CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC.. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.. Các dạng khác: Đặt điều kiện cho 2uA là A ≥ 0, nâng cả hai vế lên lũy thừa
Trang 1CHƯƠNG 4:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
A PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Nhắc lại: a2 = a ; 2 a nếu a 0
a
a nếu a 0
≥
⎧
⎩ Nếu a 0≥ và b 0≥ , ta có: a b> ⇔a2>b2
Với mọi a, b R∈ , ta có: 3 3
3 3
> ⇔ >
Giả sử a 0≥ và b 0≥ Ta có : a b+ ≤ a+ b≤ 2(a b)+
Đẳng thức bên phải đúng khi và chỉ khi a = b
Đẳng thức bên trái đúng khi và chỉ khi a = 0 ∨ b = 0
2 Dạng cơ bản:
A 0(hay B 0)
A B
⎧
⎩
2
B 0
A B
A B
≥
⎧⎪
= ⇔ ⎨
=
⎪⎩
3 Các dạng khác:
Đặt điều kiện cho 2uA là A ≥ 0, nâng cả hai vế lên lũy thừa tương
ứng để khử căn thức
2u 2u
A.B 0
A B
≥
⎧⎪
= ⇔ ⎨
=
⎪⎩
2u 1 2u 1
A B= ⇔A + =B +
Đặt ẩn dụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản
+ Mỗi lần bình phương 2 vế, cần đặt các điều kiện:
- Điều kiện có nghĩa của các căn thức
- Điều kiện về dấu của 2 vế
Để bình phương mới tương đương với phương trình cho
II CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Giải phương trình: 2 x2 2 12 4 x 1
x x
− + − = −⎜ + ⎟
(ĐH Ngoại Thương năm 1996) Giải
Điều kiện:
2
2 2
⎧
2
− ≤ ≤ − : thì x < 0 nên ta có:
2
2
x x
− + − < + = < < −⎜ + ⎟
2
2
⎣ ⎦ không là nghiệm của phương trình cho
* 2 x 2 :
2 ≤ ≤ Bình phương 2 vế của phương trình cho:
2
− + − + − ⎜ − ⎟= − ⎜ + ⎟ ⎜+ + ⎟
2
⇔ − ⎜ + ⎟= − ⎜ + ⎟ ⎜+ + ⎟ ⎜+ + ⎟
2
= + ⇒ = + + Điều kiện t 2≥
Trang 22 2 2 2
9 2t t 4t 5 (t 2) 9 2t (t 2) 1 (**)
Ta có: 2
2
9 2t 1 (***)
(t 2) 1 1
⎪
⎨
⎪ − + ≥
⎩
(**) và (***) 9 2t22 1 t 2 x 1 2 x 1
x (t 2) 1 1
⎪
⎪⎩
Thay x = 1 vào phương trình cho thỏa vậy x = 1 là nghiệm phương
trình
Ví dụ 2:
Giải phương trình: (2− 3)x+ +(2 3)x=4x
(Học viện công nghệ bưu chính viễn thông năm 1998, đề số 2)
Giải
(2 3) (2 3) 4
2 3 2 3 1 (1)
⇔⎜⎜ ⎟⎟ +⎜⎜ ⎟⎟ =
Nhận xét x = 1 là nghiệm phương trình (1), ta chứng minh x = 1 duy
nhất
4
− < và 2 3 1
4
+ < ⇒ Vế trái là hàm số giảm
Vế phải là hằng số ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 3:
Giải phương trình: −x2+4x 2 2x+ =
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối D năm 1999)
Giải
Ta có: −x2+4x 2 2x+ = ⇔ −x2+4x 2x 2= −
x 4x 4x 8x 4 5x 12x 4 0
x 1
2
≥
⎧
⎪
⇔ ⎨ = ∨ = ⇔ =
⎪⎩
Ví dụ 4:
Giải phương trình: x2= x 5 5 (1)+ +
Giải Đặt t= x 5+ ⇒t2= +x 5 Điều kiện x 5
t 0
≥ −
⎧
⎨ ≥
⎩ (1) x22 t 5
t x 5
⎧ = +
⎪
⇔ ⎨
= +
⎪⎩ (hệ đối xứng loại 2)
2 2
(x t)(x t 1) 0
x t t x
⎪
− = −
⎩
2 2
2
x x 5
x t 5 (t 0)
⎡
⎪
= ∨ = − −
2 2
1 21 x
1 17
x x 4 0 (x 1) x
2
=
⎢
⎢
⎢
⎣
Ví dụ 5:
Giải phương trình: x2 4356 x x x2 4356 x2 5
x
Đặt a x2 4356 x
x
= , b= x x2+4356 x− 2 2
2
x(4356)
b x( x 4356 x)
x 4356 x
a b 5
⎪
=
⎩
Trang 3III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1.1 Giải phương trình: x 2− + 4 x x− = 2−6x 11+
1.2 Giải phương trình: 4x 1− + 4x2− = 1 1
1.3 Giải phương trình: 16 x− + 9 x 7+ =
(ĐH Đà Lạt năm 1999) 1.4 Giải phương trình: (4x 1) x− 2+ =1 2x2+2x 1+
1.5 Giải phương trình: 4x− x2− +1 x+ x2− = 1 2
HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT
1.1 x 2− + 4 x x− = 2−6x 11+ Vế trái = 1 x 2 1 4 x 2− + − ≤ (BĐT BCS) Vế phải = (x2−6x 9) 2 (x 3)+ + = − 2+ ≥ 2 2
2
x 3 (x 3) 2 2
⎪
⎪⎩
1.2 4x 1− + 4x2− =1 1 (*)Điều kiện 4x 1 02 x 1
2 4x 1 0
− ≥
⎨
− ≥
⎪⎩
Nhận xét x 1
2
= là nghiệm phương trình (*)
Ta chứng minh x 1
2
= là nghiệm duy nhất
Đặt f(x)= 4x 1− + 4x2− − 1 1
2
2
⇒ hàm số f(x) tăng trên 1 ,
2
+∞⎟
⎢⎣ ⎠ và có nghiệm x 1
2
=
⇒ x 1 2
= duy nhất
1.3 16 x− + 9 x 7+ = (*) Điều kiện 16 x 0
9 x 16
9 x 0
− ≥
⎨ + ≥
⎩ (*) ⇔16 x 9 x 2 (16 x)(9 x) 49− + + + − + =
x 0 x(x 7) 0
x 7
=
⎡
⎣ nhận vì thỏa điều kiện − ≤ ≤9 x 16 1.4 (4x 1) x− 2+ =1 2x2+2x 1+ (1)
Trang 42 2
(1)⇔(4x 1) x− + =1 2(x + +1) (2x 1)− (2)
2
(4x 1)t 2t (2x 1)
2
2t (4x 1)t 2x 1 0
⇔ − − + − = (Xem phương trình ẩn số t)
1
t 1 (loại)
2
t 2x 1
⎡ = <
⎢
⇔⎢
= −
⎢⎣
2
2
1 2x 1 0 x
2
t 2x 1 x 1 2x 1
x 1 (2x 1)
⎧ − ≥ ⇔ ≥
⎪
⎩
x 0 (loại) 4
x (nhận) 3
=
⎡
⎢
⇔
⎢ =
⎢⎣
1.5 4x− x2− +1 x+ x2− = (*) 1 2
Điều kiện để các biểu thức có nghĩa:
2 2 2
x 1 0
x x 1 0 x 1
⎧ − ≥
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
(1)
Nhận xét: (x− x2−1)(x+ x2− = ( x 1)1) 1 ≥ (2)
Đặt 4x x2 1 t x x2 1 12
t
− − = ⇒ + − = (t > 0)
3 2 2
1
t
t 1
1 5 t
2
1 5
t 0 (loại) 2
⎡
⎢ =
⎢ +
⎢
⇔⎢ =
⎢
−
⎢ = <
⎢⎣
2
t 1:
= ⇔
+ − = cộng vế với vế ⇒ = thỏa (1) x 1
t2 1 5 4x x2 1 t2 x x2 1 t42
2
+
2 4 2
1
t
−
2
2
x x 1 t−
⎪
⇒ ⎨
⎩
( 5 2,2360)=
Cộng lại ta được nghiệm : x 1(t42 t )24
= + thỏa mãn (1)