Hệ phương trình bậc nhất (Phần 2)

HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT -phần Biên soạn: Đặng Thị Phượng Phạm Thị Thêu III ỨNG DỤNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG Cách giải: Cho hai đường thẳng  d1   d  có phương trình tổng quát là:  d1  : A1 x  B1 y  C1   d2  : A2 x  B2 y  C2  Bước 1: Thiết lập hệ phương trình tạo  d1   d  là:  A1 x  B1 y  C1   A x  B1 y  C1    A2 x  B2 y  C2   A2 x  B2 y  C2 Bước 2: Biện luận hệ phương trình để xác định vị trí tương đối  d1   d  + Nếu hệ phương trình vô nghiệm d1 / / d2  Dx Dx   ;   D D  + Nếu hệ có nghiệm d1  d  M   + Nếu hệ vô nghiệm d1  d2 Ví dụ: Cho hai đường thẳng  d1   d  có phương trình:  d1  : kx  y  k   d2  : (1  k ) x  2ky  (1  k )  a) Chứng minh k thay đổi đường thẳng d1 qua điểm cố định b) Với giá trị k xác định giao điểm  d1   d  c) Tìm quỹ tích giao điểm k thay đổi Giải: Gọi M  x; y  điểm cố định mà đường thẳng d1 qua với k  kx  y  k  với k  x  1  ( x  1)k  y  0k    y0 Vậy với k đường thẳng d1 qua điểm cố định M  1;0  kx  y  k  b) Xét hệ phương trình  2 (1  k ) x  2ky  (1  k )  Ta có: D   k ; Dx   k ; Dy  2k ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng!   k 2k  ; 2   1 k 1 k  Vì D   k  0k nên  d1   d  cắt M  x; y   M   1 k 2 2 x     k   2k  1  k   k 2 c)Từ hệ phương trình ta có   x  y    1 2     k    k  1  k   y  2k  1 k Vậy quỹ tích giao điểm đường thẳng  d1   d  đường tròn x2  y  Bài tập vận dụng Bài Cho a2  b2  hai đường thẳng  d1   d  có phương trình: (d1 ) : ax  by  a  b  d2  : bx  ay  a  b a) Xác định giao điểm  d1   d  b) Tìm quỹ tích tọa độ giao điểm d thay đổi Bài 2: Cho Cho a2  b2  hai đường thẳng  d1   d  có phương trình: (d1 ) : (a-b)x  y   d2  :  a  b2  x  ay  b a) Xác định giao điểm  d1   d  b) Tìm điều kiện a b để giao điểm thuộc trục hoành V HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN a1 x  b1 y  c1 z  d1 Dạng tổng quát: a2 x  b2 y  c2 z  d hệ số ba ẩn x, y, z phương trình a x  b y  c z  d 3  hệ không đồng thời Phƣơng pháp Nguyên tắc chung: Khử bớt ẩn để quy giải phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số hay phương pháp giống hệ phương trình hai ẩn  x  y  z  1  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x  y  3z  1   2 x  y  3z  1 3 Giải Từ 1 ta có: z   x  y  4 Thay z   vào    3 ta được: x  y  3  x  y    2x  y  x  y    x  y   1  x  y  ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! 2 x  y    Ta thu hệ phương trình bậc hai ẩn quen thuộc:   x  y    4 x  y  10 Nhân vế   với giữ nguyên   ta được:  x  y  Trừ vế với vế phương trình ta được: 3x   x  Thay vào     tính y  ; z  2 Vậy nghiệm hệ phương trình là: 1;3; 2   x  y  2z   Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2 x  y  z  2 4 x  y  z  4   Giải Cách 1: Nhân hai vế phương trình thứ với -2 cộng vào phương trình thứ theo vế tương ứng, nhân vế phương trình thứ với 4, cộng vào phương trình thứ  x  y  z    theo vế tương ứng, ta hệ phương trình ( khử x pt cuối)  y  z  3  y  z  2   Tiếp tục cộng vế tương ứng phương trình thứ pt thứ hệ nhận được, ta  x  y  2z   hệ phương trình dạng tam giác  y  z  3 10 z  5   Ta dễ dàng giải z   ; y  ; x   2 1 Vậy nghiệm hệ pt là: ( x; y; z )  ( ; ; ) 2 Cách 2: Rút nghiệm từ pt vào pt lại , ta hệ pt bậc ẩn dễ dàng giải Bài tập tự luyện: Giải hệ phương trình sau: 2 x  y  z  13  4 x  y  3z   x  y  z  1  x  y  z   2 x  y  z  x  z   x  y  z   2 y  3z  3 z    x  y  z  110  2 x  y  15 z  100 11x  y  3z  10  ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! x  3y  2z  4 y  3z  / 2 z    x  y  z  1/ 2 x  y  z  2 4 x  y  z  4  2 x  y  3z  3x  y  z  5 x  y    x  y  16  y  z  28  z  x  22  ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! ... nghiệm hệ phương trình là: 1;3; 2   x  y  2z   Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2 x  y  z  2 4 x  y  z  4   Giải Cách 1: Nhân hai vế phương trình thứ với -2 cộng vào phương trình. ..  b2 y  c2 z  d hệ số ba ẩn x, y, z phương trình a x  b y  c z  d 3  hệ không đồng thời Phƣơng pháp Nguyên tắc chung: Khử bớt ẩn để quy giải phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để... vế phương trình thứ với 4, cộng vào phương trình thứ  x  y  z    theo vế tương ứng, ta hệ phương trình ( khử x pt cuối)  y  z  3  y  z  2   Tiếp tục cộng vế tương ứng phương trình