Hệ phương trình đối xứng loại 2 (Phần 2)

- Nếu h x y , không là hàm bậc nhất, ta sẽ cộng hai phương trình theo vế và thu được hệ phương trình đối xứng loại I..  Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình - Thực hiện hai bư

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

-Phần 2 -

Biên soạn: Kiều Thị Thùy Linh

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình có dạng  

 

.

f x y

g x y









đổi vai trò của x y, cho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của

hệ, tức là f y x , g x y , và g y x ,  f x y ,

2 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại II không chứa tham số

Để giải hệ phương trình đối xứng loại II  

 

f x y

g x y









 ta thực hiện các bước như sau:

 Ta trừ vế với vế của hai phương trình, do tính chất đối xứng nên ta được về

phương trình hệ quả dạng tích số

 

x y

h x y







 Kết hợp với một phương trình của hệ ta có tuyển tương đương

 

0

x y

f x y

 



 

 

h x y

f x y









- Nếu h x y , là hàm bậc nhất, ta sử dụng phương pháp thế để giải hệ

- Nếu h x y , không là hàm bậc nhất, ta sẽ cộng hai phương trình theo vế và thu được hệ phương trình đối xứng loại I

3 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại II có chứa tham số

Hệ phương trình đối xứng loại II có chứa tham số có dạng  

f x y m

g x y m











 Bài toán tìm điều kiện có nghiệm của hệ

- Đặt điều kiện của bài toán (nếu có)

- Trừ từng vế, cộng từng vế hai phương trình của hệ để ta có hai tuyển tương đương

0

x y

f x y m

 



 

h x y

f x y m g x y m







- Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi một trong hai hệ trên có nghiệm Từ đó, ta đi tìm điều kiện có nghiệm của hai hệ trên

 Bài toán tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất

- Điều kiện cần: Thay x y x0 vào hệ ta được giá trị tham số m Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

- Điều kiện đủ: Với giá trị mm0, từ điều kiện cần, ta thay vào hệ phương trình Giải hệ ta có điều kiện đủ

 Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình

- Thực hiện hai bước đầu như bài toán tìm điều kiện có nghiệm

- Giải và biện luận nghiệm của hệ đối với từng hệ trong tuyển

- Kết hợp các kết quả và kết luận

Chú ý

 Hệ phương trình đối xứng loại II luôn có nghiệmx x0 , 0

 Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng loại hai: phương pháp đặt ẩn phụ, đánh giá, sử dụng tính đơn điệu của hàm số

4 Một số ứng dụng của hệ phương trình đối xứng loại II

Bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể đưa một số phương trình chứa căn thức hoặc một số

phương trình bậc cao về hệ phương trình đối xứng để giải quyết nhanh chóng Cụ thể, ta xét một số dạng phương trình tổng quát, tương ứng với cách đặt ẩn phụ như sau:

x  b a ax b

u ax b u ax b u  b ax Khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình đối xứng loại II theo 2 biến x u, như sau:

.

n n

x b au

u b ax

  





 

ax b c dx e  với dac e, bc a

du e  ax b  du e ax b c du e dx e  Khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình đối xứng loại II theo

2 biến x u, như sau:  

n n

du e c dx e

dx e c du e









 Dạng x a a x.

- Đặt ẩn phụ u a x u,  0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ

phương trình đối xứng loại II theo 2 biến x u, như sau:

.

  





 

 Dạng  22

.

a b a bx  x

u a bx Khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình đối xứng loại II theo 2 biến x u, như sau:

2

a bu x





Chú ý: Khi giải các dạng phương trình trên ta cần:

- Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)

- Giải mỗi hệ phương trình đối xứng loại II trên để tìm ra nghiệm x, so sánh với điều kiện (nếu có) rồi kết luận

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

3 3

2







Lời giải

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được

0

1 0.

x y

x xy y

 





Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:

 Ia 3

2

x y







 hoặc  

3 3

1 0

Ib

3

x xy y







0 Ia

x y

x x



 

2

2

Ib





x y S

xy P

 





 



1.

P

Hay

1 1 0

1.

x y

x y

y

  



  

 



 





 



 Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là

 0;0 , 3; 3 ,  3;  3 ,  1;1 , 1; 1    

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  

 







Lời giải

Điều kiện

3

4 2

3

4.

2

x y

  





  



Lấy vế trừ vế hai phương trình của hệ ta được:

0

0

.

x y

x y

 

Thay x yvào  1 , ta được:

2

2

2 2 5 12 9

3

.

9

x x

x





 

 

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là   11 11

3;3 , ;

9 9

Ví dụ 3 Cho hệ phương trình

2 2

.

   





  



Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Lời giải

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được

0

.

x y







 I 2  

x y





   

0 2

 



  



Khi đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ  I hoặc hệ  II có nghiệm

 Hệ  I có nghiệm phương trình  1 có nghiêm         1 0 1 m 0 m 1.

 Hệ  II có nghiệm phương trình  2 có nghiêm         2 0 m 0 m 0.

Vậy với m 0 thì phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 4 Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất?

4







Lời giải

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được

x y







Trường hợp 1 Thay x y vào phương trình  1 của hệ ta được :

2

0

x







Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì  

0

0.

f

   





 





 

a

 

4

Trường hợp 2 Xét phương trình

x xyy  3 xy   a 0 y  x 3 y x  3xa  0.

Ta có  2  2    2 

4

a

x xyy  xy  a với mọi 25.

4

a

Vậy với 25

4

a hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y 0.

Ví dụ 5 Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình    







Lời giải

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được

4

x y

xy







  



Trường hợp 1 Với x y. Thế vào phương trình đầu

x m







 Với xm thì phương trình có nghiệm là x y m.

4x  4mx 4m   3 0, ta có   ' 12 12  m2

- Nếu '

    thì phương trình vô nghiệm

- Nếu '

      phương trình có nghiệm kép

+) m 1, nghiệm kép của phương trình là 1 1.

x   x y

+) m  1, nghiệm kép của phương trình là 1 1.

x     x y

- Nếu '

    phương trình có hai nghiệm là

.

Trường hợp 2 Với 3.

4

xy  Thế vào phương trình đầu ta được

2

3

4 1

3

 

 

Ta có hệ phương trình 1  2

3 4 3

3 4

xy





  



Khi đó x y, là nghiệm của phương trình 2 1  2 3

t  m  m t 

Ta có 2 22

1,2

1

6

Từ đó, ta có nghiệm của hệ là t t1 ; 2 , t t2 ; 1.

Kết luận

- Với m 1, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm là

- Với m  1, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm là

- Với m  1, hệ phương trình có ba cặp nghiệm là

m m;  , t t1 ; 2 , t t2 ; 1.

- Với m  1, hệ phương trình có năm cặp nghiệm là

m m;      , x y; , y x; , t t1 ; 2 , t t2 ; 1.

Ví dụ 6 Giải phương trình sau 3 3

x   x

Lời giải

Đặt 3 3 3

u x u  x u   x

Khi đó, ta có hệ phương trình

3 3

1 2

1 2

  





 



Trừ vế với vế của hai phương trình của hệ ta được

x u  u x x u x ux u    x u

Thế ux vào phương trình 3

1 2

x   u ta có

1

2

x

x







 



Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: 1; 1 5.

2

 

Ví dụ 7 Giải phương trình sau 3  3

x  x 

Lời giải

u  x  u   x u  x    x u 

Khi đó, ta có hệ phương trình  

3

3







Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được

.

x u

  Thế ux vào phương trình  3

x  u  ta được

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x 1.

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Giải hệ phương trình

2 2

2 2





Đáp số:     x y;  0;0 ,   3; 3 

Bài 2 Tìm nghiệm của hệ phương trình

3 2

3

x y

x

y x

y

  





  



Đáp số:     x y;  1;1 ,   1; 1 ,  3;  3 ,  3; 3 

Bài 3 Giải hệ phương trình

3 2

3 2

1 1.

y x





Đáp số:      x y;  0;1 , 1;0 và 1 3 25 3 69 3 25 3 69

1

x y

Bài 4 Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất?

2 2

2 2

2





 Đáp số: m2.





 Đáp số: m4.

3 2 3 2

a

x y

x a

y x

y









Chứng minh rằng với a 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Xét trường hợp

đối với a 0? Đáp số: Hệ phương trình vẫn có nghiệm duy nhất nếu a 0

2 2

1 1.

x my

y mx







Đáp số:

- Nếu m  2, phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 1 ; x x2 , 2 với

2 1,2

4 2



- Nếu m  2, phương trình vô nghiệm







có một nghiệm duy nhất?

Đáp số: a 3.

Bài 8 Bằng cách đặt ẩn phụ hãy giải các phương trình sau:

a 7  7  x x. Đáp số: 1 29.

2



1 2 1 2   x x. Đáp số: 1, 1 5.

4

  

x  x x Đáp số: x  2 2.