86 Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Dạng: f(x,y) 0 f(y,x) 0 = ⎧ ⎨ = ⎩ 2. Cách giải: Ta thường biến đổi về hệ tương đương: f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) 0 f(x,y) f(y,x) 0 −= −= ⎧⎧ ∨ ⎨⎨ =+= ⎩⎩ II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Hãy xác đònh a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất: 23 2 23 2 yx4xax (1) xy4yay (2) ⎧ =− + ⎪ ⎨ =− + ⎪ ⎩ (ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1996) (1) - (2): 22 (x y) x y xy 4(x y) a y x 0 ⎡⎤ −++−++++= ⎣⎦ 22 yxx y xy3(xy)a0⇔=∨ + + − + += * 32 2 xy:(1) x 5x ax0 x(x 5xa)0=⇔−+=⇔−+= 2 x0f(x)x 5xa0 (1)⇔=∨ = − += Để chỉ có một nghiệm duy nhất, (1) phải có: 0 0 f(0) 0 ∆= ⎧ ∨∆< ⎨ = ⎩ 0 f(0) 0VN ∆= ⎧ ⎨ = ⎩ 25 0254a0a 4 ∆< ⇔ − < ⇔ > * 22 2 2 xyxy3(xy)a0y(x3)y(x3xa)0++− ++=⇔+− + −+= 22 2 2 (x3) 4(x 3xa) 3x 6x94a 3(x 1) (12 4a) 0 ∆= − − − + =− + + − =−−+− < 87 Khi 25 a 4 > . Vậy khi 25 a 4 > hệ có 1 nghiệm duy nhất: x = y = 0 Ví dụ 2: Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 2 2 2 a 2x y y (I) (a 0) a 2y x x ⎧ =+ ⎪ ⎪ ≠ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ Giải Điều kiện x > 0, y > 0 Hệ 222 222 222 2x y y a 2x y y a (I) (x y)(2xy x y) 0 2y x x a ⎧ ⎧ =+ =+ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ − ++ = ⎪ =+ ⎪ ⎩ ⎩ 322 xy (*) 2x x a = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −= ⎪ ⎩ Đặt 32 2 f(x) 2x x f'(x) 6x 2x=−⇒ =− ; 1 f'(x) 0 x 0 x 3 = ⇔=∨= Bảng biến thiên: Do (*) có nghiệm duy nhất, Bảng biến thiên (I)⇒ có nghiệm duy nhất. 88 Ví dụ 3: Đònh m để hệ phương trình: 32 2 32 2 xy7xmx yx7ymy ⎧ =+ − ⎪ ⎨ =+ − ⎪ ⎩ Có nghiệm duy nhất: Giải Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là nghiệm của hệ. Và nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là nghiệm của hệ. Vậy để hệ có nghiệm duy nhất là x = y. ⇒ phương trình : 32 2 3 2 xx7xmx0x8xmx0−− +=⇔− += có nghiệm duy nhất. 32 2 x8xmx0x(x8xm)0−+=⇔ −+= (*) 2 x0 x 8x m 0 (**) = ⎡ ⇔ ⎢ −+= ⎢ ⎣ Để (*) có nghiệm duy nhất (*)⇔ có nghiệm x = 0 và (**) VN '16m 0 m16⇔∆ = − < ⇔ > . III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 3.1. Giải hệ phương trình: 3 3 x2xy y2yx ⎧ =+ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ 3.2. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 x2ym y2xm ⎧ ++ = ⎪ ⎨ ⎪ ++ = ⎩ 3.3. Giải và biện luận hệ : 22 22 x(34y)m(34m) y(34x)m(34m) ⎧ −=− ⎪ ⎨ −=− ⎪ ⎩ 89 Hướng dẫn và giải tóm tắt 3.1. 3 3 x2xy (1) y2yx (2) ⎧ =+ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ (1) – (2): 33 22 x y x y (x y)(x y xy 1) 0− =−⇔ − + + − = 22 xy xyxy10 = ⎡ ⇔ ⎢ ++−= ⎢ ⎣ Hệ đã cho tương đương với: 22 3 33 xy xyxy10 (I) (II) x2xy xy3(xy) ⎧ = ⎧ + +−= ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ =+ ⎪ += + ⎪ ⎩ ⎩ Giải x0 x 3 x 3 (I): y0 y3 y 3 ⎧⎧ == =− ⎧ ⎪⎪ ∨∨ ⎨⎨ ⎨ = ==− ⎩ ⎪⎪ ⎩⎩ Giải 2 2 (x y) xy 1 0 (II):(II) (x y) (x y) 3xy 3(x y) ⎧ +−−= ⎪ ⇔ ⎨ ⎡⎤ + +− =+ ⎪ ⎣⎦ ⎩ 22 2 22 s0 sp10 sp1 sxy VN pxy s1p s(s 3p) 3s s 3p 3 ⎧⎧ = ⎧ − −= = + = + ⎛⎞ ⎪⎪⎪ ⇔⇔∨ ⎨⎨⎨ ⎜⎟ = −= ⎪ ⎝⎠ −= =+ ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩ s0 x1 x 1 p1 y1 y1 = ==− ⎧⎧ ⎧ ⇔⇔ ∨ ⎨⎨ ⎨ = −=− = ⎩⎩ ⎩ Đáp Số: (0,0) , (3,3),(1, 1),( 1,1),( 3, 3)−− − − 3.2. 2 00 2 0000 00 x 2 y m Nếu he ä co ù nghiệm (x ,y )thì cũng có y 2 x m nghiệm( x , y ),(y ,x ),( y , x ) ⎧ ++ = ⎪ ⎨ ⎪ ++ = − − − − ⎩ Vậy điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là 00 xy0 = = thế vào hệ ta được m2= . Thử lại: m2= 2 2 x2y 2 x2x 2 ⎧ ++ = ⎪ ⎨ ⎪ ++ = ⎩ 90 . Nếu 2 x2 2 x0: VN y0 ⎧ +> ⎪ ≠ ⎨ ≥ ⎪ ⎩ . Nếu 2 y2 2 y0: x0 ⎧ +> ⎪ ≠ ⎨ ≥ ⎪ ⎩ VN Vậy x = y = 0 là nghiệm khi m2= . 3.3. 22 22 x(3 4y ) m(3 4m ) (1) y(3 4x ) m(3 4m ) (2) ⎧ −=− ⎪ ⎨ −=− ⎪ ⎩ (1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) = 0 TH 1: x = y : 23 (1) 4x 3x 3m 4m 0⇔−+− = 2 22 (x m)(4x 4mx 3 4m) 0 xm 4x 4m 3 4m 0 (3) ⇔− + −+ = = ⎡ ⇔ ⎢ +−+= ⎣ 2 '4(m 4m3)∆= − + . m 1 m 3:≤∨ ≥ phương trình (3) có 2 nghiệm 12 x,x ⇒ hệ có 3 nghiệm. . m 1 m 3 :=∨ = Phương trình (3) có nghiệm kép: 12 m xx 2 = =− ⇒hệ có 2 nghiệm. TH 2: 3 34yx0 xy 4 +=⇔=− . Mặt khác (1) + (2): 22 2 3(x y) 4xy 4x y 2m(3 4m )+−−=− 2 2 (x y)(3 4xy) 2m(3 4m ) m(3 4m ) xy 3 ⇔+ − = − − ⇒+= x,y⇒ là nghiệm phương trình: 2 2 m(3 4m ) 3 tt0 34 − −−= giải tương tự như trên. . y y (I) (a 0) a 2y x x ⎧ =+ ⎪ ⎪ ≠ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ Giải Điều kiện x > 0, y > 0 Hệ 22 2 22 2 22 2 2x y y a 2x y y a (I) (x y)(2xy x y) 0 2y x x a ⎧ ⎧ =+ =+ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ − ++. NGHỊ. 3.1. Giải hệ phương trình: 3 3 x2xy y2yx ⎧ =+ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ 3 .2. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 x2ym y2xm ⎧ ++ = ⎪ ⎨ ⎪ ++