức ,tức x = a x = b.Như đòi hỏi a= b Nếu a ≠ b A = ab Cách giải :Ta thực phép nhân tách số : ( x + a )( x + b ) = x + ax + bx + ab =  x + ab  + ( a + b )   A= x x x   ab ≥ ab (bất đẳng thức côsi) Ta lại có : x + x Nên A ≥ ab + a + b = ( a + b ) ab  x = Min A = a + b ⇔  x ⇔ x = ab  x > VD4:Tìm giá trò nhỏ A= 2x+3y biết 2x2+3y2 ≤ Lời giải sai:Gọi B= 2x2+3y2 ta có B ≤ ( ) 2 www.VIETMATHS.com Xét A+B = 2x+3y +2x +3y = 2(x2+x)+3(y2+y) =2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4 ≥ − (1) Ta lại có B ≤ nên -B ≥ -5 25 25 ⇔x= y=− Cộng (1)với (2):A ≥ − minA = − 4 Phân tích sai lầm :Sai lầm chỗ với x= y= - ,chỉ có xảy dâu “=” (1),còn dấu “=” (2) không xảy Thật với x = y = - : 2  1  1 B=  −  + 3 −  = + ≠ Do –B ≠ −5  2  2 Cách giải đúng: Ta xét biểu thức phụ:A2 = (2x+3y)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki 2 2 Ta có : A2 = (2x+3y)2 = x + 3 y ≤  +   x + y     2 =(2+3)(2x +3y ) ≤ 5.5 = 25 ( A2 = 25 x = y ) ( ) ( ) ( ⇔ x = y Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ x=y  ⇔ x = y = −1 Min A = -5 ⇔  2 x + y = −5  x= y ⇔ x = y =1 Max A = ⇔  2 x + y = 5 ) ( ) ... tử thức có giá trò x −4 x −4 không đổi nên A có giá trò lớn mẫu có giá trò nhỏ nhất Nghóa A có giá trò lớn x2 – có giá trò nhỏ Mà x – có giá trò nhỏ -4 x = Nên A có giá trò 1 lớn − ... thiết zlà số nhỏ ba số x,y,z (1) x y z Từ tìm giá trò nhỏ + + y z x 2 VD3 :Tìm giá trò nhỏ A = x +y biết x+y =4 Lời giải sai: Ta có x2+y2 ≥ 2xy Do A có giá trò nhỏ x2+y2=2xy x=y=2 Khi MinA... có giá P trò nhỏ VD2: Tìm giá trò nhỏ A = (x-1)2 + (x-3)2 Lời giải sai: ta có (x-1)2 ≥ 0(1) ; (x-3)2 ≥ 0(2) Nên A có giá trò nhỏ 0.ta kết luận xẩy đẳng thức đồng thời (1) (2) x y z VD3: Tìm giá