Hệ phương trình đối xứng loại 2 (Phần 2)

HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II -Phần Biên soạn: Kiều Thị Thùy Linh I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa  f  x, y   Hệ phương trình đối xứng loại II hệ phương trình có dạng  Khi ta thay  g  x, y   đổi vai trò x, y cho phương trình chuyển thành phương trình hệ, tức f  y, x   g  x, y  g  y, x   f  x, y  Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đối xứng loại II không chứa tham số  f  x, y   Để giải hệ phương trình đối xứng loại II  ta thực bước sau:  g  x, y    Ta trừ vế với vế hai phương trình, tính chất đối xứng nên ta phương trình hệ dạng tích số f  x, y   g  x, y     x  y  h  x , y   x  y   h  x, y    Kết hợp với phương trình hệ ta có tuyển tương đương  h  x, y    x  y     f  x, y    f  x, y   - Nếu h  x, y  hàm bậc nhất, ta sử dụng phương pháp để giải hệ - Nếu h  x, y  không hàm bậc nhất, ta cộng hai phương trình theo vế thu hệ phương trình đối xứng loại I Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đối xứng loại II có chứa tham số  f  x, y , m   Hệ phương trình đối xứng loại II có chứa tham số có dạng   g  x, y, m    Bài toán tìm điều kiện có nghiệm hệ - Đặt điều kiện toán (nếu có) - Trừ vế, cộng vế hai phương trình hệ để ta có hai tuyển tương đương   x  y   h  x, y      f  x, y, m    f  x, y, m   g  x, y, m    - Hệ phương trình cho có nghiệm hai hệ có nghiệm Từ đó, ta tìm điều kiện có nghiệm hai hệ ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng!  Bài toán tìm điều kiện để hệ có nghiệm - Điều kiện cần: Thay x  y  x0 vào hệ ta giá trị tham số m Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm - Điều kiện đủ: Với giá trị m  m0 , từ điều kiện cần, ta thay vào hệ phương trình Giải hệ ta có điều kiện đủ  Giải biện luận nghiệm hệ phương trình - Thực hai bước đầu toán tìm điều kiện có nghiệm - Giải biện luận nghiệm hệ hệ tuyển - Kết hợp kết kết luận Chú ý  Hệ phương trình đối xứng loại II có nghiệm  x0 , x0   Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng loại hai: phương pháp đặt ẩn phụ, đánh giá, sử dụng tính đơn điệu hàm số Một số ứng dụng hệ phƣơng trình đối xứng loại II Bằng cách đặt ẩn phụ ta đưa số phương trình chứa thức số phương trình bậc cao hệ phương trình đối xứng để giải nhanh chóng Cụ thể, ta xét số dạng phương trình tổng quát, tương ứng với cách đặt ẩn phụ sau:  Dạng xn  b  a n ax  b - Đặt ẩn phụ u  n ax  b  u n  ax  b  u n  b  ax Khi phương trình cho tương đương với hệ phương trình đối xứng loại II theo biến x, u sau:  x n  b  au  n u  b  ax  Dạng n ax  b  c  dx  e    với d  ac, e  bc  a n - Đặt ẩn phụ du  e  n ax  b   du  e   ax  b  c  du  e   dx  e   Khi n n phương trình cho tương đương với hệ phương trình đối xứng loại II theo du  e  c  dx  e  n   biến x, u sau:  n dx  e  c  du  e     Dạng x  a  a  x - Đặt ẩn phụ u  a  x , u  Khi phương trình cho tương đương với hệ  x  a  u phương trình đối xứng loại II theo biến x, u sau:  u  a  x  Dạng a  b  a  bx   x - Đặt ẩn phụ u  a  bx2 Khi phương trình cho tương đương với hệ a  bu  x a  bx  u phương trình đối xứng loại II theo biến x, u sau:  ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Chú ý: Khi giải dạng phương trình ta cần: - Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có) - Giải hệ phương trình đối xứng loại II để tìm nghiệm x , so sánh với điều kiện (nếu có) kết luận II MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Giải hệ phương trình  x3  x  y   y  y  x Lời giải Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta x3  y  x  y  y  x   x  y   x  xy  y  1  x  y   2  x  xy  y   Khi đó, hệ phương trình cho tương đương với: x  y  Ia   x  2x  y 2   x  xy  y   Ib    3  x  y  3 x  y   x  y  x  y      x  3x   x  y    x  x  3  x  y Hệ  Ia     x  y 2  xy   Hệ  Ib     x  y   x  y   3xy    x  y    x  y  S  xy  P Đặt  Từ ta có S  4P   S  P  S  P  S  S  P            2  P  S  2 P     S  S  3P   3S    S  S  3P  3   x   x  y   y  1  Hay    x  1  xy     y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  0;0 ,    3; ,  3;  ,  1;1 , 1; 1 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Ví dụ Giải hệ phương trình   2x    y     2y   4 x  1  2 Lời giải    x  Điều kiện    y   Lấy vế trừ vế hai phương trình hệ ta được:     2x   y    4 y  4 x   x  3   y  3    y     x   2x   y  4 y  4 x     x  y     2x   y   y   x    x  y Thay x  y vào 1 , ta được: 2x    x   x    x  3  x   16  2 x  x  12   x x  9  x     x  11 x  38 x  33    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  3;3 ,  11 11  ;  9 9 Ví dụ Cho hệ phương trình  x  y  y  m   y  x  x  m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Lời giải Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta x  y x  y   x2  y    x  y   x2  y     x   y Khi đó, hệ phương trình cho tương đương với ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng!  I  x  y    x  x  m  1  x   y   x  m   II   2 Khi hệ phương trình cho có nghiệm hệ  I  hệ  II  có nghiệm  Hệ  I  có nghiệm  phương trình 1 có nghiêm  1    m   m   Hệ  II  có nghiệm  phương trình   có nghiêm   2   m   m  Vậy với m  phương trình cho có nghiệm Ví dụ Tìm giá trị a để hệ phương trình sau có nghiệm nhất?  y  x3  x  xa     x  y  y  ya Lời giải Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta  x  y   x  xy  y   x  y   a  x  y   x  y  2  x  xy  y   x  y   a  Trƣờng hợp Thay x  y vào phương trình 1 hệ ta : x  x3  x  ax  x x  5x  a     x  x  a    Để hệ phương trình cho có nghiệm    25  4a     f     a         f         Phương trình vô nghiệm     25  4a   a  25 Trƣờng hợp Xét phương trình   x  xy  y   x  y   a   y   x  3 y  x  3x  a  ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Ta có    x  3   x2  3x  a   3  x  1  12  4a   0, với a  2 Hay x2  xy  y   x  y   a  0, với a  Vậy với a  25 25 25 hệ phương trình cho có nghiệm x  y           x  y  m  4m Ví dụ Giải biện luận nghiệm hệ phương trình  2   y  x  m  4m Lời giải Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta  x 3 4y   y 3  4x  x  y   x  y   xy      xy    Trƣờng hợp Với x  y Thế vào phương trình đầu   x  x3  3m  4m3   x  m  4 x  4mx  4m   x  m  2  x  4mx  4m    Với x  m phương trình có nghiệm x  y  m  Với x2  4mx  4m2   0, ta có '  12  12m2 - Nếu '   m  phương trình vô nghiệm - Nếu '   m  1,  phương trình có nghiệm kép 2 +) m  1, nghiệm kép phương trình x   x  y  2 +) m  1, nghiệm kép phương trình x    x  y   - Nếu '   m  1, phương trình có hai nghiệm x1,2   m   m2  x y  m   m 2  ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Trƣờng hợp Với xy   Thế vào phương trình đầu ta  3 3x  xy  m   4m2   3x     y  m   4m   4  x  y  m   4m    x  y  m   4m  Ta có hệ phương trình   xy    Khi x, y nghiệm phương trình t  m   4m2  t   Ta có    m2  4m2   27  0, m Suy ra, phương trình có hai nghiệm t1,2  m   4m2   m2   4m2   27  6  Từ đó, ta có nghiệm hệ  t1; t2  ,  t2 ; t1  Kết luận - Với m  1, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm  1;1 ,         1 1 1  1  ;  ,  1  26 ; 1  26  ,  1  26 ; 1  26  6 2 2 6  6  - Với m  1, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm  1; 1 ,           1 1 1  1  ;   ,   26 ;  26  ,   26 ;  26  6  2 6  6  - Với m  1, hệ phương trình có ba cặp nghiệm  m; m ,  t1; t2  ,  t2 ; t1  - Với m  1, hệ phương trình có năm cặp nghiệm  m; m ,  x; y  ,  y; x  ,  t1; t2  , t2 ; t1  Ví dụ Giải phương trình sau x3   x  Lời giải ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Đặt u  x 1  u3  x   u3   x  x   2u  u   x Khi đó, ta có hệ phương trình Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta x3  u  2u  x   x  u   x  ux  u     x  u Thế u  x vào phương trình x3   2u ta có x  x   x   x  1 x  x      x  1    Vậy phương trình cho có nghiệm là: 1; Ví dụ Giải phương trình sau  1  x    x  3  Lời giải Đặt u   x    u  3  x    u  3   x  3   x    u  3  3  x    u  33  Khi đó, ta có hệ phương trình  u    x  3  Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta x  u   u  3   x  3 3   x  u  1   u  3   u  3 x  3   x  3      x  u Thế u  x vào phương trình x    u  3  ta x    x  3   x3  x  26 x  18      x  1 x  x  18   x  Vậy phương trình cho có nghiệm là: x  III BÀI TẬP TỰ LUYỆN ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Bài Giải hệ phương trình 2  x  y  2x  y  2   y  x  y  x Đáp số:  x; y    0;0 ,  3; 3 Bài Tìm nghiệm hệ phương trình  2 x  y   2 y  x   x y Đáp số:  x; y   1;1,  1; 1 ,  3;  ,   3;   x3  y  Bài Giải hệ phương trình   y  x    25 69 25 69 Đáp số:  x; y    0;1, 1;0  x  y       1 3  2 2   Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất? a  x    y  m  2  x   y    m Đáp số: m  b   1 x   y  m     y   x  m Đáp số: m   a3 x  y  0  x2  Bài Cho hệ phương trình có chứa tham số a  sau:  7 y  x  a   y2 Chứng minh với a  hệ phương trình có nghiệm nhất? Xét trường hợp a  ? Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm a   x  my   y  mx  Bài Giải biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình  Đáp số: ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Nếu m  2, phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1 , x1  ;  x2 , x2  với - x1,2  m  m2  - Nếu m  2, phương trình vô nghiệm   x  11  y    10  3a Bài Tìm a để hệ phương trình  có nghiệm    y  11  x    10  3a nhất? Đáp số: a  Bài Bằng cách đặt ẩn phụ giải phương trình sau:  29 a   x  x Đáp số: x  b  1  x   x Đáp số: x  1, x  c x2  x  2 x 1 Đáp số: x   2 1 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! ... phƣơng trình đối xứng loại II Bằng cách đặt ẩn phụ ta đưa số phương trình chứa thức số phương trình bậc cao hệ phương trình đối xứng để giải nhanh chóng Cụ thể, ta xét số dạng phương trình tổng...  m   4m2  t   Ta có    m2  4m2   27  0, m Suy ra, phương trình có hai nghiệm t1 ,2  m   4m2   m2   4m2   27  6  Từ đó, ta có nghiệm hệ  t1; t2  ,  t2 ; t1  Kết...  1  ;   ,   26 ;  26  ,   26 ;  26  6  2 6  6  - Với m  1, hệ phương trình có ba cặp nghiệm  m; m ,  t1; t2  ,  t2 ; t1  - Với m  1, hệ phương trình có năm cặp nghiệm